太原理工大學(xué)大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)-第五章課件

1、第五章第五章 參考橢球與大地坐標(biāo)系參考橢球與大地坐標(biāo)系補(bǔ)充知識(shí)：補(bǔ)充知識(shí)：第一部分第一部分 球面三角學(xué)的基本知識(shí)球面三角學(xué)的基本知識(shí)（ Foundation of Spherical Trigonometry ）v基本內(nèi)容1.球面三角形 Spherical Triangular2.球面角超 Spherical Excess3. 球面三角公式 Formulae of Spherical Trigonometry 4.納白爾規(guī)則一、球面三角形一、球面三角形定義:是指球面上三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的閉合圖形球面三角形的邊:a、b、c三個(gè)大圓弧叫球面三角形的邊邊,其值與所對(duì)應(yīng)的球心三面角的面角同度 ,即:球面

2、三角形的角: A、B、C是各大圓弧組成的球面角叫球面三角形的角角，其值與球心三面角的二面角同度BOCaAOCbAOBcTTAAEEBBFFCC二、球面角超二、球面角超定義：定義：球面三角形三內(nèi)角之和與平面三角形三內(nèi)角之和的差叫做球面角超定義公式：計(jì)算公式：180CBA2RS式中， -球面三角形的面積，R-球的半徑S三、球面三角公式三、球面三角公式在球面三角形ABC中正弦公式邊余弦公式sinsinsinsinsinsinabcABCOabcBCACbabacBacacbAcbcbacossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscos角余弦公

3、式cBABACbACACBaCBCBAcossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscosCababBcCbabaAcBacacCbBcacaAbAbcbcCaAcbcbBacoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossin正余弦公式第一五元素定理第二五元素定理cABABbCcBABAaCbACACcBbCACAaBaBCBCcAaCBCB

4、bAcoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossin余切公式cos cossincotsincotcos cossincotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotaCabCBaBacBCbAbcACbCbaCAcBcaBAcBcbAB正切公式)2tan()2ta

5、n()2tan()2tan(babaBABA四、解算球面三角形的納白爾規(guī)則四、解算球面三角形的納白爾規(guī)則設(shè)球面三角形中有一角為直角，則該角余弦為0，正弦為1，代入前述公式可得球面直角三角形的計(jì)算公式便于公式記憶的納白爾規(guī)則：將除直角（C）外的五個(gè)元素標(biāo)成一環(huán)形：與直角C 相鄰的兩元素（a,b）照寫(xiě)，與直角相對(duì)的三元素分別以90度減之，則環(huán)形上任一元素的正弦等于（1）相鄰鄰兩元素正切之積（2）相對(duì)對(duì)兩元素余弦之積提示：90-c的相鄰兩元素為90-A，90-B; 90-c的相對(duì)兩元素為a，b; 即：bacBAccoscoscoscotcotcos第二部分第二部分 垂線(xiàn)偏差與大地微分方程的導(dǎo)出簡(jiǎn)介垂

6、線(xiàn)偏差與大地微分方程的導(dǎo)出簡(jiǎn)介1.垂線(xiàn)偏差公式在球面直角Z1Z2P中按納白爾規(guī)則，并考慮三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，取第一項(xiàng)： 后，有：cos)(LBBsecLsin)sin(1)cos(LLL即：垂線(xiàn)偏差公式為Rzu1tansin)(cot)cossin(sin)(ALAzAALAT ?2.拉普拉斯方程AAzzsincos?3.天文天頂大地天頂關(guān)系式（垂直角變換）Rzu14.大地弧度方程的導(dǎo)出簡(jiǎn)介NBLNBBNBBN舊舊舊舊新新新新新新）（）（coscoscos考慮大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)關(guān)系BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2經(jīng)微分及變換后得 這里 dd

7、aAJdZdYdXJdHdBdL11新舊大地坐標(biāo)關(guān)系關(guān)系NdH式中 BBHMLBLHMLBHNLBLBHMLBHNJsincos)(0sincossinsin)(coscos)(coscoscossin)(sincos)(BBeBBaMBeaNBLBaMLBaNBLBaMLBaNA222222sincos1 (sin1sin)1 (sincoscos1coscossincoscos1coscos從而得到基于新舊坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的垂線(xiàn)偏差和大地水準(zhǔn)面差距關(guān)系式 大地弧度方程000 sinsincoscoscos)(cos)(sinsin)(cossin0)(cos)(sinZYxBLBLBHMBHMLB

8、HMLBHNLHNLN新新新zyxLBBNeLBBNeLLBLBLB舊0coscossincoscossin0cossincossinsinsincos2225-1 地球橢球及其地球橢球及其定位定位的經(jīng)典方法定位定位的經(jīng)典方法（Classical Method of Ellipsoid Location）經(jīng)典定位指參考橢球局部定位，是參心定位，局部密合，建立的坐標(biāo)系統(tǒng)是經(jīng)典二維坐標(biāo)系，如1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系；這類(lèi)坐標(biāo)系主要建立和應(yīng)用于上個(gè)世紀(jì)。一、一、大地起算數(shù)據(jù)與橢球定位（大地起算數(shù)據(jù)與橢球定位（Geodetic Datum and Ellipsoid Location）1

9、.概念概念橢球定位：橢球定位就是建立經(jīng)典大地坐標(biāo)系；它是按一定條件將具有確定元素的地球橢球同大地體的相關(guān)位置確定下來(lái)，從而獲得大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面和大地起算數(shù)據(jù)2.橢球定位任務(wù)橢球定位任務(wù)橢球定位：確定橢球中心的位置；橢球定向：確定橢球中心為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的指向，也就量確定橢球短軸和橢球起始大地子午面的指向。定向定位的同時(shí)確定了大地水準(zhǔn)面與橢球面的關(guān)系，為地面觀(guān)測(cè)成果的橢球歸算提供基準(zhǔn)。3.橢球定位作用橢球定位作用橢球定位、定向的作用是建立大地坐標(biāo)系，而建立坐標(biāo)系的主要標(biāo)志是確定了大地起算數(shù)據(jù)，起算數(shù)據(jù)的標(biāo)志點(diǎn)即是大地原點(diǎn)，坐標(biāo)系建立的精華成果集中在大地原點(diǎn)上反映出來(lái)。有了起算數(shù)據(jù)

10、，只需觀(guān)測(cè)一些相對(duì)量（如長(zhǎng)度、角度等）就可推算坐標(biāo)。橢球面橢球面， ，zSd， ，Hg常，xyzN， ， ，iiiLBH， ，高斯平面高斯平面000LBH0， ，Aiixy，大大地地測(cè)測(cè)量量需需觀(guān)觀(guān)測(cè)測(cè)的的量量及及測(cè)測(cè)量量過(guò)過(guò)程程4.關(guān)于大地原點(diǎn)和大地起算數(shù)據(jù)關(guān)于大地原點(diǎn)和大地起算數(shù)據(jù)大地原點(diǎn)：國(guó)家水平大地控制網(wǎng)點(diǎn)大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。大地起算數(shù)據(jù)：體現(xiàn)在大地原點(diǎn)上，共有四個(gè)個(gè)，包括大地原點(diǎn)的大地坐標(biāo)值L0、B0、H0，以及大地原點(diǎn)至某一方向的大地方位角A0，這些數(shù)據(jù)構(gòu)成了經(jīng)典大地測(cè)量的基準(zhǔn)。陜西涇陜西涇陽(yáng)縣永陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)大樂(lè)鎮(zhèn)大地原點(diǎn)地原點(diǎn)外部?jī)?nèi)景二、定位過(guò)程概述二、定位過(guò)程概述1.定位結(jié)果要達(dá)到

11、的目標(biāo)：使地球數(shù)學(xué)化形狀-參考橢球體與大地體最大化接近；使觀(guān)測(cè)元素歸算到橢球上不失實(shí)際意義；方便垂線(xiàn)偏差、起始大地方位角的解算2.定位結(jié)果必須達(dá)到的條件定位結(jié)果必須達(dá)到的條件 兩個(gè)平行（兩個(gè)平行（實(shí)際是個(gè)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：橢球坐標(biāo)向天文坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)） 橢球的短軸與地球的自轉(zhuǎn)軸平行，即實(shí)現(xiàn)起始大地子午面與起始天文子午面平行，即實(shí)現(xiàn)0,0yx0z實(shí)現(xiàn)兩個(gè)平行的標(biāo)志標(biāo)志：標(biāo)志（1）：下列廣義垂線(xiàn)偏差公式與廣義拉普拉斯方程得以最簡(jiǎn)化，為：sincoscossinsincoscossincossisinsinoncosscXYXYXYZZLLBcossinBLAL式（1）式（2）0ZYX或者說(shuō)式（2）是式（1）取

12、 時(shí)的形式0ZYX0ZYX被稱(chēng)為橢球定向參數(shù)。定向參數(shù)。大地體：天文首子午面大地體：地球自轉(zhuǎn)軸橢球體：大地首子午面橢球體：橢球短軸橢球放到大地體內(nèi)部，并實(shí)現(xiàn)兩個(gè)平行兩個(gè)平行經(jīng)典大地測(cè)量中參考橢球與大地體位置關(guān)系及兩個(gè)平行問(wèn)題在實(shí)現(xiàn)平行的條件下確定大地起算數(shù)據(jù)00000000000000sectanLBAHHN正于地球旋轉(zhuǎn)軸。子午面，橢球短軸平行地子午面平行于首天文大位中的旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)了首或者說(shuō)是完成了橢球定僅實(shí)現(xiàn)了平行此時(shí)量得到通過(guò)天文測(cè)量、水準(zhǔn)測(cè)和式中：常正,)(,00000HH式（3（形同式（2）000,ABL或者說(shuō)，大地起算數(shù)據(jù)滿(mǎn)足式（3），則一定滿(mǎn)足雙平行條件標(biāo)志（2）：一個(gè)密合（實(shí)際是

13、個(gè)平移問(wèn)題）密合的問(wèn)題，實(shí)際上是一個(gè)如何確定式（3）中的 問(wèn)題，這實(shí)際是個(gè)平移問(wèn)題，類(lèi)似于：2minN min2實(shí)際上是實(shí)現(xiàn)：觀(guān)測(cè)量所加的改正數(shù)很小，垂線(xiàn)偏差和高程異常的數(shù)值會(huì)小一些，觀(guān)測(cè)結(jié)果的歸算也將變得更簡(jiǎn)單。)(,0000或N000N、000XYZ、參考橢球面與某一區(qū)域（如下個(gè)國(guó)家范圍內(nèi)）的大地水準(zhǔn)面最為密合，在數(shù)學(xué)上就是實(shí)現(xiàn)最佳的結(jié)果是把橢球參心平移到地心，但經(jīng)典大地橢球定位中僅實(shí)現(xiàn)了局部密合，無(wú)法做到這一點(diǎn)。)(,0000或N也被稱(chēng)作橢球定位參數(shù)3.橢球定位方法橢球定位方法方法一方法一:單點(diǎn)定位在大地原點(diǎn)上簡(jiǎn)單地取000000N，即認(rèn)為：在大地原點(diǎn)處，橢球的法線(xiàn)方向和鉛垂線(xiàn)方向重合，

14、橢球面和大地水準(zhǔn)面相切。從而得到大地原點(diǎn)起算數(shù)據(jù)00000000LBAHH正，實(shí)質(zhì)：將大地原點(diǎn)上所測(cè)的天文經(jīng)緯度和天文方位角視為大地經(jīng)緯度和大地方位角，大地原點(diǎn)上的正高（正常高）視為大地高。常用于缺少觀(guān)測(cè)資料，如一個(gè)國(guó)家首個(gè)坐標(biāo)系建立時(shí)；這種情況下并未達(dá)到最佳密合。方法二方法二:多點(diǎn)定位在多個(gè)天文大地點(diǎn)上列出弧度測(cè)量方程弧度測(cè)量方程，通過(guò)平差計(jì)算得到定位參數(shù)完成橢球的定位；在大地原點(diǎn)處，橢球的法線(xiàn)方向和鉛垂線(xiàn)方向不重合，橢球面和大地水準(zhǔn)面不再相切在區(qū)域內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面最佳密合參心坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系二、弧度測(cè)量方程（二、弧度測(cè)量方程（Equation of Arc Measurement）

15、理論基礎(chǔ)：橢球弧長(zhǎng)（可實(shí)測(cè)，是觀(guān)測(cè)量）是橢球幾何參數(shù)長(zhǎng)半徑a和扁率的函數(shù)，建立的方程即弧度方程。古代國(guó)內(nèi)外都進(jìn)行過(guò)弧長(zhǎng)測(cè)量，并計(jì)算過(guò)橢球參數(shù)，如古埃及學(xué)者埃拉托色尼（公元前276194年），他估算地球半徑為6844KM，用過(guò)某形式的弧度方程?；《确匠炭梢曌魈煳淖鴺?biāo)與大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方程。1.近代弧度測(cè)量方程的建立特點(diǎn)近代弧度測(cè)量方程的建立特點(diǎn)建立在實(shí)測(cè)基礎(chǔ)上，一般是在原有舊的橢球的基礎(chǔ)上，利用天文、大地、重力和衛(wèi)星測(cè)量等資料完成的，通過(guò)逐次趨近推算新橢球元素。如在1954北京坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，利用天文、大地、重力測(cè)量結(jié)果列弧度測(cè)量方程，進(jìn)而建立1980西安坐標(biāo)系。coscoscosLBLBBdLdB

16、dNBBNNN新新舊舊舊新舊新新舊新新根據(jù)垂線(xiàn)偏差公式有:將另行導(dǎo)出的大地坐標(biāo)微分方程代入上式，整理可得廣義弧度測(cè)量方程式2.弧度測(cè)量方程推導(dǎo)弧度測(cè)量方程推導(dǎo)000sincos0sincossinsincoscoscoscossinsinLLNHNHBLBLBMHMHMHNBLBXLBYZ新舊222220sincossinsincossincos0sincossincossinsincoscos01sinXYZmBLBLBNLLeBBMNeBBLNeBBLNeB 舊2222222200cos2sinsincossincos11sin1sinsin1LBMeBNeBBBBBMH aMHNNMeB

17、eBBdada 舊舊舊舊舊三、多點(diǎn)定位的實(shí)現(xiàn)三、多點(diǎn)定位的實(shí)現(xiàn)1.在多個(gè)天文大地點(diǎn)上列出弧度測(cè)量方程（每點(diǎn)可列出三個(gè)）在多個(gè)天文大地點(diǎn)上列出弧度測(cè)量方程（每點(diǎn)可列出三個(gè)）每一個(gè)天文大地點(diǎn)上都可以列出如上式的3個(gè)弧度測(cè)量方程式2.依據(jù) 或 進(jìn)行解算大地起算數(shù)據(jù)；注意：22新新最小2N新=最小22新新最小2N新=最小 和 中的垂線(xiàn)偏差分量與N是相關(guān)的，所以?xún)烧叩葍r(jià)，但考慮后者變化較前者平緩，可更少受地球局部異常影響，解算結(jié)果精度更高，所以實(shí)踐中主要使用后者。當(dāng)采用正常高系時(shí)，使用注意：（1）假設(shè)橢球定位只需滿(mǎn)足雙平行條件，可僅采用弧度測(cè)量弧度測(cè)量方程方程中的第三個(gè)方程，在多個(gè)（大于6個(gè)）點(diǎn)上列出弧

18、度方程即可解出上述6個(gè)未知參數(shù)，回代廣義弧度測(cè)量方程式即可得到每個(gè)點(diǎn)（包括大地原點(diǎn)）上的定位參數(shù)。（2）現(xiàn)代條件下，新建坐標(biāo)系的橢球參數(shù)是已知的，建立新坐標(biāo)系過(guò)程中的多點(diǎn)定位實(shí)際上就是在原來(lái)天文大地點(diǎn)上列出如下弧度測(cè)量方程。弧度測(cè)量方程。 min2022222001cossincoscossinsin(1sin)sin1NBLXBLYBZMaeBBNeNBa 舊舊舊舊舊新舊舊舊舊舊舊舊舊舊舊（）2N新=最小000Z、Y、XN、 、，、000N先解得新舊橢球中心的位置差 然后再代入弧度方程解算，從而求得各個(gè)天文大地點(diǎn)含大地原點(diǎn)上的最后得到新的大地起算數(shù)據(jù)。如1980西安坐標(biāo)系的建立就是在1954

19、北京坐標(biāo)系基礎(chǔ)上通過(guò)上式先求定三個(gè)平移參數(shù) ，再將平移參數(shù)并新橢球參數(shù)代入弧度方程進(jìn)而獲得大地原點(diǎn)的大地起算數(shù)據(jù)完成定位的。000XYZ、)(,N000Z、Y、X5454254225422054054540545480sin)sin1 (1)sin1 (sinsincoscoscosBJBJBJBJBJBJBJBJBJGDZaBBeMaBeaNZBYLBXBB min280GDZ1980西安坐標(biāo)系建立進(jìn)采用的過(guò)程方程和解算條件5-2 參考橢球參考橢球一、大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面一、大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面常規(guī)測(cè)量獲得的平面觀(guān)測(cè)量主要有：距離、方向和天文方位等，為了推求控制網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)和進(jìn)行其它測(cè)量計(jì)算，

20、必須選定一計(jì)算基準(zhǔn)面。計(jì)算基準(zhǔn)面應(yīng)具備的條件（1）接近地球自然形體，使觀(guān)測(cè)結(jié)果歸算改正數(shù)盡量?。?）需是規(guī)則曲面，便于數(shù)學(xué)計(jì)算（3）計(jì)算基準(zhǔn)面與大地關(guān)系要固定，以便建立起地面點(diǎn)和基準(zhǔn)面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。最佳形體是三軸“梨形”橢球，但其不便計(jì)算最佳且實(shí)用的形體-旋轉(zhuǎn)橢球體真實(shí)地球的數(shù)學(xué)化形狀，其面為大地測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面橢球法線(xiàn)為大地測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)線(xiàn)1. 1.諸橢球關(guān)系圖及參考橢球作用諸橢球關(guān)系圖及參考橢球作用參考橢球局部密合參心定位的參考橢球全球密合地心定位的參考橢球（總橢球）正常橢球水準(zhǔn)橢球（大地水準(zhǔn)面的規(guī)則化形狀）地心、地固坐標(biāo)系參心、地固坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)橢球（地球數(shù)學(xué)形狀）地球橢球大地體（大地水準(zhǔn)面）

21、（地球物理形狀）參考橢球作用參考橢球作用測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)（參考）面研究大地水準(zhǔn)面的參考面地面點(diǎn)水平坐標(biāo)、大地高的基準(zhǔn)面地圖投影的參考面物理形態(tài)2. 2. 大地水準(zhǔn)面與地球橢球大地水準(zhǔn)面與地球橢球21.4abkm在赤道面上，截線(xiàn)弧形狀近圓，長(zhǎng)軸指向西經(jīng)15方向，長(zhǎng)短半徑之差為69.5m，赤道扁率為191827，約為極扁率的三百分之一 。ab大地水準(zhǔn)面在子午面上的截線(xiàn)圖大地水準(zhǔn)面在子午面上的截線(xiàn)圖大地水準(zhǔn)面在赤道上的截線(xiàn)大地水準(zhǔn)面在赤道上的截線(xiàn)子午截面上，長(zhǎng)短半徑之差二、參考橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系二、參考橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系常用幾何參數(shù)bac2aba abae22bbae22長(zhǎng)半徑：短半徑：

22、極曲率半徑：第一輔助函數(shù)： BeW22sin1第二輔助函數(shù)： BeV22 cos1常用符號(hào)： Be costantB扁率：第一偏心率第二偏心率ab 橢球幾何參數(shù)參數(shù)間的相互關(guān)系abeecaVWe21bae21abe2 1eee21eee21ace21cae211 e 222e21WVe21VWe小值大值21 e大值小值21 e注意：各關(guān)系式記憶時(shí)，有下列規(guī)律三、我國(guó)歷代坐標(biāo)系采用的橢球及其參數(shù)見(jiàn)有關(guān)參考資料三、我國(guó)歷代坐標(biāo)系采用的橢球及其參數(shù)見(jiàn)有關(guān)參考資料三、參考橢球上的點(diǎn)、線(xiàn)、面三、參考橢球上的點(diǎn)、線(xiàn)、面5-3 大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)系一、大地坐標(biāo)系與大地空間直角坐標(biāo)系定義1.大地坐

23、標(biāo)系（Geodetic Coordinate System）（1）定義：以參考橢球面為基準(zhǔn)面、以參考橢球法線(xiàn)為基準(zhǔn)線(xiàn)，用大地經(jīng)度L、大地緯度B、大地高H三個(gè)位置參數(shù)表示一點(diǎn)幾何位置的坐標(biāo)系。（2）坐標(biāo)參數(shù)含義P0 - P點(diǎn)在參考橢球面上的投影點(diǎn) ONGHBLP0PPKL大地經(jīng)度： Geodetic Longitude： 0360或0 180 大地緯度：Geodetic Latitude ：090大地高：Geodetic Hight：向球面外為正，向球面內(nèi)為負(fù)地球每地球每4分鐘轉(zhuǎn)分鐘轉(zhuǎn)1度度（3）大地坐標(biāo)與天文坐標(biāo)區(qū)別v大地坐標(biāo)與天文坐標(biāo)形式上相近,但有本質(zhì)上區(qū)別:基準(zhǔn)面不同:大地坐標(biāo)-參考橢球

24、面;天文坐標(biāo)大地水準(zhǔn)面基準(zhǔn)線(xiàn)不同:大地坐標(biāo)法線(xiàn);天文坐標(biāo)垂線(xiàn)屬性不同:大地坐標(biāo)表示點(diǎn)幾何位置的數(shù)學(xué)坐標(biāo);天文坐標(biāo)具有物理意義，反映地球重力場(chǎng)特性獲得坐標(biāo)的方法不同:大地坐標(biāo)觀(guān)測(cè)間接量推算而得;天文坐標(biāo)通過(guò)測(cè)量相對(duì)于恒星的方向值與精密時(shí)間測(cè)定獲得v大地坐標(biāo)與天文坐標(biāo)可通過(guò)垂線(xiàn)偏差和大地水準(zhǔn)面差距（高程異常）換算HNHABLu）（正,大地坐標(biāo)與天文坐標(biāo)圖示表達(dá)及其相互關(guān)系NH),(NHP2.2.大地空間直角坐標(biāo)系大地空間直角坐標(biāo)系（1 1）定義）定義：以參考橢球面為基準(zhǔn)，原點(diǎn)O位于地球質(zhì)心（或參心）Z軸指向協(xié)議北極（或平行地球自轉(zhuǎn)軸）、X軸指向首子午面與赤道交點(diǎn)（或平行于首子午面）、Y軸與O-XY

25、平面成右手系，以(X，Y，Z) 三個(gè)位置參數(shù)表示一點(diǎn)幾何位置的坐標(biāo)系。（2 2）坐標(biāo)參數(shù)含義）坐標(biāo)參數(shù)含義大地空間直角坐標(biāo)大地空間直角坐標(biāo)ONSGHBP0PPKXYZL2P1PXYZ空間直角坐標(biāo)P(X,Y,Z)（3 3）空間直角坐標(biāo)類(lèi)型）空間直角坐標(biāo)類(lèi)型大地大地地心地心空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系大地大地參心參心空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系大地空間大地空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系站心站心法線(xiàn)法線(xiàn)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系站心站心垂線(xiàn)垂線(xiàn)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系站心站心赤道赤道空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系站心空間站心空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系3.3.其它空間直角坐標(biāo)系

26、其它空間直角坐標(biāo)系-站心空間直角坐標(biāo)系系列站心空間直角坐標(biāo)系系列站心地平法線(xiàn)空間坐標(biāo)系定義：以測(cè)站點(diǎn)P為原點(diǎn)，以P點(diǎn)的法線(xiàn)為Z軸，指向天頂為正，以子午線(xiàn)方向?yàn)閤軸，指向北為正，Y軸與XZ平面垂直，向東為正；左手系。另有：站心地平垂線(xiàn)空間坐標(biāo)系、站心赤道空間直角坐標(biāo)系、站心極坐標(biāo)系等地球常用坐標(biāo)系ONSGHBL0PnXYZ大地空間直角坐標(biāo)系、站心地平法大地空間直角坐標(biāo)系、站心地平法( (垂垂) )線(xiàn)空間直角坐標(biāo)系、站心極坐標(biāo)系線(xiàn)空間直角坐標(biāo)系、站心極坐標(biāo)系X(北北)Z(天頂天頂)Y(東東)地面地面ONSGHBL0PnXYZ大地空間直角坐標(biāo)系、站心赤道直角坐標(biāo)系大地空間直角坐標(biāo)系、站心赤道直角坐標(biāo)

27、系XZY地面地面站心赤道直角坐標(biāo)系站心赤道直角坐標(biāo)系是大地空間直角坐標(biāo)是大地空間直角坐標(biāo)系的平移系的平移4.4.左手系和右手系含義左手系和右手系含義BBdxdycot)90tan(0式中的x，y又需滿(mǎn)足橢圓方程 12222byax上式對(duì)x取導(dǎo)數(shù) yxabdxdy221. 1.建立一子午平面坐標(biāo)系建立一子午平面坐標(biāo)系L-x,yL-x,y在經(jīng)度為L(zhǎng)的橢球子午平面坐標(biāo)系中：法線(xiàn)-pn； 法線(xiàn)長(zhǎng)pn =PQ+Qn；大地緯度B。二、橢球法線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算表達(dá)式二、橢球法線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算表達(dá)式及及法線(xiàn)與大地坐標(biāo)關(guān)系法線(xiàn)與大地坐標(biāo)關(guān)系式（1）式（2）2.2.推導(dǎo)法線(xiàn)長(zhǎng)公式推導(dǎo)法線(xiàn)長(zhǎng)公式 在L-x,y中 ，根據(jù)直線(xiàn)斜

28、率定義有式（1）L-x,y坐標(biāo)系坐標(biāo)系yxeyxabB)1 (cot222Bexytan)1 (2將上式代入橢圓方程，得1tan)1 (2222222bBexax上式兩邊同乘Ba22cosBaBeBx222222cossin)1 (cosBaBex22222cos)sin1 (比較式（1）式（2）顧及 有 )1 (2eab式（3）VBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222WBaBeBaxcossin1cos22由上式求出x后，代入式（3）求出y，得以B為參數(shù)的橢圓參數(shù)方程 法線(xiàn)長(zhǎng)法線(xiàn)長(zhǎng)pnpn若設(shè)PnN(卯酉圈半徑)，由圖直接看出 BNxcos式（4）L-x,

29、y坐標(biāo)系坐標(biāo)系WaN 考慮式（4）中WBaxcosBeNysin)1 (2由圖又可直接看出 BPQysin)1 (2eNPQ顯然法線(xiàn)長(zhǎng)法線(xiàn)長(zhǎng)法線(xiàn)長(zhǎng)pn =PQ+Qnpn =PQ+Qn中的兩部分可分別表示為 2NeQn 法線(xiàn)長(zhǎng)法線(xiàn)長(zhǎng)pnpn還可表示為還可表示為再考慮式（4）中三、大地坐標(biāo)與大地空間直角坐標(biāo)互換三、大地坐標(biāo)與大地空間直角坐標(biāo)互換1. 1.空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系關(guān)系 yZLxYLxXsincosL-x,y坐標(biāo)系坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系中的空間直角坐標(biāo)系中的P P2 2P P相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y yOPOP2

30、2相當(dāng)于后者的相當(dāng)于后者的x x并且二者的經(jīng)度并且二者的經(jīng)度L L相同相同兩坐標(biāo)系關(guān)系：兩坐標(biāo)系關(guān)系：2.2.空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系關(guān)系空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系關(guān)系1 1）大地坐標(biāo)換算至空間直角坐標(biāo)）大地坐標(biāo)換算至空間直角坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)位于橢球面上時(shí)：將子午平面坐標(biāo)系坐標(biāo)代入上式，可得由大地坐標(biāo)計(jì)算空間直角坐標(biāo)的關(guān)系式y(tǒng)ZLxYLxXsincosBeNZLBNYLBNXsin)1 (sincoscoscos2BNxcosBeNysin)1 (2在L-x,y坐標(biāo)系中寫(xiě)成矢量形式其中橢球外法線(xiàn)單位矢量為BeLBLBNZYXsin)1 (sincoscoscos20BLBLBnsinsincosco

31、scos當(dāng)點(diǎn)P在橢球外，大地高為H時(shí)，大地坐標(biāo)計(jì)算空間直角坐標(biāo)的關(guān)系式。如下圖示：P0為P在橢球上的法向投影點(diǎn)nH0BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2由圖知：即xy0 x0yOQH0PPBn大地坐標(biāo)計(jì)算空間直角坐標(biāo)的其它形式VBbZLWBaYLWBaXsinsincoscoscos2 2）由空間直角坐標(biāo)計(jì)算大地坐標(biāo)）由空間直角坐標(biāo)計(jì)算大地坐標(biāo)XYZ-LBH，由圖可知點(diǎn)P的大地經(jīng)度L的計(jì)算 2222arccosarcsinarctanYXXaLYXYLXYLHO0PXYZ2P1PXYZ3PBQBLPn點(diǎn)P的大地緯度B的計(jì)算)1 (22eNQPNeQKp

32、前已述及：由圖可得22,YXPOZPP POKPPBNe cos2BNeOQcos2222sintanYXBNeZBZBNeYXBcoscot222或選代運(yùn)算時(shí)，一般取初值為221tanYXZB點(diǎn)P的大地高H的計(jì)算)1 (sin2eNBZHNBYXHcos22或5-4 5-4 法截線(xiàn)法截線(xiàn)及其曲率半徑及其曲率半徑一、橢球上的面、圈、線(xiàn)一、橢球上的面、圈、線(xiàn)法截面法截面：過(guò)橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線(xiàn)，包含這條法線(xiàn)的平面叫作法截面，過(guò)一點(diǎn)的法截面有無(wú)數(shù)多個(gè)。法截線(xiàn)法截線(xiàn)：法截面與橢球面的交線(xiàn)叫法截線(xiàn)，過(guò)一點(diǎn)的法截線(xiàn)有無(wú)數(shù)條照準(zhǔn)面與橢球的交線(xiàn)是法截線(xiàn)，因而在大地計(jì)算中意義重大P2PO

33、P1BKpA法截線(xiàn)均可閉合，形成法截圈子午圈是法截圈中的一個(gè)垂直于子午圈的那個(gè)法截圈叫卯酉圈同一點(diǎn)上的法截圈的半徑隨方向的不同而不一樣同一法截圈上不同點(diǎn)上的半徑也不一樣除法截圈外，橢球上還有一組重要的圈，即平行于赤道的圈-平行圈;平平行圈不是法截圈行圈不是法截圈l過(guò)平行圈上任一點(diǎn)，同方向法截線(xiàn)的形狀都一樣，即法截線(xiàn)的曲率與大地經(jīng)度無(wú)關(guān);方位角都為的兩條法截線(xiàn)PP1和PP2在同一平行圈上的兩點(diǎn)P和P處的曲率相等。YZXOP1P2PP附錄：子午、卯酉的概念: 子午1. 指南北。我國(guó)古代以“子”為正北，以“午”為正南。 2. 指夜半和正午。子時(shí):夜間11點(diǎn)至1點(diǎn)；午時(shí):白晝11點(diǎn)至1點(diǎn)。卯酉:1.

34、指東西。古代以“卯”為正東，以“酉”為正西。2. 早晚。卯時(shí):早晨5點(diǎn)至7點(diǎn)；酉時(shí):傍晚5點(diǎn)至7點(diǎn)。卯酉圈A子午圈K任意方向法截線(xiàn)BPKxyBxydSdxdBDKE二、橢球上的法截線(xiàn)與平行圈曲率半徑二、橢球上的法截線(xiàn)與平行圈曲率半徑1.1. 子午圈半徑子午圈半徑MM由圖示可知： 求M的公式dBdSMMdBdS在子午平面坐標(biāo)系L-xy中，由微分三角形DKE可知BdxdSsin的增大而縮短隨號(hào)表明中的BxdxOySGPPKXYZxQrB代入求M的公式dBdxMBsin1WBaxBeBaxcossin1cos22或在子午平面直角坐標(biāo)系中由上式可知2cossinWdBdWBBWadBdx式（1）dBd

35、WdBBed22sin1BeBBe222sin12cossin2WBBecossin2BeW22sin1顧及代入上式得：BadBdxsin322cos1WBeW)cos(sin2223BeWWBaBeW222sin1顧及dBdx)cossin1 (sin22223BeBeWBadBdx)1 (sin23eWBa代入子午半徑計(jì)算公式（1）dBdxMBsin1得子午半徑計(jì)算公式32)1 (WeaM顧及橢球面元素間的基本關(guān)系式，子午半徑計(jì)算公式還有下列等價(jià)形式3VcM 2VNM 子午半徑變化規(guī)律在赤道上，子午半徑M小于赤道半徑a赤道至極點(diǎn)間M隨緯度的增大而增大在極點(diǎn)上，M等于極點(diǎn)曲率半徑C 在極點(diǎn)處

36、，M為極曲率半徑cM隨緯度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之間逐漸減小在赤道上，M小于赤道半徑a說(shuō)明MW、VB0 B900 B90 B 211eVW 112VeW 2322)1()1(eceaMcMea )1 (2 ceaM21M的變化規(guī)律（M是B的增函數(shù)）223333222222(1)(1)1sin1 cosaecaecMWVeBeBKNKNPP21aec0POM0K1PSPM的端點(diǎn)軌跡2.2.平行圈與卯酉圈半徑平行圈與卯酉圈半徑推導(dǎo)過(guò)程，由圖示：卯酉圈是一個(gè)與子午圈垂直的法截圈;平行圈是一個(gè)斜截圈卯酉?。ㄈΓ┡c平行?。ㄈΓ﹥山鼗∑矫鎶A角為大地緯度B，根據(jù)麥尼爾麥尼爾定理：過(guò)曲面一點(diǎn)

37、做法截弧、斜截弧，若該兩弧具有公共切線(xiàn)（圖中PT線(xiàn)），則斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以?xún)山鼗∑矫鎶A角的余弦 若令卯酉圈的曲率半徑為N，平行圈半徑r則有：BNrcosWBaxrcos顯然卯酉半徑NWaN 顧及橢球面元素間的基本關(guān)系式，卯酉圈半徑還可表示為下列等價(jià)形式VcN 由圖還可知：BOPNPncosBrcosPn=N就是卯酉圈半徑卯酉半徑變化規(guī)律在赤道上，卯酉半徑N等于赤道半徑a赤道至極點(diǎn)間N隨緯度的增大而增大在極點(diǎn)上，N=M等于極點(diǎn)曲率半徑C，卯酉圈變?yōu)樽游缛Α?KNKNPPac0PONN的端點(diǎn)軌跡0 B900 B90 B 211eVW 112VeW021aNcecNa

38、2901aNec在極點(diǎn)處卯酉圈變?yōu)樽游缛?，N為極曲率半徑cN隨緯度的升高而增大，其值介于a和c之間逐漸減小在赤道上，卯酉圈是赤道，此時(shí)N為赤道半徑說(shuō)明NW、VBN的變化規(guī)律（N是B的增函數(shù)）22221sin1 cosacacNWVeBeB3.M、N的實(shí)用公式的實(shí)用公式上述子午圈曲率半徑M，卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中統(tǒng)稱(chēng)為主曲率半徑，其實(shí)用的M、N的計(jì)算公式為 21222122232)sin1 ()sin1)(1 ()1 (BeaWaNBeeaWeaM將上兩式按牛頓二項(xiàng)式定理展開(kāi)，并取至8次項(xiàng)，即得兩主曲率半徑的實(shí)用公式BnBnBnBnnNBmBmBmBmm

39、M886644220886644220sinsinsinsinsinsinsinsin628628426426224224022022028789656743452123)1 (nenmemnenmemnenmemnenmemaneamo系數(shù)取值與橢球密切相關(guān)，帶入不同橢球的參數(shù)，計(jì)算得到的系數(shù)將不同，使用時(shí)應(yīng)注意與橢球參數(shù)相配合4.任意得方向法截弧曲率半徑任意得方向法截弧曲率半徑RA上述子午圈曲率半徑M，卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90度或270度，子午圈為南北方向方位角為0度或180度,這兩個(gè)法截弧在P點(diǎn)上是正交的，如右圖示：任意法截

40、弧的曲率半徑按尤拉公式計(jì)算：設(shè)曲面上任意一點(diǎn)的法截弧之大地方位角為A，則由主曲率半徑可計(jì)算得該點(diǎn)方位角為A的法截弧的曲率半徑RAAR1MA2cosNA2sinAMANMNRA22sincos將上式分子分母同除以M，并顧及221VMNABeNANRA22222coscos1cos1可得任意方向A的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式 5. RA的變化規(guī)律的變化規(guī)律子午圈卯酉圈1432 當(dāng)A=0（或A=180）時(shí)，RA=M，最小值； 當(dāng)A=90（或A=270）時(shí)，RA=N，最大值 當(dāng)A由0趨于90時(shí)，RA逐漸增大由M趨于N變化 當(dāng)A由90趨于180時(shí)，RA逐漸減小由N趨于M變化 RA隨A的變化以180為周期

41、的，對(duì)稱(chēng)于M、N變化A M和N是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中稱(chēng)為主曲率半徑。6.任意點(diǎn)法截弧的平均曲率半徑任意點(diǎn)法截弧的平均曲率半徑R法截弧的半徑隨點(diǎn)在橢球上的位置不同而變化，在同一點(diǎn)上又隨方位角A的變化而變化，在任意點(diǎn)上：半徑即是卯酉圈半徑方向上在半徑即是子午圈半徑方向上在,27090,180020222022)tan(1cos21sincos0-21ANMAdANMMNdAAMANMNR在各象限內(nèi)，RA隨A的變化對(duì)稱(chēng)于子午圈和卯酉圈，因此求平均半徑RA只需求出一個(gè)象限的RA的均值即可，即：AdANMdtANMt2costan令：將上式換元后：MNtdtMNR0212NRM關(guān)

42、系：23(1)aeMW3cMV221aeRW2cRVaNWcNVRMNMRN7.法截弧曲率半徑法截弧曲率半徑R、M、N間的關(guān)系間的關(guān)系CMRNMRN:在橢球的極點(diǎn)上在橢球的任意點(diǎn)上或赤道三、子午線(xiàn)弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)三、子午線(xiàn)弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)1. 1.子午弧長(zhǎng)公式子午弧長(zhǎng)公式BMdBXBMdBdxPPdB0:,子午弧長(zhǎng)為的點(diǎn)的赤道至緯度為則間微分弧長(zhǎng)與的點(diǎn)子午弧上緯差如圖示2322232sin111BeeaWeaM21322221sin1BBeBdXaeB其中：上式是橢圓積分，不能直接積分，需按二項(xiàng)式定理展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式二項(xiàng)式定理2311211 x12!3!nn nn nnxnxxx 3222244

43、662315351sin1sinsinsin2816eBeBeBeB BBBBBBBBB6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin642即：其中：代入積分后：2221212121211(1)(sin2sin2)(sin4sin4)24(sin6sin6)6(sin8sin8)(sin10sin10)810BBXaeBBBBBBBBBBBCADEF2462468108108104611025436591638465536220572765204863451751+464256315525 +41651215105 553622

44、0510395409 +64256 616384eeeeeeeeeeeeee ABCD81081601031531185204813107231534651638465536639 35 +512 + 1310 2+7 eeeeee EF18057.2958 603437.7468 60206264.8 908其中的積分常數(shù)和單位變換式分別為公式中的sin8B項(xiàng)不超過(guò)0.3mm),(22LBPNO赤道赤道),(11LBP)(B,LPX2.由赤道起算的子午弧長(zhǎng)由赤道起算的子午弧長(zhǎng)公式公式子午弧長(zhǎng)計(jì)算一般?。?B1=0、B2=B；由上式還可給出由子午弧長(zhǎng)求定緯度的實(shí)用選代格式如下2412QaeA還

45、可推出子午圈周長(zhǎng)公式按1800年德蘭勃橢球(a=6375653 m，1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m ，1米的最初定義。子午弧長(zhǎng)實(shí)質(zhì)上即緯度差（或緯差）初始值：迭代公式：迭代收斂條件：迭代收斂解為：12B()(1)XaeA單位：弧度ii 1i 12i 1i 1i 11Bsin2sin4(1)24 sin6sin8sin106810XBBaeBBBBCADEF201 1 2, 10iiBB, i, ,J()JB 弧度122112mmBXMBBBBBB當(dāng)XLBLA, BBBCBA 3.相對(duì)法截線(xiàn)構(gòu)成的圖形4. 相對(duì)法截線(xiàn)間的夾角 1111212122cossin2tNSAAN

46、SA夾角定義：設(shè)正法截線(xiàn)AaB的方位角A1，反法截線(xiàn)AbB的方位角A1，相對(duì)法截線(xiàn)的夾角A= A1- A1221121sin24SAAN角量：若B10，A1 =45，A有最大值：S=25km A 0.004S=50km A 0.021S=100km A 0.985近似式五、大地線(xiàn)（五、大地線(xiàn)（Geodesic）相對(duì)法截線(xiàn)存在下列缺點(diǎn)相對(duì)法截線(xiàn)使圖形破裂，破裂的圖形無(wú)法作為計(jì)算依據(jù)；兩點(diǎn)之間的法截線(xiàn)不唯一；法截線(xiàn)也不是橢球面上兩點(diǎn)的最短線(xiàn)解決上述問(wèn)題的辦法引入大地線(xiàn)大地線(xiàn)1. 1.大地線(xiàn)（測(cè)地線(xiàn)）相關(guān)概念大地線(xiàn)（測(cè)地線(xiàn)）相關(guān)概念切線(xiàn)：過(guò)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)N，M的直線(xiàn)NM，當(dāng)NM時(shí)，直線(xiàn)NM的極限位置法平

47、面：與切線(xiàn)垂直的平面密切面：過(guò)曲線(xiàn)上三點(diǎn)M，N，P作一平面，當(dāng)N,P M時(shí)，平面的極限位置主法線(xiàn)：法平面與密切面的交線(xiàn)MNP切線(xiàn)主法線(xiàn)密切面法平面副法線(xiàn)測(cè)地曲率：過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作曲面的切平面，此切平面上該曲線(xiàn)的正投影在這一點(diǎn)的曲率曲面法線(xiàn)：過(guò)曲面上一點(diǎn)垂直于過(guò)該點(diǎn)切平面的直線(xiàn)POBKOT2.2.大地線(xiàn)大地線(xiàn)( (測(cè)地線(xiàn)測(cè)地線(xiàn)) )的定義的定義 定義1：測(cè)地曲率處處為零的曲線(xiàn)定義2：大地線(xiàn)是一曲面曲線(xiàn)，在該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的曲線(xiàn)主法線(xiàn)與該點(diǎn)的曲面法線(xiàn)重合定義3：大地線(xiàn)是一曲面曲線(xiàn)，在該曲線(xiàn)上各點(diǎn)的相鄰兩弧素，位于該點(diǎn)的同一法截面中 ，或者說(shuō)大地線(xiàn)上每點(diǎn)的密切面都包含該點(diǎn)的曲面法線(xiàn)。3. 3. 大地線(xiàn)

48、的性質(zhì)大地線(xiàn)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1：大地線(xiàn)是橢球面上兩點(diǎn)間的最短線(xiàn)：大地線(xiàn)是橢球面上兩點(diǎn)間的最短線(xiàn)平面上兩點(diǎn)的最短線(xiàn)：直線(xiàn)球面上兩點(diǎn)的最短線(xiàn)：大圓弧橢球面上兩點(diǎn)的最短線(xiàn)：大地線(xiàn)方向不變,不彎曲是兩點(diǎn)之間距離最短的原因方向不變：每一點(diǎn)的主法線(xiàn)與曲面的法方向平行，也即測(cè)地線(xiàn)相對(duì)于曲面保持方向不變不彎曲：測(cè)地曲率處處為零性質(zhì)性質(zhì)2 2：大地線(xiàn)是無(wú)數(shù)法截線(xiàn)弧素的連線(xiàn)：大地線(xiàn)是無(wú)數(shù)法截線(xiàn)弧素的連線(xiàn)橢球面上的法截線(xiàn)中，只有子午圈和赤道是大地線(xiàn)大地線(xiàn)通過(guò)沿線(xiàn)各點(diǎn)的所有法截面性質(zhì)性質(zhì)3 3：橢球面上的大地線(xiàn)是橫、縱雙重彎曲的空間曲線(xiàn)：橢球面上的大地線(xiàn)是橫、縱雙重彎曲的空間曲線(xiàn) 橫向彎曲（曲率）：橢球面的彎曲產(chǎn)

49、生。縱向彎曲（撓率）：法線(xiàn)不相交，法截面不重合產(chǎn)生 在一非常光滑的橢球面上，兩點(diǎn)間繃一橡皮筋，那么這條繃緊的橡皮筋，就是兩點(diǎn)間的大地線(xiàn)MNP切線(xiàn)主法線(xiàn)密切面法平面副法線(xiàn) 通常情況下，大地線(xiàn)靠近正法截線(xiàn)，并分相對(duì)法截線(xiàn)的夾角約為二比一，即u:v=2:1 在子午圈和赤道上，大地線(xiàn)和相對(duì)法截線(xiàn)重合 在平行圈上相對(duì)法截線(xiàn)雖然合而為一，但大地線(xiàn)、法截線(xiàn)和平行圈三者都不重合。在北半球，大地線(xiàn)在上，法截線(xiàn)居中，平行圈在下性質(zhì)性質(zhì)4 4：大地線(xiàn)位于相對(duì)法截線(xiàn)之間：大地線(xiàn)位于相對(duì)法截線(xiàn)之間4.4.大地線(xiàn)微分方程：大地線(xiàn)微分方程：v大地線(xiàn)長(zhǎng)度與大地經(jīng)緯度、大地方位角間的微分關(guān)系式大地線(xiàn)長(zhǎng)度與大地經(jīng)緯度、大地方位角

50、間的微分關(guān)系式v大地線(xiàn)微分方程是橢球面計(jì)算的基礎(chǔ)大地線(xiàn)微分方程是橢球面計(jì)算的基礎(chǔ)公式（1）、（2）適用于橢球面上的任意曲線(xiàn)MdBrdLP1PPOGPKcosrNB90BZdSAdLNLAdABdSNAdLdSMAdBsecsincosAdSMdBcosAdSrdLsinBNrcos公式（公式（1 1）公式（公式（2 2）由圖知，在球面微分 中PPP 1MdBrdLP1PPTOGPKcosrNB90BZdSAAdAdAdLNL2PPTBdLNPTrdLdAcoscotPTNBBdLdAsinsintanAdABdSN公式（3）大地線(xiàn)專(zhuān)有微分方程用經(jīng)差、緯差、方位角差表示的近似公式G公式（公式（3

51、 3）cossinsecsintanSBAMSLABNSAABN cossinsecsintanAdBdSRAdLBdSRAdABdSR對(duì)于圓球或平均半徑為R的橢球面局部區(qū)域v大地線(xiàn)微分方程作用：橢球面上大地坐標(biāo)計(jì)算的基礎(chǔ)5.5.大地線(xiàn)的克萊勞方程大地線(xiàn)的克萊勞方程（1 1）公式）公式dBBNBMAAdAdscossincossin:)3() 1 (得代入中的將顧及右圖中: MsinBdB=-dr rdrAdAcot兩邊積分得克萊勞方程或克萊勞定理：lnsinA+lnr=lnC 或： CArsin代入dA可得：（2）克萊勞定理的幾何意義：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線(xiàn)各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線(xiàn)在該點(diǎn)的大

52、地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)；克萊勞方程在橢球大地測(cè)量學(xué)中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)。由克萊勞方程 可得作用：實(shí)用中，該式主要用于大地主題解算中檢查緯度和方位角計(jì)算的正確性；由于經(jīng)典大地測(cè)量的算已基本不再進(jìn)行，此處重點(diǎn)是理解克萊勞定理之含義。2112sinsinAArrCArsinABCabc1. 1.橢球面三角形解算的一般方法橢球面三角形解算的一般方法考慮大地測(cè)量中，地面三角形邊長(zhǎng)較小，因而解算時(shí)將橢球面三角形看作以其三個(gè)頂點(diǎn)處的平均曲率半徑為球半徑的球面三角形（兩者邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等、對(duì)應(yīng)角之差小于0.001）；考慮大地測(cè)量中，三角形邊長(zhǎng)是用長(zhǎng)度表示的，此時(shí)球面三角正弦定理需表達(dá)為

53、sinsinsinsinsinsinabcRRRAABBCC六、六、橢球面三角形的解算橢球面三角形的解算（Solution of Spheroidal Triangle）的幾點(diǎn)說(shuō)明的幾點(diǎn)說(shuō)明應(yīng)用上式的麻煩處在于要進(jìn)行將長(zhǎng)度化為球心角的計(jì)算1sin241sin241sin24ABCAbcA KKBacB KKCabC KK式中：將橢球面三角形化為球面三角形時(shí)的角改正，三角形各邊長(zhǎng)小于200km時(shí)可不加此改正。2222111,113ABCABCABCKKKRRRKKKKRKA，KB，KC分別為各頂點(diǎn)的高斯曲率，K為平均高斯曲率，R為三頂點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑。ABCabcBACabc橢球面三角

54、形視作球面三角形解算時(shí)需具備的條件精度要求：角度誤差小于0.001，邊長(zhǎng)誤差小于1mm三角形各邊長(zhǎng)小于200km球的半徑取三頂點(diǎn)平均緯度處的平均曲率半徑;如果邊長(zhǎng)在200400km區(qū)間，應(yīng)將橢球面三角形的各角加上橢球面改正數(shù)，化為球面三角形2.2.勒讓德定理解球面三角形勒讓德定理解球面三角形勒讓德定理：勒讓德定理：若一平面三角形和一球面三角形邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等，則平面三角形之各內(nèi)角等于對(duì)應(yīng)球面角減去三分之一球面角超。用一般方法解橢球面三角形時(shí)，麻煩之處是要進(jìn)行將長(zhǎng)度化為球心角的計(jì)算，勒讓德解算法可簡(jiǎn)便一些。方法是先將球面三角形各角加角超改正化算為平面角，用平面三角形解，解算結(jié)果的邊長(zhǎng)即為所求球面邊長(zhǎng)

55、。B1C1A1acbB0A0C0abc101010333AABBCC0002111ABC -180 111sinsinsin222RbcAacBabC 020022sin2sinsin ARCBaR角超計(jì)算角超計(jì)算5-5 地面邊角元素歸算至橢球面(Reduction about Elements of Terrestrial Side-Angle Measurement to Ellipsoid )本節(jié)需理解的內(nèi)容歸算的意義和要求水平觀(guān)測(cè)方向歸算到橢球面觀(guān)測(cè)天頂距的歸算地面觀(guān)測(cè)長(zhǎng)度歸算至橢球面 垂線(xiàn)偏差公式天文方位角歸算一、歸算的意義和要求一、歸算的意義和要求（Significances an

56、d Conditions of ReductionSignificances and Conditions of Reduction）1.1.大地起算坐標(biāo)與大地網(wǎng)觀(guān)測(cè)、解算過(guò)程大地起算坐標(biāo)與大地網(wǎng)觀(guān)測(cè)、解算過(guò)程確定地面點(diǎn)位置確定地面點(diǎn)位置拱極星恒星位置恒星位置（二維）（二維）赤道坐標(biāo)赤道坐標(biāo)天文坐標(biāo)天文坐標(biāo)（鉛垂線(xiàn)）（鉛垂線(xiàn)）天球赤道天球赤道天極天極大地坐標(biāo)大地坐標(biāo)（法線(xiàn)）（法線(xiàn)）控制網(wǎng)控制網(wǎng)地面觀(guān)測(cè)地面觀(guān)測(cè)歸算與坐標(biāo)計(jì)算歸算與坐標(biāo)計(jì)算垂線(xiàn)偏差歸算垂線(xiàn)偏差歸算衛(wèi)星的衛(wèi)星的位置位置空間大地測(cè)量空間大地測(cè)量天天文文測(cè)測(cè)量量指定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)指定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)地面以垂線(xiàn)為地面以垂線(xiàn)為基準(zhǔn)觀(guān)測(cè)元素基準(zhǔn)

57、觀(guān)測(cè)元素天文方位角天文方位角距離距離方向方向高斯平面上高斯平面上的元素的元素坐標(biāo)方位角坐標(biāo)方位角距離距離方向方向大地坐標(biāo)（大地坐標(biāo)（L，B）平面坐標(biāo)（平面坐標(biāo)（x，y）向向橢橢球球歸歸算算向高斯平面歸算向高斯平面歸算平平差差平平差差橢球面上以法線(xiàn)為橢球面上以法線(xiàn)為基準(zhǔn)的元素基準(zhǔn)的元素大地方位角大地方位角距離距離方向方向00(,)L B11(,)L B2.2.經(jīng)典大地測(cè)量中地面觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的歸算過(guò)程經(jīng)典大地測(cè)量中地面觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的歸算過(guò)程3.3.歸算要求歸算要求以橢球面法線(xiàn)為基準(zhǔn)線(xiàn)地面點(diǎn)沿法線(xiàn)投影到橢球面橢球面兩點(diǎn)連線(xiàn)用大地線(xiàn)4.4.歸算方法與精度要求歸算方法與精度要求歸算方法：對(duì)地面觀(guān)測(cè)元素加入適當(dāng)改

58、正數(shù)，使之轉(zhuǎn)化為橢球面上相應(yīng)的元素精度要求：不損害野外觀(guān)測(cè)的精度5.5.歸算任務(wù)歸算任務(wù) 水平觀(guān)測(cè)方向 觀(guān)測(cè)天頂距歸算 地面長(zhǎng)度歸算 天文方位角歸算垂線(xiàn)偏差u6.6.歸算用到的重要參量歸算用到的重要參量-垂線(xiàn)偏差垂線(xiàn)偏差（deflection of the vertical） 1)基本定義一點(diǎn)的鉛垂線(xiàn)方向與相應(yīng)的橢球面法線(xiàn)方向之間的夾角。通常按子午方向和卯酉方向分解為2)分類(lèi)天文大地垂線(xiàn)偏差：在地面上一點(diǎn)的重力方向和參考橢球面法線(xiàn)方向之差，也稱(chēng)相對(duì)垂線(xiàn)偏差絕對(duì)垂線(xiàn)偏差：在地面上一點(diǎn)的重力方向和正常橢球面法線(xiàn)方向之差 地面垂線(xiàn)偏差：地面上一點(diǎn)的重力方向和正常重力方向之差重力垂線(xiàn)偏差：大地水準(zhǔn)面上

59、一點(diǎn)的重力方向和正常橢球面法線(xiàn)方向之差,當(dāng)H1km，B45時(shí)，u0.171，可見(jiàn)垂線(xiàn)偏差為一微小值3)垂線(xiàn)偏差圖示垂線(xiàn)偏差計(jì)算的概略公式g0nP地面地面參考橢球面參考橢球面正常橢球面正常橢球面天文大地垂線(xiàn)偏差天文大地垂線(xiàn)偏差絕對(duì)垂線(xiàn)偏差絕對(duì)垂線(xiàn)偏差地面垂線(xiàn)偏差地面垂線(xiàn)偏差PuBHu2sin117. 0 二、水平觀(guān)測(cè)方向歸算到橢球面上（三差改正）二、水平觀(guān)測(cè)方向歸算到橢球面上（三差改正）1. 1.垂線(xiàn)偏差改正垂線(xiàn)偏差改正( (1 Correction for deflection of the vertical) )改正內(nèi)涵：將地面上以鉛垂線(xiàn)為準(zhǔn)觀(guān)測(cè)的水平方向值，歸算為以橢球面法線(xiàn)為準(zhǔn)的水平方向

60、值需加入測(cè)站點(diǎn)垂線(xiàn)偏差改正RR1111RR由圖可知:1）公式O1O天文天頂1Z法線(xiàn)大地天頂Z垂線(xiàn)照準(zhǔn)線(xiàn)Am（北極）Pu1度盤(pán)零線(xiàn)uOM1RR1RA大地水平面大地水平面天文水平面天文水平面(地平面地平面)sincosuu根據(jù)圖示可知，垂線(xiàn)偏差在球面三角形 中1MZZ1sin)(sinsinsinzAuq111tan)cossin(cot)cossin(AAzAA在球面直角三角形 中1MRR11sin()cossinzq111cot)sincoscos(sincot)sin(zAAuzAu)90sin(sinsin11zq綜合上列各式，并顧及)( ;sin為微小量時(shí)當(dāng)xxx Am北極Pu1A1Z法