流體力學(xué)第三章

1、研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（速度、加速度、變形等運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律），由于不涉及力，故對(duì)理想流體、粘性流體均適用。研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法流體質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)流體運(yùn)動(dòng)的基本概念連續(xù)性方程流體微元的運(yùn)動(dòng)分析有旋運(yùn)動(dòng)和無旋運(yùn)動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流勢(shì)流疊加原理幾個(gè)常見的勢(shì)流疊加的例子1.拉格朗日法（隨體法）t0時(shí)，坐標(biāo)a、b、c作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)速度：ttcbaxux),(ttcbayuy),(ttcbazuz),(ttcbauaxx),(ttcbauayy),(ttcbauazz),(加速度：物理概念清晰，但處理

2、問題十分困難研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.歐拉法（局部法、當(dāng)?shù)胤ǎ┠乘矔r(shí)，整個(gè)流場(chǎng)各空間點(diǎn)處的狀態(tài)),(tzyxuuxx),(tzyxuuzz),(tzyxuuyy),(tzyxpp ),(tzyx以固定空間、固定斷面或固定點(diǎn)為對(duì)象，應(yīng)采用歐拉法1.流體質(zhì)點(diǎn)的加速度dtudadtduaxxzuuyuuxuutuxzxyxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzz同理流體質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)dtdzzudtdyyudtdxxutuxxxx2.質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素A：AutAdtdA時(shí)變導(dǎo)數(shù)位變導(dǎo)數(shù)uutudtuda時(shí)變加速度位變加速度1.恒定流與非恒定

3、流（1）恒定流（2）非恒定流所有運(yùn)動(dòng)要素A都滿足0tA0tA2.均勻流與非均勻流（1）均勻流（2）非均勻流0Au0Au流體運(yùn)動(dòng)的基本概念例：速度場(chǎng)求（1）t=2s時(shí)，在(2，4)點(diǎn)的加速度；（2）是恒定流還是非恒定流；（3）是均勻流還是非均勻流。j txyi txyu)96()64(（1）將t=2，x=2，y=4代入得同理解：dtduaxx)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy2/4smax2/6smayjia64 2/smzuuyuuxuutuxzxyxxxjtuitutuyx（2）是非恒定流（3）是均勻流uu0)96()64(jxyixy0iyuuxuuiyuuxuuyy

4、yxxyxx3.流線與跡線（1）流線某瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條空間曲線，曲線上各點(diǎn)速度矢量與曲線相切流線微分方程：流線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)速度矢量一致性質(zhì)：一般情況下不相交、不折轉(zhuǎn)1u2u)( rd)(uzyxuuudzdydxkjiurdzyxudzudyudx流線微分方程0（2）跡線質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡跡線微分方程：對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)跡線微分方程dtudxxdtudzudyudxzyxdtudyydtudzz例：速度場(chǎng)ux=a，uy=bt，uz=0（a、b為常數(shù)）求:（1）流線方程及t=0、1、2時(shí)流線圖； （2）跡線方程及t=0時(shí)過（0，0）點(diǎn)的跡線。解：（1）流線： 積分：btdyadxcxabt

5、yoyxc=0c=2c=1t=0時(shí)流線oyxc=0c=2c=1t=1時(shí)流線oyxc=0c=2c=1t=2時(shí)流線流線方程（2）跡線： 即dtbtdyadxdtadxdtbtdy222xaby 跡線方程（拋物線）oyx注意：流線與跡線不重合txatxadtdx00tytbybtdtdy0202例：已知速度ux=x+t，uy=y+t求：在t=0時(shí)過（1，1）點(diǎn)的流線和跡線方程。解：（1）流線： 積分： t=0時(shí)，x=1，y=1c=0tydytxdxctytx)(ln(流線方程（雙曲線）1xy（2）跡線：dttydydttxdxtydtdytxdtdx1121tecytecxtt由t=0時(shí)，x=1，y

6、=1得c1=c2=0跡線方程（直線）2 yx11tytx（3）若恒定流：ux=x，uy=y 流線 跡線1xy1xy注意：恒定流中流線與跡線重合4.流管與流束流管在流場(chǎng)中任意取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點(diǎn)作流線，所構(gòu)成的管狀表面5.過流斷面在流束上作出與流線正交的橫斷面12注意：只有均勻流的過流斷面才是平面例：121處過流斷面2處過流斷面流束流管內(nèi)的流體6.元流與總流元流過流斷面無限小的流束總流過流斷面為有限大小的流束，它由無數(shù)元流構(gòu)成7.流量體積流量質(zhì)量流量不可壓縮流體AudAQAmudAQQQmsm /3skg/8.斷面平均流速AQv vAQ 實(shí)質(zhì)：質(zhì)量守恒1.連續(xù)性方程的微分形式o

7、yxzdmxdmxdxdydzdt時(shí)間內(nèi)x方向：流入質(zhì)量流出質(zhì)量?jī)袅鞒鲑|(zhì)量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)(dxdydzdtxudmdmMxxxx)(連續(xù)性方程同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtzuMzz)(dt時(shí)間內(nèi)，控制體總凈流出質(zhì)量：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由質(zhì)量守恒：控制體總凈流出質(zhì)量，必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少的質(zhì)量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(udivt連續(xù)性方程的微分形式不可壓縮流體即0udivc0zuyuxuzyx例：已知速

8、度場(chǎng) 此流動(dòng)是否可能出現(xiàn)？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由連續(xù)性方程：滿足連續(xù)性方程，此流動(dòng)可能出現(xiàn)0)2(2)2(2txxt例：已知不可壓縮流場(chǎng)ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0處uz=0，求uz。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44 積分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(42.連續(xù)性方程的積分形式A1A212v1v2在dt時(shí)間內(nèi)，流入斷面1的流體質(zhì)量必等于流出斷面2的流體質(zhì)量，則dtQdtQ2211222111AvAv連續(xù)性方程的積分形式不可壓縮流體21QQ c2211AvAv分流時(shí)合流時(shí)iQQQQi

9、2211QQ剛體平移、旋轉(zhuǎn)流體平移、旋轉(zhuǎn)、變形（線變形、角變形）平移線變形旋轉(zhuǎn)角變形流體微元的運(yùn)動(dòng)分析流體微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.線變形速度：xuxxyuyyzuzzx方向線變形xdtxdtxudtudtxxuuxxxxx是單位時(shí)間微團(tuán)沿x方向相對(duì)線變形量（線變形速度）同理存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因3.旋轉(zhuǎn)角速度：角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度dtxuxxdtxuxAAyydtyuyydtyuyBBxx逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角為正順時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角為負(fù)zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21urotukjizyx2121dtdtyuxuzxy2121是微團(tuán)

10、繞平行于oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度同理微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)：4.角變形速度：直角邊與角平分線夾角的變化速度微團(tuán)的角變形：dtdtyuxuzxy2121zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因是微團(tuán)在xoy平面上的角變形速度同理例：平面流場(chǎng)ux=ky，uy=0（k為大于0的常數(shù)），分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征解：流線方程：線變形：角變形：旋轉(zhuǎn)角速度：cy 0 xuxx0yuyy221kyuxuxyz221kyuxuxyzxyo（流線是平行與x軸的直線族）（無線變形）（有角變形）（順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)）例：平面流場(chǎng)ux=ky，uy= kx （k為大于0的常數(shù)），分析

11、流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征解：流線方程：cyxkxdykydx22（流線是同心圓族）線變形：0yx（無線變形）角變形：0z（無角變形）旋轉(zhuǎn)角速度：kkkz21（逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng)1.有旋流動(dòng)2.無旋流動(dòng)00即：0 x0y0zzuyuyzxuzuzxyuxuxy有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)例：速度場(chǎng)ux=ay（a為常數(shù)），uy=0，流線是平行于x軸的直線，此流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)？解：是有旋流zxyoux021)0(21aayuxuxy21相當(dāng)于微元繞瞬心運(yùn)動(dòng)例：速度場(chǎng)ur=0 ，u=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓，此流場(chǎng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)？解：用直角坐標(biāo)：xyoruxuyupsinuu

12、xcosuuy021yuxuxyz是無旋流（微元平動(dòng)）小結(jié)：流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)或無旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體微元本身是否旋轉(zhuǎn)，與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無關(guān)。22yxbyryrb22yxbxrxrb無旋有勢(shì)1.速度勢(shì)函數(shù)類比：重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)作功與路徑無關(guān)勢(shì)能無旋條件：由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)，無旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速 度 勢(shì) 函 數(shù)0由函數(shù)的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得

13、即拉普拉斯方程0zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022為拉普拉斯算子， 稱為調(diào)和函數(shù)不可壓縮流體無旋流動(dòng)的連續(xù)性方程注意：只有無旋流動(dòng)才有速度勢(shì)函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程3.極坐標(biāo)形式（二維）),(rrurru01222222rrrr不可壓縮平面流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程：0yuxuyx即：yuxuyx由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件dxudyudyx函數(shù)稱為流函數(shù)有旋、無旋流動(dòng)都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）流函數(shù)的等值線是流線；c0d0dxudyuyxyxudyudx證明：流線方程（2）兩條流線間

14、通過的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）流線族與等勢(shì)線族正交；0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流線等流線等勢(shì)線等勢(shì)線利用（2）、（3）可作流網(wǎng)（4）只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02則：將代入也是調(diào)和函數(shù)得：在無旋流動(dòng)中例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無旋流？有無速度勢(shì)函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解

15、：022xxyuxuyx（1） 滿足連續(xù)性方程021yuxuxyz（2） 是無旋流（3）無旋流存在勢(shì)函數(shù)：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000?。▁0，y0）為（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調(diào)和函數(shù)2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函數(shù)xydxdyyxdxudyudyx222?。▁0，y0）為（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均勻平行流速度場(chǎng)（a,b為常數(shù)）速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo

16、112323幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流當(dāng)流動(dòng)方向平行于x軸當(dāng)流動(dòng)方向平行于y軸如用極坐標(biāo)表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.源流與匯流（用極坐標(biāo)）（1）源流：1122o34ur源點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 ur速度場(chǎng)速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線直角坐標(biāo)rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）匯流 流量1122o34匯點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 urrQur2rQln22QQQ（3）環(huán)流勢(shì)渦流（用極坐標(biāo)）注意：環(huán)流是無旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)

17、速度場(chǎng)環(huán)流強(qiáng)度常數(shù)rurdu220逆時(shí)針為正1122o34u也滿足同理，對(duì)無旋流：勢(shì)流疊加原理012022210202勢(shì) 流 疊 加 原 理（1）半無限物體的繞流（用極坐標(biāo)）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩）流函數(shù)：速度勢(shì)函數(shù)：即視作水平流與源點(diǎn)o的源流疊加u02sin021QrurQruln2cos021S幾個(gè)常見的勢(shì)流疊加的例子作流線步驟：找駐點(diǎn)S：rQurur2cos0sin10uru, 00u0ru將代入（舍去）將代入得駐點(diǎn)的坐標(biāo)：00r02 uQrsu0Sors（1）（2）由（2）由（1）02 uQrs將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入流函數(shù)，得2Qs則通過駐點(diǎn)的流線方程為22sin0QQru給出各值，即可由上式畫出通過駐點(diǎn)的流線04,23,2uQyr02,uQxrss,2 , 0r流線以為漸進(jìn)線02uQy 外區(qū)均勻來流區(qū)；內(nèi)區(qū)源的流區(qū)（“固化”、半體）（2）等強(qiáng)源匯流（用極坐標(biāo)直角坐標(biāo)）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）21212122rrlnqrlnrlnq22222yaxyaxlnqxyoaarr1r2P(x,y)12q-q勢(shì)函數(shù)流函數(shù)21212qaxyarctgaxyarctgq2源流和匯流的疊加當(dāng)a0，q，2qa常數(shù)M偶極流利用三角函數(shù)恒等式、級(jí)數(shù)展開，化簡(jiǎn)222yxxM222