平面向量的線性運算

1、向量的加法運算向量的加法運算 臺北臺北香港香港上海上海從運動的合成看向量運算在大陸和臺灣沒有直航之前，臺灣同胞要到上海在大陸和臺灣沒有直航之前，臺灣同胞要到上海探親，得乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到探親，得乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到上海，那么這兩次位移之和是什么？上海，那么這兩次位移之和是什么？ ABC位移位移ABBCAC+= F1F2FEOOEF1+F2=F從力的合成看向量運算橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下，從的作用下，從E點伸長到了點伸長到了O點；點；同時橡皮條在力同時橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點伸長到了點伸長到了O點點.問問:合力合力F與力與力F1、F2

2、有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？F1F2FF是以是以F1與與F2為鄰邊所形成的為鄰邊所形成的平行四邊形的對角線平行四邊形的對角線ABC向量的加法運算運動的合成運動的合成力的合成力的合成ABBCAC+= F1F2FF1 + F2 = F 數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看， AC可以認為可以認為是是AB與與BC的和，的和，F(xiàn)可以認為是可以認為是F1與與F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量的加法法則向量的加法法則：三角形法則

3、、平行四邊形法則：三角形法則、平行四邊形法則aboABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型平行四邊形法則的物理模型baba求作向量求作向量已知向量已知向量,CABbaACbBCaABA則向量則向量作作在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點作法：作法：,.21向量加法法則ababba ba 位移的合成可以看作向量位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型加法三角形法則的物理模型baOCbOBaOAO則向量則向量作作在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點作法：作法：,.21向量加法法則總結(jié)與拓展向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們將向量

4、平移使得它們2.和向量即是第一個向量的首指向第二個向量的尾和向量即是第一個向量的首指向第二個向量的尾向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到將向量平移到2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點的和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點的對角線對角線三角形法則推廣為多邊形法則：三角形法則推廣為多邊形法則：向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ab則則OBab aba 作法作法1：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O， 作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：aboABoAB

5、C作法作法2：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O， 作作 ， ，OAa OBb .OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則ba OAOB、以以 為為鄰邊作鄰邊作 ，OACBab探究一：當(dāng)向量共線時，如何相加？ACab=+ ABC(1)同向同向(2)反向反向ababABCACab=+ aaa00規(guī)定：規(guī)定：向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義8282頁探究頁探究abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab| |abababba 若 ， 方向相反，則（或）向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時，和向量的長度不共線時，

6、和向量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當(dāng)向量、不共線時有綜合以上探究我們可得結(jié)論：綜合以上探究我們可得結(jié)論：| |abab探究二：向量的加法是否具備交換律和結(jié)合律？數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意a，bR，有有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？abba()a bcabc ( + )+向量加法滿足交換律和結(jié)合律：向量加法滿

7、足交換律和結(jié)合律：以上兩個運算律可以以上兩個運算律可以推廣推廣到任意多個向量到任意多個向量. .課本例題課本例題長江兩岸之間沒有大橋的地方長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡常常通過輪渡進行運輸進行運輸.一艘船從長江南岸一艘船從長江南岸A點出發(fā)點出發(fā),以以5km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東同時江水的速度為向東2km/h.(1) 用向量表示江水速度、船速、船實際航行的速度；用向量表示江水速度、船速、船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小和方向求船實際航行的速度的大小和方向.練習(xí)：化簡練習(xí)：化簡_) 1 (BCCDAB _)2(C

8、BACBNMA(3)_ABBDCADC .,)()(,)(;)()(._,的的方方向向相相同同與與則則反反向向，且且，若若向向量量相相等等；與與均均為為非非零零向向量量，則則，若若；為為一一個個三三角角形形的的三三頂頂點點，則則若若中中，必必有有之之一一的的方方向向相相同同；，必必和和的的方方向向么么的的方方向向相相同同或或相相反反，那那與與若若非非零零向向量量正正確確的的個個數(shù)數(shù)有有下下列列命命題題中中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa5403021完成課本完成課本84頁練習(xí)頁練習(xí)向量的減法運算向量的減法運算預(yù)備知識：相反向量類比實數(shù)的相反數(shù)的概率，定

9、義相反向量：類比實數(shù)的相反數(shù)的概率，定義相反向量：與與a長度長度相等，相等，方向相反方向相反的向量，的向量， 叫做叫做a的相反向的相反向量，記作量，記作 ; - -a與與a互為相反向量互為相反向量規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量所以所以: 1、- -(- -a)=a；2、a+(- -a)=(- -a)+a=0； 3、a=- -b，b=- -a，a+b=0向量的減法：向量的減法：a- -b=a+(- -b)，即減去一個向量相當(dāng)于，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量加上這個向量的相反向量向量減法法則要點要點:1.平移到平移到；2.被減向量被減向量.abb)(

10、 babaabABOababbaabABOab.,baBAbOBaOAO則則作作點點作法：在平面內(nèi)任取一作法：在平面內(nèi)任取一探究三：當(dāng)向量共線時，如何相減？(1)同向同向(2)反向反向bababa baba探究四：平行四邊形法則的兩條對角線ADCBabbaABADBDbaAC探究五：向量的三角形不等式的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？、與與問題一：問題一：babababababa號何時成立？號何時成立？問題二：上述不等式等問題二：上述不等式等，是否有類似的結(jié)論？，是否有類似的結(jié)論？問題三：對于實數(shù)問題三：對于實數(shù)ba,探究六：向量加減法與平行四邊形形狀？互相垂直？互相垂直？與與滿足什么條件時，有

11、滿足什么條件時，有當(dāng)非零不共線向量當(dāng)非零不共線向量bababababa)()(,21菱形菱形ba矩形矩形ba OMBOMBABBDACCDABDCADABcbacbacbacbacACbBCaABABCDcbacbacba)()( ;)(.)()(,.,.321321121化簡：化簡：，并計算，并計算求作向量求作向量，并計算，并計算求作向量求作向量，設(shè)，設(shè)邊長為邊長為正方形正方形和和作出作出向量向量隨意畫三個互不共線的隨意畫三個互不共線的完成課本完成課本87頁練習(xí)頁練習(xí)向量數(shù)乘運算向量數(shù)乘運算aaaABCOaaaa3BCABOAOC記記作作aaaaMNQMPQPN3記記作作)()()(a-a-

12、a-aPQMNaaaa333的方向相同的方向相同與與aaaa333的方向相反的方向相反與與義嗎？義嗎？你能說明它們的幾何意你能說明它們的幾何意和和作出作出已知非零向量已知非零向量),()()(,aaaaaaa向量的數(shù)乘運算的定義.)(;)(.000021aaaaaaaaa 時，時，當(dāng)當(dāng)?shù)姆较蛳喾?；的方向相反；的方向與的方向與時，時，當(dāng)當(dāng)?shù)姆较蛳嗤?；的方向相同；的方向與的方向與時，時，當(dāng)當(dāng)如下：如下：，它的長度和方向規(guī)定，它的長度和方向規(guī)定記作記作運算叫向量的數(shù)乘運算叫向量的數(shù)乘的積是一個向量，這種的積是一個向量，這種與向量與向量實數(shù)實數(shù)你能說出向量數(shù)乘運算的幾何意義嗎？數(shù)乘向量運算律向量的加、

13、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱向量的向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱向量的.)()()(律律推廣出數(shù)乘向量的運算推廣出數(shù)乘向量的運算呢？呢？與與有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？和和思考：思考：babaaa22226231bababa212121 ),（恒有恒有，以及任意實數(shù)，以及任意實數(shù)對于任意向量對于任意向量第一分配律第二分配律數(shù)乘結(jié)合律概念辨析.)()( ;)(;,)(,)(,)()()(_.)(,)()()(._,.aaaanmanamanmbabmambambabababaaababaabbaaaaaba 765403002001203252525211則則，若若和和向向量量對對于于實實數(shù)數(shù)；則則，若若和和向向量

14、量對對于于實實數(shù)數(shù)同同向向；與與則則滿滿足足若若非非零零向向量量；，則則若若；，則則若若下下列列說說法法正正確確的的個個數(shù)數(shù)是是不不共共線線；與與不不共共線線，則則若若）是是一一對對相相反反向向量量；（與與；的的模模的的的的模模是是的的方方向向相相反反，且且的的方方向向與與下下列列說說法法正正確確的的有有是是兩兩個個非非零零向向量量已已知知線性運算練習(xí).,.,)()()(.,.)()(.)()( ;)()()(;)(.yxbyxayxbaxbaxaxaxabbabajibjiababbacbacbaababaa，求求且且已知已知求求已知已知求求設(shè)向量設(shè)向量化簡化簡計算：計算：課本例題課本例題3

15、25504223423231223376413134322233232324311完成課本完成課本90頁練習(xí)頁練習(xí)25共線定理定理的應(yīng)用：定理的應(yīng)用：證明證明 向量共線向量共線證明證明 三點共線三點共線:證明證明 兩直線平行兩直線平行:?abbabaabba 實數(shù)，使得實數(shù)，使得個個共線，那么是否存在一共線，那么是否存在一和和：如果向量：如果向量問題問題是否共線？是否共線？和和，那么向量，那么向量：如果：如果問題問題，以及實數(shù)，以及實數(shù)和和對于向量對于向量21三點共線三點共線CBABCAB, CDABCDABCDABCDAB/,/不在同一條直線上不在同一條直線上 .,三三點點的的位位置置關(guān)關(guān)系

16、系判判斷斷，作作已已知知任任意意兩兩個個非非零零向向量量課課本本例例題題ABCbaOCbaOBbaOAba321.,的的值值共共線線，確確定定實實數(shù)數(shù)和和不不共共線線，欲欲使使和和已已知知非非零零向向量量逆逆向向使使用用三三點點共共線線證證明明：不不共共線線，如如果果和和已已知知非非零零向向量量類類似似題題kekeeekeeABDeeCDeeBCeeABee212121212121212382abABCOab2b3b.,.,.,.CDBCeeeALeAKLKCDBCABCDDCOCbabOBaOAEOADCOBDBDOBBAACCBAAOBMDMCMBMAbabADaABMABCD表示表示，試

17、用，試用，且，且的中點分別為的中點分別為的邊的邊如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形類似題類似題表示表示，試用試用，設(shè)，設(shè)交于點交于點與與，使，使上取點上取點，在，在使使，到到中，延長中，延長如圖，在如圖，在類似題類似題表示表示，用，用，且，且的兩條對角線相交于點的兩條對角線相交于點如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形課本例題課本例題212123113探究：.),(OCOBOARtABtACOBOA表示表示和和試用試用不共線，不共線，和和問題：已知問題：已知嗎？嗎？時，你知道其幾何意義時，你知道其幾何意義當(dāng)當(dāng)特例：對于特例：對于211tOBtOAtOC,)(的的值值有有什什么么關(guān)關(guān)系系？三三點點共共線線與與一一般般地地：對對于于 ,CBAOBOAOC探究：？在三角形內(nèi)的什么位置在三角形內(nèi)的什么位置，則，則內(nèi)一點，若內(nèi)一點，若是是是不共線的三點，是不共線的三點，問題：問題：GGCGBGAABCGCBA0,有有什什么么關(guān)關(guān)系系？與與的的重重心心，則則為為中中點點，則則為為線線段段類類比比：OCOBOAOGABCGOBOAOCABC,2證明