專(zhuān)題19：全等三角線中的輔助線做法及常見(jiàn)題型之60度90度旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）

1、專(zhuān)題019：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見(jiàn)題型之特殊角度旋轉(zhuǎn)一、單選題1如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為（ ）ABCD2如圖，在等邊ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到BAE，連接ED，下列結(jié)論正確的有（）個(gè)BED是等邊三角形；AEBC； ADE的周長(zhǎng)等于BD+BC；ADEDBCA1B2C3D43如圖，O是正ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，下列結(jié)論：BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

2、76;得到；點(diǎn)O與O的距離為4；AOB=150°；S四邊形AOBO；SAOC+SAOB=其中正確的結(jié)論是（）ABCD4如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BCD=120°，AC=2，則四邊形ABCD的面積為（ ）A1BCD4二、填空題5如圖，在ABC中，BAC90°，ABAC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)若PA1，PC2，APC135°，則PB的長(zhǎng)為_(kāi)6如圖，中，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，則的面積為_(kāi)7已知：如圖，正方形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，分別是邊、上的點(diǎn)，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)8如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD與直角三角板如圖放置，延長(zhǎng)

3、CB與三角板的直角邊相交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積為_(kāi)9如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，DAE=45°，則的面積為_(kāi).三、解答題10如圖，為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，求的度數(shù).解題思路：將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，它的位置如圖.易得為等邊三角形，為直角三角形，所以.根據(jù)以上的解題思路解決下列問(wèn)題：如圖，在等腰直角中，是內(nèi)一點(diǎn)，求的度數(shù).11在ABC中，AO=BO，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且ACMN于C，BDMN于D(1) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：CD=AC+BD；(2) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：CD=AC-BD；

4、(3) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，試問(wèn)：CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明12綜合與實(shí)踐如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)在內(nèi)部，且猜想三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：（1）想法一：在圖1中，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到連接尋找三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）想法二：在圖2中，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接尋找三條線段之間的數(shù)量關(guān)系13如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA6，PB8，PC10若將PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到PAB（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離；（2）求APB的度數(shù)14如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

5、-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，6），C為OB的中點(diǎn)，將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到ABC，若反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式15如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，EAF=45°（1）如圖1，若B、ADC都是直角，把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，使AB與AD重合，直接寫(xiě)出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；如圖2，若B、D都不是直角，則當(dāng)B+D=180°，重復(fù)的操作，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)

6、說(shuō)明理由（2）如圖3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且DAE=45°，若BD=1，求DE的長(zhǎng)參考答案1D【解析】【分析】【詳解】作ADAD，AD=AD，連接CD，DD，如圖： BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD與CAD中， ，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=，故選D2D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BD，AE=CD，DBE=60°，于是可判斷BDE為等邊三角形，則有DE=BD，所以AED的周長(zhǎng)=BD+A

7、C，且C=BAE=ABC =60°得正確；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得ADE=ABE，結(jié)合ABE+ABD=DBC+ABD=60°，可得正確.【詳解】在等邊ABC中，BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BAE，BE=BD，AE=CD，DBE=60，C=BAE=60°BDE為等邊三角形，ABC=BAE=60°DE=BD，AEBC； AED的周長(zhǎng)=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC故正確ABC，BDE為等邊三角形，BED=BAC=60°又對(duì)頂角相等ADE=ABEABE+ABD=DBC+ABD=60°ADEDBC故正

8、確故選：D【點(diǎn)睛】題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)3A【解析】【分析】證明BOABOC，又OBO=60°，所以BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論正確；由OBO是等邊三角形，可知結(jié)論正確；在AOO中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故AOO是直角三角形；進(jìn)而求得AOB=150°，故結(jié)論正確；S四邊形AOBO=SAOO+SOBO，可得結(jié)論錯(cuò)誤；如圖，將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn)利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造

9、等邊三角形與直角三角形，將SAOC+SAOB轉(zhuǎn)化為SCOO+SAOO，計(jì)算可得結(jié)論正確【詳解】由題意可知，1+2=3+2=60°，1=3，又OB=OB，AB=BC，BOABOC，又OBO=60°，BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論正確；如圖，連接OO，OB=OB，且OBO=60°，OBO是等邊三角形，OO=OB=4故結(jié)論正確；BOABOC，OA=5在AOO中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形，AOO=90°，AOB=AOO+BOO=90°+60°=150°，故結(jié)論正確；S四邊

10、形AOBO=SAOO+SOBO=，故結(jié)論錯(cuò)誤；如圖所示，將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn)易知AOO是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，COO是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，則SAOC+SAOB=S四邊形AOCO=SCOO+SAOO=，故結(jié)論正確綜上所述，正確的結(jié)論為：故選A4C【解析】【分析】將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到ADE，有ABC與ADE全等，證明C、D、E三點(diǎn)共線，再根據(jù)ACE為等邊三角形即可求解；【詳解】解：如圖，將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到ADE，則有ABC與ADE全等AC=AE，ABC=ADEBAD=60°，B

11、CD=120°ADC+ADE=ADC+ABC=180°C、D、E三點(diǎn)共線BC+CD=DE+DC=CE又CAE等于旋轉(zhuǎn)角，即CAE=60°，ACE為等邊三角形ACE的面積為由旋轉(zhuǎn)可知四邊形ABCD的面積等于ACE的面積故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到ADE5【解析】【分析】把APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BDC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PCD是等腰直角三角形，BD=AP，APC=BDC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PD，PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判斷出PBD是直

12、角三角形，PDB=90°，再求出BDC即可得解【詳解】解：如圖，把APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，ADB=APC=135 ，所以， ， 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵68【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)B'作B'EAC于點(diǎn)E，由題意可證ABCB'AE，可得AC=B'E=4，即可求AB'C的面積【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B'作B'EAC于點(diǎn)E

13、 旋轉(zhuǎn) AB=AB'，BAB'=90° BAC+B'AC=90°，且B'AC+AB'E=90° BAC=AB'E，且AEB'=ACB=90°，AB=AB' ABCB'AE（AAS） AC=B'E=4 SAB'C= 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵7【解析】【分析】連接EF，根據(jù)條件可以證明OEDOFC，則OE=OF，CF=DE=3Ccm，則AE=DF=4，根據(jù)勾股定理得到EF= =5cm【詳解】解：連接

14、EF，OD=OC，OEOFEOD+FOD=90°正方形ABCDCOF+DOF=90°EOD=FOC而ODE=OCF=45°OFCOED，OE=OF，CF=DE=3cm，則AE=DF=4，根據(jù)勾股定理得到EF=5cm故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)已知條件以及正方形的性質(zhì)求證出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵825【解析】【分析】由題意可證ADFABE，即可得SABE=SADF，即S四邊形AECF=S正方形ABCD=AB2=25【詳解】解：正方形ABCD與直角三角板放置如圖，BADEAF90°，即EAB+BAFDAF+BAF，EABFAD

15、，四邊形ABCD是正方形，DABE90°，ADAB，在ABE和ADF中，ABEADF（ASA），四邊形AECF的面積正方形ABCD的面積5225故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵9【解析】【分析】把ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACF，連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=BD，AF=AD，CAF=BAD，ACF=B=45°，然后求出EAF=45°，從而得到EAF=DAE，再利用“邊角邊”證明AEF和AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=DE，再求出CEF是直角三角

16、形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A到BC的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解【詳解】解：如圖，把ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACF，連接EF，BAC=90°，AC=AB，ACB=B=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CF=BD，AF=AD，CAF=BAD，ACF=B=45°，DAE=45°，EAF=CAF+CAE=BAD+CAE=90°-DAE=45°，EAF=DAE，在AEF和AED中， ，AEFAED（SAS），EF=DE，ECF=ACF+ACB=45°+45&

17、#176;=90°，CEF是直角三角形，EF= =5，BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)A到BC的距離為×12=6，ABC的面積=×12×6=36故答案為：36.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵10【解析】【分析】將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）可得答案.【詳解】將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接，CAP=BAD，又CAP+PAB=90°，BAD+PAB=90&

18、#176;，【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS），解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）.11（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）CD=BD-AC，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）通過(guò)證明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；（2）通過(guò)證明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；（3）通過(guò)證明ACOODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC【詳解】解：（1）如圖1，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且ACMN于C，BDMN于D，ACO=BD

19、O=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中， ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=AC+BD；（2）如圖2，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且ACMN于C，BDMN于D，ACO=BDO=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中，,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=ODOC=ACBD，即CD=ACBD（3）如圖3，AOB中，AOB=90°，AOC+BOD=90°，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且ACMN于C

20、，BDMN于D，ACO=BDO=90°AOC+OAC=90°，OAC=BOD，在ACO和ODB中，,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=OCOD=BDAC，即CD=BDAC【點(diǎn)睛】此題是一道幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高.12（1）；（2）【解析】【分析】（1）將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到可證明是等邊三角形和是直角三角形，依據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接，可證明，進(jìn)一步證明是等腰直角三角形和是直角三角形，運(yùn)用勾股定理可得結(jié)論【詳解】解：（1）證明：如答圖1，將繞點(diǎn)

21、按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到則，是等邊三角形，是直角三角形，在中，證明：如答圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接，在中，根據(jù)勾股定理得，是直角三角形，【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題13（1）6；（2）150°.【解析】【分析】（1）連結(jié)PP，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知BPPC10，APAP，PACPAB，根據(jù)PAC+BAP=PAB+BAP=60°可得APP為等邊三角形，即可證明PP=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得BPP為直角三角形，且BPP90°，由（1）得AP

22、P=60°，即可得答案.【詳解】（1）連接PP，由題意可知BPPC10，APAP，PACPAB，PAC+BAPBAC=60°，PAPPAB+BAP=PAC+BAP=60°APP為等邊三角形，所以PPAPAP6；（2）PP=6，BP=8，BP=10，PP2+BP2BP2，BPP為直角三角形，且BPP90°APBBPP+APP=90°+60°150°【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理14【解析】【分

23、析】作AHy軸于H證明AOBBHA（AAS），推出OA=BH，OB=AH，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可解決問(wèn)題【詳解】作AHy軸于H.AOB=AHB=ABA=90°，ABO+ABH=90°，ABO+BAO=90°，BAO=ABH，BA=BA，AOBBHA(AAS)，OA=BH，OB=AH，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,6)，OA=2，OB=6，BH=OA=2，AH=OB=6，OH=4，A(6,4)，BD=AD ， D(3,5)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，這個(gè)反比例函數(shù)的解析式【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形

24、的變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題15（1）EF=BE+DF，成立，見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，求出EAF=GAF=45°，根據(jù)SAS推出EAFGAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出EAFGAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出ABC=C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，F(xiàn)BA=C=45°，BAF=CAE，求出FAD=DAE=45°，證FADEAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可【詳解】（1）如