多元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa 12( )( ).xyx其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX型型2( ) yx abD1( )yx Dba2( )yx 1( )yx 第1頁/共36頁( , )d( , )Df x yDzf x y 的的值值等等于于以以為為底底，以以曲曲面面為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積平行截面面積為已知的立體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy21()()( , )dd

2、( , )d .bxaxDf x yxf x yy 得得第2頁/共36頁21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc 12( )( ).yxyY型型2( )xy 1( )xy Dcdcd2( )xy 1( )xy D第3頁/共36頁 X型區(qū)域的應(yīng)用特點型區(qū)域的應(yīng)用特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的應(yīng)用特點型區(qū)域的應(yīng)用特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

3、若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式123.DDDD則必須分割則必須分割.第4頁/共36頁1yx例例 1 1 改改變變積積分分 1100d( , )dxxf x yy 的的次次序序. 原式原式1100d( , )dyyf x yx . 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖第5頁/共36頁2yx22yxx例例 2 2 改改變變積積分分212220010d( , )dd( , )dx xxxf x yyxf x yy 的的次次序序. 原式原式212011d( , )dyyyf x yx . 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖第6頁/共36頁

4、例例 3 3 求求2()d dDxyx y ，其中，其中D是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()d dDxyx y 2120d()dxxxxyy122401()()d2xxxxxx .14033 2xy 2yx 2yx 2xy 第7頁/共36頁例例4 求求22ed dyDxx y ，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點的三角形為頂點的三角形. 2edyy 無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示 解解 積積分分時時必必須須考考慮慮先先對對 x

5、 積積分分 22ed dyDxx y 21200dedyyyxx 2310ed3yyy 22120ed6yyy 12(1).6e第8頁/共36頁例例 5 5 計算積分計算積分 121142de dyyxIyx 121de dyyxyyx . 解解 xxyde不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示 先先改改變變積積分分次次序序.原原式式2121de dyxxxIxy 121(ee )dxxx 31ee.822yx xy 第9頁/共36頁例例 6 6 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖.

6、第10頁/共36頁, 10 yx,xyyx 所所求求體體積積 DxyyxV d)( 1100d()dxxxyxyy 1301 (1)(1) d2xxxx .247 所圍立體在所圍立體在xoy面上的投影是面上的投影是第11頁/共36頁AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)( , )d d( cos , sin ) d d .DDf x yx yf rrr r ,dd diiirrr r 因因此此第12頁/共36頁AoD)(r( )0d( cos , sin ) d .f rrr r 二重積分化為二次積分的公式（二重積

7、分化為二次積分的公式（1）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r( cos , sin ) d dDf rrr r 第13頁/共36頁.d)sin,cos(d)()( 21rrrrf ADo)( 1r )( 2r Drrrrfdd)sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（二重積分化為二次積分的公式（2）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(r21 第14頁/共36頁例例 7 7 寫寫出出積積分分( , )d dDf x yx y 的的極極坐坐標標二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x. 1 yx122 yx解解在在極極坐坐標標系系 si

8、ncosryrx下下,圓圓的的方方程程為為 1 r, 直直線線方方程程為為 cossin1 r,( , )d dDf x yx y 2110sincosd( cos , sin ) d .f rrr r 第15頁/共36頁例例 8 8 計算計算22ed dxyDx y ，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點，半徑為原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域. 解解在極坐標在極坐標下下 D：ar 0，02 . 22ed dxyDx y 2200dedarr r 2(1e).a 第16頁/共36頁例例 9 9 求廣義積分求廣義積分20edxx . 解解| ),(2221RyxyxD

9、 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD 22e0,xy 221ed dxyDx y 22ed dxySx y 222ed d .xyDx y 1D2DSS1D2DRR2第17頁/共36頁又又22ed dxySIx y 2200ededRRxyxy 220(ed ) ;Rxx 1I221ed dxyDx y 2200dedRrr r 2(1e);4R 同同理理 2I222ed dxyDx y 22(1e);4R 第18頁/共36頁當當 R時時,1,4I 2,4I 故故當當 R時時,4I 即即220(ed )xx 4, 所求廣義

10、積分所求廣義積分 20edxx 2. ,21III則222220(1e)(ed )(1e);44RRxRx 第19頁/共36頁例例 1010 計算計算22()d dDxyx y ，其，其 中中 D 為由圓為由圓 yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ， 03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域. 解解23 16 sin4 r sin2 r22()d dDxyx y 364sin22sinddrr r 15(3).2yyx422 yyx222 03 yx03 xy第20頁/共36頁例例 1111 計算二重積分計算二重積分 2222sin()d dDxyx yxy , 其中

11、積分區(qū)域為其中積分區(qū)域為41| ),(22 yxyxD. 解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性.2222sin()d dDxyx yxy 412222sin()d dDxyx yxy 2201sin4ddrr rr . 4 14DD 1D第21頁/共36頁1. 二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf x

12、 yyf x yx Y型型X型型第22頁/共36頁2.二重積分在極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）( cos , sin ) d dDf rrr r 21( )( )d( cos , sin ) d .f rrr r ( )0d( cos , sin ) d .f rrr r 2( )00d( cos , sin ) d .f rrr r 第23頁/共36頁設(shè)設(shè))(xf在在 1 , 0上連續(xù)，并設(shè)上連續(xù)，并設(shè)10( )df xxA ， 求求110d( ) ( )dxxf x f yy. 思考題思考題第24頁/共36頁1( )dxf

13、yy 不不能能直直接接積積出出, 改改變變積積分分次次序序. 令令110d( ) ( )dxIxf x f yy , 思考題解答思考題解答則原式則原式100d( ) ( )dyyf x f yx . 100( )d( )d ,xf xxf yy 第25頁/共36頁故故1102( )d( )dxIf xxf yy 100( )d( )dxf xxf yy 1100( )d () ( )d xxf xxf yy11200( )d( )d.f xxf yyA第26頁/共36頁一、一、 填空題填空題: : 1 1. .323(3)dDxx yy _._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2.

14、 .cos()dDxxy _._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，(,0)，(,)的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3. .將二重積分將二重積分( , )dDf x y , ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周 )0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y 后對后對x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._. 練練 習(xí)習(xí) 題題第27頁/共36頁 4 4. .將二重積分將二重積分( , )dDf x y , ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先

15、對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _._. 5 5. .將二次積分將二次積分22212d( , )dx xxxf x yy 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 6 6. .將二次積分將二次積分sin0sin2d( , )dxxxf x yy 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 第28頁/共36頁 7 7. .將二次積分將二次積分212elnd( , )dyyf x yx 21221(1)d( , )dyyf x yx 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 8 8. .將將( , )d dDf x yx y , ,D為為xyx222 , ,

16、表示為極坐表示為極坐標形式的二次積分標形式的二次積分, ,為為_._. 9 9. .將將( , )d dDf x yx y , ,D為為xy 10, ,10 x, ,表表示為極坐標形式的二次積分為示為極坐標形式的二次積分為_._. 1010. .將將23220d()dxxxfxyy 化為極坐標形式的化為極坐標形式的二次積分為二次積分為_._. 1111. .將將2100d( , )dxxf x yy化為極坐標形式的二次積化為極坐標形式的二次積分為分為_._. 第29頁/共36頁二、畫出積分區(qū)域二、畫出積分區(qū)域, ,并計算下列二重積分并計算下列二重積分: : 1 1. .edxyD , ,其中其

17、中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2. .22()dDxyx 其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3. .200cos( , )ddd()()2xDyf x yxyxxy 。 4.4.2d d ,Dyxx y 其中其中D D: : 20 , 11 yx. . 三、計算下列二重積分三、計算下列二重積分: : 1 1. .22ln(1)dDxy , ,其中其中D是由圓周是由圓周122 yx 及坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域及坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域. . 第30頁/共36頁2 2. .22()dDxy 其中

18、其中D是由直線是由直線xy , , )0(3, aayayaxy所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 3 3. .222dDRxy , ,其中其中D是由圓周是由圓周 Rxyx 22所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 4 4. .222 dDxy , ,其中其中D: :322 yx. . 四、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域四、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該 薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . . 五、求由曲面五、求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . . 第31頁/共36頁 六、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域六、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D是由螺線是由螺線 2 r上一段上一段 弧弧( (02 ) )與直線與直線2 所圍成所圍成, ,它的面密度為它的面密度為 22),(yxyx , ,求這薄片的質(zhì)量求這薄片的質(zhì)量. . 七、計算以七、計算以xoy面上的圓周面上的圓周axyx 22圍成的閉區(qū)域為圍成的閉區(qū)域為