比奧固結(jié)理論

1、太沙基固結(jié)理論只在一維情況下是精確地，對(duì)二維、三維問(wèn)題并不精確。比奧（Biot）從較嚴(yán)格的固結(jié)機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)了準(zhǔn)確反映孔隙壓力消散與土骨架變形相互關(guān)系的三維固結(jié) 方程，一般稱為真三維固結(jié)理論，而將太沙基三維方程稱為擬三維固結(jié)方程。介紹飽和土體固結(jié)的比奧理論。一 .比奧固結(jié)方程（一）三維問(wèn)題1 .平衡方程在土體中取一微分體。若體積只考慮重力，z坐標(biāo)向上為正，壓力以壓為正，則三維平衡微分方程為i£x . i jx , £xz =0:xyzz.x xy ：xy ： yz 八 二 0 _xfy ；z:xz y yz 二 十十=J :xjy；z式中，了為土的重度，應(yīng)力為總應(yīng)力。上式也可

2、以寫為其中阿by仃= STyzI %-fxl=fyJzj式中f一三個(gè)方向的體積力。2 .有效應(yīng)力原理根據(jù)有效應(yīng)力原理， 總應(yīng)力為有效應(yīng)力與孔隙壓力 U之和，且孔隙水不承受剪應(yīng)力，用矩陣表示：7 + + 1=：+.Mu其中；M)= 1 1 1 0 0 0 T平衡方程可以寫為展開即為:xFy=xz 1 =0；z 、x:x： xz,二二 yy二 yz二, yz；z：U c=0y三：:zFu十、zu式中x實(shí)際上是各方向的單位滲透力，此式是以土骨架為脫離體建立的1z平衡微分方程。3.本構(gòu)方程利用本構(gòu)方程中的物理方程可將式中的應(yīng)力用應(yīng)變來(lái)表示。比奧最初假定土骨架是線彈性體，服從廣義胡克定律，則D為線彈性矩

3、陣，上式1可以寫成i v=2G ,1-2i u=2G ；v1-2i u=2G “1-2；zWyz = G ；'yz , 7* = G Q , 7 xy = G ；1y式中，G和u分別為剪切模量和泊松比。其實(shí)，物理方程并不一定要限于彈性，也可推廣到線彈性體，這時(shí)Id 為彈塑性矩陣。4.幾何方程再利用幾何方程，將應(yīng)變表示成位移。在小變形的假設(shè)下，幾何方程為0 y為位移分量。將上式展開，即產(chǎn)z.二 Q，x.xyz，zctoz十z6y Jxzxfz+受ex ；z:zxy二'yy:x應(yīng)力應(yīng)變符號(hào)在土力學(xué)中習(xí)慣以壓為正, 的符號(hào)相反。5.連續(xù)性方程三維固結(jié)連續(xù)性方程以拉為負(fù)，故式2與一般彈

4、性力學(xué)中幾何方程:V;:tK 、 2W u式5V w6.固結(jié)微分方程將式2代入式3,再代入式1 ,就得出以位移和孔隙壓力表示的平衡微分方程。缶TD任 K切 + MTMu=f式4對(duì)于彈塑性問(wèn)題，方程展開是較復(fù)雜的，這里只給出彈性問(wèn)題的展開方程:-G'- 2，1x1 - 2 Fx：U c二0xG d xco.y a«z''''''' I '' I '''；：U c=0-y G d君0-GV©z-1 -2 ；zexcycz j將體積應(yīng)變利用 式2以位移來(lái)表示。即；v 4m 一二

5、- Im則連續(xù)性方程二vft 2U （式 5）成為其展開式為-' T .M J.:t 2u= 0 式 6-：t這就是以位移和孔隙壓力表示的連續(xù)方程。飽和土體中任一點(diǎn)的孔隙壓力和位移隨時(shí)間的變化, 程式6。將兩式聯(lián)立起來(lái)，并對(duì)時(shí)間取差分格式，即區(qū) t 2u= 0rJ 1CO須同時(shí)滿足平衡方程式4和連續(xù)方-I.J Dlim "lMu=f M T few-V2u= 0 式7 L. dZ式7便是比奧固結(jié)方程。它是包含4個(gè)偏微分方程的微分方程組， 也包含4個(gè)未知變量U、0x、”、0z ,它們都是坐標(biāo) x、y、z和時(shí)間t的函數(shù)。在一定的初始條件和邊界條件下，可解出這4個(gè)變量。式7為聯(lián)立方

6、程，反映變形方程與滲流的耦合，也稱為流固耦合。其中，平衡方程的第一項(xiàng)表示發(fā)生的位移所對(duì)應(yīng)的力，第二項(xiàng)表示當(dāng)前孔壓所對(duì)應(yīng)的力。它們的和與外荷載平衡。 連續(xù)性方程的第一項(xiàng)表示單位時(shí)間內(nèi)位移改變所對(duì)應(yīng)的體積變形，第二項(xiàng)表示孔壓變化所引起的滲出水量。力的平衡中又有孔壓的貢獻(xiàn)，水量平衡中又有變形的貢獻(xiàn)，相互耦合。需要特別指出的是：以上方程中所講的孔隙水壓力 U都是指超靜孔隙水壓力，即荷載引起的孔隙水壓力增量。（二）軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程為- r . - rz i. - r o _ rrj r ；z r0, rz i z rz二 fz.r二 zr連續(xù)性微分方程為f ；v ：:q qr 10-r

7、 T二t 二r r ；z將它們聯(lián)立起來(lái)，并將應(yīng)力用徑向位移6r和豎向位移6z表示，流量用孔壓u表示，成為以位移和孔壓為未知變量的聯(lián)列方程組，即軸對(duì)稱問(wèn)題的固結(jié)微分方程。（三）二維問(wèn)題對(duì)于平面變形問(wèn)題，比奧固結(jié)方程仍可寫為式7,只是式中一11M = 1-0j-2-2 2 = 一 一LL二 x二 z相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)殡?8仃=。名=瓦7*Jxz=一-MT L- K;:x ；zG 2 %式7在二維問(wèn)題中的展開式為1 一 2 - x:xG ；: v ；:u-十=r1 -2 ；z ；z：V K、2 c- u =0t W要解上述微分方程組，在數(shù)學(xué)上是困難的。對(duì)于軸對(duì)稱和平面應(yīng)變中某些簡(jiǎn)單情況，已有人推導(dǎo)出了解析回答，并用以分析固結(jié)過(guò)程中的一些現(xiàn)象。但