26函數(shù)的連續(xù)性

1、二、二、 函數(shù)的間斷點及其分類函數(shù)的間斷點及其分類 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)連續(xù)性的概念 第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性 三、連續(xù)函數(shù)的運算法則三、連續(xù)函數(shù)的運算法則 四、四、 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 第二二章 一、函數(shù)連續(xù)性的概念第一類第一類可去可去間斷點間斷點第一類第一類跳躍跳躍間斷點間斷點第二類第二類無窮無窮間斷點間斷點第二類間斷點第二類間斷點xyoxyoxyoxyo1 1定義定義2.9.)()(00內內有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點點設設xuxxf1. 連續(xù)函數(shù)的定義存存在在；)(lim) 1 (0 xfxx若若且且)()(lim) 2(00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù).)

2、(0處處連連續(xù)續(xù)在在點點xxf注注1函數(shù)連續(xù)的增量定義函數(shù)連續(xù)的增量定義,0 xx x 那么稱那么稱為為自變量的增量自變量的增量(或改變量或改變量).若相應地函數(shù)若相應地函數(shù) y 從從)(0 xf),(0 xxf 變到變到稱稱)()(00 xfxxfy 為為函數(shù)的增函數(shù)的增量量(或改變量或改變量).定義定義2.10.)()(0內內有有定定義義在在某某設設xuxf,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是.0lim0 yx處連續(xù)處連續(xù)在點在點0)(xxf設有函數(shù)設有函數(shù) y = f (x). 當自變量當自變量 x 從從增量概念增量概念:0 x變到變到定定義義 .)()(, 0,

3、 000 xfxfxx恒有恒有時時使當使當2處處連連續(xù)續(xù)在在點點0)(xxf3).()(lim)3()(lim)2()() 1 (0000 xfxfxfxfxxxx 存存在在；有有意意義義；定義定義2.11f(x)在點在點 x0處連續(xù)的處連續(xù)的三要素：三要素：.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 例12. 單側連續(xù)處處在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數(shù)若函數(shù)0000)(),()0(,()(xxfxfxfxaxf 左

4、連續(xù)；左連續(xù)；處處在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數(shù)若函數(shù)0000)(),()0(,),)(xxfxfxfbxxf 右連續(xù)右連續(xù). .定理定理處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在0)(xxf).()()(000 xfxfxf 例2解解 . 21,2, 1, 2, 10,)(2xxxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)在點在點x=1處的連續(xù)性處的連續(xù)性.由于由于 )(lim1xfx21lim xx , 1 )(lim1xfx)2(lim1xx , 1 1)(lim1 xfx, 2)1( f所以所以 f(x) 在點在點 x=1 處不連續(xù)處不連續(xù). 在區(qū)間上每

5、一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)端端點點并并且且在在左左內內連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .3. 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性. ,)(bacxf 記作記作例3 證明函數(shù)xysin 在在),( 內連續(xù)內連續(xù) .證證 ),( xxxxysin)sin( )cos(sin222

6、xxx )cos(sin222xxxy 122 xx 0 x即即0lim0 yx這說明這說明xysin 在在),( 內連續(xù)內連續(xù) .類似可證類似可證: 函數(shù)函數(shù)xycos 在在),( 內連續(xù)內連續(xù) .04. 已知的連續(xù)函數(shù)), 0, xxyrxaxaxaynnn ,110多多項項式式：0)(,)()( xqrxxqxpynnm且且有有理理函函數(shù)數(shù)：rxxy ,sinrxxy ,cos如果上述三個條件中有一個不滿足，則稱如果上述三個條件中有一個不滿足，則稱 f (x) 在在二、函數(shù)的間斷點及其分類:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處處有有

7、定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 內內有有定定義義，的的某某去去心心鄰鄰域域在在設設)()(00 xuxxf1. 定義定義(或或間斷點間斷點).點點x0 處不連續(xù)處不連續(xù)(或或間斷間斷)，并稱點，并稱點x0為為 f (x)的不連續(xù)的不連續(xù)點點2. 間斷點的分類.)()(00是是否否同同時時存存在在與與 xfxf)()(00 xfxf與與 間斷點間斷點0 x振蕩振蕩同同時時存存在在.)(0上上下下方方來來回回擺擺動動直直線線在在某某時時，當當ayxfyxx 但但),()(00 xfxf無無意意義義或或)(0 xf)()(00 x

8、fxf )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去跳躍跳躍無窮無窮其他其他類類 第第一至少有一至少有一個個不存在不存在第第二二類類根據：根據：)()()(000 xfxfxf xytan)1( 2x為其第二類無窮間斷點為其第二類無窮間斷點 .0 x為其第二類振蕩間斷點為其第二類振蕩間斷點 .xy1sin)2( 1 x為其第一類可去間斷點為其第一類可去間斷點 .11)3(2 xxyxoy1例4xytan2xyoxyxy1sin 0(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0( f1)0( f0 x為其第一類跳躍間斷點為其第一類跳躍間斷點 . 例5 指

9、出下列函數(shù)的間斷點及其類型：指出下列函數(shù)的間斷點及其類型：510510)()1(11 xxxf解解1 找找 f(x) 無定義的點無定義的點0 x間斷點：間斷點：2 判斷間斷點的類型判斷間斷點的類型510510lim)0(110 xxxf15050 0limlim1 xxxxaaa時，時，當當510510lim)0(110 xxxfxxx11010511051lim 1 )0()0()0()0( ffff均存在，但均存在，但與與.)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點是是xfx 0limlim1 xxxxaaa時，時，當當 0,110,2)()2(2xxxxxxf解解1找找 f(x) 無定義

10、的點無定義的點1 x間斷點：間斷點： 11lim)(lim11xxfxx.)(1的的第第二二類類無無窮窮間間斷斷點點是是xfx 2 查分段點：查分段點： 0 x0)2(lim)0(20 xxfx，111lim)0(0 xfx .)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點是是xfx ，xx cot,tan在各自定義域內連續(xù)在各自定義域內連續(xù).三、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理定理2.14 在某點連續(xù)的在某點連續(xù)的有限個有限個函數(shù)函數(shù)上連續(xù)，上連續(xù)，在在),(cos,sinxx積積 ,商商(分母分母0) 運算運算,結果仍是在該點連續(xù)的函數(shù)結果仍是在該點連續(xù)的函數(shù) .例如：例如：經經有限次有限次和和 , 差

11、差 , xx csc,sec1. 四則運算的連續(xù)性四則運算的連續(xù)性利用極限的四則運利用極限的四則運算法則可以證明：算法則可以證明：結論：結論：三角函數(shù)在其定義域內連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內連續(xù).例6 設設)()(xgxf與與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù) )(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證 21)( x )()(xgxf )()(xgxf )()()(21xgxfx )()(xgxf 根據連續(xù)函數(shù)運算法則根據連續(xù)函數(shù)運算法則 ,可知可知)(, )(xx 也在也在,ba上上連續(xù)連續(xù) . )(, )(min)(xgxfx 如果函數(shù)如果函數(shù)例如例如：xy

12、sin 在在2,2 上連續(xù)單調遞增，上連續(xù)單調遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin (證明略證明略)在在1 , 1上也連續(xù)上也連續(xù)單調遞增單調遞增.且連續(xù)且連續(xù).(減少減少)則其則其反函數(shù)反函數(shù)),( xixxfyy )(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xi單調增加單調增加)(1yfx 在對應區(qū)間在對應區(qū)間 yi(減少減少)上亦單調增加上亦單調增加且連續(xù)且連續(xù).類似地類似地,xyarccos 在區(qū)間在區(qū)間1,1 上連續(xù)上連續(xù)單調遞減單調遞減.2. 反函數(shù)的連續(xù)性定理2.15xyarctan xycotarc 及及在區(qū)間在區(qū)間 ( , +)上連續(xù)上連續(xù).結論：結論： 反三角函數(shù)在其定義域內連續(xù)反三角函數(shù)在

13、其定義域內連續(xù).), 0(log),()1, 0(內連續(xù)內連續(xù)在在內連續(xù)，且內連續(xù)，且在在證明：證明： xyaaayax證證1)4(1lim已證已證第三節(jié)例第三節(jié)例 nna2. 1lim0 xxa需證：需證：例7，0 x xn1令令,1xn 則則，nx10 )0(11 xnxn,1時時當當 anxnaaa11 nx則有則有，令令0由由夾逼準則夾逼準則及及1，可得，可得. 1lim0 xxa,10時時當當 a. 111)1(1limlim00 xxxxaa3,0rx xaxf )()()(00 xfxxfy 00 xxxaa )1(0 xxaa )1(limlim000 xxxxaay000 x

14、a.)(0處連續(xù)處連續(xù)在在xaxfx .), 0(log15.內連續(xù)內連續(xù)在在易知，易知，由定理由定理 xya2結論：結論：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).3. 復合函數(shù)的連續(xù)性定理2.16設函數(shù)設函數(shù) y = f u(x)由函數(shù)由函數(shù) y = f (u)與函數(shù)與函數(shù)u=u(x)復合而成復合而成,)(lim00uxuxx 若若而函數(shù)而函數(shù) y = f(u)處處連連續(xù)續(xù)，則則在在0uu )(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(0uf )(lim0 xufxx),(lim0 xufxx )(0uf可以寫成可以寫成:定理定理2.16的結論的結論1.

15、函數(shù)記號函數(shù)記號f 與極限記號可以交換次序與極限記號可以交換次序;意義意義: :.)(. 2的理論依據的理論依據變量代換變量代換xu 例8).0(1)1(lim0 常數(shù)常數(shù)求求xxx解解xxxxx1elim1)1(lim00 xx0lim )0(1)1( xxx 時時，當當0uuu1e )1ln(x )1ln(x 例9.), 0()(內連續(xù)內連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù)證明：證明： xy證證xxylne 內連續(xù)，內連續(xù)，在在), 0(ln)( xxu 內連續(xù)內連續(xù)在在而而),(e)( uxfy.), 0()(內連續(xù)內連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù) xy可以證明：可以證明： xy 對于對于取任何實數(shù)取任何實數(shù),均

16、在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù). .結論：結論：冪函數(shù)在其定義域內連續(xù)冪函數(shù)在其定義域內連續(xù).四、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)定理定理 基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義域內定義域內連續(xù)連續(xù). .基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義域內定義域內連續(xù)連續(xù)結論：結論：一切初等函數(shù)在一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù). .定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.例如例如,21xy 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1,1 (端點為單側連續(xù)端點為單側連續(xù))xysinln 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為.z,

17、 )12( ,2( nnn 注1 初等函數(shù)僅在其初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間上定義區(qū)間上連續(xù)連續(xù), 在其在其 定義域內定義域內不一定不一定連續(xù)連續(xù);如：如：, 1cos)1( xy,4,2, 0 xxd在這些孤立點的去心鄰域在這些孤立點的去心鄰域 (鄰域半徑不超過鄰域半徑不超過2 )內沒內沒有定義有定義,)1()2(32 xxy1, 0 xxxd及及在在o點的去心鄰域點的去心鄰域(鄰域半徑不超過鄰域半徑不超過1)內沒有定義內沒有定義,.), 1上上連連續(xù)續(xù)但但此此函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間 因此它無連續(xù)點因此它無連續(xù)點.因此它在因此它在 x=0 處處不連續(xù)，不連續(xù)，從而在其定義域內不連續(xù)從而在

18、其定義域內不連續(xù).2 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.是是初初等等函函數(shù)數(shù)，則則設設)(xf)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx例10.1arcsinlim20 xxx 求求解解,1arcsin)(2為為初初等等函函數(shù)數(shù)xxxf x=0是它的定義是它的定義區(qū)間內的點區(qū)間內的點, )0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx . 0 1,41,)(xxxxx 例11 設,1,21,)(2 xxxxxf解解討論復合函數(shù)討論復合函數(shù))(xf 的連續(xù)性的連續(xù)性 . )(xf 1,2 xx1,2 xx1)(),(2 xx 1)(, )(2 xx 故此

19、時連續(xù)故此時連續(xù);而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1為第一類為第一類在點在點 x = 1 不連續(xù)不連續(xù) , ,)(1為為初初等等函函數(shù)數(shù)時時xfx 間斷點間斷點 . )(xf 1,2 xx1,2 xx內容小結)()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù). 20 x第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點第二類間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有

20、一左右極限至少有一個不存在個不存在在點在點間斷的類型間斷的類型. 10 x在點在點連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式其它間斷點其它間斷點)(xf)(xf3. 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算的結果連續(xù)的結果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間定義區(qū)間內內連續(xù)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在分段點處是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在分段點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.思考與練習1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22 xxxxfx = 2 是第二類是第二類(無窮無窮

21、)間斷點間斷點 .間斷點的類型間斷點的類型.2. 設設 0,0,sin)(21xxaxxxfx_, a時時提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0)(xf為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類是第一類(可去可去)間斷點間斷點 ,3.,)(0連續(xù)連續(xù)在點在點若若xxf是否連是否連在在問問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反之是否成立反之是否成立?解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故

22、 | )(|xf、)(2xf在在 0 x都都連連續(xù)續(xù). 反例：反例： ,1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù))(xf處處間斷處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù)處處連續(xù) ，但，但“反之反之” 不成立不成立 .4.試分別舉出,1,21, 2, 1, 0)1(nnx 是是 f (x) 的所有間斷點的所有間斷點, 且它們都是無窮間斷點；且它們都是無窮間斷點；(2) f (x)在在r上處處不連續(xù)，但上處處不連續(xù)，但)(xf在在r上處處連續(xù)；上處處連續(xù)；(3) f (x)在在r上處處有定義，但僅在一點連續(xù)上處處有定義，但僅在一點連續(xù).xxxf sin1sin1)()1( 解解具

23、有以下性質的函數(shù)具有以下性質的函數(shù) f(x) 的例子：的例子： )()3(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,x是無理數(shù)是無理數(shù)x,x xyo )()2(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,1是無理數(shù)是無理數(shù)x,1 xyo11 5. 求. )1(lim2xxxx 方法方法1 原式原式 =xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim2 xx21 方法方法2 令令,1xt tttt1111lim20 21 則則原式原式 =22011limttt 111lim20 ttx)11()11)(11(lim22220 tttttxxxx 1lim2 0t時，時，6 試確定常數(shù) a 使.0)1(lim33 xaxx解

24、解 令令,1xt 則則 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf備用題例2-1)0()0( ff )0 ( f )0 ( f不不存存在在)(lim0 xfx例2-2.0,0,0, 20,sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxexxxxxfx解解1sinlim)(lim)0(00 xxxff

25、xx1lim)(lim)0(00 xxxexff2) 0 ()0 ()0 ( fff.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 xxf但但存存在在 ,)(lim0 xfx例2-3解解 , 0, 0,)(xxaxexfx設設函函數(shù)數(shù)應當怎樣選擇應當怎樣選擇a,使得使得 f (x) 在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù). )0(fxxe 0lim, 1 )0(f)(lim0 xax ,a ,)0(af 由連續(xù)的充要條件由連續(xù)的充要條件)0()0()0(fff 得得 a=1.所以當所以當a=1時，時，f(x)在在x=0處連續(xù)處連續(xù).例2-4.0, 0, 0,)1()(,3處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 x

26、xaxxxxfax解解xxxxxff300)1 (lim)(lim)0( ,)0(af 33)(10)(1lim exxx)(lim)(lim)0(00 xaxffxx , a ),0()0()0(fff 處處連連續(xù)續(xù)在在點點0)( xxf,3時時故故當當且且僅僅當當 ea.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf即即,3ae 例4-1解解.0sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點點 xxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)因為因為f(x)在在x=0處無定義處無定義, 所以所以x=0是是f(x)的間斷點的間斷點,又又, 1sinlim0 xxx注注 故若補充定義故若補充定義f(0)=1,則函數(shù)則函數(shù) 0,10,

27、sin)(xxxxxf在在x=0處就連續(xù)了處就連續(xù)了,因此因此, 這類間斷點被稱為這類間斷點被稱為可去間斷點可去間斷點.)(0的第一類可去間斷點的第一類可去間斷點是是故故xfx 例5-1 討論函數(shù)xxexf 111)(解解 間斷點間斷點1,0 xx)(lim0 xfx, 0 x為無窮間斷點為無窮間斷點;,1 時時當當 x xx1, 0)(xf,1 時時當當 x xx1, 1)(xf故故1 x為跳躍間斷點為跳躍間斷點. ,1,0處處在在 x.)(連續(xù)連續(xù)xf間斷點的類型間斷點的類型.例5-2解解討論函數(shù)討論函數(shù) 0,10,11)(1xxexfx在在 x=0 處的連續(xù)性處的連續(xù)性., 111lim

28、10 xxe, 011lim10 xxe, 1)0()0( ff雖雖然然 f (x) 在在 x=0 處左連續(xù)處左連續(xù),),0()0( ff但但由由于于 f (x)在在 x=0 處間斷處間斷.函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖形在的圖形在 x=0 處有一個處有一個“躍度躍度”,故稱跳躍間斷點故稱跳躍間斷點.oxy1xey111 21例5-3解解.tan的的間間斷斷點點，并并判判斷斷類類型型求求函函數(shù)數(shù)xxy , 0tan x令令得得無無定定義義，在在又又 tan x故函數(shù)在這些點處間斷故函數(shù)在這些點處間斷., 1tanlim0 xxx故故x=0是第一類間斷點是第一類間斷點., 0tanlim2 xxkx,

29、 1, 0,2 kkx故故是第一類間斷點是第一類間斷點., 1, 0, kkx, 1, 0,2 kk時時，又又當當, 2, 1 k,tanlim xxkx, 2, 1, 0, kkx故故是第二類間斷點是第二類間斷點.例8-1 求求.1lim0 xaxx 解解 令令,1 xat則則,ln)1ln(atx 原式原式atttln)1ln(lim0 aln )1ln(limln0ttat axaxln1 1e x時，時，當當0 xx時，時，當當0 x特別地，若特別地，若 a = e，則，則例8 求.)1(loglim0 xxax 解解原式原式xxax1)1(loglim0 eloga alneln 時，時，當當0 x)1ln(x xaln1 axxaln)1(log 時，時，當當0 x特別地，若特別地，若 a = e，則，則例8-3bxgaxfxxxx )(lim, 0)(lim00若若證明：證明：證證)()(xgxfy )(