伊辛模型的平均場理論

1、目錄伊辛模型簡介二維伊辛模型三維伊辛模型前景參考文獻(xiàn) 1920年由德國物理學(xué)家威廉.愣次教授提出的，目的是為了給鐵磁體一個簡化的物理圖像。 1925年，伊辛提出描寫鐵磁體的簡化模型 伊辛結(jié)論：一維鐵磁模型如果只考慮最近鄰交互作用的話，是不可能有相變的。 研究對象研究對象： N個磁性原子定域；個磁性原子定域；原子角動量原子角動量J=1/2； 磁矩磁矩 =eh4 m；自旋位形自旋位形 = 1；伊辛模型 (Ising model) 1 (0,為非近鄰原子為近鄰原子ijijJJJEijjijiijin在伊辛模型中鐵磁體內(nèi)原子相互作用能可表為在伊辛模型中鐵磁體內(nèi)原子相互作用能可表為(條件條件)伊辛本人是

2、猶太人，在納粹德國時期，他有著坎坷的人生經(jīng)歷。一生發(fā)表過一篇論文、一篇人物傳記類論文：“作為物理學(xué)家的歌德”，其博士論文按照德國慣例也由一家出版社正式出版。他的那篇有關(guān)伊辛模型的SCI論文大概被引用了600余次，但是題目含有Ising model字樣的研究論文目前每年有800篇左右，可見影響巨大。其實(shí)，科學(xué)家的成名應(yīng)該是這種方式，以其名字命名的某種理論、效應(yīng)、現(xiàn)象和方法能夠?yàn)楹笕怂芯坎⑶覍懭虢炭茣Ｐ驼f明的問題模型說明的問題：（介質(zhì)中某點(diǎn)的）等效磁場：（介質(zhì)中某點(diǎn)的）等效磁場：)3(1?BJBjjiji自發(fā)磁化：基態(tài)所有自旋具有相同取向（自發(fā)磁化：基態(tài)所有自旋具有相同取向（T=0）；）；低溫

3、下多數(shù)原子具有相同取向。低溫下多數(shù)原子具有相同取向。系統(tǒng)的位形系統(tǒng)的位形 i，i=1，2，N決定系統(tǒng)能量。決定系統(tǒng)能量。在外磁場在外磁場B中中) 2 (,iijijiijBinBJEEE平均場近似平均場近似)4(11BJzBJBijjiji討論：討論：1）第一項(xiàng)給出近鄰自旋對原子）第一項(xiàng)給出近鄰自旋對原子i的磁相作用；的磁相作用；2）用平均場近似以后，自旋系統(tǒng)成為近獨(dú)立）用平均場近似以后，自旋系統(tǒng)成為近獨(dú)立 粒子系統(tǒng)。粒子系統(tǒng)。分析：由于熱運(yùn)動，自旋取向無規(guī)則變化，分析：由于熱運(yùn)動，自旋取向無規(guī)則變化， Bi漲落不定漲落不定處理：用平均值近似。設(shè)近鄰原子數(shù)為處理：用平均值近似。設(shè)近鄰原子數(shù)為z

4、，鐵磁鐵磁-順磁轉(zhuǎn)變順磁轉(zhuǎn)變)5(?BBleeZ系統(tǒng)的磁矩為系統(tǒng)的磁矩為：)()(ln0JzthNBthNBZNmBl根據(jù)定義應(yīng)有根據(jù)定義應(yīng)有Nm )(Jzth由此研究鐵磁性物質(zhì)的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：存在一臨界溫度由此研究鐵磁性物質(zhì)的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：存在一臨界溫度 （6） 配分函數(shù)：配分函數(shù)：當(dāng)TTc而H=0時，物質(zhì)不磁化，沒有相變；當(dāng)TTc時，盡管仍有H=0，但磁化強(qiáng)度m可不為零（可取正值或負(fù)值），鐵磁性物質(zhì)存在相變。這個結(jié)論對一維、二維、三維點(diǎn)陣都應(yīng)成立，但嚴(yán)格的證明指出，二維、三維伊辛模型在臨界溫度以上仍有相變。這反映了平均場近似法的簡單、粗糙。 KJZTCm(T,H)同H的關(guān)系如圖

5、 4所示。當(dāng)H0時,對于T0,有m(T,0)0?？梢?，一維伊辛模型沒有自發(fā)磁化即不一維伊辛模型沒有自發(fā)磁化即不顯示鐵磁性，因而不發(fā)生相變顯示鐵磁性，因而不發(fā)生相變。在一維伊辛模型中，不論鐵磁性或反鐵磁性，都不會實(shí)現(xiàn)有序的狀態(tài)。如對于0的鐵磁性物質(zhì)，在絕對零度時，所有自旋取向都是相同的，此時，處于能量最低的狀態(tài)。然而，如果熱力學(xué)溫度不等于零，是有限的，則平均位形由兩種相反的、相互競爭的趨向所決定。一個是各個自旋的取向完全一致，使能量最低；另一個是各個自旋的取向?yàn)殡S機(jī)的，使熵最大。由于一維伊辛模型中每個自旋沒有足夠多的最近鄰自旋，因而不可能出現(xiàn)所有自旋取向完全相同的情況,而是如圖5所示。二維伊辛點(diǎn)

6、陣的陣點(diǎn)數(shù)為Ln=N,為便于計(jì)算，畫成圖6所示的情形。處理二維空間問題的方法與一維的類似，只需將一維的每個陣點(diǎn)當(dāng)作一列，并逐列相加求和即可。二維情況二維情況無論從高溫端還是低溫端趨于Tc(即TTc+0或TTc-0)，比熱容的值是相同的。圖7給出了比熱容隨溫度變化的曲線，并且同時畫出了布喇格威廉斯平均場近似法所得結(jié)果的曲線（圖中虛線），以作比較。布喇格威廉斯平均場近似昂薩格解為弄清T=Tc處相變的細(xì)節(jié)，還需進(jìn)一步考慮自發(fā)磁化（即計(jì)算自由能對磁場強(qiáng)度H的導(dǎo)數(shù)，再讓H=0）。楊振寧于1952年采用微擾法得到了很好的結(jié)果。他證明自發(fā)磁化強(qiáng)度m(0,T)可表為 對應(yīng)于Tc的值，自發(fā)磁化強(qiáng)度隨溫度變化的曲

7、線如圖8所示。圖8 二維伊辛模型自發(fā)磁化強(qiáng)度線關(guān)于三維的只言片語 1949年Onsager和Kaufmann發(fā)表了使用旋子代數(shù)的新解法，人們才得以領(lǐng)會奧妙，計(jì)算其它晶格，并且開始了求解三維伊辛模型的嘗試。三維伊辛模型的問題歸結(jié)為如何打開非?；靵y地糾纏編織在一起的無限多個各種各樣的紐結(jié)。 張志東的三維伊辛模型精確解的猜想 三維伊辛模型存在其他解的可能性 從數(shù)學(xué)上證明猜想的嚴(yán)格性 嚴(yán)格證明三維伊辛模型的低溫級數(shù)展開 的收斂半徑為零 猜想和推定的精確解的深層次物理內(nèi)涵1234 【1】汪志誠；熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理；高教出版社（第四版）2000年 【2】黃昆；固體物理學(xué)；高教出版社；1985年 【3】雷曉蔚.二維Ising和XY模型的老化現(xiàn)象研究J.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2007,34(2):168-