正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

1、正交實(shí)驗(yàn)如何數(shù)據(jù)分析我們把在試驗(yàn)中考察的有關(guān)影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱(chēng)為因素（也叫因子），把在試驗(yàn)中準(zhǔn)備考察的各種因索的不同狀態(tài)（或配方）稱(chēng)為水平。在研究比較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，往往都包 含著多個(gè)因素，而且每個(gè)因素要取多個(gè)水平。對(duì)于包含五個(gè)因素、五個(gè)水平的工程項(xiàng)目，理論計(jì)算必須進(jìn)行 55= 3125次試驗(yàn)。顯然,所需要的試驗(yàn)次數(shù)太多了，工作量太大。實(shí)踐告訴我們，合理安排試驗(yàn)和科學(xué)分析試驗(yàn)，是試驗(yàn)工作成敗的關(guān)鍵。試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的好，試驗(yàn)次數(shù)就少，周期也短，這樣不僅節(jié)省了大量人力、物力、財(cái) 力和時(shí)間，而且可以得到理想的結(jié)果。相反，如果試驗(yàn)設(shè)計(jì)安排的不好，即使進(jìn)行了很多次試驗(yàn)，浪費(fèi)了大量材料、人力和時(shí)間，也不

2、一定能夠得到預(yù)期的結(jié)果。正交試驗(yàn)法，就是在多因素優(yōu)化試驗(yàn)中， 利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與正交性原理，從大量的試驗(yàn)點(diǎn)中挑選有代表性和典型性的試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)用“正交表”科學(xué)合理地安排試驗(yàn)，從而用盡量少 的試驗(yàn)得到最優(yōu)的試驗(yàn)結(jié)果的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。正交試驗(yàn)法也叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，它是用“正交表”來(lái)安排和分析多因素問(wèn)題試驗(yàn)的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是試驗(yàn)次數(shù)少，效果好，方法筒單，使用方便，效率高。由于試驗(yàn)次數(shù)大大減少，使得試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理非常重要。我們可以從所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中找 到最優(yōu)的一個(gè)數(shù)據(jù)，當(dāng)然，這個(gè)數(shù)據(jù)肯定不是最佳匹配數(shù)據(jù)，但是肯定是最接近最佳的了。用正交表安排的試驗(yàn)具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。均衡分散，

3、是指用正交表挑選 出來(lái)的各因素和各水平組合在全部水平組合中的分布是均衡的。整齊可比是說(shuō)每一因素的各水平間具有可比性。最簡(jiǎn)單的正交表L4（23）如表-1所示。表-1水、 列1231111212232124221記號(hào)L4（23）的含意如下：“L”代表正交表；L下角的數(shù)字“ 4”表示有4橫行（簡(jiǎn)稱(chēng)為行），即要做四次試驗(yàn)；括號(hào)內(nèi)的指數(shù)“ 3”表示有3縱列（簡(jiǎn)稱(chēng)為列），即最多允許安排的因素個(gè)數(shù)是3個(gè)；括號(hào)內(nèi)的數(shù)“ 2”表示表的主要部分只有 2種數(shù)字，即因素有兩種水平l與2,稱(chēng)之為l水平與2水平。表L4（23）之所以稱(chēng)為正交表是因?yàn)樗袃蓚€(gè)特點(diǎn)：1、每一列中，每一因素的每個(gè)水平，在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)相

4、等。表-1里不同的水平只有兩個(gè)一一1和2,它們?cè)诿恳涣兄懈鞒霈F(xiàn) 2次。2、任意兩個(gè)因素列之間，各種水平搭配出現(xiàn)的有序數(shù)列（即左邊的數(shù)放在前，右邊的數(shù) 放在后，按這一次序排出的數(shù)對(duì)）時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。這里有序數(shù)對(duì)共有四種（1,1）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）.它們各出現(xiàn)一次。常見(jiàn)的正交表有：L4（23）,L8（27）,L16（215）, L32 （231）, ;L9（34）,L27 （313）. . ;L6（45）,;L25（56）,等。此外還有混合水平正交表：各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱(chēng)為混合水平正交表。如L8（41 X 24）,表中有一列最大數(shù)字為

5、4,有4列最大數(shù)字為2。也就是說(shuō)該表可以 安排1個(gè)4水平因素和4個(gè)2水平因素。選擇正交表的原則，應(yīng)當(dāng)是被選用的正交表的因素?cái)?shù)與水平數(shù)等于或大于要進(jìn)行試驗(yàn) 考察的因素?cái)?shù)與水平數(shù)，并且使試驗(yàn)次數(shù)最少。如我們要進(jìn)行3因素2水平的試驗(yàn)，選用L4（23）表最理想。但是，要進(jìn)行 5因素2水平的試驗(yàn)仍用L4（23）表，那么便放不下 5個(gè)因素 了。這時(shí)，應(yīng)當(dāng)選用L8（27）表，這樣盡管只用了此表的5個(gè)因素列，還有兩個(gè)因素列是空列，但這并不影響分析。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果（數(shù)據(jù)）的處理分析通常有兩種方法，一是直觀(guān)分析法，又叫極值分析法；另 一種方法是方差分析。1. 直觀(guān)分析法：根據(jù)正交表進(jìn)行試驗(yàn)，可以得到就某 一（單指標(biāo)，

6、也有多指標(biāo)）考察指標(biāo)的試 驗(yàn)結(jié)果，通過(guò)直觀(guān)分析或方差分析，就可 以得出最佳的實(shí)驗(yàn)方案。直觀(guān)分析試驗(yàn)結(jié)果的步驟（以四因素 三水平為例）如下，見(jiàn)表-2,根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)分別計(jì)算出： 分別對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因素的一水平 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果求和，即Ij：再對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因素的二水平結(jié)果求和，即II j：對(duì)每次試驗(yàn)各因子的三水平的結(jié)果求和，即III j : 分別求出各因素各水平結(jié)果的平 均值：即 Ij/3, II j/3, III j/3,并填入 正交表中； 分別求出各因素的平均值的差值（也叫極差），如果是三個(gè)以上水平則要找 出平均值最大值或最小值之間的差值Rj。根據(jù)極差數(shù)Rj的大小，可以判斷各因 素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響大小

7、。判斷原則是：極差愈大，所對(duì)應(yīng)的因ABCD結(jié)果（指標(biāo)）123456789Ijn jiii jIj/3II j/3III j/3RR1R2RR表一2素愈重要；由此可以確定出主、次要因素的排列順序。根據(jù)各因素各水平所對(duì)應(yīng)指標(biāo)結(jié)果的平均值的大小可以確定各因素取什么水平好。確定的原則是：如果要求指標(biāo)愈小愈好，則取最小的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)愈大愈好，則取最大的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)適中（固定值），則 取適中的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平。需要說(shuō)明的是，最優(yōu)的水平組合并不一定就在由正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所指定的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中。所以，根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)的數(shù)值要求所確定的各因素的最優(yōu)水平組合，就可以篩選出最

8、佳的試驗(yàn)方案條件、以及較好的試驗(yàn)方案條件。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的直觀(guān)分析法，除了極差分析外。為了更形象直觀(guān)的得出試驗(yàn)分析結(jié)果，我們還可以采用畫(huà)趨勢(shì)圖（效應(yīng)曲線(xiàn)圖）的方法，得出正確的綜合分析結(jié)論。效應(yīng)曲線(xiàn)圖（因素指標(biāo)分析）就是要畫(huà)出各因素水平與指標(biāo)的關(guān)系圖， 它是一種座標(biāo)圖， 它的橫座標(biāo)用各因素的不同水平表示； 縱座標(biāo)同為試驗(yàn)指標(biāo)。 其實(shí)它就是根據(jù)極差分析數(shù)據(jù) 所繪出來(lái)的，可以一目了然看出各因素的哪個(gè)水平為最優(yōu)（根據(jù)指標(biāo)的具體數(shù)值要求）。2. 方差分析法：通過(guò)試驗(yàn)可以獲得一組結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)， 這組數(shù)據(jù)之間一般會(huì)存在一定的差異， 即使在相 同的條件下做幾次試驗(yàn)， 由于偶然因素的影響， 所得的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)也不完全相

9、等， 這說(shuō)明實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)的波動(dòng)不僅與實(shí)驗(yàn)條件的改變有關(guān)，也包括實(shí)驗(yàn)誤差的影響。方差分析是用來(lái)區(qū)分所考察因子的由于水平不同對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異是由于水平的 改變所引起還是由于試驗(yàn)誤差所引起的，以便進(jìn)一步（在直觀(guān)分析的基礎(chǔ)上） 檢驗(yàn)?zāi)男┮蜃訉?duì)結(jié)果有影響，哪些沒(méi)有影響，并區(qū)分哪些是影響結(jié)果的主要因素，哪些是次要因素。我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明方差分析法的原理和計(jì)算方法。在研究某膠料的過(guò)程中， 為考察生膠的轉(zhuǎn)動(dòng)黏度對(duì)膠料壓縮變形有無(wú)顯著的影響，進(jìn)行了試驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表-3所示:表-3壓黏縮139142147150138.236.535.632.2233.335.934.131.6336.032.832.8

10、35.6平均值35.835.134.233.2我們把轉(zhuǎn)動(dòng)黏度記做因子 A,這是單因子4水平的實(shí)驗(yàn)，每個(gè)水平都進(jìn)行了 3次重復(fù)試驗(yàn)， 從這組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如何來(lái)判斷A因子對(duì)壓縮變形有無(wú)顯著性影響呢？首先從這組數(shù)據(jù)出發(fā)，計(jì)算出實(shí)驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)及A因子水平的改變所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)?？梢杂^(guān)察到在 A勺同一水平下，雖然試驗(yàn)條件沒(méi)有改變，但所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不完全一樣，也就是說(shuō)壓縮變形值不完全一樣。這是由于試驗(yàn)誤差的存在使數(shù)據(jù)發(fā)生了波動(dòng)。例如，A勺第一水平下（A1= 139）數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：1一-、 八八X1 = 一（ 38.2+33.3+36.0 ） =35.83數(shù)據(jù)的波動(dòng)值是：$1=（38.2-35.8）

11、 2+（33.3-35.8） 2+（36.0-35.8） 2=12.05我們稱(chēng)S1為A的第一水平下的偏差平方和。偏差平方和反映了一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散和集 中的程度，S大表明這組數(shù)據(jù)分散，S小表明它們集中。類(lèi)似地，可以按公式：Xi3_ 2Sa= (Xj -X) ,i=1,2,3,4j=1x2 =35.1計(jì)算各水平下數(shù)據(jù)的平均值及偏差平方和:2=7.89X3=34.2S3=3.93X4 =33.2S4=8.96將各因子A在各水平下的偏差平方和相加，得43_&= Si+S2+S3+S4=£ £ (j -Xi)2 = 32.83i 4 j J這完全是由試驗(yàn)誤差引起的，它表征了

12、試驗(yàn)誤差在這組試驗(yàn)中引起的數(shù)據(jù)的總波動(dòng)值, 我們稱(chēng)S吳為試驗(yàn)的偏差平方和。對(duì)因子A,可以注意到A的四個(gè)水平下的平均值 x也各不相同。這種數(shù)據(jù)平均值的波動(dòng)不僅與試驗(yàn)誤差有關(guān)，還包括由于 A的水平不同引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)。A勺第一水平下的平均值 X1 = 35.8，這個(gè)平均值可代替各個(gè)1水平（共3個(gè)）對(duì)壓縮變形的影響，對(duì)其它的水平亦可作同樣地考慮，記做:=1 / -X = 二 Xi = 34.64 i己表示數(shù)據(jù)的總平均值，則 A因子各水平平均值之間的偏差平方和為Sa=3'，(Xi-X)2 =11.43i d它刻劃了 A水平不同引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)值，稱(chēng)為因子 A的偏差平方和，如果記:43=2S總=二七

13、(Xij x)i=1 j =1表示所有的數(shù)據(jù)圍繞它們的總平均值的波動(dòng)值，則可以證明：S 總=SA+&從數(shù)據(jù)偏差平方和可見(jiàn)， 數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)多的，偏差平方和就可能大。 為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影 響，我們采用平均偏差平方和 SAf A、Sf誤，其中f A和f誤分別表示偏差平方和 Sa和S吳的自由 度。所謂自由度，就是獨(dú)立的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。與偏差平方和一樣，自由度也可以分解為：f總=f a+ f誤 f總=N 1, N為同一水平的總試驗(yàn)次數(shù);f a= A的水平數(shù)一1;f 誤=f 總一 f A；考慮比值：SaZas誤/f誤若F比近似等于1,表明S/f A與S吳/f誤差不多，也就說(shuō)明因子 A的水平改變對(duì)指標(biāo)的影

14、響在 誤差范圍之內(nèi)，即水平之間無(wú)顯著差異。那么，當(dāng)F比多大時(shí)，才能說(shuō)明因子 AZK平改變對(duì)結(jié)果有顯著影響呢？這時(shí)要查一下 粉布臨界值表。F分布臨界值表列出了各種自由度情況下F比的臨界值。在F分布臨界值表上橫行fi代表F比中分子的自由度f(wàn)A,豎行f2代表F比中分母的自由度f(wàn)誤。查得的臨界值記做F©,這里的a是預(yù)先給定的顯著性水平，若 F比河皿，我們就有（1 a ）的把握說(shuō)明因子A的水平改變對(duì)結(jié)果（指標(biāo)）有顯著性影響，其幾何意義見(jiàn)圖-1所示。0-1對(duì)我們所討論的例子，有：f 總=12 1= 11;f a = 4-1=3 ;f 誤=11 3= 8;把有關(guān)數(shù)據(jù)帶入Fa的表達(dá)式，得:_ SA/

15、fA 11.43/3 F 比=一 =1.08S誤 /f誤 32.83/8我們給定顯著性水平 a = 0.10,從F分布臨界值表中查出：Fo.10（3,8）=2.92由于R= 1.08< F 0.10（3,8）=2.92因此我們大概有90%的把握說(shuō)因子 A勺水平改變對(duì)結(jié)果的影響無(wú)顯著差異，也就是說(shuō)我們有90%的把握，說(shuō)生膠轉(zhuǎn)動(dòng)黏度水平的改變對(duì)壓縮變形的影響無(wú)顯著差異，試驗(yàn)結(jié)果所出現(xiàn)的波動(dòng)就主要是由試驗(yàn)誤差造成的（有必要通過(guò)改變?cè)囼?yàn)條件來(lái)減小試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的波動(dòng)）。反之，當(dāng)F比芝F0.10時(shí)，我們大概有90%的把握說(shuō)因子A的水平改變對(duì)結(jié)果的影響有顯著 影響。顯著性水平，是指我們對(duì)作出的判斷大概

16、有1ct的把握。對(duì)于不同的顯著性水平， 有不同的 粉布表，常用的有 a = 0.01, a =0.05和a = 0.10三種。為了區(qū)別顯著性的程度，當(dāng) F比F°.0i（fi, f2）時(shí)，就說(shuō)該因子水平的改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有高 度顯著的影響，記做*；當(dāng)F0.01 （f 1, f2） FQF°.05（f 1, f2）時(shí)，就說(shuō)該因子水平的改變，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響， 記做*;當(dāng)F0.05（f 1, f2）FAF0.10（f 1, f2）時(shí)，就說(shuō)該因子水平的改變，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有一定的影響， 記做*。根據(jù)是否要考慮兩個(gè)因素的交互作用，又將雙因素方差分析分為雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析和雙因素

17、不重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。此外還有多因素方差分析，分析方法與此類(lèi)同，這里不進(jìn)行討論。3. 交互作用：在多因素對(duì)比試驗(yàn)中，某些因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響往往有相互制約、互相聯(lián)系的現(xiàn)象。在處理多因素對(duì)比試驗(yàn)時(shí)，不僅需要分別研究各因素水平的改變對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響以及每個(gè)因素的單獨(dú)作用，還要考慮它們之間的相互作用。通常在一個(gè)試驗(yàn)里，不僅各個(gè)因素在起作用，而且因素之間有時(shí)會(huì)聯(lián)合起來(lái)影響試驗(yàn) 的結(jié)果指標(biāo)，這種作用叫做交互作用。如果因素A的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素B的變化也發(fā)生變化；同樣地，若因素B的數(shù)值或水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素A變化的變化也發(fā)生變化，則稱(chēng)因素A、B間有交互作用，記為 A XB。當(dāng)任

18、意兩元素之間（如 A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身對(duì)指標(biāo)的影響是否顯著，A、B的最佳水平的選取都應(yīng)從 A與B的搭配中去選擇。為了考慮交互作用的影響，一般在選擇正交表時(shí)，要注意留有一定的空列。進(jìn)行方差分析時(shí)，當(dāng)被分析因子對(duì)指標(biāo)的影響不顯著時(shí)，其原因是試驗(yàn)誤差太大或誤差的自由度小，試驗(yàn)誤差有可能掩蓋了被考察因素的顯著性，使得F檢驗(yàn)靈敏度下降。若F檢驗(yàn)顯著，說(shuō)明存在交互作用。如果在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，已經(jīng)知道不存在交互作用，或已知交互作用對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)影響 很小，則可以不考慮交互作用。主次因素的分析一般通過(guò)極差分析就可以得出結(jié)論，從效應(yīng)圖可以看得更直觀(guān)。對(duì)極差分析、方差分析以及交互作用

19、的分析結(jié)果必須要根據(jù)具體的實(shí)際條件（例如材料成本，時(shí)間花費(fèi)，主次因素，對(duì)指標(biāo)的影響程度等，特別是對(duì)復(fù)合指標(biāo)數(shù)據(jù)考核時(shí)）進(jìn)行綜 合分析，才能最后得出最佳水平組合。本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和計(jì)算使用“正交設(shè)計(jì)助手”軟件。4軟件分析法使用“正交設(shè)計(jì)助手n”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。其操作步驟如下：1. 文件新建工程：命名該未命名工程；并存儲(chǔ)工程；2. 實(shí)驗(yàn)新建實(shí)驗(yàn)進(jìn)入設(shè)計(jì)向?qū)В海?）實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：填寫(xiě)實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)和簡(jiǎn)要敘述及選擇標(biāo)準(zhǔn)正交表。對(duì)于多指標(biāo)（復(fù)合指標(biāo)）檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，可以在同一工程中建立多個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)最佳方案的確定要通過(guò)對(duì)各實(shí)驗(yàn)分析、討論所得的結(jié)論加以綜合考慮。（2）選擇正交表；從下拉菜單中選擇合適的正交表，考慮到交互作用，需要留有一定的交互項(xiàng)