2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(III)

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(III)教學(xué)目標(biāo)：了解橢圓的參數(shù)方程，理解參數(shù)的幾何意義；會(huì)用橢圓的參數(shù)方程解決有關(guān)最值問題。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程；參數(shù)的幾何意義；教學(xué)過程：一、知識(shí)點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程；參數(shù)的幾何意義：表示在橢圓上某點(diǎn)處的離心角，。二、例題分析：例1.如圖，P ()點(diǎn)P在橢圓，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn) P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是 。 已知上一點(diǎn)P (3, 4),為橢圓上兩焦點(diǎn)，且，貝U 。例2.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，過 A點(diǎn)作一條斜率為的直線，為原點(diǎn)到直線的

2、距離，分別為點(diǎn)A至U兩焦點(diǎn)的距離。求證：為定值。例3.已知橢圓的焦點(diǎn)是， 過點(diǎn)并垂直于 X軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且，橢圓上不同的兩點(diǎn)滿足條件:、成等差數(shù)列。(1)求該橢圓方程；(2)求弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方 程為，求的取值范圍。(02年高考)例4.已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，能否在橢圓上求一點(diǎn)M ( M在Y軸的左側(cè))，使M到左準(zhǔn)線的距離|MQ|是與的比例中項(xiàng)，若能，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由。2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系、教學(xué)目標(biāo)(一) 知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握點(diǎn)與圓、 直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系；過圓上一點(diǎn)的圓

3、的切線方程， 判斷直線與圓相交、相切、相離的代數(shù)方法與幾何方法；兩圓位置關(guān)系的幾何特征和代數(shù)特征.(二) 能力訓(xùn)練點(diǎn)通過點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓位置關(guān)系的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓有關(guān)方面知識(shí)的能力.(三) 學(xué)科滲透點(diǎn)點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系在初中平面幾何已進(jìn)行了分析，現(xiàn)在是用代數(shù)方法來分析幾何問題，是平面幾何問題的深化.二、教材分析1. 重點(diǎn)：(1)直線和圓的相切(圓的切線方程)、相交(弦長問題)；(2)圓系方程應(yīng)用.(解決辦法：(1)使學(xué)生掌握相切的幾何特征和代數(shù)特征，過圓上一點(diǎn)的圓的代線方程， 弦長計(jì)算問題；(2)給學(xué)生介紹圓與圓相交的圓系方程以及直線與圓相交的圓系方程.)2

4、 .難點(diǎn)：圓(x-a) 2+(y-b) 2=r2上一點(diǎn)(xo, yo)的切線方程的證明.(解決辦法：仿照課本上圓x2+y2=r2上一點(diǎn)(xo, yo)切線方程的證明.)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)歸納講授、學(xué)生演板、重點(diǎn)講解、鞏固練習(xí).四、教學(xué)過程(一) 知識(shí)準(zhǔn)備我們今天研究的課題是“點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系”，為了更好地講解這個(gè)課題，我們先復(fù)習(xí)歸納一下點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系中的一些知識(shí).1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C： (x-a) 2+(y-b) 2=r2，點(diǎn)M(xo, yo)到圓心的距離為d,則有：(1) d > r點(diǎn)M在圓外；(2) d=r點(diǎn)M在圓上；(3) d V r點(diǎn)M在

5、圓內(nèi).2 .直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C : (x-a) 2+(y-b)=r 2,直線 I 的方程為 Ax+By+C=Q 圓心(a，b)到直線啲距離為出 卩一濘+"川="消去y得囂的一元二次方程Ax +By+ C = 0判別式為，則有:(l)d v r直線與圓相交;(2) d=r 直線與圓相切；(3) dv r 直線與圓相離，即幾何特征;或(1) > 0直線與圓相交；(2) =0 直線與圓相切;(3) V 0直線與圓相離，即代數(shù)特征，3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 Ci： (x-a) 2+(y-b) 2=r2 和圓 Q： (x-m) 2+(y-n) 2=k2(k > r)

6、，且設(shè)兩圓圓心距為 d,則 有：(1) d=k+r 兩圓外切；(2) d=k-r 兩圓內(nèi)切；(3) d> k+r 兩圓外離；(4) dv k+r 兩圓內(nèi)含；(5) k-r v dv k+r 兩圓相交4其他(1) 過圓上一點(diǎn)的切線方程： 圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(xo, yo)，則此點(diǎn)的切線方程為 xox+yoy=r2(課本命題). 圓(x-a) 2+(y-b) 2=r2，圓上一點(diǎn)為(xo，yo)，則過此點(diǎn)的切線方程為 (x o-a)(x-a)+(y o-b)(y-b)=r 2( 課本命題的推廣 ) (2) 相交兩圓的公共弦所在直線方程：設(shè)圓Ci : x2+y2+Dix+Eiy+Fi

7、=0和圓C2 : x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若兩圓相交，則過兩圓交點(diǎn) 的直線方程為(Di-D2)x+(Ei-E2)y+(F i-F2)=0 .(3) 圓系方程：設(shè)圓Ci : x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0和圓C2 : x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若兩圓相交，則過交點(diǎn)的 圓系方程為x2+y2+Dix+Eiy+Fi +入(x 2+y2+D2x+E2y+F2)=0(入為參數(shù)，圓系中不包括圓C2,入=-i 為兩圓的公共弦所在直線方程 ) 設(shè)圓C： x2+y2+Dx+Ey+F=（與直線I : Ax+By+C=0若直線與圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方 程為 x2+y2+Dx+Ey+F

8、+< （Ax+By+C）=O（入為參數(shù)）.（二）應(yīng)用舉例例1己知圓?+y3=16與斜率為斗的直線相切，求這切線的方程和切點(diǎn)坐標(biāo).分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個(gè)方面：（1）從代數(shù)特征分析；（2）從幾何特征分析.一般來說，從幾何特征分析計(jì)算量要小些.該例題由學(xué)生演板完成.解：設(shè)切線的方程為y二£藍(lán)+乩圓心0（0, 0）到切線的距離為4,二學(xué)二4,即b二土 2氐二所求的切線方程為y = -j±2把這兩個(gè)切線方程寫成48-48歹+歹=】6及.歹寺嚴(yán)16.注意到過圓x2+y2=r2上的一點(diǎn)P（xO, yO）的切線的方程為x0x+y0y=r2,_4848可以看出，切

9、點(diǎn)坐標(biāo)為（擊祈）及毎）*例2 已知實(shí)數(shù) A、B、C滿足A2+B2=2C20,求證直線 Ax+By+C=（與圓x2+y2=1交于不 同的兩點(diǎn)P、Q,并求弦PQ的長.分析：證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明> 0,又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑，由教師完成.證：設(shè)圓心0（0, 0）到直線Ax+By+C=0勺距離為d,則d=直線Ax+By+C=（與圓x2+yi=1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q如圖2-12, |0地二d二于，|OP|=L 二 |PQF 2|MP|= 2 0卩首6廝=72, 故 |PQ|-,/2.例3 求以圓Cl : x2+y2-12x-2y-13=0和

10、圓C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的 圓的方程.解法一：聯(lián)立兩圓方程n2 +y2 - 12x - 2y -13= 0 辦 +y3 +12x + 16y25 = 0相減得公共弦所在直線方程為 4x+3y-2=0.+ 3y - 2 = 0_再由22°“八聯(lián)立得兩圓點(diǎn)坐標(biāo)甌1，幼6）Ik +y - 12x - 2y '13 = 0所求圓以AB為直徑，二圓心是AE的中心點(diǎn)M（2,2）,圓的半徑為r = |AB|=i 于是圓的方程為（x-2） 2+（y+2） 2=25.解法二：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2-12x-2y-13+ 入(x 2+y2+12x+16y

11、-25)=0(入為參數(shù))得圓心C(一12X -122(1+ A)16X -22(1+ X)圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上,(12入-12),2(1十入)-(16X -2)2(1+ 入)-2 = 0.所求圓的方程為 x2+y2-4x+4y-17=0 .小結(jié)：解法一體現(xiàn)了求圓的相交弦所在直線方程的方法；解法二采取了圓系方程求待定系數(shù)，解法比較簡練.(三) 鞏固練習(xí)1 已知圓的方程是X2+y2=1，求：(1) 斜率為1的切線方程；在誹上截距是Q的切統(tǒng)世學(xué)生口答：d)y = x±72; (2)y 二 士出広2. (1)圓(x-1) 2+(y+2) 2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離

12、是(2) 兩圓 C1 : x2+y2-4x+2y+4=0 與 C2 : x2+y2+2x-6y-26=0 的位置關(guān)系是.(內(nèi)切)由學(xué)生口答.3. 未經(jīng)過原點(diǎn)，且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程.分析：若要先求出直線和圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓的一般方程，由三點(diǎn)可求得圓的方程；若沒過交點(diǎn)的圓系方程，由此圓系過原點(diǎn)可確定參數(shù)入，從而求得圓的方程由兩個(gè)同學(xué)演板給出兩種解法：解法,Jx +y +8x-6y+21=0由,c求得交點(diǎn)(2耳或(4 1)lx -y = 0設(shè)所求圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0- (0 , 0) , (-2 , 3) , (-4 ,

13、1)三點(diǎn)在圓上，/-M+9-2D+3E-F = 0x> E = -|16 + l-4D+E-F=09g二所求圓的方程就?+y2+yx-|y = 0.解法二：設(shè)過交點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2+8x-6y+21+ 入(x-y+5)=0 .21 將原點(diǎn)(Q, 0)代入上述方程得入=-y. 則所求方程為：x3 +y3 +-yK-|y = 0五、布置作業(yè)L過點(diǎn)A®巫)向圓+幾5引兩條切練求創(chuàng)啲方程.2 .求證：兩圓 x2+y2-4x-6y+9=0 和 x2+y2+12x+6y-19=0 相外切.3 .求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓 的方程.4 .由圓外一點(diǎn)Q(a, b)向圓x2+y2=r2作割線交圓于A、B兩點(diǎn)，向圓x2+y2=r2作切線 QC