控制測量學(xué)課件第五講

1、第五講第五講 法截線法截線與大地線與大地線五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)1、定義、定義5.4 法截線與大地線法截線與大地線法截線法截線AaB：過A點(diǎn)法線AKa和B點(diǎn)的法截面與橢球面的交線，稱A點(diǎn)對(duì)B點(diǎn)的法截線；法截線法截線BbA：過B點(diǎn)法線BKb和A點(diǎn)的法截面與橢球面的交線，稱B點(diǎn)對(duì)A點(diǎn)的法截線。法截線法截線AaB與法截線與法截線BbA合合稱稱A、B兩點(diǎn)間的相對(duì)法截線。兩點(diǎn)間的相對(duì)法截線。A A點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)B B點(diǎn)的正法截線點(diǎn)的正法截線B B 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)A A點(diǎn)的正法截線點(diǎn)的正法截線五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal

2、 sections)2、相對(duì)法截線不重合的原因、相對(duì)法截線不重合的原因5.4 法截線與大地線法截線與大地線A、B兩點(diǎn)的法線不在同兩點(diǎn)的法線不在同一平面上。一平面上。3、相對(duì)法截線重合的原因、相對(duì)法截線重合的原因A、B兩點(diǎn)的法線在同一兩點(diǎn)的法線在同一平面上。平面上。即兩點(diǎn)位于同一平行圈或即兩點(diǎn)位于同一平行圈或同一子午圈上。同一子午圈上。五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)4、相對(duì)法截線不重合時(shí)的位置規(guī)律、相對(duì)法截線不重合時(shí)的位置規(guī)律5.4 法截線與大地線法截線與大地線緯度高的點(diǎn)對(duì)緯度低的點(diǎn)緯度高的點(diǎn)對(duì)緯度低的點(diǎn)的法截線在上，緯度低的的法截線在上，緯

3、度低的點(diǎn)對(duì)緯度高的點(diǎn)的法截線點(diǎn)對(duì)緯度高的點(diǎn)的法截線在下。在下。abABOKOKBB，可以證明：如BBBBBeaeOKeaeOKeaWWaNeKQBKQOKbaaaa22222112221222111sinsin1sinsin1sin1/Nsin同理l 由上可知，橢球面上點(diǎn)的法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)：l 1）交點(diǎn)位置僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)；l 2）若兩點(diǎn)B2B1，則有OKbOKa；l 3）B 相等（平行圈上）的所有點(diǎn)，其法線交短軸于一點(diǎn)；l 4）L 相同，B不等的所有點(diǎn)的法線，與旋轉(zhuǎn)軸相交不在一點(diǎn)，但在一個(gè)平面內(nèi)；l 5）B0（赤道上）所有點(diǎn)的法線交于橢球O點(diǎn)；l 6）L不同，B不同的兩點(diǎn)，其法線將在空間

4、交錯(cuò)，而互不相交。五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)4、相對(duì)法截線不重合時(shí)的位置規(guī)律、相對(duì)法截線不重合時(shí)的位置規(guī)律5.4 法截線與大地線法截線與大地線緯度高的點(diǎn)對(duì)緯度低的點(diǎn)緯度高的點(diǎn)對(duì)緯度低的點(diǎn)的法截線在上，緯度低的的法截線在上，緯度低的點(diǎn)對(duì)緯度高的點(diǎn)的法截線點(diǎn)對(duì)緯度高的點(diǎn)的法截線在下。在下。五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線5、相對(duì)法截線造成的問題、相對(duì)法截線造成的問題5.4 法截線與大地線法截線與大地線設(shè)想當(dāng)橢球面上的三個(gè)點(diǎn)（經(jīng)緯度均不相同）以各自法線為準(zhǔn)進(jìn)行互相觀測時(shí)，則此三角形將存在六條邊，從而造成了幾何圖形的破裂。顯然，不能依據(jù)這種破裂的幾

5、何圖形進(jìn)行進(jìn)行計(jì)算。BCACBALLLBBB，五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)5.4 法截線與大地線法截線與大地線BAaKBK0Ab6、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量A： 儀器中心A0 ： 儀器中心或標(biāo)石中心 的橢球面投影點(diǎn)B： 覘標(biāo)中心b ： 覘標(biāo)中心或標(biāo)石中心 的橢球面投影點(diǎn)AKa： A或A0的橢球面法線BKb： B或b的橢球面法線NS五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)5.4 法截線與大地線法截線與大地線BAaKBK0Abb6、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量、與實(shí)

6、際問題的聯(lián)系地面三角測量以A 或A0橢球面法線為準(zhǔn)，照準(zhǔn)B點(diǎn)的照準(zhǔn)面：NSA0 bAKa B或A0 Ka B相應(yīng)的法截線為：A0 b以A 或A0橢球面法線為準(zhǔn)，照準(zhǔn)b點(diǎn)的照準(zhǔn)面：AKa b或A0 Ka b相應(yīng)的法截線為：五、相對(duì)法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)5.4 法截線與大地線法截線與大地線BA2aKBK0Abb6、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量一般情況下，A0 b與A0 b不重合，其夾角稱為標(biāo)高差改正，記為2NS1）A、B兩點(diǎn)同經(jīng)度或同緯 度；2）B點(diǎn)在橢球面上。A0 b與A0 b重合的情況，即2為0的情況：五、相對(duì)

7、法截線五、相對(duì)法截線(reciprocal normal sections)5.4 法截線與大地線法截線與大地線BAaKBK0Ab6、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量、與實(shí)際問題的聯(lián)系地面三角測量NSA、B互相照準(zhǔn)地面三角形投影到橢球面六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線1、定義、定義定義定義 1 ：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。Kddss2211PPPBA線法曲面切平面密切平面六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線1、定義、定義定義定義 2 ：大地線是一

8、曲面曲線，在該曲線上任一點(diǎn)的曲線主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合。六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1 ：大地線是橢球面上兩點(diǎn)間的最短線 。六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 2 ：大地線是無數(shù)法截線弧素的連線 。注：1）橢球面上的法截線除子午圈和赤道是大地線外，其它法截線都不是大地線。2）法截線只是通過某點(diǎn)的一個(gè)法截面，而大地線是通過沿線各點(diǎn)的所有法截面。六、大地線六、大地線5.4 法截線與大地線法截線與大地線2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 3 ：橢球面上的

9、大地線是雙重彎曲的曲線。注：1）橫向彎曲（撓率）：2）縱向彎曲（曲率）；3）順著大地線的方向去看，橢球面上的大地線一般不呈直線，而呈現(xiàn)微微彎曲的“ S ”形。六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 4 ：大地線位于相對(duì)法截線之間。注：1）通常情況下，大地線靠近正法截線，它分相對(duì)法截線的夾角約為二比一即u:v=2:1；2）在平行圈上相對(duì)法截線雖然合而為一，但大地線、法截線和平行圈三者都不重合。在北半球，大地線在上，法截線居中，平行圈在下。六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線3、

10、大地線微分方程、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式。AdSMdBcosAdSrdLsinBNrcosBdSNAdLdSMAdBsecsincos適用于橢球面適用于橢球面上的任意曲線上的任意曲線六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線3、大地線微分方程、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式。BNcBdLNPTBdLNPTrdLdAotcoscosBdLdAsinBdSNAdAtansinBdSNAdLdSMAdBsecsincos大地線專有大地線專有微分方程微分方程六、大地線六、大地線5.4 法截

11、線與大地線法截線與大地線3、大地線微分方程、大地線微分方程大地線長度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式，它們是橢球面上大地坐標(biāo)計(jì)算的基礎(chǔ)。BdSNAdABdSNAdLdSMAdBtansinsecsincosAtgBNSABANSLAMSBsinsecsincos六、大地線六、大地線5.4 法截線與大地線法截線與大地線4、大地線的克萊勞方程、大地線的克萊勞方程BdSNAdABdSNAdLdSMAdBtansinsecsincosdSBNBAdAcossinsin dBAMdScos BNBdBMAAdAcossincossin drBdBM sinrdrAAdAcossin CAr sin

12、rdrctgAdAlnsinlnlnArC六、大地線六、大地線(geodesic line)5.4 法截線與大地線法截線與大地線4、大地線的克萊勞方程、大地線的克萊勞方程CAr sin說明：1）橢球面上，大地線上各點(diǎn)的平行圈半徑與該點(diǎn)大地線方位角的正弦之積為一常數(shù)。2）它是長距離大地問題解算的基礎(chǔ)。利用這個(gè)關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計(jì)算的正確性1221sinsinAArr七、橢球面三角形的解算七、橢球面三角形的解算5.4 法截線與大地線法截線與大地線 經(jīng)過研究表明，當(dāng)三角形的邊長小于200公里時(shí)，將橢球面三角形看作以其三個(gè)頂點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑為球半徑的球面三角形是完全可以的（兩者對(duì)應(yīng)邊長相等，對(duì)應(yīng)角之差小于0.001）。橢球面三角形（邊長200km）以Rm為半徑的球面三角形CRcBRbARasinsinsinsinsinsin七、橢球面三角形的解算七、橢球面三角形的解算5.4 法截線與大地線法截線與大地線 設(shè)一球面三角形A0B0C0，其三邊長為a、b、c，球面角超為 。如果以同樣邊長a、b、c為三邊作一平面三角形 A1B1C1 ，當(dāng)邊長不甚大時(shí)，可以證明這兩個(gè)三角形的三內(nèi)角間有如下的關(guān)系： 其中 ，為平面三角形的面積，R為球的半徑。 3/3/3/010101CCBBAA