二00六年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B卷試題

1、.二 00 六年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B 卷試題（含參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）一、選擇題（本大題共10 個(gè)小題，每小題6 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1、已知函數(shù) yf 1 ( x) 的圖象過(guò)點(diǎn)（ 1,0），則 f ( 1 x2)的反函數(shù)一定過(guò)點(diǎn) （）3A、（ 1,6）B、（6,1）C、（ 0,6）D、（6,0）2、已知在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 3，則 AB BCAC 的模等于（）A、0B、 5C、 13D、 2133、已知 sincos7 ，且 tan>1，則 cos（）5A、 3B、 4C、 3D、 455554、在等差數(shù)列 an 中，若

2、a a a a a 80，則 a 1a 的值為246810782（）A、4B、 6C、8D、105、 tan70 cos10 ( 3 tan 201) 等于（）A、1B、 2C、1D、2、設(shè)函數(shù)|x|且， f（ 2） 9，則（）f 9x) a(a 0a1)6A、f （ 2） f （ 1）B、f （ 1） f（ 2）C、f （1） f（ 2）D、f （ 2） f（2）7、已知 AB(k ,1) ， AC( 2,3) ，則下列 k 值中能使 ABC 是直角三角形的一個(gè)值是（ ）A、 3B、1 2C、1 3D、 528、已知 x, y( 2, 2) ，且 xy 1，則24的最小值是（）x24 y 2

3、2A、 20B、 12C、16 4 2D、16 4 27777.9、四邊形各頂點(diǎn)位于一長(zhǎng)為1 的正方形的各邊上，若四條邊的平方和為t，則 t的取值區(qū)間是（）A、1，2B、2，4C、1，3D、3，610、朝陽(yáng)電器廠和紅星電器廠2005 年元月份的產(chǎn)值相等，朝陽(yáng)電器廠的產(chǎn)值逐月增加且每月增加的產(chǎn)值相同，紅星電器廠的產(chǎn)值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知 2006 年元月份兩廠的產(chǎn)值又相同，則 2005 年 7 月份，產(chǎn)值高的工廠是（）A、朝陽(yáng)電器廠B、紅星電器廠C、兩廠一樣D、無(wú)法確定二、填空題（本大題共4 個(gè)小題，每小題6 分，共 24 分，請(qǐng)將正確的答案填在橫線上）11、若 ABC 的三

4、條中線 AD 、 BE、 CF 相交于點(diǎn) M ，則 MAMBMC 12、對(duì)于實(shí)數(shù) x，當(dāng)且僅當(dāng) nxn1（nN）時(shí)，規(guī)定 x n，則不等式4 x 236 x450 的解集為13、在數(shù)列 an 中， a1 2， anan 11(nN * ) ，設(shè) Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，則S20072S2006S2005 的值為14、在ABC 中， AB 30 ，AC 6 ，BC15 ，有一個(gè)點(diǎn) D 使得 AD 平分SBC 并且 ADB 是直角，比值S整數(shù)，則mnADBABC能寫(xiě)成 m 的形式，這里 m,n 是互質(zhì)的正 n三、解答題（本大量題共5 小題，共 66 分，要求解答有必要的過(guò)程）15、（本

5、大題12 分）在 ABC 中，怭 sin A cos2 Csin C cos2 A3 sin B 在，求222cos AC2 sin B 的值22.、（本大題12分）已知函數(shù)2x2 4xa ，x (1, 16f ( x)x（1）當(dāng) a 2 時(shí)，求函數(shù) f（x）的最小值；（2）若對(duì)任意 x (1, ，f （x） 0恒成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍17 、（本大題12 分）已知 向量 a (cos 3 x, sin3 x) ， b(cos x , sinx ) ，且, 3 2222x 22（1）求 | ab | 的取值范圍；（2）求函數(shù) f ( x) a b | ab |的最小值，并求此時(shí) x 的

6、值n滿足 Sn11)(an3)18、（本大題 15 分）設(shè) an 是正數(shù)數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 S(an4（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）令 bn1 ，試求 bn 的前 n 項(xiàng)和 TnSn19、（本大題 15 分） 2006 年 8 月中旬，湖南省資興市遇到了百年不遇的洪水災(zāi)害。在資興市的東江湖岸邊的O 點(diǎn)處（可視湖 岸為直線）停放著一只救人的小.船，由于纜繩突然 斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑， 其方向與湖岸成15°，速度為 2.5km/h ，同時(shí)岸上一人，從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上追的速度為4 km/h ，在水中游的速度為2 km/h ，問(wèn)此人能否追上小船？若小船速度改變，則小

7、船能被此人追上的最大速度是多少？參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 ADCCCACCBA解析：1、 y f ( x) 的圖象過(guò)（ 0,1），所以 yf ( 1 x2) 的圖象過(guò)（ 6,1），它的反函數(shù)圖3象過(guò)（ 1,6）2、因?yàn)?ABBCAC2AC 又|AC|AB 2BC 213所以 ABBCAC 2133、結(jié)合 sin 2cos21易得 cos354、因?yàn)?a a a a a5a 80所以 a 1624681066a7 1861 （a6 ）1682aad22d2a5、原式 cos20cos103 sin 20 cos20cos102sin( 2030 )sin 20cos 20sin 202 cos10

8、sin 101sin 206、將 x 2 代入得 a 1，則 f ( x)3|x| ，進(jìn)而可以判斷出 f（ 2） f（ 1）30 ，得 k 37、若 BAC是直角，則 AB AC2k32若 ABC是直角，則 CB AB( ABAC)ABk 22k20 解得 k 1 3若 ACB是直角，則 CB AC( ABAC) AB2k100 解得 k5.8、由已知得 y1 ，所以242414x 416x 22x2 x 24 y22 x244x49x 22x217 x2174x 49 x22229(4 x)x24x2242當(dāng)且僅當(dāng) 4x22，即 x2時(shí)，取等號(hào)x2x282 時(shí)，24有最小值 16421nn故

9、當(dāng) xxab82 x 24 y 279、如圖， t a 2b2c 2d 21 xdcy x 2(1 n)2n 2(1 m) 2m2(1 y) 2y 2(1 x) 21 y因 為0x 1所 以x2(1x)21 2(1x)xx2(1 x)21 ( 2x 1) 2122即 1x 2(1x) 212同理 1y 2(1y)211m 2(1 m)211n 2(1 n) 2222.1 mm11所以 2t4即 t 的取值范圍是 2，410、設(shè)兩個(gè)工廠 2005 年元月份的產(chǎn)值為a，朝陽(yáng)電器廠每月增加的產(chǎn)值為d，紅星電器廠每月增加的百分率為q（q1），則 a12d aq12 ，兩個(gè)工廠 2005年 7月 份 的

10、 產(chǎn) 值 分 別 為 a 6d 和 aq 6 ， 而 a 6d a1 (aq12a) a(q121) aq 6 ，故產(chǎn)值高的工廠是朝陽(yáng)電器廠。2二、 11、012、2 x 8、6513 314解析：11、作圖，設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D，由平行四邊形法則得 MAMBMC所以 MAMB MC 0.12、解 4 x 236 x 450 得 3 x15，故2 x7所以 2x822n13、當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a1a2 a3a4an 1an1 ，故 Sn2當(dāng) n奇 數(shù) 時(shí) ， a2 ，a2 a3a4 a5an 1an1， 故1Sn2n1n32 2故 S2007 2S2006 S2005 1005 2 100

11、3 1004 3、設(shè)中點(diǎn)為E，AD x，由中線公式得 AE 5714BC22故 (30)2( x ) 2( 15)2( x57 )2x1652222257ABm Sn2SADBAEBAD27EC2AE38所以 mn27 3865D三、解答題1cosC1 cos A315、由已知得 sin Asin C2sin B22sin AsinCsin AcosCcos Asin C3sin B（4 分）sin Asin Csin( A C )3sin Bsin A sin C2 sin B 2 sin AC cos AC4sin B cos B（8 分）2222cos A C2sin B cos AC2

12、sin B0（12 分）22222f（x）在 1 ，）上是增函數(shù)16、（ 1）當(dāng) a2 時(shí)， f (x) 2x4x f（x ）在 1，）上有最小值 f（ 1） 8（5分）（2）在2x 24x a0 恒成立，等價(jià)于1，）上， f (x)x2x 24x a 0恒成立，令 g( x)2 x24x a2(x 1) 2a 2則 g（x）在 1 ，）上是增函數(shù)，當(dāng)x1 時(shí)，有最小值 6a由 f （x） 0 恒成立，得 6a0，故 a 6（12 分）.、（ ）x,31cos2x117122| ab |22 cos2x0 | ab |2（5 分）（2）x, 31cosx022f ( x)a b| a b |c

13、os2 x22cos 2x2 cos2 x14 cos2 x2 cos2 x2 cosx1當(dāng) cos x1 ，即 x2或 x4時(shí)， f (x)ab | ab | 取最小值 323321 (a118、（ 1）由 a1S11)(a13) 及 an0 得， a1 34由 Sn1 (an1)(an3) 得 Sn 11 (an 11)(an 13)（4 分）441 ( an 2故anan 12 ) 2(an an 1 )42( anan 1 ) (anan 1 )(anan 1 )anan 1 0 anan 12 an 是以 3為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列，故 an 2n1（8分）（2） a n 2n 1Snn(n2)bn11 ( 11)Sn2nn 2Tn b1b211)111111bn(13()()()22435nn 21(1111 )32n 3（ 1522 n 1 n 24 2(n 1)(n 2)分）19、如圖，設(shè)此人在岸上跑到 A 點(diǎn)后下水，在 B 處追上小船設(shè)船速為 v，人追上船的時(shí)間為 t，人在岸上追船的時(shí)間為 t 的 k 倍（ 0k1），則人在水中游的時(shí)間為（ 1k）t故 OA 4kt ， AB 2