華南師范大學(xué)電磁學(xué)習(xí)題課-電磁感應(yīng)

1、 電電 磁磁 感感 應(yīng)應(yīng) 習(xí)題、例題分析習(xí)題、例題分析+10.1 在通有電流在通有電流I =5A的長(zhǎng)直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線段的長(zhǎng)直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線段ab，長(zhǎng)長(zhǎng)l=20cm，離長(zhǎng)直導(dǎo)線距離，離長(zhǎng)直導(dǎo)線距離d=10cm. 當(dāng)它沿平行于長(zhǎng)當(dāng)它沿平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的方向以速度直導(dǎo)線的方向以速度v=10m/s平移時(shí)，導(dǎo)線段中的感應(yīng)平移時(shí)，導(dǎo)線段中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)多大？電動(dòng)勢(shì)多大？a，b哪端電勢(shì)高？哪端電勢(shì)高？abvdl解：解：方法一方法一:利用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式利用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式 據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式可得這一導(dǎo)線元段產(chǎn)據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式可得這一導(dǎo)線元段產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為lddabdxxIv20 x如圖所示，建

2、立如圖所示，建立x軸軸.dxx在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為x處取一長(zhǎng)為處取一長(zhǎng)為dx的導(dǎo)線元段的導(dǎo)線元段l dBvd)(積分得積分得dldIvln20負(fù)號(hào)表示動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向是由負(fù)號(hào)表示動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向是由b指向指向a，故，故a端電勢(shì)高端電勢(shì)高.vBdxdxxIv20)(101 . 15VdSvdtab方法二方法二:利用法拉第電磁感應(yīng)定律公式利用法拉第電磁感應(yīng)定律公式x如圖所示，建立如圖所示，建立x軸軸. 在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為在導(dǎo)線段上坐標(biāo)為x處取一長(zhǎng)為處取一長(zhǎng)為dx的導(dǎo)的導(dǎo)線元段線元段. 設(shè)在設(shè)在dt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線段從時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線段從a b 位置平移到位置平移到ab位置，則導(dǎo)線元段掃過(guò)的面積為位置

3、，則導(dǎo)線元段掃過(guò)的面積為dS.dS=vdtdx那么在那么在dt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線段ab掃過(guò)的面積的磁通量為掃過(guò)的面積的磁通量為SSdBdldddxdtxIv20dtdldIvln20據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得dtddldIvln20)(101 . 15Va b vdldxx設(shè)面積元的正方向?yàn)榇怪庇谄聊幌騼?nèi)設(shè)面積元的正方向?yàn)榇怪庇谄聊幌騼?nèi)負(fù)號(hào)表示動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向是由負(fù)號(hào)表示動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向是由b指向指向a，故，故a端電勢(shì)高端電勢(shì)高.410.4 如圖所示，矩形線圈共如圖所示，矩形線圈共1103匝，寬匝，寬a=10cm，長(zhǎng)，長(zhǎng)L=20cm，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有交變電流，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有

4、交變電流i=5sin100tA，線，線圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)將為多大？圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)將為多大？解：解：方法一方法一: 利用公式利用公式dtdi通過(guò)矩形線圈的磁鏈為通過(guò)矩形線圈的磁鏈為SSdBNNx0如圖所示，建立如圖所示，建立ox軸軸.addLdxxiN20dadLiNln20那么線圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)為那么線圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)為dtdidadLNdtdiln20tdadLN100cos1005ln20)(100cos104 . 42Vt d aLi5SiSdtBN如圖所示，建立如圖所示，建立ox軸軸.x0方法二方法二:利用公式利用公式SiSdtBN線圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)為線圈內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)為addLdxd

5、tdixN20dadtLNln100cos100520)(100cos104 . 42Vt d aLi6baobaoi10.5 在半徑為在半徑為R的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)的均勻磁場(chǎng). 有一長(zhǎng)為有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒放在磁場(chǎng)中，如圖所的金屬棒放在磁場(chǎng)中，如圖所示示. 設(shè)磁場(chǎng)在增強(qiáng)，并且設(shè)磁場(chǎng)在增強(qiáng)，并且 已知，求棒中的感生電動(dòng)已知，求棒中的感生電動(dòng)勢(shì)，并指出哪端電勢(shì)高勢(shì)，并指出哪端電勢(shì)高.dtdBRoLab解解: 方法一方法一 利用公式利用公式dtdi連接連接oa、ob，設(shè)回路，設(shè)回路aoba的面積為的面積為S.則回路中的感生電動(dòng)勢(shì)為則回路中的感生

6、電動(dòng)勢(shì)為dtdBSdtdihLS21又又由于圓柱形體積內(nèi)的感生電場(chǎng)由于圓柱形體積內(nèi)的感生電場(chǎng)obEaoEii，故故ibaobao，042122LRL22441LRL7dtdBLRL22441RoLabdtdBSiba所以所以 負(fù)號(hào)表示金屬棒中的感生電動(dòng)勢(shì)的實(shí)負(fù)號(hào)表示金屬棒中的感生電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向是由際方向是由a指向指向b，故，故b端電勢(shì)高端電勢(shì)高.8)(2RredtdBrEiRoLab方法二方法二 利用公式利用公式Liil dE 由課本由課本P328例題例題10.2的結(jié)果可知圓柱的結(jié)果可知圓柱形體積內(nèi)的感生電場(chǎng)為形體積內(nèi)的感生電場(chǎng)為其中其中 的方向與磁場(chǎng)的方向與磁場(chǎng)B的方向滿足右手螺旋關(guān)系的方

7、向滿足右手螺旋關(guān)系e l dEdiil dedtdBr2)cos(2dldtdBrdldtdBrcos2dliEhe r在金屬棒上取一微元段在金屬棒上取一微元段 ，如圖所示，如圖所示.l d那么在這微元段那么在這微元段 上的感生電動(dòng)勢(shì)為上的感生電動(dòng)勢(shì)為l ddldtdBh2積分得積分得LabdldtdBh02dtdBhL2dtdBLRL224419dtdBLRLab22441由于題目假設(shè)由于題目假設(shè)0dtdB所以所以0ab 這表示這表示 的實(shí)際方向與積分方向相同，即的實(shí)際方向與積分方向相同，即 的方向是由的方向是由a指向指向b. abab 故故b端電勢(shì)比端電勢(shì)比a端電勢(shì)高端電勢(shì)高.RoLabd

8、liEhe r1010.14 一圓環(huán)形線圈一圓環(huán)形線圈a由由50匝細(xì)線繞成，截面積為匝細(xì)線繞成，截面積為4.0cm2,放在另一個(gè)匝數(shù)等于放在另一個(gè)匝數(shù)等于100匝，半徑為匝，半徑為20.0cm的圓環(huán)形線的圓環(huán)形線圈圈b的中心，兩線圈同軸的中心，兩線圈同軸. 求求(1)兩線圈的互感系數(shù)；兩線圈的互感系數(shù)；(2)當(dāng)線圈當(dāng)線圈a中的電流以中的電流以50A/s的變化率減少時(shí)，線圈的變化率減少時(shí)，線圈b的磁通量的變化率；的磁通量的變化率；(3)線圈線圈b的感生電動(dòng)勢(shì)的感生電動(dòng)勢(shì).ab解解: (1) 設(shè)線圈設(shè)線圈b通以通以Ib的電流的電流. 由題目由題目所給數(shù)據(jù)可知，線圈所給數(shù)據(jù)可知，線圈a比線圈比線圈b

9、小得多小得多,所以可以認(rèn)為線圈所以可以認(rèn)為線圈a中的磁場(chǎng)是均勻中的磁場(chǎng)是均勻磁場(chǎng)，其大小可認(rèn)為等于中心處的磁磁場(chǎng)，其大小可認(rèn)為等于中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度感應(yīng)強(qiáng)度. 故通過(guò)線圈故通過(guò)線圈a的磁鏈為的磁鏈為aaoabSNBaabbbSNRIN2011aabbbabSNRIN20ab故兩線圈的互感系數(shù)為故兩線圈的互感系數(shù)為babababRSNNIM20)(103 . 66H(2)當(dāng)線圈當(dāng)線圈a中的電流以中的電流以50A/s的變化率減少時(shí)，線圈的變化率減少時(shí)，線圈b的的磁通量的變化率為磁通量的變化率為dtdNdtdbbb1dtdNbbbab)(1dtdNbab1)/(101 . 36sWbdtdiNMab

10、(3)據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得線圈據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得線圈b的感生電動(dòng)勢(shì)為的感生電動(dòng)勢(shì)為)(101 . 34VdtdNbbb1210.15 半徑為半徑為2.0cm的螺線管，長(zhǎng)的螺線管，長(zhǎng)30.0cm，上面均勻密繞，上面均勻密繞1200匝線圈，線圈內(nèi)為空氣匝線圈，線圈內(nèi)為空氣.(1) 求這螺線管中自感多大？求這螺線管中自感多大？(2)如果在螺線管中電流以如果在螺線管中電流以3.0102A/s的速率改變，在的速率改變，在線圈中產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)多大？線圈中產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)多大？解：解： (1)由公式得這螺線管中的自感為由公式得這螺線管中的自感為VnL20)(106 . 73220HRlN(2)如

11、果在螺線管中電流以如果在螺線管中電流以3.0102A/s的速率改變，在的速率改變，在線圈中產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)大小為線圈中產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)大小為)(3 . 2VdtdiL1310.22 實(shí)驗(yàn)室中一般可獲得強(qiáng)磁場(chǎng)約為實(shí)驗(yàn)室中一般可獲得強(qiáng)磁場(chǎng)約為2.0T，強(qiáng)電場(chǎng)約，強(qiáng)電場(chǎng)約為為1106V/m. 求相應(yīng)的磁場(chǎng)能量密度和電場(chǎng)能量密度求相應(yīng)的磁場(chǎng)能量密度和電場(chǎng)能量密度多大？哪種場(chǎng)更有利于儲(chǔ)存能量？多大？哪種場(chǎng)更有利于儲(chǔ)存能量？解：相應(yīng)的磁場(chǎng)能量密度和電場(chǎng)能量密度分別為解：相應(yīng)的磁場(chǎng)能量密度和電場(chǎng)能量密度分別為)/(106 . 123602mJBwm)/(4 . 42320mJEwe由以上結(jié)果可知，磁場(chǎng)更有利

12、于儲(chǔ)存能量由以上結(jié)果可知，磁場(chǎng)更有利于儲(chǔ)存能量1410.23 可能利用超導(dǎo)線圈中的持續(xù)大電流的磁場(chǎng)儲(chǔ)存可能利用超導(dǎo)線圈中的持續(xù)大電流的磁場(chǎng)儲(chǔ)存能量能量. 要儲(chǔ)存要儲(chǔ)存1kWh的能量，利用的能量，利用1.0T的磁場(chǎng)，需要的磁場(chǎng)，需要多大體積的磁場(chǎng)？若利用線圈中的多大體積的磁場(chǎng)？若利用線圈中的500A的電流儲(chǔ)存上的電流儲(chǔ)存上述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)多大？述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)多大？解：解： 所需要磁場(chǎng)的體積為所需要磁場(chǎng)的體積為)(0 . 92320mBWwWVmmm 若利用線圈中的若利用線圈中的500A的電流儲(chǔ)存上述能量，則該線的電流儲(chǔ)存上述能量，則該線圈的自感系數(shù)應(yīng)為圈的自感系數(shù)應(yīng)為)

13、(2922HIWLm1510.3 如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流I=5A，另一矩形，另一矩形線圈共線圈共1103匝，寬匝，寬a=10cm，長(zhǎng)，長(zhǎng)L=20cm，以，以v=2m/s的速度向右平動(dòng)的速度向右平動(dòng). 求當(dāng)求當(dāng)d=10cm時(shí)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).解：線圈在向右平動(dòng)時(shí)，左、右兩邊產(chǎn)生解：線圈在向右平動(dòng)時(shí)，左、右兩邊產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，而上、下兩邊不產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，而上、下兩邊不產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì). 因此線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為因此線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 d aLvI右左lvBBN）（右左lvadIdIN)(2200)(1023V左右1610.9 一種

14、用小線圈測(cè)磁場(chǎng)的方法如下：做一個(gè)小線一種用小線圈測(cè)磁場(chǎng)的方法如下：做一個(gè)小線圈，匝數(shù)為圈，匝數(shù)為N，面積為，面積為S，將它的兩端與一測(cè)電量的，將它的兩端與一測(cè)電量的沖擊電流計(jì)相連沖擊電流計(jì)相連. 它和電流計(jì)線路的總電阻為它和電流計(jì)線路的總電阻為R. 先把先把它放到被測(cè)磁場(chǎng)處，并使線圈平面與磁場(chǎng)方向垂直它放到被測(cè)磁場(chǎng)處，并使線圈平面與磁場(chǎng)方向垂直,然后急速地把它移到磁場(chǎng)外面，這時(shí)電流計(jì)給出通然后急速地把它移到磁場(chǎng)外面，這時(shí)電流計(jì)給出通過(guò)的電量是過(guò)的電量是q. 試用試用N、S、q、R表示待測(cè)磁場(chǎng)的大小表示待測(cè)磁場(chǎng)的大小.解：線圈移動(dòng)時(shí)通過(guò)沖擊電流計(jì)的總電量為解：線圈移動(dòng)時(shí)通過(guò)沖擊電流計(jì)的總電量為t

15、idtq0tdtR0tdtdtdR0)(101dRRRNBS故待測(cè)磁場(chǎng)的大小為故待測(cè)磁場(chǎng)的大小為NSqRB 17解：圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小方塊內(nèi)產(chǎn)生的徑向電動(dòng)勢(shì)為解：圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小方塊內(nèi)產(chǎn)生的徑向電動(dòng)勢(shì)為rBaBlv 以小方塊為以小方塊為“電源電源”所在，外電路是圓盤(pán)的其余部所在，外電路是圓盤(pán)的其余部分分,而外電路的電阻可以認(rèn)為為零而外電路的電阻可以認(rèn)為為零.“內(nèi)電路內(nèi)電路”的電阻為的電阻為babaR內(nèi)所以通過(guò)小方塊的徑向電流為所以通過(guò)小方塊的徑向電流為rBabRI內(nèi)10.11 電磁阻尼電磁阻尼. 一金屬圓盤(pán)，一金屬圓盤(pán)，電阻率為電阻率為，厚度為，厚度為b b. . 在轉(zhuǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，在離轉(zhuǎn)軸動(dòng)過(guò)程中

16、，在離轉(zhuǎn)軸r處面積為處面積為a2 2的的小方塊內(nèi)加以垂直于圓盤(pán)小方塊內(nèi)加以垂直于圓盤(pán)的磁場(chǎng)的磁場(chǎng)B，如圖所示，如圖所示. 試導(dǎo)出當(dāng)試導(dǎo)出當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速為圓盤(pán)轉(zhuǎn)速為時(shí)阻礙圓盤(pán)的電磁力矩的近似表達(dá)式時(shí)阻礙圓盤(pán)的電磁力矩的近似表達(dá)式.obaarNI18obaarNIrBabI故小方塊所受的電磁阻尼力矩大小為故小方塊所受的電磁阻尼力矩大小為bBarBIarfrM2)(方向與沿圓盤(pán)角速度方向相反方向與沿圓盤(pán)角速度方向相反f小方塊所受的力安培力大小為小方塊所受的力安培力大小為rbBaBIaf2)(方向與沿小方塊的速度方向相反方向與沿小方塊的速度方向相反1910.18兩條平行的輸電線半徑為兩條平行的輸電線半徑為

17、a，二者中心相距為，二者中心相距為D，電流一去一回電流一去一回. 若忽略導(dǎo)線內(nèi)的磁場(chǎng)，證明這兩條輸若忽略導(dǎo)線內(nèi)的磁場(chǎng)，證明這兩條輸電線單位長(zhǎng)度的自感為電線單位長(zhǎng)度的自感為證明：兩條平行的輸電線一去一回構(gòu)成一長(zhǎng)窄條證明：兩條平行的輸電線一去一回構(gòu)成一長(zhǎng)窄條回路，可以引入單位長(zhǎng)度的自感的概念回路，可以引入單位長(zhǎng)度的自感的概念. 當(dāng)電線中當(dāng)電線中通有電流通有電流I時(shí)，通過(guò)導(dǎo)線間單位長(zhǎng)度的面積時(shí)，通過(guò)導(dǎo)線間單位長(zhǎng)度的面積S的磁的磁通量為通量為aaDLln01 a DSaDadrB 121aDadrrI220aaDIln0那么這兩條輸電線單位長(zhǎng)度的自感為那么這兩條輸電線單位長(zhǎng)度的自感為aaDILln01

18、2010.19 兩個(gè)平面線圈，圓心重合地放在一起，但軸線兩個(gè)平面線圈，圓心重合地放在一起，但軸線正交正交. 二者的自感系數(shù)分別為二者的自感系數(shù)分別為L(zhǎng)1和和L2，以，以L表示二者表示二者相連結(jié)時(shí)的等效自感，試證明：相連結(jié)時(shí)的等效自感，試證明：(1) 兩線圈串聯(lián)時(shí)，兩線圈串聯(lián)時(shí)，LL1+L2；(2) 兩線圈并聯(lián)時(shí)，兩線圈并聯(lián)時(shí)，21111LLLL2L1證明：證明： 因?yàn)閮删€圈正交，故各自的因?yàn)閮删€圈正交，故各自的B線不會(huì)在線不會(huì)在另一線圈產(chǎn)生磁通量，故不存在互感電動(dòng)勢(shì)另一線圈產(chǎn)生磁通量，故不存在互感電動(dòng)勢(shì).(1)兩線圈串聯(lián)時(shí)，兩線圈串聯(lián)時(shí)，2121iii，而而dtdiLdtdiLdtdiL222

19、111，由以上各式得由以上各式得 LL1+L221L2L1(2) 兩線圈并聯(lián)時(shí)，兩線圈并聯(lián)時(shí)，2121iii，而而222111LdtdiLdtdiLdtdi，由以上各式得由以上各式得 21111LLL2212 34L1L2M10.20 兩線圈的自感分別為兩線圈的自感分別為L(zhǎng)1和和L2，它們之間的互感為，它們之間的互感為M，如圖所示如圖所示.(1) 當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端端相連，相連，1，4端接入電路時(shí)端接入電路時(shí),證明二者的等效自感為證明二者的等效自感為L(zhǎng)=L1+L2+2M；(2) 當(dāng)二者反串聯(lián)，即當(dāng)二者反串聯(lián)，即2，4端相連，端相連，1，3端接入電路時(shí)端接入電路時(shí),證明二者

20、的等效自感為證明二者的等效自感為L(zhǎng)=L1+L22M.證明：證明： (1)當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端相連，端相連，1，4端接入電路時(shí)端接入電路時(shí),如圖如圖1所示所示. 當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線圈產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁圈產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同產(chǎn)生的磁通量方向相同.111122221212212112 34L1L2M圖圖1IIII23于是有于是有2221212111，21 對(duì)于兩個(gè)線圈組成的系統(tǒng)對(duì)于兩個(gè)線圈組成的系統(tǒng),其磁通量為其磁通量為又又21III12122222121111MIILMIILLI

21、，由以上各式可得由以上各式可得MLLL22112 34L1L2M圖圖1IIII1111222212122121241111222212122121(2)當(dāng)二者反串聯(lián)，即當(dāng)二者反串聯(lián)，即2，4端端相連，相連，1，3端接入電路時(shí)端接入電路時(shí),如如圖圖2所示所示. 當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線圈產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁圈產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相反產(chǎn)生的磁通量方向相反.于是有于是有2221212111， 對(duì)于兩個(gè)線圈組成的系統(tǒng)對(duì)于兩個(gè)線圈組成的系統(tǒng),其磁通量為其磁通量為21又又21III12122222121111MIILM

22、IILLI，由以上各式可得由以上各式可得MLLL221圖圖2IIII12 34L1L2M25方法二方法二證明：證明： (1)當(dāng)二者順串聯(lián)，即當(dāng)二者順串聯(lián)，即2，3端相連，端相連，1，4端接入電路時(shí)端接入電路時(shí),如圖如圖1所示所示.1111222212122121 當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線圈當(dāng)有電流通過(guò)時(shí)，任一線圈產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁通量的方向和產(chǎn)生的通過(guò)另一線圈的磁通量的方向和另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同另一線圈自身產(chǎn)生的磁通量方向相同.當(dāng)電流當(dāng)電流I變化時(shí)變化時(shí)(例如例如I增加增加)，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的感生電動(dòng)，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)方向相同勢(shì)方向相同,都與電流方向相反都與電流方向相反.12于是有于是有21III又又2122212111，dtdIMdtdILdtdIM