概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記第一章概率論的基本概念1隨機試驗1. 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗 .2. 隨機試驗E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S = e,稱S中的元素e為基本事件或樣本點.3. 可以在相同的條件下進行相同的實驗；每次實驗的可能結(jié)果不止一 個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；進行一次試驗之前不能確 定哪一個結(jié)果會實現(xiàn).2. 樣本空間、隨機事件1. 對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗結(jié)果， 但試驗的 所有可能結(jié)果組成的集合是已知的.我們將隨機試驗E的所有可能結(jié) 果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S樣本空間的元素，即E的每 個結(jié)果稱為樣本點.2.

2、一般我們稱S的子集A為E的隨機事件A,當且僅當A所包含的一 個樣本點發(fā)生稱事件A發(fā)生.如果將S亦視作事件，則每次試驗S總是 發(fā)生，故又稱S為必然事件。為方便起見，記。為不可能事件，e不 包含任何樣本點.3. 若AUB，則稱事件B包含事件A,這指的是事件A發(fā)生必導(dǎo)致事 件的發(fā)生。若A二B且B。A,即A=B，則稱事件A與事件B相等.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記4. 和事件AUB=x|xA或xA： A與B至少有一發(fā)生.5. 當AB = O時，稱事件A與B不相容的，或互斥的.這指事件A與事 件B不能同時發(fā)生.基本事件是兩兩互不相容的.A的逆事件記為A, AVA= s,若 AU A= S,則稱a,b互逆，

3、互斥 AA = 一 AB =-6. 當且僅當A,B同時發(fā)生時，事件 AlB發(fā)生.APIB也記作AB.當且僅當A, B同時發(fā)生時，事件 A n B發(fā)生，Af B也記作AB.7. 事件A的對立事件：設(shè)A表示事件 “A出現(xiàn)”，貝廠事件 A不出現(xiàn)”稱為事件A的對立事件或逆事件.事件間的運算規(guī)律：設(shè)A, B,C為事件，則有(1 )交換律：AUB = BUA, AB = BA(2 )結(jié)合律：(AUB) Uc = aU(BUc), (AB)C= A(BC)(3) 分配律：(AUB)ClC = (AnC)U(BriC) = ACUBC(4) de Morgan 律：aUb = AB, AB=aUb3. 頻率和

4、概率1. 記 fn(A)=Dn其中nA -腺生的次數(shù)(頻數(shù))；n -總試驗次數(shù).稱fn(A)為A在這n次試驗中發(fā)生的頻率.頻率fn(A)反映了事件A發(fā)生的頻繁程度.2. 頻率的性質(zhì)：1 0£fn(A)£12 fn(S)=1kk3°若A,A2,A兩兩互不相容，貝U2fn(UA) = E fn(A)ini =1概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記3. 當重復(fù)試驗次數(shù)n逐漸增大時，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定 于某個常數(shù).這種“頻率穩(wěn)定性”即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.我們讓試 驗重復(fù)大量次數(shù)，計算頻率 fn(A )以它來表征事件A發(fā)生可能性的大 小是合適的.fn (A)隨n的增

5、大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為 p . f n( A)的穩(wěn)定 值p定義為A的概率，記為P(A)= p .4. 概率定義：設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間.對于E的每一個 事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率.滿足下列條件： 非負性：對于每一個事件 A,有P(A)芝0; 規(guī)范性：對于必然事件S,有P(S) = 1; 可列可加性：設(shè)AAJII是兩兩相互不相容的事件，即對于i, j, AAj=e , i,j=1,2|,則有P(A UaU)=P( A)+ P A)+;5. 概率定義推得的重要性質(zhì).(1) P( )=0(2) 有限可加性 若AiA2A3An是兩兩互不相容的事件則有P Ai UA2

6、UAn =P(A) P A-P(An)(3) 對于任一事件 P(A)1(4) 對于任一事件 A有P(A)=1-P(A)(5) P(AU B) = P(A) P(B) - P(AB)4. 等可能概型(古典概型)1. 當試驗的樣本空間只含有有限個元素，并且試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，具有這樣特點的試驗是大量存在的， 則稱這種試驗 為等可能概型.它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為等可能概型.2.kkP A 八 P 7 ；=一j j nA 包含的基本事件數(shù)S中基本事件的總數(shù)即是等可能概型中事件A的概率的計算公式5. 條件概率1. 條件概率定義：設(shè)A,B是兩個事件，且P(A)a0,

7、稱P(B|A) = E(AB)1 P(A)為在A事件發(fā)生條件下B事件發(fā)生的條件概率.2. 符合條件概率的三個條件，即：(1) 非負性對于每一事件B,有 p(ba)N0(2) 規(guī)范性對于必然事件S,有 P(SA)= 1(3) 可列可加性 設(shè)B1B2川是兩兩互不相容的事件，則有r oo 、00P|Jb|A| = E P(Bi|A)iT3. 乘法定理：設(shè) P(A0，則有 P(AB)=P(B|A)P(A)推廣：一般設(shè) AAdllAn為n個事件，nW，且PAA2 Al 1n_ )A0有P(AJ HIA廣 p(A|AA2川A)P(AdAAJHAn_2)川 P(j|A)P(A) .4. 全概率公式：設(shè)試驗E

8、的樣本空間為S , A為E的事件，Bi,B2,.,Bn 為 S 的一個劃分，且 P(Bj)A0(i=1,2,.,n)，則P(A)=P(A|B )P(B )+P(A|B2)P(B2)+ | + P(A|Bn)P(Bn )5. 貝葉斯公式：設(shè)試驗E的樣本空間為S , A為E的事件，Bi,B2,.,Bn 為 S 的一個劃分,且 P(Bi)>0(i=1,2,.,n)，則 P(A|E；)P(Bi)P(Bi |A)=E P(A|Bj )P(Bj ) j6. 獨立性1. 定義：設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式P(AB) = P(A)P(B),則稱 事件A, B相互獨立，簡稱A, B獨立.若P(A)0,

9、P(B)a0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.2. 定理一：設(shè)A,B是兩事件，且P(A)>0,若A,B相互獨立，則 P(B|A)=P(B).反之亦然.3. 定理二：若事件 A與B相互獨立則A與B , A與B , A與B也相 互獨立.4. 推廣定義：設(shè)A,B,C是三個事件，如果滿足等式P(AB) =P(A)P(B),P(BC)= P(B)P(C),P(AC) = P(A) P(C) , P(ABC) = P(A)P(B)P(C)則稱事件 A,B,C 相互 獨立.5. A, B相互獨立-A,防目互獨立- A, B相互獨立- A, B相互獨立當P(AB)=P(A) P(B)時P

10、AB = P A - AB = P A - P AB = P A )1 - P B = P A P B第二章隨機變量及其分布1. 隨機變雖1. 定義：設(shè)隨機試驗的樣本空間sfxie是定義在樣本空23間S上的實值單值函數(shù)，稱 X =Xe為隨機變量常見的兩類隨機變量離散型連續(xù)型2. 本書中一般以大寫字母如 X,Y,Z,W,.表示隨機變量，而以小寫字 母x,y,z,w,.表示實數(shù).2. 離散型隨機變雖及其分布律1. 定義：有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量.2. 定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量.一般地，設(shè)離散型隨機變景X所有可能取的值為X

11、k(k = 12 ,)x取各個可能值的概率論，即事件的概率為PX = w = Pk,k = 1,2,稱為離散型隨機變量X的分布律。Pk滿足如下兩個條件：cd(1) pq。(2)，Pk =1k日3. (。一 1)分布設(shè)隨機變量X只可能取。與1兩個值,它的分布律是PX =k = p11*, k =。,1(。< p <1, p+q =1)，則稱 X 服從(。一1)分布或 兩點分布.(01)分布的分布律也可寫成4. 設(shè)試驗只有兩個可能結(jié)果：A及A,則稱E為伯努利試驗.設(shè)P(A) = p(0 < p<1),此時P(A) = 1-p,將E獨立重復(fù)地進行n次，則 稱這一串重復(fù)的獨立試

12、驗為n重伯努利試驗.pX=k = C：pkqn* , k = 0,1,2,川，nC；pkqJ剛好是二項式(p+q)n的展開式中出現(xiàn)Pk的那一項，故稱隨 機變量X服從參數(shù)n,p的二項分布，記為X B(n,p).特別，當n = 1時 二項分布化為PX =k= pkq1七k = 0,1，這就是(0-1 )分布.5. 泊松分布設(shè)隨機變量X所有可能取值為0,1,2 .而取各個值的概率為PX =k= k =。12；"' ,其中黑 > 0是常數(shù)， k則稱X服從參數(shù)為 杼勺泊松分布，記為XP0).3. 隨機變雖的分布函數(shù)1. 分布函數(shù)的定義設(shè)X是一個連續(xù)隨機變量，稱F(x)= p(X

13、4x)(-* <x<+")為X的 分布函數(shù).X是隨機變量，x是白變量.由定義，對任意實數(shù) *<x2，隨機點落在區(qū)間(由乂2】的概率為：P'：xi X x2 JpW 婦- PX £ xi 'F(x2)- F(xi)2. 分布函數(shù)性質(zhì)(1) 0£F(x) £l,x ( 二，二)(2) F(x» F(X2),(x < X2)(單調(diào)不減性)(3) F(-二)=lim F(x) =0,F (二)=lim F(x) = 1X .x :(4) lim .= F(x°),(-二： xo ：二) xf即任一分布函

14、數(shù)處處右連續(xù).3. 公式(1) Pa ： X £ b = F (b) F(a)(2) PX a =1 -F(a).4. 連續(xù)型隨機變雖及其概率密度1. 如果對于隨機變量 X的分布函數(shù)F(x),存在非負函數(shù)f(x)，使x對任意實數(shù)x有F(x)=J f(t)dt,則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中 _oQ函數(shù)f (x)稱為X的概率密度函數(shù)簡稱概率密度。在實際應(yīng)用中遇到的基本上是離散型或連續(xù)型隨機變量.2. 概率密度f(x)性質(zhì)：(1) f0(2) 廣 f (x)dx = 1 _oO(3) 對于任意實數(shù)km ,(x<x2),P 1 x1 X - x2=F x2 - F x1 = 2 f x

15、 dxx1(4) 若f (x)在點x處連續(xù)則有F'(x)=f(x)3. 均勻分布：設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度 f1ua<x<bf(x)=b-a' ，則稱X在區(qū)間(a,b )上服從均勻分布.記為 【0,其他XU(a,b).易知 “乂)芝0,且f(x)dx=1-二4指數(shù)分布：設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f 0"節(jié)頊>0,其中6 >0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為8的指 0,其他Q0數(shù)分布.易知f(x)芝0,且f (x)dx=1-q5正態(tài)分布：設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f H r e 2、，-8<x<°° ,則稱X

16、服從參數(shù)為卜,。的正態(tài)分 、2 -二布.特別的，當卜=0,。=1時，稱X服從標準正態(tài)分布.5. 隨機變雖的函數(shù)分布定理：設(shè)隨機變量X具有概率密度fX(x), -00 <x<°° ,又設(shè)函數(shù)g(x) 處處可導(dǎo)且恒有g(shù)'(x) > 0(或恒有g(shù)'(x) < 0)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變 量，其概率密度為fY(x)=*y)k(y) W.第三章多維隨機變量及其分布1. 二維隨機變雖1. 設(shè)隨機試驗E的樣本空間為：S = e,X(e)、Y(e)為定義在S上的隨機變量，由它們構(gòu)成一個隨機向量(X、Y),叫二維隨機向量或二維隨機變量.2. 定

17、義：設(shè)二維隨機變量(X、Y),對任意實數(shù) x、y ,二元函數(shù)F(X, Y)= P X壬xY y稱為(X、Y)的(聯(lián)合)概率分布函數(shù).二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)：(1) F (x, y )是變量x和y的不減函數(shù)，即對任意固定的y，當x2 > xi 時F g, y )N F(x,y);對于任意固定的x,當策> *時F x,y2 _F x,yi .(2) 0苴F(x,y)<1,且對于任意固定的 y , F(-*,y)=0,對于任 意固定的 x, F x,二)=0, F -二，-二)=0, F 二，二=1.(3) F (x,y )=F (x + 0,y), F (x, y )=F (

18、x, y+0)，即"y ,)關(guān)于 x 右連續(xù)， 關(guān)于y也右連續(xù).(4) 對于任意(x1,yi), Mm ),x? ,y?y，下述不等式成立： F x2,y2 - F x2, y1F x1,y1 - F x1,y2 - 0.如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對或可 列無限多對，則稱(X,Y)是離散型的隨機變量.3. 對于二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y).如果存在非負y x的函數(shù)f(x,y)使對于任意(X、Y)有F(x,y)=J f f(PR玳du, °_aO _aO則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù) f(x,y)稱為二維隨機 變量(X

19、,Y )的概率密度，或稱為隨機變量 X和Y的聯(lián)合概率密度.概率密度f (x y)具有以下性質(zhì)：(1) f(x,y)Z0(2) (x,y)dxdy= F(* 嚴)=1 設(shè)G是xOy平面上的 區(qū)域，點(X、Y)落在G內(nèi)的概率 為P<(X,Y) G". f (x, y)dxdy（4） 若f（x,y）在點（X、Y）連續(xù)則有2,、：F(x, y)=f (x, y):xy4. 兩個常用的分布（1）均勻分布：定義設(shè)D為閉區(qū)域面積為A,若隨機變量（X、Y）的（聯(lián)合）密度為：f（x,y） =1/A（x, y）在 D、0 其它則稱：（X、Y）服從D上的均勻分布.Y）的概率密度為:（2）二維正態(tài)分布

20、：若二維隨機變量（X、1f （x, y） ： =221-102、1代exp 二。/"-勺 g 2（1 - 寸）_-二 x ； 一二則稱：（X、Y）服從參數(shù)為 七、。1、。2、P的二維正態(tài)分布.其中2 。1:y ：二二1。22。2邙JJ。1>0, %>0, |P|1 是常數(shù).記為：（X、Y）N （%、七、皿2、叫2、2. 邊緣分布1. 二維隨機變量（X,Y）作為一個整體，具有分布函數(shù)F（x,y），而X和Y都是隨機變量，也有也有分布函數(shù)，將他們分別記為FX（x）,R （ y ）,依次稱為二維隨機變量（X ,Y ）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)可以由（X,Y）的分布函數(shù)

21、F（x,y）所確定，事實上 FX x =F（二，x）.2. X是一個連續(xù)型隨機變量，則其概率密度fX（x）=£f（x,ydy和fY（y）= Gf （x,ydx分別稱fX（x ）, fY（y ）為以,丫）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊 緣概率密度函數(shù)3.離散型隨機變量的邊緣概率分布:xf(x,y)dydx3. 條件分布1. 定義：設(shè)（X,Y ）使二維離散型隨機變量，對于固定的PY=協(xié)0,則稱.PX =x,Y= yjp. ,pX = x Y = yj =. =也=1,2,|,為在 Y = yj 條件jPW = yjPjj下隨機變量X的條件分布律。同樣，對于固定的i,若P*女J。一 ,、 PX =x,

22、Y= vJ p.貝U稱 PY = yj X=* =; =旦，j =1,2,| ,為在 X = *PlX = *R?條件下隨機變量Y的條件分布律.2. 定義：設(shè)二維隨機變量（X,Y）的概率密度為f（x,y）, （X,Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY（y）.對于固定的y , fY（y0,則稱"x,y）fY y為在Y = y的條件下X的條件概率密度，記為fXY（ x y ）=f x,yfY y稱"fXY(x|y dx=O I,也Xx為在Y = y的條件下，X的條件分布-二 fY y函數(shù)，記為P（X壬x|Y = y或FXY（x|y）即,ti ,x f( x, y )FXY(x|y )

23、= PX * x|Y = y=dx ,-二 fY y類似的，可以定義 fYX(y|x)= "x,y)和 fyx(y|x)= L "x,y)dy.fX x-：- fx x3. 離散型隨機變量的條件分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j ,若P.Y= p>0,則稱r, p( X = X ,Y = 乂 Pii, ,pX =Xi Y = yj = =,i =1,2,.為在Y=V條件下隨機jPY = yjPjj變量X的條件分布律.4. 連續(xù)型隨機變量的條件分布給定y,設(shè)對于任意固定的正數(shù) n Py - & <Y<y + &0,且 若對于任

24、意實數(shù)X,極限lim P'.X 壬 x y - ； ： Y £ y ； 提存在，則稱此極限為在條件:.P*X _ x, y - ； ： Y _ y ； J:=lim =I Ply - ; ：Y 三 y *Y = y下X得條件分布函數(shù),寫成PXx|Y = y或記為Fxy(X|Y)fY|X(yx)=f(x, y)fx(x)4. 相互獨立的隨機變雖1. 定義：設(shè)F(x,y), Fx(x), Fy(y)分別為二維隨機變量(X,Y)的(聯(lián) 合)分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對于所有x,y有：F(x, y)= Fx(x) - Fy(y)，即：P(X <x,Y 苴 y= P(X 三 xP

25、Y 三 y)，則稱 X 與Y 相互獨立.2. 定理 a.X,Y相互獨立 u f(x,y)= fx(x)fy(y)b.離散型隨機變量X ,Y相互獨立充要條件是對于任意x,y有： PI；X = x,Y = v'j = P'：X = x：P* = y .5. 兩個隨機變雖函數(shù)的分布1. Z = X + Y的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X + Y分布函數(shù)為Fz（z）=PZ <z=f （x, y dxdy ,由概率密度的定義，即得到 Z的x y<z概率密度為fz（z）=J f（ z- y y）dy由（X,Y）的對稱性，fz（z）又可 -oO寫成fz（z）=

26、J f（xz- x）dx特別，當X和Y相互獨立是，設(shè)邊緣概率密度為fX（x）, fY（y）,則上面兩個公式可以化為fz（z）=J fx（z-y ）fY（y）dy , fz（z）=J fx（x）fY（z-x）dx,這兩個公 _oO式稱為卷積公式，記為fx* fY即OoOfxfY=i；fxz - yfYy dy = j；fxxfYz - x dx更一般地，有限個相互獨立得正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.2. M =max（x,Y）及 N = min（x,Y）的分布設(shè)（x,Y ）是兩個相互獨立的隨機變量，他們的分布函數(shù)分別為Fx（x）, Fy（y），現(xiàn)在來求 M=max（x,Y）及 N =

27、min（x,Y）的分布函數(shù)。PMz= P X<,zYz又由于X和Y相互獨立，得到M=max（X,Y）的分布函數(shù)為Fmax z = P'：M & z： = PX & z,Y £ 7 = P'：X & z：P* & z：即有Fmax（z）=Fx（z）FY（z）類似的，可得到N = min（X,Y）的分布函數(shù)為Fmin z = P'：N 三 z： =1 - P'：N z? =1 - P'：X z,Y z： = 1 - P'：X z P V 云即 Fmin z =1"Fx z J- Fy z .第

28、四章 隨機變量的數(shù)字特征1. 數(shù)學(xué)期望1. 定義：設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為px=xk = Pk , k = 1,2|qQqQ若級數(shù)Z xkpk絕對收斂，則稱級數(shù) Z x< pk的和為隨機變量X的數(shù) k=1k=1學(xué)期望，記為E(X)=- XkPk.2. 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為f(x)，若積分 廣xf(x)dx的皿值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，即E(X)= jxf (x)dx.數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值.3. 定理：設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Y = g(X) ( g是連續(xù)函數(shù)).1) 若X是離散型隨機變量，它的分布律為PX = xk = Pk , k = 1,2|qQqQ若級數(shù) Z

29、- g(xk)Pk 絕對收斂，則有 E(Y) = Eg(X)=£ g(xk)Pk.2) 若X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)若廣g(x)f(x)dx絕對收斂則有 E(Y) = E【g(X)= 廣g(x)f(x)dx.4. 數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)：(1) 設(shè)C是常數(shù)，則有 E(C) = C(2) 設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有 E(CX)=CE(X)(3) 設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)= E(X )+E(Y).這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量之和的情況(4) 設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，則有 E(XY)= E(X )E(Y);這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨

30、立的隨機變量之積的情況.5.幾個重要隨機變量的期望(1) 0-1分布的數(shù)學(xué)期望：E(X)=p(2) 二項分布 b = (n,p) : E(X) = npkX P<X =k； =e- ,k = 0,1,2,. 泊松分布：一 k k! 一 skk-1E(X)八 k e = e ' 司 k!k(k-1)!(4)1均勻分布 X U (a,b). X f (x) = b - a ,a < x < b,0,其他b xE(X)= _xf(x)dx=dx =-a b - a 2-COxx1 -T(5)指數(shù)分布：E(X)=J xf(x)dx= J xe8dx=-Be80 口(6)正態(tài)分

31、布 N(P*2)： E(X) = H2.方差oO=001.定義：設(shè)X是一個隨機變量，若eX-日X)2存在，則稱 ex- E( X)2為X的方差，記為D(X)或Var(X)即 D(X ) = Var(X )= E：X - E(X )口 .在應(yīng)用上引入 Jd(X),記為。(X )稱為標準差或均方差2.離散型隨機變量0D(X) = £【xk-E(X)】2pk ,其中kTPX =xL = pk,k = 1 Hl2連續(xù)型隨機變量:D(X)=j°°xk-E(X)】2 f(x)dx其中f(x)是X-oO的概率密度.2- 隨機變量X的萬差可按D(X)=E(X )-：E(X)計算.

32、3. 方差的重要性質(zhì)(1) 設(shè)C是常數(shù)，則有D(X )=0(2) 設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有D(CX)=C2D(X)(3) 設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有D X Y = D X D Y 2E 1 X - E X i iY - E Y i d若X,Y相互獨立，則有 D(X+Y)= D(X )+D(Y)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之和的情況(4) D(X)=0的充要條件是 X以概率1取常數(shù)C , PX = C = 14. 幾個重要隨機變量的方差X b(n, p):D(X) = np(1 - p)泊松分布：D(X)“ 均勻分布 U(a,b): D(X)= (ba)12(4)

33、指數(shù)分布：D(X)M2(5) 正態(tài)分布 Ng*2): D(X)=。23. 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1定義：EX - E(X )：Y-E(Y)P稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為 C O v, X,削 Cov(X,Y)=EX -E(X )Y-E(Y)p ,Pxy= CoV(X*)稱為隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù).D X、D Y2. 協(xié)方差性質(zhì)1) Cov(X,Y) =Cov(Y,X)2) Cov(X,Y) = D(X),Cov(X,c) =03) Cov(aX,bY) = abCov(X ,Y),a,b是常數(shù)4) Cov(X Y,Z) =Cov(X,Z) Cov(Y,Z)5) 若X,Y相互獨立，則Cov(X,

34、Y) = 06) D(X Y,Z) = D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)3. 定理：(1) |Pxy|<1(2) 片丫|=1的充要條件是，存在常數(shù)a,b使pY = a + bX = 1(3) 當Pxy=0時，稱X和Y不相關(guān)(4) 當X和Y相互獨立時由Cov(X,Y)=0,知Pxy=0即X,Y不相關(guān), 反之，若X,Y不相關(guān)，X,Y卻不一定相互獨立.4. 矩、協(xié)方差矩陣1. 定義：設(shè)X和Y是隨機變量，若E(XQ , k = 1,2川存在，稱它為 X的k階矩。若EX - E( X)k p ,k= 2,311存在，稱它為 X的k階 中心矩。若 E(XkY),k,l =1,2存在，稱它為 X和Y的k + 1階混合 矩.若E“X - E(X)Y - E(Y)】', k,l =1,2川存在,稱它為X和Y的 k+1階混合中心矩.2. 設(shè)n維隨機變量(X1,X2,.Xn)的二階混合中心距概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記a在，則稱矩陣：<an1Gj=Cov(Xj,Xj) = EXj -E(Xj)Xj -E(Xj ), i, j = 1,2,.,n 都存III；為n維隨機變量(Xi,X2,.Xn)的協(xié)方差矩I II ann J陣.3. n維正態(tài)變量的性質(zhì):1) n維隨機變景(Xi, X2, |Xn)的每一個分兄Xi,i =1,2，川,n都是正態(tài)變景；反