最新數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)最全匯總71頁

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)11 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)授課章節(jié)：授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1 實(shí)數(shù)教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：(1)理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2)牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式 （它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法教學(xué)方法：講授 （部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序教學(xué)程序：引引 言言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始 問題問題 為什么從“實(shí)

2、數(shù)”開始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課復(fù)變函數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)） 為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1 1、實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)( ,qp qp有理數(shù): 任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式為整數(shù)且q0)表示，也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)小數(shù)來表示.無理數(shù): 用無限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示. |Rx x一一一-一一一一一一一 問題問題 有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)” （包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)” 為此作如下規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)其中012.,nxa a aa，記；

3、009,1,2, ,0,inain aa為非負(fù)整數(shù)011.(1)9999nnxa aaa對(duì)于正整數(shù)則記；對(duì)于負(fù)有限小數(shù)（包括0,xa0(1).9999xa負(fù)整數(shù)），則先將表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加yy負(fù)號(hào)0 表示為00.0000例： ；2.0012.0009999利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大小？2 2、兩實(shí)數(shù)大小的比較、兩實(shí)數(shù)大小的比較1）定義定義 1 1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，. 其01.nxa aa01.nyb bb中為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，若有00,a b,kka b(1,2,)k 09,09kkab32.99992.0012.009

4、99932.9999 ；，則稱 與相等，記為；若或存在非負(fù),0,1,2,kkabkxyxy00ab整數(shù) ，使得，而，則稱 大于或小于l,0,1,2,kkabkl11llabxyy，分別記為或?qū)τ谪?fù)實(shí)數(shù) 、，若按上述規(guī)定分別有xxyyxxy或，則分別稱為與（或） xy xy xyxyyx規(guī)定規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)2）實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過有限小數(shù)來比較） 定義定義 2 2（不足近似與過剩近似不足近似與過剩近似）：為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱01.nxa aa有理數(shù)為實(shí)數(shù) 的 位不足近似位不足近似；稱為實(shí)數(shù)01.nnxa aaxn110nnnxx的 位過剩近似位過剩近似，.xn0,1,2,n 對(duì)

5、于負(fù)實(shí)數(shù)，其 位不足近似；01.nxa aa n011.10nnnxa aa 位過剩近似.n01.nnxa aa 注：實(shí)數(shù) 的不足近似當(dāng) 增大時(shí)不減，即有； xnxn012xxx過剩近似當(dāng) n 增大時(shí)不增，即有nx012xxx命題命題：記，為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則的等01.nxa aa01.nyb bbxy價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù) n，使（其中為 的 位不足近似，nnxynxxn為的 位過剩近似） nyyn命題應(yīng)用命題應(yīng)用例例 1 1設(shè)為實(shí)數(shù)，證明存在有理數(shù) ，滿, x yxyr足xry證明：由，知：存在非負(fù)整數(shù) n，使得令xynnxy，則 r 為有理數(shù)，且12nnrxy即nnxxryyxry3 3、實(shí)數(shù)

6、常用性質(zhì)、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄） 289302PP1 1）封閉性）封閉性（實(shí)數(shù)集對(duì)）四則運(yùn)算是封閉的即任意兩R, , , 個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為 0）仍是實(shí)數(shù)2 2）有序性）有序性：，關(guān)系，三者必居其一，也, a bR,ab ab ab只居其一.3 3）傳遞性）傳遞性：，abcR，,ab bcac若，則4 4）阿基米德性）阿基米德性：使得,0a bR banN nab5 5）稠密性）稠密性：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6 6）一一對(duì)應(yīng)關(guān)系）一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系R例例 2 2設(shè)，證明：若對(duì)任何正數(shù) ，有，, a bRab則ab（提示：反證法利用“有序性

7、” ，?。゛b二、絕對(duì)值與不等式二、絕對(duì)值與不等式1 1、絕對(duì)值的定義、絕對(duì)值的定義實(shí)數(shù) 的絕對(duì)值的定義為a,0|0aaaaa2 2、幾何意義、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù) 的絕對(duì)值就是點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離表示a|aa|xa就是數(shù)軸上點(diǎn) 與 之間的距離xa3 3、性質(zhì)、性質(zhì)1）（非負(fù)性） ； | | 0;| 00aaaa 2）；|aaa3），；|ahhah |.(0)ahhah h 4）對(duì)任何有（三角不等式） ；, a bR| | |ababab5）； | | |abab6）（） |aabb0b 三、幾個(gè)重要不等式三、幾個(gè)重要不等式1 1、 ,222abba. 1 sin x. sin xx 2 2、均值

8、不等式:對(duì)記,21Rnaaa (算術(shù)平均值),1 )(121niiniannaaaaM (幾何平均值),)(1121nniinniaaaaaG (調(diào)和平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH有平均值不等式:即：),( )( )(iiiaMaGaH121212111nnnnaaana aanaaa等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.naaa213 3、Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)有不等式, 1x(1)1, .nxnxn N當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式1x0 xNn2n.1)1 (nxxn證：由且01 x111)1 (1)1 ( , 01nnxnxx ).

9、1 ( )1 ( xnxnnn.1)1 ( nxxn4 4、利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:對(duì)由二項(xiàng)展開式, 0h ,! 3)2)(1(! 2) 1(1)1 (32nnhhnnnhnnnhh 有 上式右端任何一項(xiàng).nh)1 ( 練習(xí)練習(xí)P45課堂小結(jié)課堂小結(jié)：實(shí)數(shù)：.一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二 絕對(duì)值與不等式作業(yè)作業(yè)P41(1)，2(2)、(3)，322 數(shù)集和確界原理數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)2 數(shù)集和確界原理教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：教學(xué)要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加

10、以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序教學(xué)程序：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.引引 言言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡(jiǎn)要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章1 實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對(duì)任何有：(1)；(2) xR|1|2| 1xx.|1|2|3| 2xxx（）111 (2)12 ,121xxxxx （）（）2121,231,232.xxxxxx （）三式相加化簡(jiǎn)即可2、證明：.|xyxy3、設(shè)，證明：若對(duì)任何正數(shù) 有，

11、則., a bRabab4、設(shè)，證明：存在有理數(shù) 滿足.,x yR xyryrx 引申引申 ：由題 1 可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用.提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實(shí)數(shù)集 R 中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.

12、一一 、區(qū)間與鄰域、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）設(shè)且.，其中, a bRab有限區(qū)間區(qū)間無限區(qū)間 |( , )| , | , )|( , xR axba bxR axba bxR axba bxR axba b開區(qū)間: 閉區(qū)間: 有限區(qū)間閉開區(qū)間:半開半閉區(qū)間開閉區(qū)間:| ,).|(, .|( ,).|(, ).|.xR xaaxR xaaxR xaaxR xaaxRxR 無限區(qū)間2、鄰域聯(lián)想：“鄰居”.字面意思：“鄰近的區(qū)域”.與 鄰近的“區(qū)a域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于的對(duì)稱區(qū)間” ；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？a（1） 的的鄰域鄰域：設(shè)，滿足不等式

13、的全體實(shí)a,0aR|xa數(shù) 的集合稱為點(diǎn) 的鄰域，記作，或簡(jiǎn)記為，即xa( ; )U a( )U a.( ; )|(,)U ax xaaa 其中a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑.（2）點(diǎn)點(diǎn) 的空心的空心鄰域鄰域a.( ; )0 |(, )( ,)( )ooUaxxaaaa aUa（3） 的的右鄰域和點(diǎn)右鄰域和點(diǎn) 的空心的空心右鄰域右鄰域aa00( ; ) ,)( );( ; )( ,)( ).Uaa aUax axaUaa aUax axa（4）點(diǎn)點(diǎn) 的的左鄰域和點(diǎn)左鄰域和點(diǎn) 的空心的空心左鄰域左鄰域aa00( ; )(, ( );( ; )(, )( ).UaaaUax axaUaaaU

14、ax axa（5）鄰域，鄰域，鄰域，鄰域，鄰域鄰域（其中 M 為充分大的正數(shù)） ；( )|,Ux xM (),Ux xM ()Ux xM 二二 、有界集與無界集、有界集與無界集1 1、定義定義 1 1（上、下界上、下界）：設(shè)為中的一個(gè)數(shù)集.若存在數(shù)SR，使得一切都有，則稱 S 為有上（下）界( )M LxS()xM xL的數(shù)集.數(shù)稱為 S 的上界（下界） ；若數(shù)集 S 既有上界，又( )M L有下界，則稱 S 為有界集.閉區(qū)間、開區(qū)間為有限數(shù)） 、鄰域等都是有界數(shù)集，, a bbaba,( ),( 集合 也是有界數(shù)集.) , ( ,sin xxyyE若數(shù)集 S 不是有界集，則稱 S 為無界集.

15、等都是無界數(shù)集, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (集合 也是無界數(shù)集.) 1 , 0 ( ,1 xxyyE注注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與 S 的關(guān)系如何？看下例：例例 1 1 討論數(shù)集的有界性.|Nn n為正整數(shù)解：任取，顯然有，所以有下界 1；0nN01n N但無上界.因?yàn)榧僭O(shè)有上界 M,則 M0，按定義，對(duì)任意NN，都有，這是不可能的，如取0nN0nM則，且. 0 1nMMM（符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)），0nN0nM綜上所述知：是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.N例例 2 2 證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無限區(qū)間都是無界集；（3）由有

16、限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.問題問題：若數(shù)集 S 有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？(答：不唯一，有無窮多個(gè)).三三 、確界與確界原理、確界與確界原理1、定義定義定義 2 2（上確界（上確界）設(shè) S 是 R 中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足：(1) 對(duì)一切有（即 是 S 的上界）; (2) 對(duì)任何，存在,xSx，使得（即 是 S 的上界中最小的一個(gè)） ，則稱數(shù) 為數(shù)集0 xS0 xS 的上確界上確界，記作sup .S從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者上確界就是上界中的最小者. .命題命題 1 1 充要條件supME1）；,xE xM 2）.00,oxSxM 使得證明：證明：必要性，用反證法.設(shè)

17、2）不成立，則，與M是上界中最小的一個(gè)矛盾.00,oxExM 使得均有充分性（用反證法） ，設(shè)M不是E的上確界，即是上界，但0M.令，由 2） ，使得，與0MM00MM0 xE00 xMM是E的上界矛盾.0M定義定義 3 3（下確界（下確界）設(shè) S 是 R 中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足：（1）對(duì)一切有（即 是 S 的下界） ；（2）對(duì)任何，存在,xSx，使得（即 是 S 的下界中最大的一個(gè)） ，則稱數(shù) 為數(shù)集0 xS0 xS 的下確界下確界，記作.inf S從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者下確界就是下界中的最大者. .命題命題 2 2 的充要條件：inf S1）；,xE x 2）0， 0

18、0,xSx有.上確界與下確界統(tǒng)稱為確界確界.例例 3 3（1）則 1 ； 0 .,) 1(1nSnsupS inf S （2）則 1 ； 0 .), 0( ,sin xxyyEsupS inf S 注：注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題命題 3 3：設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一A的的. .證明：證明：設(shè)，且，則不妨設(shè)sup Asup A AsupAx有x對(duì)，使，矛盾.sup A 0 xA0 x例：例： ， ，sup0Rsup11n Znn1inf12n Znn則有.5,0,3,9,11E inf5E 開區(qū)間與閉區(qū)間有相

19、同的上確界 與下確界,a b,a bba例例 4 4 設(shè)和是非空數(shù)集，且有則有SA. AS .infinf ,supsupASAS例例 5 5 設(shè)和是非空數(shù)集.若對(duì)和都有則有ABAx,By, yx .infsupBA 證明：證明：是的上界,是的下界,ByyA.sup yA Asup B.infsup BA 例例 6 6和為非空數(shù)集,試證明:AB.BAS. inf , inf mininfBAS 證明：證明：有或由和分別是和的下界,SxAx,BxAinfBinfAB有或Axinf. inf , inf min .infBAxBx即是數(shù)集的下界, inf , inf minBAS又的下界就是的下界

20、,. inf , inf mininf BAS SAS , A是的下界,是的下界,同理有SinfSSinf A;infinf AS .infinfBS 于是有. inf , inf mininfBAS 綜上,有. inf , inf mininfBAS 1.1. 數(shù)集與確界的關(guān)系數(shù)集與確界的關(guān)系: :確界不一定屬于原集合.以例 3為例做解釋.2.2. 確界與最值的關(guān)系確界與最值的關(guān)系: :設(shè) 為數(shù)集.E（1）的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).EE（2）非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有對(duì)下確界有類似的結(jié)論.Emax.supmaxEE 4.4.

21、確界原理確界原理: :Th1.1Th1.1(確界原理).設(shè)非空的數(shù)集.若有上界，則必有上確SSS界；若有下界，則必有下確界.SS這里我們給一個(gè)可以接受的說明 非空，Ex，我們可,ER E以找到一個(gè)整數(shù)，使得p不是E上界，而是E的上界.然后我p1p們遍查9 .,2 .,1 .ppp和1p，我們可以找到一個(gè)0q，900 q，使得0.qp不是E上界，) 1.(0qp是E上界，如果再找第二位小數(shù)1q，,如此下去，最后得到210.qqqp，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為E的上確界.證明：證明：（書上對(duì)上確界的情況給出證明，下面講對(duì)下確界的證明）不妨設(shè)S中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)n，使得1）Sx，有nx ；2

22、）存在Sx 1，有1 nx；把區(qū)間 1,(nn10 等分，分點(diǎn)為n.1，.2， ,.9, 存在1n，使得1）S，有；1.nnx ；2）存在Sx 2，使得10112.nnx再對(duì)開區(qū)間10 等分，同理存在2n，使得111( . , .10nn nn 1）對(duì)任何Sx，有21. nnnx ；2）存在2x，使2101212.nnnx繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對(duì)任何, 2 , 1k，存在kn使得1）對(duì)任何Sx，kknnnnx10121.；2）存在Sxk，kknnnnx21.因此得到knnnn21.以下證明Sinf（）對(duì)任意Sx，x；（）對(duì)任何，存在Sx 使x作業(yè)：作業(yè)：P9 1（1） ， （2） ；2； 4（2）

23、 、 （4） ；33 函數(shù)概念函數(shù)概念授課章節(jié)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)3 函數(shù)概念教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求教學(xué)要求：（）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；（）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序教學(xué)程序：引引 言言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對(duì)此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義一、函數(shù)的定義定義定義

24、 設(shè)，如果存在對(duì)應(yīng)法則，使對(duì)，,D MRfxD 存在唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，yMfD記作:fDM .|xy數(shù)集稱為函數(shù)的定義域， 所對(duì)應(yīng)的，稱為在點(diǎn) 的函Dfxyfx數(shù)值，記為.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作( )f xf.()f D即.()|( ),f Dy yf x xD幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明（1）函數(shù)定義的記號(hào)中“”表示按法則建立到:fDMfD的函數(shù)關(guān)系，表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記M|xy作.習(xí)慣上稱 自變量，為因變量.|( )xf xxy（2） 函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本

25、要素為兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為：.( ),yf x xD由此，我們說兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則.例如：1） （不相同，對(duì)應(yīng)法則相( )1,f xxR ( )1, 0 .g xxR同，定義域不同）2） （相同，只是對(duì)應(yīng)法則( ) |,xxxR2( ),.xxxR的表達(dá)形式不同）.（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）.此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)中的定義域可省略不寫，而只用對(duì)應(yīng)法則來表f示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)”或“函數(shù)”.( )yf xf（4） “映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對(duì)于，faD稱

26、為映射下 的象. 稱為的原象.( )f afaa( )f a（5）函數(shù)定義中，只能有唯一的一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)，xD y這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)” ，若對(duì)同一個(gè) 值，可以對(duì)應(yīng)多于x一個(gè)值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)（簡(jiǎn)稱y函數(shù)）.二二 、函數(shù)的表示方法、函數(shù)的表示方法1 主要方法：解析法（公式法） 、列表法（表格法）和圖象法（圖示法）.2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù).1 1）分段函數(shù)）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.例如， （符號(hào)函數(shù)）1,0sgn0,01,0 xxxx（借助于 sgnx 可表示即）.( ) |,f xx( ) |sgnf xxxx2 2）用語

27、言敘述的函數(shù)）用語言敘述的函數(shù).（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 ）（取整函數(shù)） yx比如： 3.5=3, 3=3, -3.5=-4. 常有 , 即. 1xxx 01xx與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù)（非負(fù)小數(shù)函 yxxx數(shù)）圖形是一條大鋸，畫出圖看一看.）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)1,( )0,xD xx當(dāng)為有理數(shù),當(dāng)為無理數(shù),這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.）黎曼（Riemman）函數(shù)1,( ,( )0,0,1(0,1)ppxp qNqqqR xx當(dāng)為既約分?jǐn)?shù)),當(dāng)和內(nèi)的無理數(shù).三三 函數(shù)的四則運(yùn)算函數(shù)的四則運(yùn)算給定

28、兩個(gè)函數(shù)，記，并設(shè)，定義12, ,f xD g xD12DDDD與在上的和、差、積運(yùn)算如下：fgD；( )( )( ),F xf xg x xD( )( )( ),G xf xg x xD.( )( ) ( ),H xf x g x xD若在中除去使的值，即令，D( )0g x 2( )0,DDx g xxD可在上定義與的商運(yùn)算如下；.Dfg( )( ),( )f xL xxDg x注：）若，則與不能進(jìn)行四則運(yùn)算.12DDDfg）為敘述方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫為：fg.,ffgfgfgg四、復(fù)合運(yùn)算四、復(fù)合運(yùn)算引言引言在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們

29、之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例：質(zhì)量為 m 的物體自由下落，速度為 v，則功率為E.22 21122EmvEmg tvgt抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)，21( ),2f vmv vgt把代入，即得( )v tf.2 21( ( )2f v tmg t這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合” ，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”. 問題問題 任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；.2( )arcsin , 1,1,( )2,yf uu uDug xxxER 就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）. 2 2定義（復(fù)合函數(shù)定義（復(fù)合函數(shù)） 設(shè)有兩

30、個(gè)函數(shù)，若，則對(duì)每一( ),( ),yf u uD ug x xE( )Ex f xDEE個(gè)，通過對(duì)應(yīng)內(nèi)唯一一個(gè)值 ，而 又通過對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)xEgDuuf值，這就確定了一個(gè)定義在上的函數(shù)，它以 為自變量，因變yExy量，記作或.簡(jiǎn)記為.稱為函數(shù)( ( ),yf g xxE()( ),yfgx xEfg和的復(fù)合函數(shù)，并稱為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)， 為中間變量.fgfgu3.3. 例子例子例例 求 并求定.1)( ,)(2xxguuufy).()(xgfxgf義域. 例例 ._)( , 1)1 (2xfxxxf 則.1122xxxxf) ( )(xf A.A. B.B. C.C. D.D. ,2x, 1

31、2x, 22x. 22x例 討論函數(shù)與函數(shù)( ),0,)yf uu u能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).2( )1,ug xxxR4 4 說明說明）復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如：，復(fù)合成：2sin ,1yu uv vx .2sin 1, 1,1yxx ）不僅要會(huì)復(fù)合，更要會(huì)分解.把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，在分解時(shí)也要注意定義域的變化.22log1,(0,1)log,1.aayxxyu uz zx 22arcsin1arcsin ,1.yxyu uv vx 2sin222 ,sin .xuyyuv vx五、反函數(shù)五

32、、反函數(shù). .引言引言在函數(shù)中把 叫做自變量，叫做因變量.但需要指出的( )yf xxy是，自變量與因變量的地位并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，例如： 那么 對(duì)于來講是自變量，但對(duì) 來講， 是因變2( ),1,f uu utuftu量.習(xí)慣上說函數(shù)中 是自變量，是因變量，是基于隨( )yf xxyy的變化現(xiàn)時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究隨 的變化狀況，也要研xyx究 隨的變化的狀況.對(duì)此，我們引入反函數(shù)的概念.xy. .反函數(shù)概念反函數(shù)概念定義定義設(shè)Xf :R R 是一函數(shù)，如果1x，Xx 2, 由)()(2121xfxfxx(或由2121)()(xxxfxf)，則稱f在X上是 1-1 的. 若YXf

33、:，)(XfY ，稱f為滿的. 若 YXf:是滿的 1-1 的，則稱f為 1-1 對(duì)應(yīng). Xf :R R 是 1-1 的意味著)(xfy 對(duì)固定y至多有一個(gè)解x，YXf:是 1-1 的意味著對(duì)Yy，)(xfy 有且僅有一個(gè)解x. 定義定義 設(shè)YXf:是 1-1 對(duì)應(yīng).Yy, 由)(xfy 唯一確定一個(gè)Xx, 由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為)(xfy 的反函數(shù)，記為)(1yfx. 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域YXf: XYf:1顯然有XXIff:1 (恒等變換）YYIff:1 (恒等變換)YXff:)(11.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記

34、為 )(1xfy, 這樣它的圖形與 )(xfy 的圖形是關(guān)于對(duì)角線xy 對(duì)稱的.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是 1-1 對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù). 但 1-1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子 21,310,)(xxxxxf 它的反函數(shù)即為它自己.實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行： 1.1. 確定 YXf:的定義域X和值域Y，考慮 1-1 對(duì)應(yīng)條件.固定 Yy，解方程 yxf)( 得出 )(1yfx. 2.2. 按習(xí)慣，自變量x、因變量y互換，得 )(1xfy.0 xy 例例 求 2)(xxeexshy ：R R R R 的反函數(shù). 解解 固定y，為解

35、 2xxeey，令 zex，方程變?yōu)?122 zzy 0122 zyz 12yyz ( 舍去12yy)得)1ln(2yyx，即)()1ln(12xshxxy，稱為反雙曲正弦反雙曲正弦.定理定理 給定函數(shù))(xfy ，其定義域和值域分別記為X和Y，若在Y上存在函數(shù))(yg，使得 xxfg)(, 則有)()(1yfyg.分析分析：要證兩層結(jié)論：一是)(xfy 的反函數(shù)存在，我們只要證它是 1-1 對(duì)應(yīng)就行了；二是要證. 1( )( )g yfy證證 要證)(xfy 的反函數(shù)存在，只要證)(xf是X到Y(jié)的 1-1 對(duì)應(yīng).1x，Xx 2，若)()(21xfxf， 則由定理?xiàng)l件，我們有 11)(xxfg

36、 22)(xxfg21xx ，即 YXf: 是 1-1 對(duì)應(yīng).再證.Yy，Xx，使得)(xfy .1( )( )g yfy由反函數(shù)定義 )(1yfx，再由定理?xiàng)l件.( )( ( )g yg f xx1( )( )g yfy例例 ，若)(xff存在唯一（| ）不動(dòng)點(diǎn)，則)(xf也| 不動(dòng):fRR點(diǎn).證證 存在性，設(shè))(* * xffx，)()(* * xfffxf，即)(* xf是ff的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性* * )(xxf，即存在)(xf的不動(dòng)點(diǎn)* x.唯一性： 設(shè))(xfx ，)()(xffxfx，說明 x是ff的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，x=* x. 從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù).滿足：對(duì)于值域中的每一

37、個(gè)值，( ),yf x xD()f Dy中有且只有一個(gè)值 ，使得，則按此對(duì)應(yīng)法則得到一x( )f xy個(gè)定義在()f D上的 0 y=f(x) y=f -1 (x) 0 y=f(x) 函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為的反函數(shù)，記作f或.1:(),( |)ff DDyx1( ),()xfyyf D、注釋、注釋a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)有f反函數(shù)，意味著是與之間的一個(gè)一一映射，稱為映f()f D1f射的逆映射，它把；f()f DDb) 函數(shù)與互為反函數(shù)，并有: f1f1( ( ),ff xx xD1( ),().f fxy yf Dc) 在反函數(shù)的表示中，是以為自變量， 為1( ),(

38、)xfyyf Dyx因變量.若按習(xí)慣做法用 做為自變量的記號(hào)，作為因變量的xy記號(hào)，則函數(shù)的反函數(shù)可以改寫為f1f1( ),().yfx xf D應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對(duì)應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號(hào)不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時(shí)有所差別.六六 、初等函數(shù)、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)（類）常量函數(shù)（為常數(shù)） ；yC冪函數(shù)；()yxR指數(shù)函數(shù)；(0,1)xyaaa對(duì)數(shù)函數(shù)；log(0,1)ayx aa三角函數(shù)；sin ,cos ,cyx yx ytgx ytgx反三角函數(shù).arcsin ,arccos ,yx yx yarctgx yarcctg

39、x注注：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，()yxR(0,1)xyaaa而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義定義給定實(shí)數(shù)，設(shè) 為無理數(shù)，我們規(guī)定：0,1aaxsup|,1|,01rxr xraraaarar0，Xx有，:fXR( )f xM即,取Mm,MM 即可.( )Mf xM反之如果M,m使得，令，,( )xX mf xM 0max1,MMm則，即，使得對(duì)有，即0( )f xM00M xX 0( )f xM有界.:fXR例例 2 2證明為上的無上界函數(shù).1( )f xx(0,1例例 3

40、 3設(shè)為 D 上的有界函數(shù).證明：（1）, f g；inf( )inf( )inf( )( )x Dx Dx Df xg xf xg x（2）.sup( )( )sup( )sup ( )x Dx Dx Df xg xf xg x例例 4 4 驗(yàn)證函數(shù) 在內(nèi)有界.325)(2xxxfR解法一解法一 由當(dāng)時(shí),有,62322)3()2(32222xxxx0 x . 3625625325325 )( 22xxxxxxxf ,30 )0( f 對(duì) 總有 即在內(nèi)有界.,Rx, 3 )( xf)(xfR解法二解法二 令 關(guān)于 的二次方程 ,3252xxyx有實(shí)數(shù)根.03522yxyx 22245 y. 2

41、 , 42425 , 02yy解法三解法三 令 對(duì)應(yīng) 于是 2,2 ,23ttgtx). , (x tttttgtgttgttgtxxxf2222sec1cossin65123353232235325)( .6252sin625 )( ,2sin625 txft二、單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù) 定義定義 3 3 設(shè)為定義在 D 上的函數(shù)， （1）若f1212,x xD xx，則稱為 D 上的增函數(shù)；若，則稱為 D 上12()()f xf xf12()()f xf xf的嚴(yán)格增函數(shù).（2）若，則稱為 D 上的減函數(shù)；若12()()f xf xf，則稱為 D 上的嚴(yán)格減函數(shù).12()()f xf xf例例 5

42、 5證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù).3yx(,) 證明：證明：設(shè)21xx ，)(222121213231xxxxxxxx如021xx，則3231120 xxxx如120 x x ，則22331122120,xx xxxx故03231 xx即得證.例例 6 6討論函數(shù)在上的單調(diào)性. yxR，當(dāng)時(shí)，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)12,x xR12xx 12xxR格增函數(shù).注注：1）單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；f2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點(diǎn)或無平行于軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于 軸的xx直線至多有一個(gè)交

43、點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理定理 1 1設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)( ),yf x xDf，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù).1f1f()f D證明：設(shè)在上嚴(yán)格增函數(shù).對(duì).下fD(),( )yf DxDf xy 一一面證明這樣的 只有一個(gè).事實(shí)上，對(duì)于內(nèi)任一由于在上xD1,xxfD嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，總之.1xx1()f xy1xx1()f xy1()f xy即，從而(),( )yf DxDf xy 一一一一一一一一一一例例 7 7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性；如果2yx(,) 在上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)2yx(,) (,) 否？結(jié)論結(jié)論：函

44、數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例例 8 8 證明：當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格增，當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)xya1a 01aR格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù)三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義定義 4.4. 設(shè) D 為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，為定義在 D 上的函數(shù).若f對(duì)每一個(gè)有（1），則稱為 D 上的奇函數(shù)；（2）xD()( )fxf x f，則稱為 D 上的偶函數(shù).()( )fxf xf注注：（1）從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱） ，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；y（2）奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此沒有必( ),0,1f xx x要討論奇偶性.（3）從奇偶性角度對(duì)函數(shù)分類：；奇函數(shù): y=si nx偶函數(shù): y=sg

45、nx非奇非偶函數(shù): y=si nx+cosx既奇又偶函數(shù): y0（4）由于奇偶函數(shù)對(duì)稱性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí)，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)四、周期函數(shù)1、定義設(shè)為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切f0有，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期.xD()( )f xf xff2、幾點(diǎn)說明：（1）若是的周期，則也是的周期，所以周期若f()nnNf存在，則不唯一.如.因此有如下“基本周期”的sin ,2 ,4 ,yx說法，即若在周期函數(shù)的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此f最小周期為的“基本周期” ，簡(jiǎn)稱“周期”.如，周期為；fsinyx2 （2）任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使

46、存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函數(shù)；2）（為常數(shù)） ，1yxyC任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限第二章數(shù)列極限引引 言言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢(shì).例如有這么一個(gè)變量，它開始是 1，然后為如此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化1 1 11,2 3 4n有一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個(gè)變量的極限為 0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等） ，并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長(zhǎng)（已知：） ，但這兩個(gè)公式從2,2Srlr何而來？要

47、知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長(zhǎng)度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來一個(gè)突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲” ，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成個(gè)等長(zhǎng)的小段，代替圓而先

48、考慮其內(nèi)接正 邊形.易知，正 邊形周nnn長(zhǎng)為2sinnlnRn顯然，這個(gè)不會(huì)等于 .然而，從幾何直觀上可以看出，只要正nll邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長(zhǎng)將隨著邊數(shù)的增加而不n斷地接近于圓周長(zhǎng). 越大，近似程度越高.n但是，不論 多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長(zhǎng).無n論如何它只是周長(zhǎng)的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓 無限地增大，記為n.直觀上很明顯，當(dāng)時(shí)，記成.極限思n n nlllimnnll想.即圓周長(zhǎng)是其內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限.這種方法是我國(guó)劉微（張晉）早在第 3 世紀(jì)就提出來了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是無限分割.以直代

49、曲；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對(duì)極限作深入研究.11 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念.深N刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能N運(yùn)用語言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳N述.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.N教學(xué)方法教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列一、什么是數(shù)列1

50、數(shù)列的定義數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)” ，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱為數(shù)列.fN:fNR注：1）根據(jù)函數(shù)的記號(hào)，數(shù)列也可記為；( ),f n nN2）記，則數(shù)列就可寫作為：，簡(jiǎn)記( )nf na( )f n12,na aa為，即； na ( )|nf nnNa3）不嚴(yán)格的說法：說是一個(gè)數(shù)列.( )f n2 數(shù)列的例子數(shù)列的例子（1）；（2）；( 1)11 1: 1,23 4nn11111:2,1,1,1,435n（3）； （4） 2:1,4,9,16,25,n11( 1):2,0,2,0,2,n

51、二、什么是數(shù)列極限二、什么是數(shù)列極限1引言對(duì)于這個(gè)問題，先看一個(gè)例子：古代哲學(xué)家莊周所著的莊子. 天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長(zhǎng)度列出如下（單位為尺） ；第 1 天截下，12第 2 天截下，21 112 22第 3 天截下，231112 22第 天截下，n11112 22nn得到一個(gè)數(shù)列： 231111,2 222n不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著 的無限增大而無限地接近12n12nn于零.一般地說，對(duì)于數(shù)列，若當(dāng) 無限增大時(shí)，能無限地接近 nanna某一個(gè)常數(shù) ，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù) 稱為它的極限.不具aa有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散

52、數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，0 是它的極限.12n數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列. 21, 1( 1)nn 需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來.還有待進(jìn)一步分析.以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：11n隨著 的無限增大，無限地接近于 1隨著 的無限增大，n11nan n與 1 的距離無限減少隨著 的無限增大，無限減少11nn1|11|n會(huì)任意小，只要 充分大.1|11|nn如：要使，只要即可；1|11| 0.1n10n 要使，只要即可；1|11| 0.01n100n 任給無論多么小的正數(shù) ，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)，從該

53、項(xiàng)之Na后，.即，當(dāng)時(shí)，.()nN1| 11|n0, N nN1| 11|n如何找如何找？（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，N1n取即可.這樣當(dāng)時(shí)，.1 1N0, nN111| 11|nnN綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨 的無限增大，無限接11n11nn11n近于 1，即是對(duì)任意給定正數(shù) ，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有NnN.此即以 1 為極限的精確定義，記作1| 11|n11n或.1lim 11nn1,11nn 2.數(shù)列極限的定義定義定義 1 1 設(shè)為數(shù)列, 為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù) ,總存在正整 naa數(shù),使得當(dāng)時(shí)有, 則稱數(shù)列收斂于 ,實(shí)數(shù) 稱為NnN|naa naaa數(shù)列的極限,并記作或. nal

54、imnnaa()naa n (讀作:當(dāng) 趨于無窮大時(shí),的極限等于 或趨于 ).由于 限nnaanaan于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫成,即n n 或.limnnaa()naa n 若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列. na na na 問題問題：如何表述沒有極限？ na3.舉例說明如何用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限N例例 1 1.證明: .1lim0(0)pnpn證明證明: : 不妨設(shè),要使 |0|N 時(shí),有 |0|=1pn1pnpP) 1)21(11例例 2 2 求證 ) 10(,0limqqnn.證明證明: : ,0 不妨設(shè)1，要使 nnqq0 ，只要 lglgqn（注意這里 0lg

55、,0lgq） ，只要 qnlglg. 取qNlglg，則當(dāng) Nn 時(shí)，就有 0nq， 即 0limnnq.例例 3 3 求證)0(1limaann.證法證法 1 1 先設(shè)1a，0，要使 11nnaa， 只要 1na， 只要 )1 (lglg1an，只要 )1lg(lgan. 取 )1lg(lgaN， 當(dāng) Nn 時(shí)，就有1na，即 1limnna.對(duì)10 a，令 ab1，則 1lim1limnnnnba.證法證法 2 2 令nnha1，則 nnnnnnhnhhnha1)1 (，nahn00, 要使nnha1, 只要 na，取aN，只要Nn ，就有1na，即1limnna.例例 4 4 證 ) 1

56、(0!limanann.證明證明: : 因?yàn)?)! (! 121!aacnacnaaanaaaaaaanaaan，0， 要使!0!nanann，只要nac，取 acN，則只要 Nn ，就有0!nan，即0!limnann.例例 5 5 . 04lim2nnn證明證明: :nnnnnnnnn33! 3)2)(1(3! 2) 1(31)31 (432 . 3 ,3! 3)2)(1(3nnnn注意到對(duì)任何正整數(shù)時(shí)有 就有knk2 ,2nkn )2)(1(276)2)(1(27640422nnnnnnnnnn.11272427462nnnn于是，對(duì) 取 , 0. 1 , 4 maxN.例例 6 6 .

57、 1 , 1limaann證法一證法一 令 有 用 Bernoulli 不等式，有,1nna. 0n 或 ),1(11)1 (1nnnnanna .1101nanaan證法二證法二 （用均值不等式） nnnaa個(gè)11110 .1111nananna例例 7 7 . 1limnnn證一：證一： 時(shí)， 2n.22212211 102nnnnnnnnnnnn證二：證二： 2) 1(! 2) 1() 11 ()(nnnnnnnnnnn （二項(xiàng)式展開） 121nnn 因此，0，取 122N ，則當(dāng)Nn 時(shí)就有 10nn即附：附：此題請(qǐng)注意以下的錯(cuò)誤做法：) 1(1) 11 (nnnnnnnnnnnn11

58、11n1111n （注意 n11不趨于零）例例 8 8：證明343lim22nnn證明：證明：由于 nnnn12412343222 （3n） （*）因此，0只要取n12 便有34322nn由于（*）式是在3n的條件下成立的，故應(yīng)取12 , 3maxN，當(dāng)Nn 時(shí)就有34322nn 即 343lim22nnn 總結(jié)總結(jié) 用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份.4 關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)說明N（1）關(guān)于 ： 的任意性.定義 1 中的正數(shù) 的作用在于衡量

59、數(shù)列通項(xiàng)與常數(shù) 的接近程度， 越小，表示接近得越好；而正數(shù)naa可以任意小，說明與常數(shù) 可以接近到任何程度； 的暫時(shí)固naa定性.盡管 有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出； 的多值性. 既是任意小的正數(shù)，那么N等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義 1 中的不等式2,3 ,2 中的 可用等來代替.從而“”可用“|naa2,3 ,2 |naa”代替；正由于 是任意小正數(shù)，我們可以限定 小于一|naa個(gè)確定的正數(shù).（2）關(guān)于： 相應(yīng)性，一般地，隨 的變小而變大，因此NN常把定作，來強(qiáng)調(diào)是依賴于 的； 一經(jīng)給定，就可以找到N( )NN一個(gè)；多值性. 的相應(yīng)性并不意味著是由 唯

60、一確定的，NNNN因?yàn)閷?duì)給定的 ，若時(shí)能使得當(dāng)時(shí),有,則100N nN|naa或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上，101N N在許多場(chǎng)合下，最重要的是的存在性，而不是它的值有多大.基于N此，在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而NN且把“”改為“”也無妨.nNnN（3）數(shù)列極限的幾何理解：在定義 1 中， “當(dāng)時(shí)有nN”“當(dāng)時(shí)有” “當(dāng)時(shí)有|naanNnaaanN” 所有下標(biāo)大于的項(xiàng)都落在鄰域,( ; )naaaU aNna內(nèi)；而在之外，數(shù)列中的項(xiàng)至多只有個(gè)（有限個(gè)）( ; )U a( ; )U a naN.反之，任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個(gè)，設(shè)0( ; )