講義工程流體力學(xué)7——6到7

1、主講主講: 馮馮 進進長江大學(xué)機械工程學(xué)院長江大學(xué)機械工程學(xué)院 6.1 6.1 運動微分方程運動微分方程一、質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）一、質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程） 在直角坐標下：在直角坐標下：0 u0zzuyyuxxuu在直角坐標下，不可壓縮流體的運動微分方程：在直角坐標下，不可壓縮流體的運動微分方程：SpFdtud2xuzuzyuxuyxuxxpFdtduzxxyxxx2zuyuzyuxuxyuyypFdtduyzxyyyy2zuyuyxuzuxzuzzpFdtduyzzxzzz2當不可壓縮流體的粘度不變時，運動微分方程為當不可壓縮流體的粘度不變時，運動微分方程為在直角坐標下不可壓縮流體的

2、運動微分方程：在直角坐標下不可壓縮流體的運動微分方程： 222222zuyuxuxpFdtduxxxxx222222zuyuxuypFdtduyyyyy222222zuyuxuzpFdtduzzzzzupFdtud2 真實流體是具有粘性的，當流體微真實流體是具有粘性的，當流體微團之間有相對運動時相互間必產(chǎn)生粘性團之間有相對運動時相互間必產(chǎn)生粘性切應(yīng)力，對流體微團運動形成阻力，該切應(yīng)力，對流體微團運動形成阻力，該阻力稱為流動阻力，要維持流動就必須阻力稱為流動阻力，要維持流動就必須克服阻力，使部分能量轉(zhuǎn)化為熱能而損克服阻力，使部分能量轉(zhuǎn)化為熱能而損耗掉，造成能量損失。按照流動的情況，耗掉，造成能量

3、損失。按照流動的情況，阻力可分為沿程阻力和局部阻力。阻力可分為沿程阻力和局部阻力。 沿程阻力主要發(fā)生在流體與壁面、沿程阻力主要發(fā)生在流體與壁面、流體質(zhì)點之間的摩擦，沿程阻礙流體運流體質(zhì)點之間的摩擦，沿程阻礙流體運動，這就是沿程阻力。由沿程阻力造成動，這就是沿程阻力。由沿程阻力造成的能量損失稱為沿程損失，常用單位重的能量損失稱為沿程損失，常用單位重量流體的沿程損失用量流體的沿程損失用h hf f表示。沿程損失表示。沿程損失h hf f的單位為該流體的液柱高度。的單位為該流體的液柱高度。 局部阻力發(fā)生在流道邊界形狀急劇變化局部阻力發(fā)生在流道邊界形狀急劇變化的地方（如彎管、過流截面突然變化），流體的

4、地方（如彎管、過流截面突然變化），流體經(jīng)過這些局部區(qū)域時，流速大小和方向都發(fā)生經(jīng)過這些局部區(qū)域時，流速大小和方向都發(fā)生劇烈變化，因而發(fā)生撞擊，產(chǎn)生旋渦等現(xiàn)象，劇烈變化，因而發(fā)生撞擊，產(chǎn)生旋渦等現(xiàn)象，造成質(zhì)點間發(fā)生劇烈摩擦和動量交換，這種阻造成質(zhì)點間發(fā)生劇烈摩擦和動量交換，這種阻力稱為局部阻力。由此造成的機械能損失稱為力稱為局部阻力。由此造成的機械能損失稱為局部損失。單位重量流體的局部能量損失用局部損失。單位重量流體的局部能量損失用h hj j表示表示, ,其單位為該流體的液柱高度其單位為該流體的液柱高度。 因此總的能量損失為： jfwhhh1.濕周濕周 過流斷面周界上具有內(nèi)摩擦力存在的部分稱過

5、流斷面周界上具有內(nèi)摩擦力存在的部分稱為濕周。通常僅考慮流體與固體接觸的周界長為濕周。通常僅考慮流體與固體接觸的周界長度，以度，以X表示。所以，濕周就是在過流斷面上表示。所以，濕周就是在過流斷面上流體與固體邊界接觸的長度。流體與固體邊界接觸的長度。2 .水力半徑水力半徑 過流斷面面積與濕周之比稱為水力半徑，過流斷面面積與濕周之比稱為水力半徑，以表示，即以表示，即R=A/X X。水力半徑的大小表示濕。水力半徑的大小表示濕周對流動阻力的影響程度。水力半徑越大，相周對流動阻力的影響程度。水力半徑越大，相同過流斷面下，周界對流體的阻力越小。同過流斷面下，周界對流體的阻力越小。 英國科學(xué)家雷諾（英國科學(xué)家

6、雷諾（Raynolds）于）于1883年通過年通過實驗發(fā)現(xiàn)這兩種流動狀態(tài)的存在，試驗裝置如圖實驗發(fā)現(xiàn)這兩種流動狀態(tài)的存在，試驗裝置如圖示。當逐漸開啟玻璃管上的閥門時，同時使有色示。當逐漸開啟玻璃管上的閥門時，同時使有色液流入管中，可以看到一條細線形狀的紅色液線液流入管中，可以看到一條細線形狀的紅色液線（a），說明流體質(zhì)點是平穩(wěn)地沿管軸向運動，），說明流體質(zhì)點是平穩(wěn)地沿管軸向運動，而無橫向運動，流動層次分明，這種流動狀態(tài)稱而無橫向運動，流動層次分明，這種流動狀態(tài)稱為層流。當逐漸加大閥門開度，加大流速，當流為層流。當逐漸加大閥門開度，加大流速，當流速達到某一值后，紅色液體不能維持直線而出現(xiàn)速達到某

7、一值后，紅色液體不能維持直線而出現(xiàn)擺動擺動(b)(b)。 隨著流速的繼續(xù)增大，紅色液體分散于整隨著流速的繼續(xù)增大，紅色液體分散于整個管內(nèi)，表明流體流動有較強的橫向運動，流個管內(nèi)，表明流體流動有較強的橫向運動，流體質(zhì)點處于無規(guī)則狀態(tài)運動，這種流動狀態(tài)稱體質(zhì)點處于無規(guī)則狀態(tài)運動，這種流動狀態(tài)稱為紊流為紊流(c)(c)。若以相反的程序進行試驗，起初。若以相反的程序進行試驗，起初看不到紅色液線存在，說明流體在作紊流運動。看不到紅色液線存在，說明流體在作紊流運動。隨著流速逐漸減小，紅色波浪液線出現(xiàn)，回到隨著流速逐漸減小，紅色波浪液線出現(xiàn)，回到（b b）圖的形狀，最后回到（）圖的形狀，最后回到（a a）圖

8、的形狀，流）圖的形狀，流體又開始作層流運動。體又開始作層流運動。 從試驗看出，流動狀態(tài)的轉(zhuǎn)化是因為流速從試驗看出，流動狀態(tài)的轉(zhuǎn)化是因為流速大小的不同，流動狀態(tài)轉(zhuǎn)化時的平均流速稱為大小的不同，流動狀態(tài)轉(zhuǎn)化時的平均流速稱為臨界流速，用臨界流速，用V Vc c表示。由層流變到紊流時的臨表示。由層流變到紊流時的臨界流速稱為上臨界流速，用界流速稱為上臨界流速，用V Vcucu 表示。由紊流表示。由紊流變到層流時的臨界流速稱為下臨界流速，用變到層流時的臨界流速稱為下臨界流速，用V Vcdcd表示。雷諾通過試驗發(fā)現(xiàn)相同流體，當溫度不表示。雷諾通過試驗發(fā)現(xiàn)相同流體，當溫度不同時臨界流速不相同；當管徑不同時，臨

9、界流同時臨界流速不相同；當管徑不同時，臨界流速也不一樣。速也不一樣。 雷諾發(fā)現(xiàn)層流到紊流間的臨界狀態(tài)可用一雷諾發(fā)現(xiàn)層流到紊流間的臨界狀態(tài)可用一無因數(shù)來判別，即：無因數(shù)來判別，即： 稱為雷諾數(shù)。下臨界雷諾數(shù)稱為雷諾數(shù)。下臨界雷諾數(shù) ： 上臨界雷諾數(shù)：上臨界雷諾數(shù)： DVRecdDVcdRecuDVcu Re 上臨界雷諾數(shù)不是一個固定值，它與實驗上臨界雷諾數(shù)不是一個固定值，它與實驗條件很有關(guān)系，條件很有關(guān)系， 或更高?；蚋摺?當當 則為層流，則為層流， 為紊流，為紊流， 則為過渡區(qū)。當流體在園管則為過渡區(qū)。當流體在園管中流動時，流動狀態(tài)一般情況下用下臨界雷諾中流動時，流動狀態(tài)一般情況下用下臨界雷

10、諾數(shù)判別，即：數(shù)判別，即： 為層流為層流 為紊流為紊流13800RecucdReRe cuReRe cucdReReRe2000Re 2000Re 雷諾數(shù)反映了慣性力與粘性力的對比關(guān)系，雷諾數(shù)反映了慣性力與粘性力的對比關(guān)系，雷諾數(shù)愈小表明粘性力占優(yōu)勢，雷諾數(shù)越大表雷諾數(shù)愈小表明粘性力占優(yōu)勢，雷諾數(shù)越大表明慣性力占優(yōu)勢。明慣性力占優(yōu)勢。 在雷諾實驗中，用在雷諾實驗中，用U U型管差壓計測量了兩型管差壓計測量了兩過流斷面的壓差，壓差隨平均流速的變化，繪過流斷面的壓差，壓差隨平均流速的變化，繪制在雙對數(shù)坐標中，如圖示。制在雙對數(shù)坐標中，如圖示。 由此可見：由此可見： 這說明層流中這說明層流中 與紊流

11、中的與紊流中的 是不一樣的。是不一樣的。mfKVhVmKhflglglgfhfh 由雷諾試驗發(fā)現(xiàn)，層流時液體質(zhì)點互不干由雷諾試驗發(fā)現(xiàn)，層流時液體質(zhì)點互不干擾，分層向前運動。因此，流體在圓管中作層擾，分層向前運動。因此，流體在圓管中作層流流動時僅存在軸向流速，且軸對稱，如圖示。流流動時僅存在軸向流速，且軸對稱，如圖示。 沿流動方向，建立的平衡方程：沿流動方向，建立的平衡方程： 變形整理得：變形整理得： 令令 則：則：0 2 221rlrpprlpp221gpphf21rlghf2根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，有：根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，有：積分得：積分得：當當 時時 ， 即：即：rlghdrdudrduf2c

12、rlghuf24Rr0u24Rlghcf 上式表明圓管中層流過水斷面速度沿半徑上式表明圓管中層流過水斷面速度沿半徑方向呈拋物線分布。方向呈拋物線分布。當當r=0 時時)(422rRlghuf2max4Rlghuf過流斷面上的流量過流斷面上的流量Q 等于等于: 平均流速平均流速V等于等于max22218uRlghRQVfrdrrRlghrdruQRofRo)(2 22248Rlghf 利用柱坐標的常粘度不可壓縮流體定常流利用柱坐標的常粘度不可壓縮流體定常流動微分方程求過流斷面速度分布：動微分方程求過流斷面速度分布：011zuurrurrzr22222222211ruurzuurrurrrrpfr

13、uzuuururuurrrrrrzrrr22222222111ruurzuurrurrrprfruuzuuururuurrzr2222211zuurrurrrzpfzuuururuuzzzzzzzzr 由于只有軸向速度，根據(jù)連續(xù)性方程，由于只有軸向速度，根據(jù)連續(xù)性方程，有：有： 根據(jù)層流在圓管內(nèi)的流動特點，流動為根據(jù)層流在圓管內(nèi)的流動特點，流動為軸對稱，軸對稱，uz僅是僅是r的函數(shù)，運動方程可簡的函數(shù)，運動方程可簡化為：化為：01rurrrzpz 0zuzrlpprlpprzprurrz21121212211211221ln422CrCrlppurCrlppruCrlpprurzzz當當r=0

14、時，時，uz是有限值，故是有限值，故C1=0。當。當r=R時，時，uz=0。因此，。因此，C2為：為：22124RlppC22214rRlppuzffghppgpph2121224rRlghufz令：令：代入得：代入得： 由于過流斷面上速度呈某種分布規(guī)律，用由于過流斷面上速度呈某種分布規(guī)律，用分布速度確定的總動能與用平均速度確定的總分布速度確定的總動能與用平均速度確定的總動能必然存在差別，而習(xí)慣上用平均速度來表動能必然存在差別，而習(xí)慣上用平均速度來表示總功能，需要進行修正。分布速度確定的動示總功能，需要進行修正。分布速度確定的動能能 為：為： 平均速度確定的動能為：平均速度確定的動能為：RoR

15、odrrurdruuE321 221RodrrVE32 動能修正系數(shù)動能修正系數(shù)為：為： 281)()8()()4(63223232233321RoRoRofRofRoRordrRrdrrRrdrRlhgrdrrRlhgdrrVdrruEEo三、沿程損失三、沿程損失 平均速度平均速度 ： 故沿程損失為：故沿程損失為： 令令 ， 稱為沿程阻力系數(shù)，上式變?yōu)椋悍Q為沿程阻力系數(shù)，上式變?yōu)椋?8RlghVfgVDlgVDlDVgDlVgRlVhf2Re642643282222Re64gVDlhf22 例例1: 兩個共軸的圓柱面間有密度為兩個共軸的圓柱面間有密度為、動力粘度為動力粘度為的不可壓縮粘性流體

16、，如圖的不可壓縮粘性流體，如圖所示。內(nèi)柱面繞軸以所示。內(nèi)柱面繞軸以1逆時針旋轉(zhuǎn)，外逆時針旋轉(zhuǎn)，外柱面以繞軸以柱面以繞軸以2順時針旋轉(zhuǎn)，軸向無運順時針旋轉(zhuǎn)，軸向無運動，試求流動的速度分布和圓柱體單位動，試求流動的速度分布和圓柱體單位長度的扭矩。設(shè)運動是定常的，不計外長度的扭矩。設(shè)運動是定常的，不計外力。力。 解：根據(jù)題意，解：根據(jù)題意，uz=0。當兩圓柱間的。當兩圓柱間的流體作層流運動時，流體作層流運動時，ur=0，且為軸對稱，且為軸對稱流。因此，有根據(jù)連續(xù)性方程：流。因此，有根據(jù)連續(xù)性方程： 得得 ，u僅是僅是r的函數(shù)。的函數(shù)。011zuurrurrzr0u22222222111ruurzuu

17、rrurrrprfruuzuuururuurrzr根據(jù)運動方程，有：根據(jù)運動方程，有：可簡化得可簡化得0022rurururrururr000122222rururrurrurururrurCrCCrCrCrdrCrCdreCeCdreCeuCrururrdrrdrr21221212ln1ln21111212111當當r=r1時時u=r11， r=r2時時u=-r22。因此，有：因此，有：212221221222122211222122212212111122121rrrrCrrrrCrCrCrrCrCr212222222211212222112222221212122212222212121

18、2221122211rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrru求扭矩：求扭矩：2122222221212122211222212221222121212221122221222222121212221122221rrrrrrrrrdrdurrrrrrrrrdrdurrrrrrrrrdrdurrrr21211122rrrrdrdurMdrdurM 例例2： 0.005(Ns)m2的油在環(huán)狀縫的油在環(huán)狀縫隙中流動，如圖所示。巳知。隙中流動，如圖所示。巳知。r10.02m，r20.01m，若外壁的剪切應(yīng)力為，若外壁的剪切應(yīng)力為40Nm2，試計算：，試計算：(1)每米長環(huán)狀縫隙的壓力每米

19、長環(huán)狀縫隙的壓力降；降；(2)每秒鐘流量；每秒鐘流量；(3)流體作用在長度流體作用在長度為為L的內(nèi)壁上的軸向力。的內(nèi)壁上的軸向力。 解：根據(jù)題意，當流體在兩圓柱間沿軸向解：根據(jù)題意，當流體在兩圓柱間沿軸向的作層流運動時，的作層流運動時， u=0， ur=0。因此，。因此，有根據(jù)連續(xù)性方程：有根據(jù)連續(xù)性方程： 得得 ，uz僅是僅是r的函數(shù)。的函數(shù)。011zuurrurrzr0zuz2222211zuurrurrrzpfzuuururuuzzzzzzzzr根據(jù)運動方程，有：根據(jù)運動方程，有：22222222211ruurzuurrurrrrpfruzuuururuurrrrrrzrrr222222

20、22111ruurzuurrurrrprfruuzuuururuurrzr可簡化得：可簡化得：01rurrrzpzzCgrprpg,sin0sin1)(,01cos21zCzCprg因此因此 僅是僅是z的函數(shù)。的函數(shù)。 zzCzp24323ln41211CrCrzpurCrzprurzprurrzzz當r=r1時uz=0， r=r2時uz=0 。因此，有：0ln410ln414232241321CrCrzpCrCrzp2122212114222121341ln4lnln41rzprrzprrrCrrzprrC1122221221lnln41rrrrrrrrzpuz根據(jù)已知條件，外壁的剪切應(yīng)力根

21、據(jù)已知條件，外壁的剪切應(yīng)力為為40Nm2，因此：，因此：1122221111222211112222111ln2440401ln2411ln24111rrrrrrzprrrrrrzpdzdurrrrrrzpdzdurrzrrz122211212112221121121ln4124401ln412440rrrrrrpprrrrrrpp每米長環(huán)狀縫隙的壓力降為：每米長環(huán)狀縫隙的壓力降為：每秒鐘流量每秒鐘流量122rrzrdruQ流體作用在長度為流體作用在長度為L的內(nèi)壁上的軸向力為的內(nèi)壁上的軸向力為LrdzduFrrz222一、速度分布一、速度分布 如圖所示，上板以的速度運動，下板不動，如圖所示，上

22、板以的速度運動，下板不動，上下板間距為上下板間距為 ，板寬很大，可作為一元流動。，板寬很大，可作為一元流動。建立坐標如圖示。根據(jù)連續(xù)性方程建立坐標如圖示。根據(jù)連續(xù)性方程: : 0zuyuxuzyx uy和和u uz z等于零，故等于零，故: :根據(jù)運動方程：根據(jù)運動方程： X 方向：方向： Y方向：方向：0 xux)(yuux)()(222222zuyuxuxpzuuyuuxuutuxxxxzxyxxx xCxpxCgypypg0 在在X方向的方程中，左端等于零（定常）方向的方程中，左端等于零（定常）, ,右端有：右端有： 方程變?yōu)椋悍匠套優(yōu)椋?02222zuxuxx022yuxpx 因因Y方

23、向無運動，方向無運動， 與與 y 無關(guān)，對上式積分得：無關(guān)，對上式積分得： 當時當時y=0，ux=0；y=h，ux=U。因此。因此 c2=0，c1為：為： xp21221cycyxpuxhxphUc211yhUyhyxpux)(212 lppxp21yhUyyhlppux)(221討論：1.當當 而而 時，僅時，僅上平板拖動而產(chǎn)生流動，為上平板拖動而產(chǎn)生流動，為 剪切流動，其流速分布為線剪切流動，其流速分布為線性分布。性分布。0 xp0UyhUux單位寬度的流量為：單位寬度的流量為：平均流速為平均流速為 。 UhydyhUudyQhoho21UhQV21 2.當當 而而 時，為壓差流，即：時，

24、為壓差流，即： 0U0 xp yyhlppux)(221221max8hlppuydyyhlppQho)(22132112hlpp22112hlppV對于壓差流，動能修正系數(shù)有：對于壓差流，動能修正系數(shù)有：54. 1)()()(21216333121321033033hohohhohhodyhdyyyhdyVdyudyVdyu對于壓差流，沿程損失系數(shù)有：對于壓差流，沿程損失系數(shù)有：沿程阻力系數(shù)。沿程阻力系數(shù)。gpphf21212hlghVfgVhlgVhlVhVghlhf222412222Re24 例例1: 試導(dǎo)出如圖所示的兩固定平行試導(dǎo)出如圖所示的兩固定平行板間兩層流體在壓力梯度為：板間兩層

25、流體在壓力梯度為： 的情形下定常層流的速度分布。的情形下定常層流的速度分布。kxp 解：根據(jù)題意，僅在解：根據(jù)題意，僅在X方向有流速，故方向有流速，故 uy和和u uz z等于零。根據(jù)連續(xù)性方程等于零。根據(jù)連續(xù)性方程: : 得：得：0zuyuxuzyx0 xux)(yuux 根據(jù)運動方程：根據(jù)運動方程： X 方向：方向： Y方向：方向： 在在X方向的方程中，左端等于零（定常）方向的方程中，左端等于零（定常）, ,右右端有：端有：)()(222222zuyuxuxpzuuyuuxuutuxxxxzxyxxx xCxpxCgypypg002222zuxuxx 故方程簡化為：故方程簡化為： 當上述方

26、程用于密度為當上述方程用于密度為1和和2的流體時，有：的流體時，有： kyuyuxpxx2222022221212kyukyuxx 積分得：積分得： 當時當時y=0，ux2=0；y=2b，ux1=0； y=b，ux1= ux2，1 = 2。因此。因此, c4=0，其余積分常數(shù)由下列方程，其余積分常數(shù)由下列方程組確定組確定 bycycykubybcycykuxx02224322221211112321213222121220242ckbckbcbcbkbcbkcbcbk22112122121232111212323kbckbckbc解上述方程組，得積分常數(shù)：解上述方程組，得積分常數(shù)：bybyyk

27、ubybbbyykuxx03222321212222212211212211代入常數(shù)到對應(yīng)方程中：代入常數(shù)到對應(yīng)方程中： 降膜流動是靠重力產(chǎn)生的降膜流動是靠重力產(chǎn)生的，與前面與前面圓圓管內(nèi)管內(nèi)流動和流動和平板間平板間流動相比，其特點是液膜的一流動相比，其特點是液膜的一側(cè)側(cè)與大氣接觸，為典型的液與大氣接觸，為典型的液氣邊界條件；由于氣邊界條件；由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，故沿流動方向沒有壓液膜的一側(cè)與大氣接觸，故沿流動方向沒有壓力差。力差。降降膜流動在濕壁塔、冷凝器、蒸發(fā)器以膜流動在濕壁塔、冷凝器、蒸發(fā)器以及產(chǎn)品涂層方面有廣泛的應(yīng)用。及產(chǎn)品涂層方面有廣泛的應(yīng)用。 如圖所示，流體在傾斜平板上作降膜流

28、動。如圖所示，流體在傾斜平板上作降膜流動。液膜厚度為液膜厚度為，表面為自由截面（液面與大氣，表面為自由截面（液面與大氣接觸的面）。液膜沿接觸的面）。液膜沿x軸方向作一維層流流動，軸方向作一維層流流動，速度為速度為ux，在，在y、z方向的速度均為零。主流方方向的速度均為零。主流方向向(x軸正向軸正向)與重力加速度與重力加速度g方向之間的夾角為方向之間的夾角為。液膜厚度。液膜厚度遠小于平板的寬度和長度，故可遠小于平板的寬度和長度，故可忽略端部效應(yīng)影響，將流動視為充分發(fā)展的。忽略端部效應(yīng)影響，將流動視為充分發(fā)展的。 由于由于液膜僅沿液膜僅沿x軸方向作一維層流流動，軸方向作一維層流流動，根據(jù)根據(jù)不可壓

29、縮流體連續(xù)性方程不可壓縮流體連續(xù)性方程 有：有：0zuyuxuzyx0 xux)(yuux根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運動方程根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運動方程)()(222222zuyuxuxpFzuuyuuxuutuxxxxxzxyxxx)()(222222zuyuxuypFzuuyuuxuutuyyyyyzyyyxy可簡化為：可簡化為：0cos22yuxpgx0sinypg由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒有壓力差有壓力差，即，即 ， 。故。故0 xp xCgyp1sin0sinpgyp 01pxC3222222coscoscosCyCyguCygyu

30、gyuxxx解解x方向的運動方程方向的運動方程解解y方向的運動方程，得：方向的運動方程，得： 當時當時y=0，ux=0；y=，x=0。 因此因此, c3=0，C2為：為：cos0cos22gCCgdyduyxyygux22cos最大流速：最大流速：2cos2maxgux平均流速：平均流速：流量：流量：3cos22cos300gydyygdyuQx3cos2gQuxm 例例1 1： 如圖所示，一不可縮流體從如圖所示，一不可縮流體從傾斜角傾斜角60600 0的平面穩(wěn)定流下，其自由面速的平面穩(wěn)定流下，其自由面速度為度為0.5m/s0.5m/s，試計算液膜的厚度，試計算液膜的厚度。該。該液體密度液體密

31、度1020kg/m1020kg/m3 3, ,動力粘度動力粘度7.27.21010-3-3(N.s)(N.s)m m3 3。 解：由于解：由于液膜僅沿液膜僅沿x軸方向作一維層流流動，軸方向作一維層流流動，根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程 有：有：0zuyuxuzyx0 xux)(yuux根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運動方程，根據(jù)不可壓縮常粘度流體的運動方程，可簡化為：可簡化為：0sin22yuxpgx0cosypg由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒由于液膜的一側(cè)與大氣接觸，沿流動方向沒有壓力差有壓力差，即，即 ， 。故。故0 xp0cospgyp 01pxC xCgyp1c

32、os積分積分y方向的運動方程方向的運動方程:3222222sinsinsinCyCyguCygyugyuxxx積分積分x方向的運動方程方向的運動方程當時當時y=0，ux=0；y=，x=0。 因此因此, c3=0，C2為：為：sin0sin22gCCgdyduyxyygux22sin 當時當時y=，ux=U= 0.5m/s0.5m/s 。 因此因此sin22sin2gUgU 如圖所示，不可壓縮流體如圖所示，不可壓縮流體在豎直圓管外壁作充分發(fā)展的在豎直圓管外壁作充分發(fā)展的層流降膜流動。圓管外壁半徑層流降膜流動。圓管外壁半徑R，液膜厚度為，液膜厚度為。降膜流動時。降膜流動時流動方向上壓力不變，且對于

33、流動方向上壓力不變，且對于豎直管壁，重力方向與流動方豎直管壁，重力方向與流動方向一致。向一致。對不可壓縮常粘度流對不可壓縮常粘度流體，體，作充分發(fā)展的層流降膜流作充分發(fā)展的層流降膜流動時的運動微分方程為：動時的運動微分方程為：2222211zuurrurrrzpfzuuururuuzzzzzzzzr22222222211ruurzuurrurrrrpfruzuuururuurrrrrrzrrr22222222111ruurzuurrurrrprfruuzuuururuurrzr011zuurrurrzr 由于由于液膜僅沿液膜僅沿z軸方向一維層流流動，軸方向一維層流流動，ur和和u為零，為零，

34、。根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程 有：有： ，uz僅是僅是r的函數(shù)。的函數(shù)。 0011zuurrurrzr0zuz r和和方向的運動微分方程為零，方向的運動微分方程為零， z方向的運動方向的運動微分方程簡化為：微分方程簡化為： 積分微分方程，得：積分微分方程，得：01rurrrgz2121ln42CrCrgurCrgruzz 當當r=R時時uz=0， r=R+時時z=0 。因此，有。因此，有：RRgRgCRgCRCRgCRCRgln242020ln4222211212RrRRrgRRRgRgrRgrguzln1214ln24ln242222222最大流速：最大流速：RRg

35、Ruz1ln12114222maxRRRRRRzRrRrRrRRrRrgRRrdRrRrRRrgRrdruQ222424224ln21228ln12122流量：流量：平均流速：平均流速：22RQum 例例1： 粘性流體沿垂粘性流體沿垂直圓筒表面以穩(wěn)定的直圓筒表面以穩(wěn)定的層流流下，如圖所示。層流流下，如圖所示。試寫出該流動的速度試寫出該流動的速度分布。該液體的密度分布。該液體的密度和動力粘度分別為和動力粘度分別為和和。 在雷諾實驗中觀察到，當流動為紊在雷諾實驗中觀察到，當流動為紊流時某一固定空間點的運動參量（流速，流時某一固定空間點的運動參量（流速，壓力等）大小和方向也隨時間變化，若壓力等）大小

36、和方向也隨時間變化，若用精密靈敏的儀器（用精密靈敏的儀器（LDV）測量某固定）測量某固定點瞬時速度，便可觀測到該點瞬時速度點瞬時速度，便可觀測到該點瞬時速度的各分量隨時間是變化的的各分量隨時間是變化的( (如圖示如圖示) )，其，其它運動參量也隨時間而發(fā)生波動，這種它運動參量也隨時間而發(fā)生波動，這種現(xiàn)象稱為脈動現(xiàn)象?，F(xiàn)象稱為脈動現(xiàn)象。 瞬時速度瞬時速度u與平均速度存在差別，其差與平均速度存在差別，其差值稱為脈動速度，值稱為脈動速度， 用表示，可見瞬時速度用表示，可見瞬時速度為：為： 類似地，某點的壓強的時均值為：類似地，某點的壓強的時均值為： 瞬時壓強可表示為：瞬時壓強可表示為： uuuuTo

37、pdtTp1ppp若取時間間隔若取時間間隔 T ，瞬時速度在，瞬時速度在 T 時間內(nèi)求平時間內(nèi)求平均值，即：均值，即：ToudtTu1 從頻率分析可知，脈動頻率在從頻率分析可知，脈動頻率在102與與105之間，振幅小，小于對應(yīng)運動參量均值的之間，振幅小，小于對應(yīng)運動參量均值的10%10%。脈動能量雖然小，但對流動卻起著決定性作脈動能量雖然小，但對流動卻起著決定性作用。在紊流運動中，宏觀上流體質(zhì)點團之間，用。在紊流運動中，宏觀上流體質(zhì)點團之間，通過脈動相互劇烈地交換質(zhì)量，動量和能量，通過脈動相互劇烈地交換質(zhì)量，動量和能量，從而產(chǎn)生紊流擴散。從而產(chǎn)生紊流擴散。 我們知道，紊流運動極不規(guī)則，極不穩(wěn)我

38、們知道，紊流運動極不規(guī)則，極不穩(wěn)定，每一點的速度隨時間和空間隨機地變化著。定，每一點的速度隨時間和空間隨機地變化著。對于這類隨機現(xiàn)象，人們對每點每一瞬時的真對于這類隨機現(xiàn)象，人們對每點每一瞬時的真實速度并不感興趣，而把注意力集中在時均運實速度并不感興趣，而把注意力集中在時均運動上。我們把流場中任意一點的瞬時物理量看動上。我們把流場中任意一點的瞬時物理量看作是平均值和脈動值之和，然后對納維爾作是平均值和脈動值之和，然后對納維爾斯斯托克斯方程（托克斯方程（N-SN-S方程）進行統(tǒng)計平均運算，方程）進行統(tǒng)計平均運算，得到時均的雷諾方程。得到時均的雷諾方程。 1234567ffgfgfgfgf0fgf

39、gfgfxfxftftf 1.不可壓縮流體的運動微方程不可壓縮流體的運動微方程 直角坐標的直角坐標的N-SN-S方程方程 ： zyxxpFzuuyuuxuutuzxyxxxxxzxyxxx)(zyxypFzuuyuuxuutuzyyyxyyyzyyyxy)(zyxzpFzuuyuuxuutuzzyzxzzzzzyzxz)(0zuyuxuzyx （1） （2） （3） （4） 將式（將式（1）分別乘）分別乘uux x、 uuy y、 uuz z、后、后分別加到式（分別加到式（2）、（）、（3）、（）、（4）中，得運動）中，得運動方程為：方程為： zyxxpFuuzuuyxtzxyxxxxzxyx

40、xx) () ()(2zyxypFuuzuyuuxtzxxyxyyzyyyxy) ()() (2zyxzpFuzuuyuuxtzzyzxzzzzyzxz)() () (22.時均運動微分方程時均運動微分方程 對上式進行時均化運算得：對上式進行時均化運算得： )()()()()()(2zxyxxxzxyxxxuuzuuyuuyuuzuuyuxtuzyxxpFzxyxxxx0zuyuxuzyx)()()()()()(2zyyyyxzyyyxyuuzuuyuuxuuzuyuuxtu)()()()()()(2zzzyzxzzyzxzuuzuuyuuxuzuuyuuxtuzyxypFzyyyxyyzyx

41、zpFzzyzxzz把脈動項移到等式右邊，得：把脈動項移到等式右邊，得： zxyxxxxuuyuuyuuxtu)()()(zxxyxxzxyxxxxuuzuuyuuxzyxxpFzyyyyxyuuyuuyuuxtu)()()(zyyyyxzyyyxyyuuzuuyuuxzyxypF 仿照仿照4.3的的 方程，將脈動項寫為應(yīng)力形方程，將脈動項寫為應(yīng)力形式，即令：式，即令：zzyzzxzuuyuuyuuxtu)()()(zzzyzxzzyzxzzuuzuuyuuxzyxzpFSNxxxxuuyyyyuuzzzzuuyxyxxyuuzxzxxzuuzyzyxyzuu用張量表示：用張量表示：zzzyz

42、xyzyyyxyzxyxxP故運動方程改寫為：故運動方程改寫為： xzxyxxxuuzuuyuuxtu)()()(zxzxyxyxxxxxxzyxxpFyzyyyxyuuzuuyuuxtu)()()(zyzyyyyyxyxyyzyxypFzzzyzxzuuzuuyuuxtu)()()(zzzzyzyzzxzxzzyxzpF顯然，除了流體分子的粘性應(yīng)力外，還多了由脈顯然，除了流體分子的粘性應(yīng)力外，還多了由脈動所引起的應(yīng)力，這種新型應(yīng)力稱為紊流應(yīng)力或動所引起的應(yīng)力，這種新型應(yīng)力稱為紊流應(yīng)力或雷諾應(yīng)力，時均流動所滿足的方程稱為雷諾方程。雷諾應(yīng)力，時均流動所滿足的方程稱為雷諾方程。應(yīng)當指出，上述方程組

43、是不封閉的，方程的個數(shù)應(yīng)當指出，上述方程組是不封閉的，方程的個數(shù)只有四個，而未知數(shù)卻有十個，即三個速度分量，只有四個，而未知數(shù)卻有十個，即三個速度分量，一個壓強分量和六個雷諾應(yīng)力分量。為了使方程一個壓強分量和六個雷諾應(yīng)力分量。為了使方程組封閉，必須在雷諾應(yīng)力與時均速度間建立補充組封閉，必須在雷諾應(yīng)力與時均速度間建立補充關(guān)系關(guān)系紊流模型。紊流模型。 對于紊流模型，目前只有在均勻各向同性對于紊流模型，目前只有在均勻各向同性的紊流理論方面獲得了一些比較滿意的進展。的紊流理論方面獲得了一些比較滿意的進展。對各項同性紊流，有：對各項同性紊流，有： xupxttxx2yupyttyy2zupzttzz2)

44、(yuxuxytyxxy)(zuyuyztzyyz)(xuzuzxtzxxz這樣，未知變量為五個，還需要建立補充關(guān)系。這樣，未知變量為五個，還需要建立補充關(guān)系。zzyyxxtuuuuuup31)(21zzyyxxuuuuuuK動壓強動壓強紊流動能紊流動能一、普朗特理論一、普朗特理論 為了求解雷諾方程，核心問題是建立雷諾為了求解雷諾方程，核心問題是建立雷諾應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系（紊流模型），從應(yīng)力與時均速度之間的關(guān)系（紊流模型），從而使雷諾方程封閉，這里介紹一種最主要的半而使雷諾方程封閉，這里介紹一種最主要的半經(jīng)驗理論，它是普朗特提出的，稱為普朗特混經(jīng)驗理論，它是普朗特提出的，稱為普朗特混合長

45、理論。合長理論。 為了簡單起見，我們僅考慮紊流的時均運為了簡單起見，我們僅考慮紊流的時均運動是一維定常運動的情形，此時動是一維定常運動的情形，此時 ： 在紊流中取兩個平行于在紊流中取兩個平行于x 軸的流體層，其邊界軸的流體層，其邊界為為 ：)(yuuxx0zyuu)2,(yy),2(yy 由于由于y 方向存在脈動速度方向存在脈動速度 ，液體層，液體層1和和2之間將發(fā)生動量交換而產(chǎn)生紊流應(yīng)力。當之間將發(fā)生動量交換而產(chǎn)生紊流應(yīng)力。當1 1層層流體團沿流體團沿y y軸下移軸下移 落到落到2 2層，此時它和層，此時它和2 2層層液體團發(fā)生碰撞而傳遞動量，單位面積單位時液體團發(fā)生碰撞而傳遞動量，單位面積

46、單位時間內(nèi)使間內(nèi)使2 2層得到的動量：層得到的動量：yu2)2(dyuduuxxy 另一方面，另一方面，2 2層內(nèi)流體團沿層內(nèi)流體團沿y y軸上移軸上移 ，進入，進入1 1層流體，使一層得到的動量：層流體，使一層得到的動量： 這樣單位時間內(nèi)和單位面積上液體層這樣單位時間內(nèi)和單位面積上液體層2 2內(nèi)動量內(nèi)動量改變對時間的平均值為：改變對時間的平均值為：2)2(dyuduuxxy)2/()2(dyuduudyuduuxxyxxy 于是于是 由于由于1層流團進入層流團進入2 層后產(chǎn)生沿層后產(chǎn)生沿x 軸正向脈動速軸正向脈動速度：度： 2層流團進入層流團進入1 層后產(chǎn)生沿層后產(chǎn)生沿x 軸負向脈動速度：軸

47、負向脈動速度：dyuduuuxyyxxydyuduxx2dyuduxx2dyuduxx 兩流團沿相反的方向運動，遠離的結(jié)果就使得兩流團沿相反的方向運動，遠離的結(jié)果就使得一部分空間空了出來，為了填補這個空間，于一部分空間空了出來，為了填補這個空間，于是便產(chǎn)生脈動速度是便產(chǎn)生脈動速度 。所以。所以 同階，同階，故有：故有： 令：令：yuxuyu2)(dyudxxy22)(dyudxxyyu 為比例常數(shù)。再令為比例常數(shù)。再令 ， 稱為混合長，稱為混合長，則：則： 因為因為 與與 同號，故：同號，故：2222)(dyudxxyxydyudxdyuddyudxxxy2 設(shè)無界平板設(shè)無界平板 A B 上充

48、滿著不可壓縮粘性流上充滿著不可壓縮粘性流體，流體在等壓條件下沿平板方向作定常流動，體，流體在等壓條件下沿平板方向作定常流動，若板面上的切應(yīng)力為若板面上的切應(yīng)力為 ，求紊流運動的速度，求紊流運動的速度分布。如圖示，時均運動速度與分布。如圖示，時均運動速度與x 無關(guān)，即無關(guān)，即 ： 動量傳遞僅在動量傳遞僅在y 方向進行。此時雷諾方程簡化方向進行。此時雷諾方程簡化為：為： w)(yuuxx0)(22xyxdyddyud為了書寫方便起簡，將為了書寫方便起簡，將“”省略。則：省略。則： 積分后得：積分后得： 當當y=0 時時 ， ，且，且 ， 則則:0)(22xyxdyddyudcdyduxyx0 xu

49、0yu0yxwdyduwcwxyxdydu 下面分兩種情況求上述方程。下面分兩種情況求上述方程。 1）.在固壁附近，在固壁附近， 很小，而很小，而 較值大。此較值大。此時，流體的流動狀態(tài)為層流狀態(tài)，稱為層流子時，流體的流動狀態(tài)為層流狀態(tài)，稱為層流子層，這個區(qū)域的尺寸非常小。層，這個區(qū)域的尺寸非常小。 2）.在層流子層外部區(qū)域，那里在層流子層外部區(qū)域，那里 較較 大幾十乃至成百上千倍，完全可以忽略粘性應(yīng)大幾十乃至成百上千倍，完全可以忽略粘性應(yīng)力作用，流動處于完全紊流狀態(tài)，這個區(qū)域稱力作用，流動處于完全紊流狀態(tài)，這個區(qū)域稱為紊流核心區(qū)。為紊流核心區(qū)。 xydyduxxydydux1在層流子層區(qū)，在

50、層流子層區(qū)， 方程簡化為方程簡化為: 邊界條件邊界條件y=0，ux=0，故，故 C1=0，于是，于是 wxdydu1cyuwxyuwx 對上式進行無量綱化處理，令對上式進行無量綱化處理，令: 則：則： 設(shè)設(shè) 為層流與過渡區(qū)的邊界，其上的速度為層流與過渡區(qū)的邊界，其上的速度為為 ，則：，則：2*UUww*UlyulyUuxexeualUuexeaUuxeale a a是一個待定量。是一個待定量。 2紊流核心區(qū)紊流核心區(qū) 由于由于 遠遠大于遠遠大于 , 故方程簡化為：故方程簡化為：xydyduxwxwxydydul22)(222)(UdydulwxlUdydux 混合長不受粘性影響，則唯一有長度量

51、綱的是混合長不受粘性影響，則唯一有長度量綱的是y ，于是假設(shè)，于是假設(shè) 則則: 積分得積分得: : 當當 時時 ，所以，所以kyl ykUdydux1cykUuxlneyxexuu exekUucln xeexuykUu)ln()ln(1exexykUuu)ln(1*alykUaUuxakaykuln1ln1aalykUuxln)ln(1 上式中上式中a和和k為待定常數(shù)，由實驗確定。為待定常數(shù)，由實驗確定。由上式可見紊流核心區(qū)的速度剖面為對數(shù)剖面，由上式可見紊流核心區(qū)的速度剖面為對數(shù)剖面，雖然該式為無界固壁附近的紊流運動，但它揭雖然該式為無界固壁附近的紊流運動，但它揭示出來的紊流區(qū)域中的示出來

52、的紊流區(qū)域中的“對數(shù)速度分布對數(shù)速度分布”卻具卻具有普遍意義。大量的實驗表明管、槽內(nèi)的速度有普遍意義。大量的實驗表明管、槽內(nèi)的速度分布滿足這個規(guī)律。分布滿足這個規(guī)律。 akayUkUuxln1)ln(1 在工程中遇到不同的紊流運動，園管內(nèi)在工程中遇到不同的紊流運動，園管內(nèi)的紊流運動特別重要，應(yīng)用非常廣泛。而且它的紊流運動特別重要，應(yīng)用非常廣泛。而且它揭示的運動規(guī)律對理解復(fù)雜運動條件下的湍流揭示的運動規(guī)律對理解復(fù)雜運動條件下的湍流運動也很有幫助?，F(xiàn)考慮離進截面較遠，速度運動也很有幫助。現(xiàn)考慮離進截面較遠，速度剖面已經(jīng)穩(wěn)定，園管直徑為剖面已經(jīng)穩(wěn)定，園管直徑為 D，流體的密度為，流體的密度為 ，動力

53、粘度為，動力粘度為，流量為，流量為Q Q。 尼古拉才對不可壓縮粘性流體在細長光滑尼古拉才對不可壓縮粘性流體在細長光滑園管內(nèi)的紊流運動進行了大量的實驗研究，實園管內(nèi)的紊流運動進行了大量的實驗研究，實驗結(jié)果表明驗結(jié)果表明: 近壁粘性底層區(qū)：近壁粘性底層區(qū)：a=5； 過渡區(qū)：過渡區(qū)：k=0.2，a=5； 紊流核心區(qū)：紊流核心區(qū)：k=0.4，a=11.5。50y1.近壁粘性底層區(qū)近壁粘性底層區(qū)5*eeeUalal2.過渡區(qū)過渡區(qū)05. 3ln5ln1ln1yakayku305y yu( )( )3.紊流核心區(qū)紊流核心區(qū)5 . 5ln5 . 2ln1ln1yakayku( )30y 與實驗結(jié)果完全重合，

54、僅在與實驗結(jié)果完全重合，僅在 附附近，對數(shù)剖面與實驗結(jié)果相差較大，說明那已近，對數(shù)剖面與實驗結(jié)果相差較大，說明那已是過渡區(qū)和層流子層區(qū)。是過渡區(qū)和層流子層區(qū)。434. 0lnyU5 . 5ln5 . 2yUUux5 . 5ln5 . 2maxUrUuo在紊流核心區(qū)的速度分布為：在紊流核心區(qū)的速度分布為：根據(jù)圓管的特點，圓管中心速度為最大，即：根據(jù)圓管的特點，圓管中心速度為最大，即： 由于層流底層和過渡區(qū)非常小，可近似用由于層流底層和過渡區(qū)非常小，可近似用紊流核心區(qū)速度剖面代替。紊流核心區(qū)速度剖面代替。 muUorooxmdyyruru)(2120oroodyyUyrrU)5 . 5ln5 .

55、2)(220ororydryUrryU00005 . 5ln5 . 2ln5 . 2)1 (2)()ln()1 (5 . 22 )()1 ()5 . 5ln5 . 2(20000000000rydgryryUrydryUrUrrzdzzUUrUln)1 (5) 5 . 5ln5 . 2(10010220)4ln21ln(5) 5 . 5ln5 . 2 (zzzzzzUUrU)75. 35 . 5ln5 . 2(0UrU75. 1ln5 . 20UrUum75. 3maxUuum三、沿程阻力公式三、沿程阻力公式wLrrpp020212)(0212rLpppwgudLuUgdlgrlgphmmww

56、f28422220令令 ，則，則 28muU22Uum因此因此 )75. 1ln5 . 2(22110Ur619. 0ln884. 00Ur619. 02ln884. 0mmuUud619.024ln884.0eR91. 0ln884. 0eR實驗結(jié)果為：實驗結(jié)果為： 為了使用方便，尼古拉才建議下列經(jīng)驗公式：為了使用方便，尼古拉才建議下列經(jīng)驗公式： 常用常用 8 . 0Reln873. 01237. 0221. 00032. 0eR25. 03164. 0eRmud Re 紊流的速度剖面除上述對數(shù)曲線外，對光滑紊流的速度剖面除上述對數(shù)曲線外，對光滑管還可以近似采用對數(shù)公式，當管還可以近似采用對

57、數(shù)公式，當 時時 這和實驗這和實驗 結(jié)果符合得很好。結(jié)果符合得很好。610Re 7174. 8yUUu07100710)( )1 (74. 82rydryryUrUum71*0138. 7Ur7124Re138. 722111487171Re)24(22138. 7141Re3052.0 一般可將紊流核心區(qū)的速度分布表示為：一般可將紊流核心區(qū)的速度分布表示為： 當：當： Re=4104 1.1105時，時，n=6； Re= 1.1105 3.2106時，時，n=7； Re3.2106時，時， n=10。nRyuu1max 例例1： 在直徑為在直徑為0.6m的管中，假設(shè)湍流速的管中，假設(shè)湍流速度

58、分布可近似表示為度分布可近似表示為 : 若距管壁若距管壁0.15m處流體中的剪應(yīng)力為處流體中的剪應(yīng)力為6.22Nm2，試計算在該點處的混合長度和湍流常數(shù)試計算在該點處的混合長度和湍流常數(shù) 。流體的密度為流體的密度為918kgm3。7176. 3yu kalU,* 解：根據(jù)解：根據(jù)普朗特混合長理論，在紊流核心區(qū)普朗特混合長理論，在紊流核心區(qū)有有wxwxydydul22)(xyxdydul17308. 215. 076. 37176. 3717676ydyduxsmUwxy/0823. 091822. 6*2 . 015. 003. 0ylkkylsmRRydRyRyRRdyyRyuRRm/48.

59、 2945. 2152. 7276. 371071712071)(03. 091822. 67308. 21ml00881. 048. 20823. 08822muU166341500881. 03164. 03164. 03164. 04425. 0eeRRspaududmm.000821. 0166341548. 26 . 0918ReRemUl5*10087. 10823. 0918000821. 0smaUuxe/4115. 050823. 0mmmale05345. 010345. 5510087. 155例例2：若湍流光滑管的流速分布規(guī)律為：若湍流光滑管的流速分布規(guī)律為：C為與實驗

60、有關(guān)的常數(shù)，試證明，為與實驗有關(guān)的常數(shù)，試證明，myUCUu*mmRUmmCUu*212mRmmmRmmRmRmRUmmCURymmRyRymRUCURydRyRyRUCURdyyRyUCURdyyRuu*021*0*20*2021221111121222mmRUmmCUu*212 例例3： 有有20的水分別以的水分別以(1)6.1ms、 (2) 0.61ms的平均速度流經(jīng)直徑為的平均速度流經(jīng)直徑為102mm的水平光的水平光滑管道。試求滑管道。試求r38mm處的速度、剪切應(yīng)力和混處的速度、剪切應(yīng)力和混合長度。合長度。 解：查表解：查表20的水的動力粘度的水的動力粘度=0.001pa.s，密，密