專題35第7章圓之與直徑有關(guān)的輔助線備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）（解析版）

1、35第7章圓之與直徑有關(guān)的輔助線一、單選題1如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，弦CD交AB于點(diǎn)E，若，則tanB的值是（）ABCD【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），連接OC，過(guò)O作于E，過(guò)D作于F，先根據(jù)垂徑定理得到，設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得DF、EF的長(zhǎng)，從而可得BF的長(zhǎng)，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得【詳解】如圖，連接OC，過(guò)O作于E，過(guò)D作于F設(shè)，則AB為O的直徑，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)在和中，即解得或（不符題意，舍去），即解得則在中，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓心角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切三角函

2、數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵二、填空題2如圖，CD 為圓O的直徑，弦ABCD，垂足為E，若BCD22.5°，AB2cm，則圓O的半徑為_(kāi)【答案】【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求出OB的長(zhǎng)度【詳解】如圖，連接OB，OCOB，BCD22.5°，EOB45°，ABCD，CD是直徑，AB=2，EBAB1，OEEB1，OB=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理及三角形外角性質(zhì)，垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦這條弦所對(duì)的兩條?。皇炀氄莆沾箯蕉ɡ硎墙忸}關(guān)鍵3如圖，已知是的直徑， 是的弦，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)作

3、交直線于點(diǎn)若則_【答案】【分析】連接BC，求得BC=5，證明ABCEAB，根據(jù)相似性質(zhì)即可求出BE.【詳解】解：如圖，連接在中，根據(jù)勾股定理，得是直徑，是的切線，即，故答案為：【點(diǎn)睛】（1）見(jiàn)直徑，想半徑或想圓周角為直角；（2）見(jiàn)切線想做過(guò)切點(diǎn)的直徑，構(gòu)造直角；（3）求線段的長(zhǎng)度在幾何圖形中一般選擇勾股定理、相似、或三角函數(shù)來(lái)求解.4如圖所示，中，分別在射線，上移動(dòng)，且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為_(kāi).【答案】.【解析】【分析】過(guò)，三點(diǎn)作，作直徑連結(jié)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，從而確定的直徑即可【詳解】如圖所示，過(guò)，三點(diǎn)作，作直徑連結(jié)，在中，在，弦的最大值等于直

4、徑到點(diǎn)的距離的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握直徑是圓中最長(zhǎng)的弦是解題的關(guān)鍵5用兩根同樣長(zhǎng)的鐵絲分別圍成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多a m，則正方形面積與長(zhǎng)方形面積的差為_(kāi).（用含a的代數(shù)式表示）【答案】【分析】設(shè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和正方形的長(zhǎng),設(shè)出鐵絲的長(zhǎng)度,用l表示面積做差即可得出.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，結(jié)合題意可知寬為x-a，設(shè)鐵絲的長(zhǎng)度為l，建立方程,解得,則長(zhǎng)方形的面積為而正方形的面積為,所以面積差為故答案為a2【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，正方形面積計(jì)算公式，運(yùn)用多項(xiàng)式做差是解題的關(guān)鍵.6如圖，

5、、是半徑為5的的兩條弦，是直 徑，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi).【答案】.【分析】A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA+PC=PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【詳解】連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H根據(jù)垂徑定理，得到BE= CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7，則PA+PC的最小值為7【點(diǎn)睛】正確理解BC的長(zhǎng)是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵7如圖，已知中，以為直徑作，交于點(diǎn)，在上取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，已知，則_【答案】【分析】連接CE，EF，

6、BF，過(guò)F作FGAC于點(diǎn)G，設(shè)，則，利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，進(jìn)而求出，從而得出結(jié)論【詳解】解：連接CE，BC是直徑，CEBA，又，設(shè)，則，連接EF，四邊形BCFE是圓內(nèi)接四邊形，即： 解得：，連接BF，過(guò)F作FGAC于點(diǎn)G，BC是直徑，在中，由勾股定理得：， ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，難度較大，主要考查了圓內(nèi)接四邊形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)在解題過(guò)程中，要靈活應(yīng)用，尤其是輔助線的構(gòu)造，是解決本題的關(guān)鍵三、解答題8如圖所示，是銳角三角形的外接圓的半徑，于點(diǎn)，求證：.【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】作直徑，則，分別位于和中，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等

7、即可得證.【詳解】延長(zhǎng)交于，連結(jié)是直徑 于點(diǎn) 又在中 .【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，經(jīng)常利用直徑構(gòu)造直角，來(lái)推理證明圓中角度問(wèn)題.9如圖，AB為O的直徑，且AB4，DBAB于B，點(diǎn)C是弧AB上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作O的切線交BD于點(diǎn)E連接OE交O于F（1）求證：ADOE；（2）填空：連接OC、CF，當(dāng)DB 時(shí)，四邊形OCEB是正方形；當(dāng)DB 時(shí)，四邊形OACF是菱形【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4，BD4【分析】（1）連接OC、BC，由AB為O的直徑，DBAB于B，推出DB是O的切線，進(jìn)而證明OEBC，ACBC，即可得出結(jié)論；（2）若四邊形OCEB是正方形，CEBEOBOCAB2，由（1）可

8、證，得到DEBE2，BDBE+DE4即可求出；若四邊形OACF是菱形，則OAAC，又OAOC，于是OAC為等邊三角形，A60°，在RtABD中，由tanA，即可求得BD【詳解】（1）證明：連接OC、BC，如圖1，AB為O的直徑，DBAB于B，DB是O的切線，CE與O相切于點(diǎn)C，BECE，點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，OBOC，點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，OEBC，ACB90°，即ACBC，ADOE；（2）如圖2，若四邊形OCEB是正方形，AB4，CEBEOBOCAB2，OEAC，DEBE2，BDBE+DE4，故答案為：4；若四邊形OACF是菱形，CO平分ACF，CFOA，ACOF

9、COAOC，OAOC，AACOAOC，AOC是等邊三角形，A60°，ABD90°，RtABD中，tanA，BD4，故答案為：4；【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)以及菱形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10如圖，AB為O的直徑，C為O上的一點(diǎn)，ADCD于點(diǎn)D，AC平分DAB（1）求證：CD是O的切線（2）設(shè)AD交O于E，ACD的面積為6，求BD的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義得到DACOCA，證明OC/AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCEADC90°，

10、根據(jù)切線的判定定理證明；（2）設(shè)AC5x，CD3x，根據(jù)勾股定理得到AD4x，根據(jù)三角形的面積得到AD4，CD3，AC5，連接BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB，連接BE交OC于F，由垂徑定理得到OCBE，BFEF，得到EFCD3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】（1）證明：連接OC，OAOC，OACOCA，AC平分DAB，OACDAC，DACOCA，OC/AD，OCEADC90°，CD是O的切線；（2）解：，設(shè)AC5x，CD3x，AD4x，ACD的面積為6，ADCD6，x1（負(fù)值舍去），AD4，CD3，AC5，連接BC，AB為O的直徑，ACB90°，ACBADC，DACC

11、AB，ADCACB，AB，DACCAB，連接BE交OC于F，OCBE，BFEF，AB為O的直徑，AEBDEB90°，四邊形CDEF是矩形，EFCD3，BE6，AE，DE4，BD【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵11如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C是O上的一點(diǎn)，AB=8cm，BAC=30°，點(diǎn)D是弦AC上的一點(diǎn)（1）若ODAC，求OD長(zhǎng)；（2）若CD=2OD，判斷形狀，并說(shuō)明理由【答案】（1）2；（2）等腰三角形，見(jiàn)解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求解再證明，即可得到答案；（2）如圖，過(guò)作于 連

12、接 求解設(shè) 則 利用勾股定理求解，從而可得答案【詳解】解：（1） AB為O的直徑， AB=8cm，BAC=30°， ODAC， ， （2）是等腰三角形理由如下：如圖，過(guò)作于 連接 設(shè) 則 由勾股定理可得： 是等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中位線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵12如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB6，點(diǎn)C在半圓O上過(guò)點(diǎn)A作ADOC，垂足為點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線與弦BC交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）（1）當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求弦BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)ODx，y，求y與x的函

13、數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AOD與CDE相似時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)【答案】（1）3；（2）y；（3）【分析】（1）連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)H得出BOFCOF則AOCCOFBOF60°，可求出BH，BC的長(zhǎng)；（2）連結(jié)BF證得ODBF，則，即，得出，則得出結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)DCEDOA時(shí)，ABCB，不符合題意，舍去，當(dāng)DCEDAO時(shí)，連結(jié)OF，證得OAF30°，得出OD，則答案得出【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點(diǎn)HF是中點(diǎn)，OFBC，BC2BHBOFCOFOAOF，OCAF，AOCCOF，AOCCOFBOF60°，在RtBOH中，sinBOH，AB6，OB3，

14、BH，BC2BH3；（2）如圖2，連結(jié)BFAFOC，垂足為點(diǎn)D，ADDF又OAOB，ODBF，BF2OD2x，即，y（3）AOD和CDE相似，分兩種情況：當(dāng)DCEDOA時(shí)，ABCB，不符合題意，舍去當(dāng)DCEDAO時(shí)，連結(jié)OFOAOF，OBOC，OAFOFA，OCBOBCDCEDAO，OAFOFAOCBOBCAODOCB+OBC2OAF，OAF30°，OD即線段OD的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問(wèn)題13如圖，已知，點(diǎn)在上，邊

15、與相交于點(diǎn)，過(guò)經(jīng)過(guò)圓心，與相交于點(diǎn)，的切線交于點(diǎn)（1）求證：（2）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）如圖1，連接，由是的切線，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根據(jù)等腰三角形的判定得到即可得出（2）連接，通過(guò)利用三角函數(shù)求出，再由勾股定理求出AB=15，根據(jù)，即可解答【詳解】解：（1）連接，是的切線，又，（2）連接，又，在中，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵14如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接DG，則線段DG

16、的最小值為_(kāi)【答案】【分析】連接AC，BD交于O，得到EF過(guò)點(diǎn)O，推出點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，設(shè)AO的中點(diǎn)為M，連接DM交半圓弧于G，則此時(shí)，DG最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】解：連接AC，BD交于O，過(guò)點(diǎn)E、F的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分，過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，則 設(shè)AO的中點(diǎn)為M，連接DM交半圓弧于G，則此時(shí)，DG最小，四邊形ABCD是正方形， 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵15如圖1，在中，弦與半徑交于點(diǎn)，連接、，（1）求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足

17、為，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，時(shí)，求線段的長(zhǎng)度【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）延長(zhǎng)交于，連接，根據(jù)等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性質(zhì)，結(jié)合，得，再結(jié)合圓周角定理，得，即可得到結(jié)論；（2）作于，于，根據(jù)等腰三角形三線合一，得，結(jié)合條件得，易證，結(jié)合垂徑定理，即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于，連接，先證，再證，得四邊形是平行四邊形，根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得，結(jié)合平行線截得的線段成比例與勾股定理，即可求解【詳解】（1）如圖1中，延長(zhǎng)交于，連接，；（2）如圖2中，作于，于，CDAB，

18、；（3）在圖3中，延長(zhǎng)交于，連接，四邊形是平行四邊形，CTDB，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)與全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四邊形的綜合，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，相似三角形，是解題的關(guān)鍵16如圖所示，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，且對(duì)角線于，求證：為定值.【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】作直徑，連結(jié)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出，從而得出利用勾股定理即可解決問(wèn)題【詳解】作直徑，連結(jié)，弧AD=弧CE, ，根據(jù)勾股定理得：，為定值.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，兩條平行線所夾的弧相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用定理和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化17如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別

19、是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【解析】【分析】由和組成的弦，在中，弦最長(zhǎng)為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結(jié)， 為等邊三角形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)， 為的一條弦最大值為直徑14 的最大值為.【點(diǎn)睛】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可以解決圓中一些最值問(wèn)題.18如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)H（1）求證：四邊形DEBC是平行四邊形；（2）若BD9，求DH的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6.【分析】（1）結(jié)合題意，得出DC=BE，利用平行四邊形的判定定理，證明，即可（2）結(jié)合三角

20、形相似，得出DH和BH的長(zhǎng)度關(guān)系，計(jì)算結(jié)果，即可【詳解】（1）證明：E是AB的中點(diǎn)，AB2EB，AB2CD，DCBE，又ABCD，即DCBE，四邊形BCDE是平行四邊形（2）解：四邊形BCDE是平行四邊形，BCDE，BCDE，EDMFBM，BCDE，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，BFBCDE，2，DH2HB，又DH+HB9，DH6【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的判定，考查相似三角形的判定，關(guān)鍵得出DH和HB的長(zhǎng)度關(guān)系，即可，難度中等19如圖，正方形AOBC的邊OB、OA分別在x、y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，8），將正方形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度（0°90°），得到正方形ADEF，ED交線段BC于點(diǎn)Q，ED的延長(zhǎng)線交線段OB于點(diǎn)P，連接AP、AQ（1）求證：ACQADQ；（2）求PAQ的度數(shù)，并判斷線段OP、PQ、CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）連接BE、EC、CD、DB得到四邊形BECD，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BECD能否是矩形？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(