2011年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第九講幾何圖形的歸納、猜(精)

1、C 3中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第九講幾何圖形的歸納，猜想，證明問題【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察 但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。08年的中考填空壓軸是一道代數(shù)歸納題，已經(jīng)展現(xiàn)出了這種趨勢。09 年的一模，二模 也只是較少的區(qū)縣出了這種歸納題，然而中考的時候就出了一道幾何方面的n 等分點(diǎn)總結(jié)問題。 于是今年的一模二模，這種有關(guān)幾何的歸納，猜想問題鋪天蓋地而來，這 就是一個重要的風(fēng)向標(biāo)。而且根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有 同學(xué)選擇+填空就只錯了這一道。對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要

2、的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對這種新題型。第一部分真題精講【例 1】2010,海淀，一模如圖,n +1 個邊長為 2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè) 211B D C ?的面 積為 1S ,322B D C ?的面積為 2S ,1n n n B D C +?勺面積為 n S，則 2S = ;n S =（用含 n 的式子表示.D 4D 3D 2D 1C 5C 41121B 5B 4B 3B 2B 1A【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本 題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯。但是如果不標(biāo)就會有同學(xué)誤以為所求的面積 是22B AC ?,33B

3、 AC ?這種的，第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系首 先2S 所代表的三角形的底邊 2C 2D 是三角形 2AC 2D 的底邊，而這個三角形和 3AC 3B 是相似 的所以邊長的比例就是 2AC 與 3AC 的比值.于是2122323233S =接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個最大的共性就是高相等，為 3（連 接上面所有的 B 點(diǎn),將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C 點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出n D 自然是所在邊上的 n+1 等分點(diǎn).例如 2D 就是 2B 2C 的一個三等分點(diǎn).于是n

4、n n D C n +-=A y x? +(n+1-1 是什么意思？為什么要減 1?11123332211S D C n n +?=+【例 2】2010,西城，一模在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為 1 且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn) 正方形，如圖，菱形 ABCD 的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(80-,(04,(80,(04-,則菱形 ABCD 能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)是 _個;若菱形 n n n n A B C D 的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(20-,n ,(0,n ,(20,n ,(0-,n (n 為正整數(shù)，則菱形 n n n n A B C D 能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)為 _用含有

5、n 的式子表示.-8-448ODC B【思路分析】此題方法比較多 例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是 48(笑。這筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟?正方形個數(shù)，所以只需求出被 X,Y 軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以 4 即可。 比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過(-2 n,0(0, n,自然可以寫出直線解析式為12y x n =+,斜率 12意味著什么？看上圖，注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形，這些 RT 三角形一共有2n/2=n 個，他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是 12?而且這些直角三角形都是全等的，面積均為兩個單位格點(diǎn)正方形的一

6、半.那么整 個的 AOB 的面積自然就是 122n n ? ?,所有 n 個空白小三角形的面積之和為1212n ?,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積2n n -,也就是數(shù)量了 .所以整個菱形的正方形格點(diǎn)就是 244n n -.【例 3】2010,平谷，一模第一個梯形上底是 1,下底是 3,所以(11如圖,45AOB / =?，過 OA 上到點(diǎn) O 的距離分別為 1357911.,的點(diǎn)作OA的垂線與OB 相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為 1S S S S，”，則第一個黑色梯形的面積 1S =;觀察圖中的規(guī)律，第 n (n 為正整數(shù)個黑色梯形的面積1311975310S 4S 3

7、S 2S 1【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個直角梯形，而因?yàn)?5AOB / =?，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到 0 點(diǎn)的距離,而高則 是固定的 2。13242S =? +?=.第二個梯形面積（21572122S =? +?=，第三個是（319112202S =? +?=,至此，我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上4。于是第 n 個梯形的上底就是 1+4（n-仁 4n-3,（第一個梯形的上底 1 加上（n-1 個 4.下底自然就是 4n-1,于 是 n S 就是 8n-4.【例 4】2010,豐臺，一模在平面直角坐

8、標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)請你觀察圖中正方形 A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,A 3B 3C 3D 3 每個正方形四條邊上的整點(diǎn)的個數(shù)按此規(guī)律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10 四條邊上的整點(diǎn)共有 個yxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住 正方形”這個關(guān)鍵就可以了。對于 n nn n A B C D 來說，每條邊的長度是 2n,那么自然整點(diǎn)個數(shù)就是 2n+1,所以四條 邊上整點(diǎn)一共有（2n+1x4-4=8n（個（要減去四個被重復(fù)算的頂點(diǎn)，

9、于是 10101010A B C D 就是80 個【例 5】2010,宣武，一模如圖, ABC 中,/ ACB=90 ,AC=BC=1,取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去,直到所畫直角三角形的斜邊與 ABC 的 BC 邊 重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為_.【思路分析】本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān) 鍵詞中點(diǎn)”垂線”等腰直角”這就意味著每個三角形的銳角都是 45 度，并且直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈是360 度,包涵了 8 個 45于是繞到第八次就可以和 BC 重疊了，此時邊長為 ABC 的81，故而得解?！纠?6】2

10、010，門頭溝，一模如圖,以等腰三角形 AOB 的斜邊為直角邊向外作第ABA ,再以等腰直角三角形 1ABA 的斜邊為直角邊向外作第 3 個等腰直角三角形1A BB,如此作下去，若 1OA OB =,則第 n 個等腰直角三角形的面積 nS =_ (n 為正整數(shù).2 個等腰直角三角形 1A【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得123124.222S S S =，分子就是 1,2,4,8,16 這樣的數(shù)列。于是 22【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題，首先就是

11、要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括 了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去 求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時，不妨先寫出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找 數(shù)式上的規(guī)律，如上面例 6 就是一例,如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的 平方,反而會使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。 這類題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請考生細(xì)心掌握。第二部分發(fā)散思考 【思考 1】2009,西城，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，B (0,1 , B (0,3 , B (0,6 , 1

12、 2 3 B4 (0,10 ,，以 B1 B2 為對角線作第 一個正方形 A1 B1C1 B2，以 B2 B3 為對角線作第二個正方形 A2 B2 C2 B3，以 B3 B4 為對角線作第 三個正方形 A B C B ,，如果所作正方形的對角線 B B 都 在 n n +1 3 3 3 4 y 軸上， 且 B B 的長度依次增加 1 個單位， 頂點(diǎn) A 都在第一象 n n +1 n 限內(nèi)(n1且 n 為整數(shù))那么 A 的縱坐標(biāo)為 1 ；用 n 的代數(shù)式表示 A 的 縱坐標(biāo)：n .【思考 2】2009,朝陽，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋 子從點(diǎn) P 處開始跳動，第一 次跳到點(diǎn) P 關(guān)于

13、x 軸的對稱點(diǎn) P 處，接著跳到點(diǎn) P 關(guān) 于 y 軸 1 1 的對稱點(diǎn) P 處，第三次再跳到點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)處，2 2 如此 循環(huán)下去.當(dāng)跳動第 2009 次時，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是.【思考 3】2009,昌平，一 模對于大于或等于 2 的自然數(shù) n 的平方進(jìn)行如下 分裂”分裂成 n 個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù) 7 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 2，自然數(shù) n 2 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.1 31 3 5【思考 4】2009,延慶，一模一個質(zhì)點(diǎn)在第一象限及 x 軸、y 軸上運(yùn)動，在第 一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動到（0,，然后 1 接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，即（0，-（0，（11 （1 ，且每秒移動一個單 0 1 ， 0 位，那么第 35 秒時質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_ y 3 2 1 0 1 2 3思考 5】2009,海淀，二模如圖，將邊長為 1 + n 2 （ n = 1,2, 3,?的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應(yīng)的正方形的中心依次為 A