導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 0000( )(),x xx xx xdydf xfxydxdx或( )( ),dydf xfxydxdx或00()( ).x xfxfx注意：注意：記為第1頁/共42頁例題例題1 1. .設(shè)設(shè)( )fx存在，且存在，且000(2)()lim1xf xxf xx 則則0()fx等于等于 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：分析：000(2)()limxf xxf xx 0002

2、0(2)()2 lim2()12xf xxf xfxx 0()0.5fx第2頁/共42頁自變量增量自變量增量自變量增量)()(lim)(0000 xfxfxf導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)：導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)：練習(xí)：練習(xí)：P43 P43 第第3 3題題第3頁/共42頁2、單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.在

3、討論分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)時，由于在分段點兩側(cè)表達(dá)式在討論分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)時，由于在分段點兩側(cè)表達(dá)式可能不同，因此一般應(yīng)從定義出發(fā)討論其左、右導(dǎo)數(shù)?？赡懿煌?，因此一般應(yīng)從定義出發(fā)討論其左、右導(dǎo)數(shù)。例例. . 見教材見教材 P42 P42 頁例頁例6 6第4頁/共42頁例題例題2.2. 討論討論211( )21xxf xxx在在1x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. . 分析：分析： 1(1)22xfx211lim( )lim(1)2xxf xx11lim( )lim(2 )2xxf xx所以所以( )f x在在1x 處連續(xù)處連續(xù) 第5頁/共42頁211( )(1)12(1)liml

4、im11xxf xfxfxx 2111limlim(1)21xxxxx111( )(1)22(1)limlimlim 2211xxxf xfxfxx所以所以(1)(1)(1)2fff因此因此( )f x在在1x 處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。211( )21xxf xxx題目的函數(shù)為：題目的函數(shù)為：第6頁/共42頁當(dāng)當(dāng)1x 時，時，21( )21xxfxx所以所以11(1)lim( )lim22xxffxx11(1)lim( )lim 22xxffx因此因此(1)(1)(1)2fff從而從而( )f x在在1x 處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。判斷可導(dǎo)性的另一種方法：判斷可導(dǎo)性的另一種方法：第7頁/共42頁3 3、導(dǎo)數(shù)的幾

5、何意義：、導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)函數(shù)( )yf x在點在點0 xx處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0()fx表示曲線在點表示曲線在點00(,()xf x處切線的斜率。處切線的斜率。 曲線在點曲線在點00(,()xf x處的切線方程為處的切線方程為 000()()()yf xfxxx法線方程為：法線方程為： 0001()()()yf xxxfx第8頁/共42頁例例 求曲線求曲線3 3yx 2 21 12 22 23 31 12 2xxky |x | 2 21 11 11 11 12 2 k,k在點（在點（2，8）處得切線方程和法線方程。）處得切線方程和法線方程。解解 在點（在點（2，8）處的切線斜率為）處的切線

6、斜率為所以，所求切線方程為所以，所求切線方程為81228122（）, ,yx所求法線斜率為所求法線斜率為于是所求法線方程為于是所求法線方程為12160.xy18(2),12yx 12980.xy第9頁/共42頁4 4、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 ： 定理定理( (函數(shù)可導(dǎo)的必要條件函數(shù)可導(dǎo)的必要條件) ) ： ( )yf x在點在點0 xx處可導(dǎo)處可導(dǎo)( )yf x在點在點0 xx處連續(xù)。處連續(xù)?？蓪?dǎo)可導(dǎo)連續(xù)，反之不一定連續(xù)，反之不一定 即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。但不是充分條件。 例子例子 見教材見教材 P42 P42 例題例題7

7、7，8 8第10頁/共42頁例例 函數(shù)函數(shù) 0 00 0 x,x,x,xy| x | 在在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，連續(xù)但不可導(dǎo)，于是有于是有xy xyo|0|0| |,yxx . 1lim|limlim, 1lim|limlim000000 xxxxxyxxxxxyxxxxxx),0()0( ff即即.0)(點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy可導(dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)?？蓪?dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。連續(xù)一定有極限，但是有極限不一定連續(xù)。連續(xù)一定有極限，但是有極限不一定連續(xù)。因為因為第11頁/共42頁例例.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論

8、函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函數(shù)數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx練習(xí)：練習(xí)：P43頁第頁第7題題0( )(0)lim0 xf xfx01sinlimxxxx01limsinxx01limsinxx因為不存在第12頁/共42頁5 5、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的

9、導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc第13頁/共42頁6 6、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常數(shù)數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則則有有的的反反函函數(shù)數(shù)為為如如果果函函數(shù)數(shù)第14頁/共42頁 (

10、) ( )( )fxfxx或或注意：注意： ( )fx與與 ( )fx的區(qū)別的區(qū)別 ( )fx表示復(fù)合函數(shù)對自變量表示復(fù)合函數(shù)對自變量 x求導(dǎo)求導(dǎo)).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè) （3 3）. .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于正確地分解復(fù)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于正確地分解復(fù)合函數(shù)，正確地運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。函數(shù)，正確地運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 ( )fx表示復(fù)合函數(shù)對中間變量表示復(fù)合函數(shù)對中間變量 ( )x求導(dǎo)求導(dǎo)第15頁/共42頁例例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) cosln

11、(1)yx第16頁/共42頁例例 設(shè)設(shè)，求，求y .解解 例例設(shè)設(shè)，求，求y .解解 )ln(arcsin xy 221111(arcsin ).arcsinarcsin11arcsinyxxxxxxxyarctan21111().11 ()22(1)yxxxxxx首頁首頁上頁上頁下頁下頁第17頁/共42頁lnlnyxxy第18頁/共42頁(4) (4) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法: :方程兩端同時對方程兩端同時對x x求導(dǎo)求導(dǎo), ,注注意在求導(dǎo)過程中要意在求導(dǎo)過程中要y=f(x)y=f(x)視為視為x x的函數(shù)的函數(shù), ,即即把把y y視為中間變量。視為中間變量。見

12、見 P53 P53 頁例頁例3 3第19頁/共42頁例例 求由方程求由方程xyxye 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy .解解 方程兩端對方程兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得例例 求橢圓求橢圓22221 1169169xy在點在點處的切線方程處的切線方程.解解 所求切線斜率為所求切線斜率為2 2 xky |.方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得2 20 08989xy y.9 91616 xy.y(1),x yyxyey.x yx yyeyxyyexxyx323, 2首頁首頁上頁上頁下頁下頁第20頁/共42頁例例 求由方程求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)yxey

13、122dxyd第21頁/共42頁,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd (5) (5) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則第22頁/共42頁 解：解： 曲線上對應(yīng)曲線上對應(yīng)t =1的點（的點（x, y)為（為（0,0）,曲線曲線t =1在處的切線斜率為在處的切線斜率為1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為 y =x123 txtty求曲線求曲線在在t =1處的切線方程處的切線方程例例第23頁/共42頁ttytxarcta

14、n)1ln(2例題：設(shè)，求22dxyd第24頁/共42頁(6) 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù) ( )( ).v xu x函數(shù)相乘和冪指函數(shù) 的情形以及多因子乘積（或商）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及多因子乘積（或商）函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例. . 見見 P53 P53 頁例頁例4 4，5 5，6 6第25頁/共42頁11111212341(1)(2)1111 .2(3)(4)1234yyxxxxxxxxxxxx首頁首頁上頁上頁下頁下頁111111,212

15、34yyxxxx1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4),2yxxxx兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得解： 兩邊取對數(shù)，得 例例 求函數(shù)求函數(shù))4()4)(3()2)(1(xxxxxy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).第26頁/共42頁21.(),yf xy求22.(),yf xy求( )3.,f xyeyy求 及第27頁/共42頁7 7、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱

16、為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))第28頁/共42頁求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)要根據(jù)求導(dǎo)的階數(shù)的不同而選擇不同的方法。求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)要根據(jù)求導(dǎo)的階數(shù)的不同而選擇不同的方法。當(dāng)只須求函數(shù)的當(dāng)只須求函數(shù)的2 2、3 3、4 4、5 5階導(dǎo)數(shù)時，通常選擇先求出函數(shù)階導(dǎo)數(shù)時，通常選擇先求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，這樣一階接一階求下去，的一階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，這樣一階接一階求下去，直至求出所求階導(dǎo)數(shù)的方法。直至求出所求階導(dǎo)數(shù)的方法。當(dāng)

17、所求的階數(shù)比較高（超過五、六階）時，通常先求出函數(shù)當(dāng)所求的階數(shù)比較高（超過五、六階）時，通常先求出函數(shù)的一至四或五階導(dǎo)函數(shù)從中尋找出高階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式規(guī)律，的一至四或五階導(dǎo)函數(shù)從中尋找出高階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式規(guī)律，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的高階導(dǎo)?；蛘呃贸Ｒ姾瘮?shù)的再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的高階導(dǎo)?；蛘呃贸Ｒ姾瘮?shù)的1 1高階導(dǎo)公式及高階導(dǎo)運算法則求出高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)公式及高階導(dǎo)運算法則求出高階導(dǎo)數(shù)。第29頁/共42頁例例xye 求求的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).解解 xye , xye , xye , 4 4()xye , 一般地，可得一般地，可得( n )xye . 例例解解 ysinx n求求的的階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)

18、數(shù).cossin(),2yxx cos()sin()sin(2),2222yxxx cos(2)sin(3),22yxx 一般地，可得一般地，可得( )sin().2nyxn首頁首頁上頁上頁下頁下頁第30頁/共42頁例例n求求的的階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).解解 ) 1()1ln(xxy121(1) ,( 1)(1) ,1yxyxx 3(4)4( 1)( 2)(1) ,( 1)( 2)( 3)(1) ,yxyx ( )1(1)!( 1)( 2)( 3)(1)(1)( 1).(1)nnnnnynxx 一般地，可得一般地，可得上頁上頁下頁下頁練習(xí)：練習(xí)：P51 2(1) (4) (5)1.( ),( 1)xf

19、xxef已知求2.ln(1),yxy已知求3.,(0)xyxey已知求第31頁/共42頁8、微分微分.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點在點為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )（1）微分的

20、定義）微分的定義第32頁/共42頁（2 2）、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系）、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點可可微微的的充充要要條條件件是是函函數(shù)數(shù)在在點點函函數(shù)數(shù)定理定理（3 3）、）、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.第33頁/共42頁（4）基本初等函數(shù)的微分公）基本初等函數(shù)的微分公式式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(