第三章船體型線(xiàn)光順性的數(shù)學(xué)描述

1、第三章 船體型線(xiàn)光順性的數(shù)學(xué)描述在上一章中，我們重點(diǎn)討論了如何根據(jù)有限的離散點(diǎn)建立能夠準(zhǔn)確描述其規(guī)律的函數(shù)表達(dá)式，即建立了函數(shù)方程。但是，我們知道船體型表面曲線(xiàn)是要求三向光順的，我們所建立的插值或擬合函數(shù)能否很好地滿(mǎn)足要求呢？要想搞清楚這一問(wèn)題，我們必須從兩個(gè)方面著手，一是船體型表面曲線(xiàn)的光順要求；二是插值和擬合函數(shù)所能達(dá)到了光順要求。§31 船體型線(xiàn)光順性準(zhǔn)則“光順”是一個(gè)工程上的概念，不同于數(shù)學(xué)中的“光滑”。在建立三次樣條函數(shù)時(shí)，我們知道所建立的函數(shù)應(yīng)保證曲線(xiàn)不間斷；在節(jié)點(diǎn)處要有唯一的轉(zhuǎn)角（一階導(dǎo)數(shù)）和彎矩（二階導(dǎo)數(shù)）。對(duì)于其它的三次（含三次）以上的插值擬合函數(shù)要求曲線(xiàn)是不間斷的

2、（函數(shù)的連續(xù)），還要求在連接節(jié)點(diǎn)處具有公共的切線(xiàn)（一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）；同時(shí)，在曲線(xiàn)與曲線(xiàn)連接時(shí)，則要求函數(shù)應(yīng)具有函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件。凡是滿(mǎn)足上述條件的插值或擬合函數(shù)，它所定義的曲線(xiàn)就是光滑的。對(duì)于工程中所要求的“光順”的概念，目前還沒(méi)有一個(gè)確切的定義，它是一個(gè)依據(jù)實(shí)際工作者根據(jù)多年生產(chǎn)實(shí)踐積累的經(jīng)驗(yàn)，用眼睛觀察所繪制的曲線(xiàn)，其標(biāo)準(zhǔn)是判斷曲線(xiàn)的變化是否滿(mǎn)足光滑且和順。所謂“光滑且和順”是指所繪制曲線(xiàn)滿(mǎn)足光滑的條件的同時(shí)，還要滿(mǎn)足“和順”的條件。對(duì)于“光滑”即前面所述的光滑的條件，所謂“和順”，就是曲線(xiàn)在滿(mǎn)足光滑條件的基礎(chǔ)上，要求其變換趨勢(shì)沒(méi)有局部凸凹和彎曲程度劇烈變化等現(xiàn)象。根據(jù)上述

3、討論，我們給出工程上光順的一般概念：所謂光順即光滑且和順，就是曲線(xiàn)在滿(mǎn)足光滑條件的基礎(chǔ)上，其彎曲變換趨勢(shì)應(yīng)滿(mǎn)足工程上的和順要求。一、船體型線(xiàn)光順性判別準(zhǔn)則在手工放樣中，曲線(xiàn)的光順與否主要是依靠放樣工人的實(shí)際工作經(jīng)驗(yàn)，這是一項(xiàng)繁瑣且枯燥的工作。在數(shù)學(xué)放樣中，我們所建立的插值和擬合函數(shù)只是解決了根據(jù)給定的一組型值點(diǎn)和端點(diǎn)條件，用數(shù)學(xué)方法定義型線(xiàn)的問(wèn)題，至于所定義的型線(xiàn)是否滿(mǎn)足光順性條件，怎樣對(duì)型線(xiàn)不光順處進(jìn)行型值調(diào)整，僅僅依靠研究函數(shù)本身是很難達(dá)到目的的，我們必須找到判別型線(xiàn)光順性的數(shù)學(xué)方法和對(duì)型線(xiàn)進(jìn)行光順性調(diào)整的數(shù)學(xué)方法。在船體型線(xiàn)數(shù)學(xué)放樣中，用于判斷型線(xiàn)光順性的方法，完整地體現(xiàn)了手工放樣的光順

4、的概念，也體現(xiàn)了手工放樣光順性判別的方法。在手工放樣中，根據(jù)長(zhǎng)期積累的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)總結(jié)出了單根型線(xiàn)光順的準(zhǔn)則：(1) 型線(xiàn)上沒(méi)有不符合設(shè)計(jì)要求的間斷和折角點(diǎn)；(2) 型線(xiàn)的彎曲方向的變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求；(3) 型線(xiàn)彎曲程度的變化必須是均勻的；(4) 型線(xiàn)光順的型值調(diào)整，應(yīng)使調(diào)整量盡可能的小。根據(jù)上述手工放樣型線(xiàn)光順性判別和型值調(diào)整原則，將它們逐點(diǎn)“翻譯”成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我們可以得到數(shù)學(xué)光順的型線(xiàn)光順性判別和型值調(diào)整的準(zhǔn)則：(1) 型線(xiàn)的插值或擬合函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)；(2) 型線(xiàn)的曲率符號(hào)變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求，沒(méi)有多余拐點(diǎn)；(3) 型線(xiàn)的曲率數(shù)值變化均勻；(4) 型線(xiàn)光順的型值調(diào)

5、整，應(yīng)使調(diào)整量盡可能的小。二、型線(xiàn)光順性判別準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)意義在前面的討論中，我們給出了船體數(shù)學(xué)型線(xiàn)光順性判別準(zhǔn)則4條，下面我們針對(duì)這4點(diǎn)逐一進(jìn)行說(shuō)明：1、型線(xiàn)的插值或擬合函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)這可以概括為曲線(xiàn)的連續(xù)條件。在以前討論的描述船體型線(xiàn)的插值或擬合函數(shù)（以三次樣條函數(shù)為代表），主要是以相鄰兩型值點(diǎn)為子區(qū)間構(gòu)造的分段樣條函數(shù)（這在建立三次樣條函數(shù)的時(shí)候已經(jīng)給出了充分的說(shuō)明）。所建立的樣條函數(shù)本身就滿(mǎn)足了“光滑”的條件，即樣條函數(shù)滿(mǎn)足了曲線(xiàn)段在節(jié)點(diǎn)處具有函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。（注：樣條函數(shù)的建立就是以上述條件為條件的，故在討論樣條曲線(xiàn)的光順性時(shí)就不必再討論曲線(xiàn)的連續(xù)條

6、件。）2、型線(xiàn)的曲率符號(hào)變化應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求，沒(méi)有多余拐點(diǎn)從曲線(xiàn)的性狀可知，當(dāng)曲線(xiàn)上出現(xiàn)拐點(diǎn)時(shí)，連接拐點(diǎn)的相鄰兩段曲線(xiàn)之彎曲方向必然發(fā)生改變。在高等數(shù)學(xué)中給出：所謂拐點(diǎn)就是指二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)。x 圖3-1-1y O如圖3-1-1所示，在建立三次樣條函數(shù)時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)表示的是樣條的彎矩，同時(shí)，即二階導(dǎo)數(shù)還可以表示曲率，曲率可以反映出曲線(xiàn)彎曲的方向和程度。在圖3-1-1中我們可以看出：在虛線(xiàn)的左側(cè)曲線(xiàn)是向上彎曲的（凸曲線(xiàn)），由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，即曲率，同樣，在虛線(xiàn)的右側(cè)曲線(xiàn)是向下彎曲的（凹曲線(xiàn)），必然有，即曲率。于是我們可以得到結(jié)論：當(dāng)曲率小于0則曲線(xiàn)為凸曲線(xiàn)，當(dāng)曲率大于0則曲線(xiàn)為凹曲線(xiàn)。同時(shí)，我們

7、還知道曲線(xiàn)的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)變化的，故曲率的變化也應(yīng)該是連續(xù)的，由 是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中必然要經(jīng)過(guò)這一位置。我們稱(chēng)這一點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。這在數(shù)學(xué)上的解釋是二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，從圖形上解釋就是曲線(xiàn)彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn)。船體型線(xiàn)中常見(jiàn)的多余拐點(diǎn)主要有以下幾種類(lèi)型：（1）相鄰3個(gè)型值點(diǎn)之間出現(xiàn)2個(gè)拐點(diǎn)123拐點(diǎn)大概所處位置yxO圖3-1-22當(dāng)出現(xiàn)這種情況（如圖3-1-2所示）時(shí)，是因?yàn)橹虚g型值點(diǎn)不滿(mǎn)足光順要求而產(chǎn)生了二個(gè)多余拐點(diǎn)，必須調(diào)整中間點(diǎn)2以消除多余拐點(diǎn)。注意：這里相鄰的三個(gè)型值點(diǎn)1、2、3本身都不是所謂的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)存在與1和2、2和3之間的某個(gè)位置上。同時(shí)，為了消除多余拐點(diǎn)也并不是去

8、除拐點(diǎn)本身，而是調(diào)整型值點(diǎn)使拐點(diǎn)自動(dòng)消除，我們?cè)谡{(diào)整時(shí)也沒(méi)有必要找到拐點(diǎn)到底在哪里。x 圖3-1-3y O1234（2）相鄰4個(gè)型值點(diǎn)出現(xiàn)3個(gè)拐點(diǎn)對(duì)于這種情況（如圖3-1-3所示），其中必然有一個(gè)拐點(diǎn)是設(shè)計(jì)要求的拐點(diǎn)，若設(shè)計(jì)要求拐點(diǎn)處在1點(diǎn)和2點(diǎn)之間，則多余的二拐點(diǎn)處在2、3和4點(diǎn)之間，剩余拐點(diǎn)的處理方法同第一種情況，調(diào)整第3點(diǎn)，直至消除所有多余拐點(diǎn)。（3）相鄰5個(gè)型值點(diǎn)出現(xiàn)4個(gè)拐點(diǎn)對(duì)于這種情況，必然是其中間型值點(diǎn)不滿(mǎn)足光順要求。（4）相鄰4個(gè)或5個(gè)型值點(diǎn)之間出現(xiàn)2個(gè)拐點(diǎn)對(duì)于這種情況，有兩種可能：一是它們都是設(shè)計(jì)要求的拐點(diǎn)；二是其中有多余拐點(diǎn)。因曲線(xiàn)端點(diǎn)切線(xiàn)斜率給定不當(dāng)，導(dǎo)致靠近曲線(xiàn)端點(diǎn)處出現(xiàn)

9、多余拐點(diǎn)。3、型線(xiàn)的曲率數(shù)值變化均勻一根型線(xiàn)在滿(mǎn)足數(shù)學(xué)“光滑”且沒(méi)有多余拐點(diǎn)的情況下是不是就是光順的呢？事實(shí)上，一根型線(xiàn)在沒(méi)有多余拐點(diǎn)的情況下，只是表明了型線(xiàn)達(dá)到了光順的初步要求。在沒(méi)有多余拐點(diǎn)的情況下，只是表明了曲線(xiàn)的彎曲方向滿(mǎn)足了光順的要求，但是彎曲程度的不同變化也可能引起不光順情況的發(fā)生。例如：在相鄰幾個(gè)型值點(diǎn)之間，雖然其曲率符號(hào)滿(mǎn)足光順性要求，單曲線(xiàn)彎曲程度的變化，可能由逐步遞增突然變?yōu)檫f減，然后又突然變?yōu)檫f增，這樣同樣可以引起曲線(xiàn)的不光順，這種不光順有的時(shí)候用肉眼都是可以觀察的到的。在前面的討論中，我們已經(jīng)清楚的知道，曲線(xiàn)的曲率很好地反映了曲線(xiàn)的彎曲情況：曲率的符號(hào)（正負(fù)）反映了曲線(xiàn)

10、的彎曲方向；曲率的大小（絕對(duì)值）反映了曲線(xiàn)的彎曲程度。因此：曲線(xiàn)彎曲程度的變化趨勢(shì)，實(shí)質(zhì)上是曲線(xiàn)曲率數(shù)值的變化規(guī)律。§32 曲線(xiàn)不光順的數(shù)學(xué)判別方法一、多余拐點(diǎn)的判別通過(guò)上節(jié)課的討論我們可以知道，曲線(xiàn)的不光順大致可以分為兩種：其一，曲線(xiàn)有沒(méi)有多余拐點(diǎn)；其二，曲線(xiàn)的曲率變化是否均勻。下面我們分別針對(duì)這兩種情況進(jìn)行數(shù)值上判別。對(duì)于多余拐點(diǎn)的判別，目前主要有兩種方法，第一種，利用型值點(diǎn)之間內(nèi)在的聯(lián)系，直接利用給定的型值數(shù)據(jù)，建立判別多余拐點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)之為“初光順”法；第二種，利用求得的插值或擬合函數(shù)計(jì)算所求曲線(xiàn)的幾何屬性，建立判別多余拐點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)之為“函數(shù)法”。1、初光順

11、法這種方法的前提只是給定了一系列型值，前面所討論的用二階導(dǎo)數(shù)、曲率等判別多余拐點(diǎn)的方法都無(wú)法使用了。所以，我們必須找到一種新的東西可以表征曲線(xiàn)的彎曲方向。圖32-1xy如圖3-2-1所示，給定一系列型值點(diǎn)及樣條曲線(xiàn)（為了說(shuō)明情況，將圖形局部放大，就形成了圖中的鋸齒狀）。計(jì)算各型值點(diǎn)的二階差商，用二階差商的符號(hào)來(lái)表示曲線(xiàn)彎曲的方向。差商的概念在數(shù)學(xué)中早有涉及，我們先從一階差商開(kāi)始引入。 其實(shí)就是的斜率。而二階差商是指一階差商的一階差商。結(jié)合圖3-2-1，可以發(fā)現(xiàn)上式中的所有分母都是大于0的，故上式的符號(hào)取決于分子的符號(hào)。，這樣可以得到：式中，顯然必有：同樣：上述二階差商符號(hào)的變化不是一種偶然，而

12、是一種必然的結(jié)果。觀察圖形，尋找圖形的變化和二階差商符號(hào)的變化有沒(méi)有一種必然的內(nèi)在聯(lián)系。我們發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)曲線(xiàn)為凸，在點(diǎn)曲線(xiàn)為凹，在點(diǎn)曲線(xiàn)為凸。于是我們可以得到：二階差商小于0則曲線(xiàn)在此處為凸，反之，若二階差商大于0則曲線(xiàn)在此處為凹。這樣我們就可以通過(guò)二階差商這一直觀的數(shù)據(jù)來(lái)判別曲線(xiàn)的凸凹性。結(jié)合上節(jié)所述內(nèi)容，當(dāng)曲線(xiàn)存在凸凹變化時(shí)，必然經(jīng)過(guò)二階導(dǎo)數(shù)等于0點(diǎn)，亦即曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。于是，當(dāng)曲線(xiàn)的二階差商發(fā)生變號(hào)時(shí)可以判斷必然有拐點(diǎn)存在。即：若相鄰兩型值點(diǎn)的二階差商之積小于0（），則它們之間必然存在拐點(diǎn)。同樣地，要清楚地知道各型值點(diǎn)并不是我們要尋找的拐點(diǎn)，我們要做的只是知道有沒(méi)有拐點(diǎn)的存在，至于具體在什么位置

13、是沒(méi)有必要知道的。例題3-2-1 已知如下型值，用初光順?lè)ㄅ袛嗲€(xiàn)有沒(méi)有拐點(diǎn)存在20040060080010001200240362408370338244解：求各型值點(diǎn)二階差商（注：首末兩點(diǎn)的二階差商無(wú)法求出，也無(wú)需求出）顯然有：，注：我們這里并沒(méi)有對(duì)首末兩段曲線(xiàn)（）進(jìn)行判斷，要想進(jìn)行判別還必須補(bǔ)充一個(gè)端點(diǎn)條件，只有給定了端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，則就可以判別之間有沒(méi)有拐點(diǎn)（請(qǐng)讀者思考原因）。2、函數(shù)法用插值或擬合函數(shù)計(jì)算曲線(xiàn)的幾何屬性，建立判別多余拐點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)之為函數(shù)法，其實(shí)就是曲率符號(hào)判別法或二階導(dǎo)數(shù)判別法。在建立三次樣條函數(shù)的討論中，我們已經(jīng)知道：曲線(xiàn)的曲率反映了曲線(xiàn)的彎曲方向和程度，

14、能夠很好地表示曲線(xiàn)有沒(méi)有拐點(diǎn)。對(duì)于式（272），分母恒取正號(hào)，故曲率的符號(hào)彎曲取決于分母，即二階導(dǎo)數(shù)的值。這也就表明曲線(xiàn)的插值或擬合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)表示了曲線(xiàn)的彎曲方向。同時(shí)，在我們用分段三次樣條函數(shù)進(jìn)行曲線(xiàn)插值時(shí)，其插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是可以求得的，它是以型值點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的分段線(xiàn)性函數(shù)（參見(jiàn)§2-9）。若，則表明這兩點(diǎn)之間必然存在一個(gè)拐點(diǎn)。其思路與前面所述相同，由于二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，在這兩點(diǎn)之間必然存在一個(gè)位置使得其二階導(dǎo)數(shù)等于0，即為拐點(diǎn)所處位置。具體的判別方法和步驟我們將在后面的內(nèi)容中給出詳細(xì)的說(shuō)明，這里讀者只需理解這種方法的思路就可以了。二、曲率數(shù)值變化均勻性判別上面的內(nèi)容討論了

15、曲線(xiàn)有多余拐點(diǎn)的判別方法，但是大家知道曲線(xiàn)沒(méi)有了多余拐點(diǎn)并不意味著曲線(xiàn)就是光順的了，曲線(xiàn)曲率數(shù)值變化的均勻性同樣能夠決定曲線(xiàn)光順與否。如果說(shuō)曲率符號(hào)的變化是一種質(zhì)變的話(huà)，那么曲率數(shù)值大小的變化就是一種量變，質(zhì)變固然能夠引起曲線(xiàn)的不光順，但是量變的積累同樣可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果。曲線(xiàn)彎曲程度的變化趨勢(shì)，實(shí)質(zhì)是曲線(xiàn)的曲率數(shù)值變化規(guī)律的外在體現(xiàn)。也就是說(shuō)，一條光順的型線(xiàn)，除了曲率符號(hào)（彎曲方向）的變化應(yīng)滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求以外，其曲率數(shù)值（彎曲程度）的變化必須是均勻的。但是何謂均勻呢，有沒(méi)有一個(gè)量化的標(biāo)準(zhǔn)？這個(gè)問(wèn)題一直都在困擾著人們，目前還沒(méi)有構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。讀者閱讀本書(shū)至此，應(yīng)該可以總結(jié)到，我們所進(jìn)行

16、的數(shù)學(xué)放樣，其思路仍舊沿用手工方法的思路，其方法也與手工放樣類(lèi)似。甚至可以這么說(shuō)：數(shù)學(xué)放樣就是手工放樣的數(shù)字化。那么對(duì)于曲線(xiàn)彎曲程度變化均勻性的判別這一問(wèn)題也不例外，我們還是先從研究手工放樣中這一問(wèn)題的解決方法入手，來(lái)進(jìn)一步尋找數(shù)學(xué)的方法。在手工放樣的型線(xiàn)光順中，對(duì)光順曲線(xiàn)的彎曲度變化規(guī)律的要求，一般可以歸納為三種形式：其一，曲線(xiàn)從彎曲度大開(kāi)始，滿(mǎn)足彎曲度逐漸減小的變化規(guī)律；其二，曲線(xiàn)從彎曲度小開(kāi)始，滿(mǎn)足彎曲度逐漸增大的變化規(guī)律；其三，曲線(xiàn)由彎曲度大開(kāi)始，滿(mǎn)足彎曲度逐漸減小，直至通過(guò)一個(gè)設(shè)計(jì)拐點(diǎn)，彎曲度再逐漸增大的變化規(guī)律。研究上述變化規(guī)律，我們可以發(fā)現(xiàn)只要曲線(xiàn)的彎曲度（這里的彎曲度，即彎曲程

17、度，在數(shù)學(xué)上可以用曲率或二階導(dǎo)數(shù)的大小來(lái)表示）滿(mǎn)足變化的一致性（即一直變大或一直變小）就可以滿(mǎn)足光順要求。這在數(shù)學(xué)上可以描述為某函數(shù)在特定的區(qū)間里滿(mǎn)足單調(diào)性。同時(shí)，在我們用分段三次樣條函數(shù)進(jìn)行曲線(xiàn)插值時(shí)，其插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是可以求得的，它是以型值點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的分段線(xiàn)性函數(shù)。這樣，我們就可以用二階導(dǎo)數(shù)這一分段線(xiàn)性函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)表示曲率的變化規(guī)律了。圖3-2-2xK(x)Ko從上面的分析我們知道只要圖中所示K(x)曲線(xiàn)滿(mǎn)足單調(diào)性條件，則所對(duì)應(yīng)的三次樣條函數(shù)K的曲率變化就是均勻的。但是，又該如何判斷K(x)曲線(xiàn)的單調(diào)性呢？結(jié)合我們所研究問(wèn)題的特點(diǎn)，可以看出用數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)單調(diào)性的判別方法是不可行的

18、，因?yàn)槲覀儾](méi)有求出K(x)曲線(xiàn)這一分段線(xiàn)性函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，所以用數(shù)學(xué)里面的單調(diào)性判別方法是不容易判別的。現(xiàn)在我們要尋找一種簡(jiǎn)捷方法來(lái)判別K(x)的單調(diào)性。查看我們所已知的條件：三次樣條函數(shù)已知，則各型值點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)可以求出，即在K(x)曲線(xiàn)中知道了各點(diǎn)處的函數(shù)值（K值即為求得的二階導(dǎo)數(shù)的值，x值就是型值表給定的型值間距）。也就是說(shuō)我們所已知的是各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。當(dāng)光順曲線(xiàn)的曲率值變化，隨著x的遞增，呈現(xiàn)出逐漸遞增或逐漸遞減的變化規(guī)律，它表示曲線(xiàn)曲率值的變化滿(mǎn)足單調(diào)性的要求。但是當(dāng)在遞增或遞減的變化規(guī)律中突然出現(xiàn)相反的情況則表明曲率的變化不滿(mǎn)足單調(diào)性的要求。聯(lián)系我們前面所討論的“初光順”法判別

19、曲線(xiàn)有沒(méi)有拐點(diǎn)的方法，當(dāng)某點(diǎn)的二階差商的符號(hào)與相鄰的二階差商的符號(hào)不同時(shí)，則表明彎曲方向發(fā)生了改變，那么我們可不可以通過(guò)這種方法判別曲線(xiàn)的單調(diào)性呢？如圖3-2-3所示的K(x)曲線(xiàn)，整條曲線(xiàn)保持遞增的趨勢(shì)，但是在i1點(diǎn)卻出現(xiàn)了異常情況。ii+1i+2Kx圖323求曲率的二階差商：顯然有：，于是有：在觀察上面兩個(gè)式子，可以發(fā)現(xiàn)：一般情況下船體型值的給出都是x 值逐漸遞增，也就是說(shuō)上面式子的符號(hào)與分母無(wú)關(guān)。于是上面的式子可以寫(xiě)出：這里的的值雖然不同，但是其符號(hào)卻是完全相同的，故我們可以通過(guò)計(jì)算來(lái)判斷曲線(xiàn)曲率變化是否均勻。關(guān)于曲線(xiàn)曲率變化是否均勻判別的補(bǔ)充說(shuō)明：為什么曲線(xiàn)總體趨勢(shì)總是保持遞增或遞減，

20、有沒(méi)有可能出現(xiàn)先遞增后遞減或者相反的情況？由于數(shù)學(xué)放樣是手工放樣的數(shù)學(xué)模擬，在手工放樣中曲線(xiàn)曲率變化規(guī)律主要有三種情況，這在前面已經(jīng)提及。所以我們?cè)谟懻摂?shù)學(xué)放樣中曲線(xiàn)曲率變化是否均勻時(shí)也只是針對(duì)這三種情況進(jìn)行分析。至于有沒(méi)有先遞增后遞減或者相反情況的出現(xiàn)，回答是肯定的，這也是手工放樣中彎曲度變化規(guī)律的第三種情況。三、型線(xiàn)不光順的調(diào)整原則在數(shù)學(xué)光順中，通過(guò)對(duì)型線(xiàn)進(jìn)行光順性判別并不是目的，當(dāng)發(fā)現(xiàn)型線(xiàn)不光順時(shí)，重要的是需要對(duì)不光順處進(jìn)行型值調(diào)整，直至型線(xiàn)最終達(dá)到光順的目的。但是，對(duì)型值調(diào)整時(shí)有沒(méi)有什么要求呢，對(duì)調(diào)整量有沒(méi)有什么限制？數(shù)學(xué)光順的型線(xiàn)光順性判別和型值調(diào)整的準(zhǔn)則的第四點(diǎn)：型線(xiàn)光順的型值調(diào)整

21、，應(yīng)使調(diào)整量盡可能的小。這就是型值調(diào)整的原則。但是，何謂最小，有沒(méi)有一個(gè)量化的標(biāo)準(zhǔn)？目前，處理不光順型線(xiàn)的型值調(diào)整方法可以分為兩類(lèi)：其一，用曲線(xiàn)擬合函數(shù)進(jìn)行逼近的方法；其二，局部修改型線(xiàn)不光順處節(jié)點(diǎn)型值的局部調(diào)整法。1、用曲線(xiàn)擬合函數(shù)逼近調(diào)整法我們知道，插值法是尋找一個(gè)函數(shù)使之點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)已知型值點(diǎn)，那么這一函數(shù)就能夠完整地反映所有型值點(diǎn)的特征，當(dāng)型值點(diǎn)中某點(diǎn)是壞點(diǎn)（不光順點(diǎn)，可能因?yàn)闇y(cè)量誤差，或讀數(shù)錯(cuò)誤引起的不光順點(diǎn)）時(shí)，它還是如實(shí)地反映該型值點(diǎn)的特征，這樣就不可避免地出現(xiàn)了曲線(xiàn)不光順的。當(dāng)用樣條函數(shù)對(duì)給定型值點(diǎn)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合時(shí)，其擬合曲線(xiàn)不要求點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)已知型值點(diǎn)，而要求曲線(xiàn)是光順的，并保證型值偏

22、移原始型值為最小。用擬合函數(shù)來(lái)描述型線(xiàn)的方法的基本思路是尋求型線(xiàn)光順性和型值偏離絕對(duì)值總和最小的統(tǒng)一。如我們所討論的最小二乘法就是在保證曲線(xiàn)光順的前提下，保證其與型值點(diǎn)之差距的平方和最小。但是，我們知道船舶的型值是設(shè)計(jì)時(shí)確定的，在建造的過(guò)程中要盡可能的不予改動(dòng)，當(dāng)不得不改動(dòng)時(shí)，要使改動(dòng)的點(diǎn)盡可能的少，且使改動(dòng)的點(diǎn)的型值改動(dòng)量盡可能的小。用曲線(xiàn)擬合法進(jìn)行擬合曲線(xiàn)時(shí)，不是針對(duì)某一個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行型值修改，而是使擬合曲線(xiàn)與每一個(gè)型值點(diǎn)的型值的差距達(dá)到最小。這也就是說(shuō)有可能對(duì)所有的型值點(diǎn)都進(jìn)行了改動(dòng)，這顯然與船舶型值的調(diào)整原則不相符，這也是為什么擬合法在數(shù)學(xué)放樣中很少使用的原因。2、局部調(diào)整法在局部調(diào)整法

23、中，又可以分為直接對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行光順的初光順修改法和用插值函數(shù)有關(guān)幾何屬性建立求解修改量關(guān)系式的型值調(diào)整法兩種。(1) 初光順修改法這種光順?lè)椒ǖ闹饕康氖窍椭迭c(diǎn)中的壞點(diǎn)。b)a)D圖3-2-4我們知道對(duì)于給定的型值大部分都是滿(mǎn)足光順條件的，只是極少數(shù)才是所謂的壞點(diǎn)（必須修改的點(diǎn)），但是雖然壞點(diǎn)只是極少數(shù)，出現(xiàn)壞點(diǎn)的情況是多種多樣的，所以決定消除壞點(diǎn)的型值修改范圍也有兩種類(lèi)型，一種是產(chǎn)生的拐點(diǎn)都是多余拐點(diǎn)時(shí)的修改范圍；另外一種是與壞點(diǎn)相鄰的拐點(diǎn)有一個(gè)是設(shè)計(jì)要求的拐點(diǎn)時(shí)的修改范圍。a)這是一種修改方法，延長(zhǎng)相交于的同一側(cè)于D點(diǎn)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)三角形。過(guò)點(diǎn)作垂直于x 軸的直線(xiàn)，交于C點(diǎn)，交于點(diǎn)

24、 。顯然，在線(xiàn)段（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)都能夠保證其二階差商與相鄰兩點(diǎn)的二階差商同號(hào)。在上點(diǎn)的二階差商都等于0；在交點(diǎn)以上點(diǎn)的二階商等于0，故在上所有點(diǎn)都能夠滿(mǎn)足沒(méi)有多余拐點(diǎn)，這就是壞點(diǎn)的調(diào)整范圍。請(qǐng)讀者思考為什么只有在上才滿(mǎn)足調(diào)整條件？b)這是第二種類(lèi)型的修改方法。壞點(diǎn)兩側(cè)的的延長(zhǎng)線(xiàn)不在交于的同一側(cè)，而是分別處于的兩側(cè)。分別過(guò)點(diǎn)作垂直于x軸的直線(xiàn)，它們分別與其延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)梯形。過(guò)點(diǎn)作垂直于x軸的直線(xiàn)，與梯形的兩邊相交于點(diǎn)。同樣，在上所有點(diǎn)都能夠滿(mǎn)足沒(méi)有多余拐點(diǎn)，這就是壞點(diǎn)的調(diào)整范圍。(2) 插值函數(shù)的型值調(diào)整原則用這種方法進(jìn)行型值調(diào)整時(shí)，對(duì)于多余拐點(diǎn)的消除調(diào)整與前面所述方法類(lèi)

25、似，調(diào)整范圍是固定的。這在后面的型線(xiàn)不光順的調(diào)整中還要作詳細(xì)的介紹，這里就不作過(guò)多的說(shuō)明。下面主要針對(duì)曲率變化不均勻這一光順性條件作一說(shuō)明。在建立判別型線(xiàn)光順性的數(shù)學(xué)方法討論中知道，目前表達(dá)型線(xiàn)光順性的最終條件是曲線(xiàn)曲率的數(shù)值變化滿(mǎn)不滿(mǎn)足單調(diào)性要求，也就是說(shuō)相鄰兩節(jié)點(diǎn)的曲率二階差商之積應(yīng)不小于0，即應(yīng)該同號(hào)。同時(shí)，為了滿(mǎn)足型線(xiàn)光順和型值偏移量盡可能小這一原則要求，所以，應(yīng)以該節(jié)點(diǎn)型值調(diào)整后的曲率的二階差商應(yīng)大于0且數(shù)值較小為最佳。這就是建立確定不光順點(diǎn)型值調(diào)整量的數(shù)學(xué)方法的基本原則。§33 回彈法光順船體型線(xiàn)*一、光順的判別我們知道數(shù)學(xué)放樣的方法和步驟往往是手工放樣的方法的數(shù)學(xué)描述，

26、在進(jìn)行討論數(shù)學(xué)光順船體型線(xiàn)以前，還是先從討論手工光順船體型線(xiàn)的方法開(kāi)始入手。在手工放樣中，繪制船體型線(xiàn)的方法是：根據(jù)給定的型值在放樣間地板上找到該型值點(diǎn)，然后用壓鐵逐點(diǎn)壓住樣條，使之點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)已知型值點(diǎn)。當(dāng)出現(xiàn)曲線(xiàn)不光順需要調(diào)整的時(shí)候，不是增加壓鐵的數(shù)目，而是提起不光順點(diǎn)的壓鐵，使樣條適當(dāng)回彈，以實(shí)現(xiàn)型線(xiàn)的光順。這就是回彈法光順船體型線(xiàn)的由來(lái)。那么，上述手工光順?lè)椒ㄈ绾斡脭?shù)學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)呢？要想解決這個(gè)問(wèn)題，我們還必須從如何判斷曲線(xiàn)是否光順開(kāi)始入手，下面我們就單根型線(xiàn)光順性的判別展開(kāi)討論。我們知道，船體型線(xiàn)是由一根一根的曲線(xiàn)組成，如果能夠保證每一根型線(xiàn)的光順性，則整個(gè)船體型線(xiàn)的光順性也就自然而然地

27、得到了滿(mǎn)足。下面我們就船體的單根型線(xiàn)進(jìn)行光順性的判別。這里需說(shuō)明一點(diǎn)，我們這里要判別的單根型線(xiàn)是一條三次樣條函數(shù)曲線(xiàn)。由于我們需判斷的船體型線(xiàn)所采用的曲線(xiàn)是三次樣條函數(shù)，故其本身就滿(mǎn)足曲線(xiàn)的連續(xù)條件（函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)），就無(wú)需再做過(guò)多的說(shuō)明。1、有無(wú)多余拐點(diǎn)的判別三次樣條函數(shù)是由一系列型值點(diǎn)通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法建立起來(lái)的分段的三次的函數(shù)，也就是說(shuō)所有關(guān)于函數(shù)的參數(shù)（）都已經(jīng)求得，故我們通過(guò)插值函數(shù)所表示的曲線(xiàn)的幾何屬性，建立多余拐點(diǎn)的數(shù)學(xué)判別式。在前面的內(nèi)容討論中，我們已經(jīng)知道當(dāng)曲線(xiàn)的彎曲方向發(fā)生改變時(shí)表示必然有拐點(diǎn)存在，當(dāng)曲線(xiàn)的彎曲方向發(fā)生連續(xù)改變時(shí)表明必然有多余拐點(diǎn)存在。所以，可以說(shuō)

28、什么可以反映曲線(xiàn)的彎曲方向什么就可以用來(lái)判斷曲線(xiàn)有沒(méi)有拐點(diǎn)或多余拐點(diǎn)。如前面的二階差商、二階導(dǎo)數(shù)等。在三次樣條函數(shù)中，有下式：顯然，三次樣條函數(shù)系數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有必然的聯(lián)系，它們大小成一定比例，符號(hào)相同。二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)能夠表示曲線(xiàn)的彎曲方向，那么，系數(shù)同樣可以表示曲線(xiàn)的彎曲方向?，F(xiàn)我們對(duì)有多余拐點(diǎn)的第一種情況(相鄰3個(gè)型值點(diǎn)出現(xiàn)2個(gè)拐點(diǎn))進(jìn)行分析。這種情況表明相鄰3個(gè)型值點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)了連續(xù)變號(hào)，于是可以得到多余拐點(diǎn)的判別式： 若上式成立，則表明相鄰三個(gè)型值點(diǎn)出現(xiàn)2個(gè)拐點(diǎn)，第i點(diǎn)不滿(mǎn)足光順要求，必須給予調(diào)整。對(duì)于其它幾種類(lèi)型，這里就不再贅述，請(qǐng)讀者自己寫(xiě)出它的多余拐點(diǎn)的判別式。2、曲率數(shù)

29、值變化均勻性判別在前面的討論中，對(duì)于曲線(xiàn)曲率數(shù)值變化均勻性的判別是通過(guò)判別曲率函數(shù)是否是一單調(diào)函數(shù)，即判斷曲率的二階插商是否變號(hào)來(lái)判別曲率變化是否均勻。同樣地，這里我們也可以通過(guò)判斷三次樣條函數(shù)系數(shù)的二階插商是否發(fā)生變化來(lái)判斷是否有曲率變化不均勻的現(xiàn)象。我們令其二階插商為，于是有： 如果，則表明曲率變化不均勻，必須要給予調(diào)整。觀察上面兩個(gè)式子，最終我們要求的只是式子的符號(hào)，對(duì)于式子的分母在船體型線(xiàn)的型值表示中往往是正值，故可以略去不計(jì)。于是，上面兩個(gè)式子可以寫(xiě)成： 通過(guò)判斷是否成立可以知道之間曲率變化是不是不均勻。3、曲率數(shù)值變化均勻性判別我們知道曲線(xiàn)曲率的符號(hào)反映的是曲線(xiàn)彎曲的方向，曲率絕對(duì)

30、值的大小反映了曲線(xiàn)的彎曲程度。這樣對(duì)于三次樣條函數(shù)來(lái)說(shuō)，曲線(xiàn)的曲率數(shù)值的大小也就反映了彎曲程度的大小。根據(jù)力學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)可以知道，木樣條的彎曲程度的變化反映了木樣條在各點(diǎn)處的回彈力不同。由材料力學(xué)知識(shí)，樣條在處的回彈力等于該點(diǎn)左右剪力之差。那么，曲線(xiàn)曲率變化均勻性也就體現(xiàn)為樣條在各點(diǎn)的回彈力變化均勻性。曲線(xiàn)的曲率數(shù)值變化直接與木樣條回彈力的大小有關(guān)，回彈力越小，則曲線(xiàn)越光順。在三次樣條函數(shù)系數(shù)的求解時(shí)，所有的系數(shù)都用表示可以得到:對(duì)此式求導(dǎo)兩次。同時(shí)，我們知道：，可以令于是有:我們還知道： 由于于是：令樣條在處的回彈力為，則：令于是有：當(dāng)時(shí)，就表明在附近處回彈力沒(méi)有達(dá)到最小，需要調(diào)整。對(duì)于

31、，是一常數(shù)，所以的變化就直接反映了的變化。觀察上式，我們可以發(fā)現(xiàn)：表示相鄰三壓點(diǎn)間的兩線(xiàn)段的斜率差。當(dāng)出現(xiàn)時(shí)表示曲線(xiàn)相鄰兩壓點(diǎn)附近曲率變化不均勻。二、樣條曲線(xiàn)不光順時(shí)的調(diào)整通過(guò)前面的討論，我們已知知道了樣條函數(shù)不光順的類(lèi)型，不光順的判別，但是，我們應(yīng)該清楚，這些都不是目的，我們的目的是最終得到光順的樣條曲線(xiàn)。但怎么才能由不光順的曲線(xiàn)得到光順的曲線(xiàn)呢？調(diào)整，只有對(duì)不光順點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整才能將引起不光順的型值點(diǎn)消除，才能將不光順的曲線(xiàn)變成光順的曲線(xiàn)。1、基樣條函數(shù)前面我們所討論的三次樣條函數(shù)是通過(guò)一系列的型值點(diǎn)建立起來(lái)的，這些型值點(diǎn)是設(shè)計(jì)部門(mén)給定的代表一定意義的數(shù)值。我們所建立的三次樣條函數(shù)比較準(zhǔn)

32、確地反映了這些型值點(diǎn)的特點(diǎn)和相互關(guān)系。我們這里要討論基樣條函數(shù)是通過(guò)一系列特殊型值點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。圖3-3-1通過(guò)型值點(diǎn)可以構(gòu)造一個(gè)三次樣條函數(shù)，稱(chēng)之為基樣條函數(shù)。這里的與前面所討論的三次樣條函數(shù)的是相同的，即基樣條函數(shù)的橫坐標(biāo)與普通的三次樣條函數(shù)是相同的都是型值表中給定的型值。值得注意的是這里的與型值表中的是不同的。 且 其中j是不光順點(diǎn)的序號(hào)。即基樣條函數(shù)的y值除了在不光順的j點(diǎn)外全部等于0，通過(guò)這些點(diǎn)用樣條的思想也是可以建立一個(gè)三次樣條函數(shù)的。我們可以想象這一個(gè)基樣條函數(shù)的圖形必然是沿著x軸延續(xù)，只有在第j點(diǎn)才向上突起一個(gè)單位，如圖3-3-1所示。其實(shí)，基樣條函數(shù)就是一個(gè)單位樣條函數(shù)，

33、是只在第j點(diǎn)才有一個(gè)單位的值而在其它點(diǎn)的函數(shù)值都為0的樣條函數(shù)。我們還可以視之為三次樣條函數(shù)在第j點(diǎn)y值調(diào)整一個(gè)單位的樣條函數(shù)的改變。但是，不論它是多么地簡(jiǎn)單，它畢竟是一個(gè)三次樣條函數(shù)，故其它三次樣條函數(shù)所具有的特征它同樣也具有，比如它也應(yīng)該有它的系數(shù)，我們記為。我們稱(chēng)基樣條函數(shù)的系數(shù)為影響向量。的值是正負(fù)相間的，除了和外，其它的都迅速衰減，逐漸接近與0。2、樣條函數(shù)的線(xiàn)性迭加性給定一個(gè)三次樣條函數(shù)，對(duì)第j點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為，則調(diào)整后的三次樣條函數(shù)為。則：對(duì)上式求導(dǎo)兩次，并令得：我們知道：則6，6于是有：即：同樣地，根據(jù)的關(guān)系，可以得到：可以看出，調(diào)整前后的三次樣條函數(shù)的有關(guān)參數(shù)（函數(shù)值、系

34、數(shù)）與調(diào)整量成線(xiàn)性關(guān)系，即有線(xiàn)性迭加性。3、樣條曲線(xiàn)不光順時(shí)的調(diào)整根據(jù)我們上面的討論，我們已經(jīng)為為樣條曲線(xiàn)不光順處的調(diào)整打下了必要的基礎(chǔ)，下面我們來(lái)討論利用樣條函數(shù)的線(xiàn)性迭加性進(jìn)行樣條函數(shù)曲線(xiàn)不光順處的調(diào)整。調(diào)整的方法：計(jì)算當(dāng)達(dá)到光順要求時(shí)的型值調(diào)整量。（說(shuō)明：我們這里所討論的型值調(diào)整只是單型值調(diào)整法，即只對(duì)不光順的某一型值點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，而不對(duì)其相鄰的其它型值點(diǎn)的型值進(jìn)行調(diào)整。）圖3-3-2（1）多余拐點(diǎn)的型值調(diào)整經(jīng)過(guò)光順性判別發(fā)現(xiàn)：說(shuō)明有2個(gè)拐點(diǎn)存在，第j點(diǎn)必須進(jìn)行調(diào)整。如圖3-3-2所示。通過(guò)判斷我們?nèi)菀椎玫竭@是相鄰3個(gè)型值點(diǎn)出現(xiàn)2個(gè)拐點(diǎn)的情況。xj點(diǎn)為不光順點(diǎn)，必須給予調(diào)整。調(diào)整的方法是什

35、么樣的呢？聯(lián)系前面討論的基樣條函數(shù)，對(duì)xj點(diǎn)不光順的調(diào)整其實(shí)就是在xj附近建立一個(gè)基樣條函數(shù)，我們通過(guò)每次對(duì)原函數(shù)迭加一個(gè)基樣條函數(shù)的方式進(jìn)行不光順的調(diào)整。觀察圖型，我們可以發(fā)現(xiàn)如果將突起部分調(diào)整為圖中點(diǎn)劃線(xiàn)所示情況時(shí)，就基本滿(mǎn)足了光順要求。那么該如何調(diào)整才能達(dá)到這種程度呢？根據(jù)三次樣條函數(shù)的線(xiàn)性迭加性：同時(shí)結(jié)合§3-2 型線(xiàn)不光順的調(diào)整原則，我們將調(diào)整分為兩步。第一步調(diào)整：首先令0，即將樣條曲線(xiàn)上的j點(diǎn)調(diào)整到j(luò)1和j+1兩點(diǎn)的切線(xiàn)上。（兩點(diǎn)的切線(xiàn)是一條直線(xiàn)，直線(xiàn)的一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)必然為0，所以在這里的0）這樣我們可以得到調(diào)整量為： 第一步調(diào)整量。通過(guò)這一步調(diào)整，使得0 ，這

36、樣對(duì)于拐點(diǎn)已經(jīng)消除，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候判別式 已經(jīng)不在成立，而是成為了 ，但是這并沒(méi)有達(dá)到目的，要想達(dá)到目的必須要有 成立。注意：一旦第j點(diǎn)調(diào)整到切線(xiàn)上時(shí)，就等于原來(lái)的樣條函數(shù)發(fā)生了改變（影響向量只是對(duì)相鄰的2點(diǎn)產(chǎn)生影響，對(duì)其它的點(diǎn)可以認(rèn)為是沒(méi)有影響的），這樣會(huì)導(dǎo)致相鄰的兩個(gè)點(diǎn)j1點(diǎn)和j+1點(diǎn)發(fā)生改變，改變量是多少呢？有沒(méi)有這么一種可能：使得j1點(diǎn)或j+1點(diǎn)的彎曲方向發(fā)生改變，如果是這樣的話(huà)，則說(shuō)明調(diào)整是不成功的（因?yàn)閷?duì)j點(diǎn)的調(diào)整使得前后兩點(diǎn)的彎曲方向發(fā)生了改變）。對(duì)于調(diào)整后的型線(xiàn)，其也是一個(gè)三次樣條函數(shù)，對(duì)于這么一個(gè)三次樣條函數(shù)，也有其本身的系數(shù)。由于基樣條函數(shù)的性質(zhì)，我們可以知道，對(duì)于其它點(diǎn)的影

37、響很小，可以忽略不計(jì)，故我們只需要對(duì)j1點(diǎn)和j+1點(diǎn)的三次樣條函數(shù)系數(shù)進(jìn)行判別，看有沒(méi)有發(fā)生變號(hào)即可。如果此式成立，則表明對(duì)j點(diǎn)的調(diào)整，沒(méi)有使得其前后兩點(diǎn)j1點(diǎn)和j+1點(diǎn)的彎曲方向發(fā)生改變，調(diào)整是成功的，第一步調(diào)整結(jié)束，可以轉(zhuǎn)入下一步的調(diào)整。否則，則說(shuō)明對(duì)j點(diǎn)的調(diào)整，對(duì)其前后兩點(diǎn)的影響很大，導(dǎo)致其發(fā)生了質(zhì)的改變（彎曲方向發(fā)生了改變），調(diào)整不成功。而根據(jù)§32 型線(xiàn)不光順的調(diào)整原則，這里的調(diào)整量已經(jīng)是最小的調(diào)整量，沒(méi)有辦法給出更小的調(diào)整量，我們稱(chēng)這種情況應(yīng)轉(zhuǎn)入大波動(dòng)調(diào)整。第二步調(diào)整：第二步調(diào)整是在第一步調(diào)整的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。取注：這里要取的是絕對(duì)值最小者，作為的值。這么做的原因是根據(jù)型值

38、調(diào)整的原則，我們應(yīng)使調(diào)整量盡可能的小。同時(shí)，根據(jù)樣條函數(shù)的線(xiàn)性迭加性：根據(jù)第一步的調(diào)整，我們知道0，有：，于是可以得到第二步的調(diào)整量：通過(guò)這一步調(diào)整，則將j點(diǎn)調(diào)整到了圖中的點(diǎn)劃線(xiàn)上，多余拐點(diǎn)已經(jīng)消除了。但是，同樣地我們還要判斷，對(duì)j點(diǎn)這一步調(diào)整有沒(méi)有導(dǎo)致其前后兩點(diǎn)j1點(diǎn)和j+1點(diǎn)的彎曲方向發(fā)生改變。進(jìn)行判斷：如果成立，則說(shuō)明調(diào)整成功，小波動(dòng)消除，已經(jīng)沒(méi)有多余拐點(diǎn)。如果不成立，則說(shuō)明調(diào)整不成功，轉(zhuǎn)入大波動(dòng)調(diào)整。通過(guò)上述兩步的調(diào)整，小波動(dòng)已經(jīng)完全消除，沒(méi)有了多余拐點(diǎn)。調(diào)整后的型值為：用代替原來(lái)的型值?？梢钥闯?，我們所討論的單型值調(diào)整法，只是將調(diào)整到，而其它的點(diǎn)都沒(méi)有發(fā)生變化。(2) 曲率數(shù)值變化不

39、均勻的調(diào)整一根樣條曲線(xiàn)沒(méi)有多余拐點(diǎn)只是意味著其各個(gè)型值點(diǎn)的彎曲方向滿(mǎn)足了要求，還不能說(shuō)曲線(xiàn)就是光順的了。我們還需要進(jìn)行曲率數(shù)值變化不均勻的判別和調(diào)整。同樣地，我們還是進(jìn)行單型值的調(diào)整。我們知道，當(dāng)時(shí)，表明樣條在j點(diǎn)和j1點(diǎn)處的回彈力的方向相反，也可以說(shuō)樣條函數(shù)的系數(shù)的二階差商發(fā)生了變號(hào)，曲線(xiàn)的曲率變化不均勻，曲線(xiàn)不光順，需要進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整。只要使得式不成立，則曲率變化不均勻的問(wèn)題就可以解決，結(jié)合型值調(diào)整的原則，我們要使型值的調(diào)整量最小，只要使得：即可。對(duì)于，可以表示為，也就是說(shuō)可以使或者。若，則為將第j點(diǎn)的壓鐵提起，使樣條在此點(diǎn)自然回彈，使之回彈力等于0，然后再將壓鐵壓?。蝗?，則為將j+1點(diǎn)的

40、壓鐵提起，使樣條在此點(diǎn)自然回彈，使之回彈力等于0。這樣，我們可以得到兩個(gè)調(diào)整量，然后根據(jù)型值的調(diào)整原則，我們?nèi)≌{(diào)整量小者作為最終的型值調(diào)整量。根據(jù)樣條函數(shù)的線(xiàn)性迭加性：1） 調(diào)整：0所以，調(diào)整量：2）調(diào)整：0所以，調(diào)整量：取兩個(gè)調(diào)整量絕對(duì)值最小者：，）通過(guò)這一步調(diào)整，則消除了曲率變化不均勻的現(xiàn)象。到現(xiàn)在為止，曲線(xiàn)的多余拐點(diǎn)已經(jīng)消除，曲率變化不均勻也得到了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，曲線(xiàn)已經(jīng)滿(mǎn)足光順條件了?？偟恼{(diào)整量為：調(diào)整后的新型值為：型值調(diào)整結(jié)束。§34 圓率序列法光順船體型線(xiàn)前面所討論的回彈法光順船體型線(xiàn)，有一個(gè)很重要的前提，那就是先必須通過(guò)所有的型值點(diǎn)建立三次樣條插值函數(shù)，然后才能進(jìn)行光順性的

41、判別和不光順處的調(diào)整，調(diào)整后還要再次建立光順后的樣條函數(shù)。這種做法要經(jīng)過(guò)若干次的調(diào)整和判別，顯然有了多次的重復(fù)勞動(dòng)。于是，我們?cè)O(shè)想可不可以在建立樣條函數(shù)前就進(jìn)行光順性的判別和不光順型值點(diǎn)的調(diào)整，等這些工作結(jié)束后，所得到的新的型值就是好的型值，通過(guò)這些型值點(diǎn)所建立起來(lái)的樣條函數(shù)必然是符合要求的樣條函數(shù)。我們知道，通過(guò)一系列型值建立起來(lái)的樣條函數(shù)是否光順，不是因?yàn)橛檬裁礃拥暮瘮?shù)或者方法所決定的，其根本原因是給定的型值點(diǎn)本身是否光順，也就是說(shuō)曲線(xiàn)光不光順取決于內(nèi)因，也就是型值點(diǎn)本身。我們這里要討論的圓率序列法就是從型值本身入手，從型值進(jìn)行光順判別和調(diào)整。圖3-4-1 圓率的概念pi-1pipi+11

42、、何謂圓率在同一平面內(nèi)，通過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以且只可以建立一個(gè)圓。我們稱(chēng)此圓的半徑之倒數(shù)為中間點(diǎn)的圓率，半徑倒數(shù)的數(shù)值是中間點(diǎn)圓率的絕對(duì)值，其符號(hào)也就是中間點(diǎn)圓率的符號(hào)。如圖3-4-1，通過(guò)三點(diǎn)，確定一個(gè)圓，則此圓的半徑之導(dǎo)數(shù)，就為中間點(diǎn)圓率的絕對(duì)值。我們約定：當(dāng)三點(diǎn)的順序?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)，圓率的符號(hào)為正，如圖3-4-2所示。圖3-4-3 負(fù)圓率圖3-4-2 正圓率pipi+1pi-1當(dāng)三點(diǎn)的順序?yàn)轫槙r(shí)針時(shí)，圓率的符號(hào)為負(fù)，這時(shí)的的圓率取通過(guò)三點(diǎn)圓的半徑之負(fù)倒數(shù)，如圖3-4-3所示。圓率的符號(hào)表示中間點(diǎn)的彎曲方向，當(dāng)為正時(shí)，中間點(diǎn)為“凹”；反之，為負(fù)時(shí)，中間點(diǎn)的彎曲方向?yàn)椤巴埂?。同時(shí)，大家還

43、可以看出：當(dāng)通過(guò)三點(diǎn)的圓半徑越大，則中間點(diǎn)的彎曲程度就越小，反之則越大。這也就說(shuō)明中間點(diǎn)的圓率的符號(hào)可以反映其彎曲的方向；而其圓率的大小可以反映其彎曲的程度。這與我們前面所討論的曲率有著異曲同工之妙。事實(shí)上圓率就是二階差商的一種引申形式，同曲率有類(lèi)似之處。把所有點(diǎn)的圓率組合起來(lái)就組成了圓率序列，所以我們也可以通過(guò)圓率序列來(lái)判斷曲線(xiàn)的光順性。2、圓率的計(jì)算通過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，可以確定唯一的一個(gè)圓，如圖3-4-4所示。由圖中可以看出，的圓率是一個(gè)負(fù)值，我們只有求出該三角形外接圓的半徑，則即為我們要求的中間點(diǎn)的圓率。所以：圖3-4-4 圓率的計(jì)算設(shè)圓率為，則這里的 3、用圓率判斷曲線(xiàn)的光順性通

44、過(guò)前面的討論我們已經(jīng)知道圓率的大小可以反映曲線(xiàn)彎曲的程度，圓率的符號(hào)能反映曲線(xiàn)彎曲的方向，和前面討論的曲率有相似之處，所以可以用來(lái)判斷曲線(xiàn)的光順性。(1) 多余拐點(diǎn)的判斷 如果上面判別式成立，就說(shuō)明曲線(xiàn)的彎曲方向發(fā)生了連續(xù)改變，存在多余拐點(diǎn)。從而我們還可以判定第i點(diǎn)為壞點(diǎn)（不光順點(diǎn)）。（注：讀者朋友要注意區(qū)分拐點(diǎn)和不光順點(diǎn)的區(qū)別，拐點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，而壞點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)并不等于0，但是壞點(diǎn)又確實(shí)是引起存在拐點(diǎn)的原因，故調(diào)整壞點(diǎn)可以有效地消除拐點(diǎn)。）(2) 圓率變化均勻性判別如用曲率判斷曲線(xiàn)的光順一樣，沒(méi)有多余拐點(diǎn)并不意味著曲線(xiàn)就是光順的，還要判斷圓率的變化均勻性。同樣，我們還是用圓率的二階差商

45、是否變號(hào)來(lái)判斷圓率變化的均勻性。設(shè)圓率的二階差商為，則有：當(dāng)出現(xiàn)時(shí)就說(shuō)明圓率變化不均勻。結(jié)合型值表中給定型值的特點(diǎn)，對(duì)于上面式子的分母必然都是大于0的，所以分母對(duì)式子的符號(hào)沒(méi)有影響，我們只需要研究分子就可以了。型值點(diǎn)的圓率序列的符號(hào)反映了型線(xiàn)的彎曲方向, 其絕對(duì)值則反映了型線(xiàn)的彎曲程度, 而圓率序列相鄰二點(diǎn)的一次差的符號(hào)和絕對(duì)值反映了型線(xiàn)上相鄰型值點(diǎn)彎曲變化的趨勢(shì), 也就是型線(xiàn)的光順程度。故利用型線(xiàn)型值點(diǎn)的圓率和圓率一次差可直接對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行光順性判別。用圓率序列來(lái)判斷曲線(xiàn)的光順性不用先插值樣條函數(shù)，比較方便快捷，所以目前在國(guó)內(nèi)外許多造船軟件中都比較常用，如滬東中華造船廠(chǎng)的優(yōu)秀造船軟件HDSHM

46、2000就是應(yīng)用圓率序列法進(jìn)行型線(xiàn)的光順性判別和不光順的調(diào)整的。下面給出用HDSHM2000進(jìn)行光順性判別的例子，首先，我們先給出HDSHM2000的光順判別準(zhǔn)則： (a) 型值點(diǎn)圓率序列沒(méi)有多余的變號(hào)，即我們稱(chēng)之為“粗光順” (b) 型值點(diǎn)圓率序列的一次差沒(méi)有連續(xù)變號(hào)，即我們稱(chēng)之為“精光順”。例題3-4-1序號(hào) 離舯值（X） 半寬值（Y） 圓率 圓率一次差 1 62376.9219 10000.0000 -.0158 .0004 2 66000.0000 8750.5938 -.0136 .0021 3 70125.0000 7061.5488 -.0096 .0040 4 74250.00

47、00 5160.1699 -.0019 .0077 5 76500.0000 4104.5322 -.0005 .0014 6 77100.0000 3822.4319 -.0048 -.0043 7 77700.0000 3538.0000 -.0177 -.0129 8 78375.0000 3207.6201 -.0523 -.0347 9 78767.5938 3000.0000 -.0384 .0139 10 80463.4297 2000.0000 -.0831 -.0447 11 81698.0000 1000.0000 -.3040 -.2209 12 82009.0000 5

48、00.0000 -.6785 -.3745 13 82067.5000 300.0000 -.8404 -.1618 14 82090.0391 100.0000 -.5865 .2538 15 82092.4219 .0000 -.4563 .1303 該型線(xiàn)型值點(diǎn)的圓率沒(méi)有連續(xù)變號(hào)，故滿(mǎn)足粗光順要求。但其型值點(diǎn)的圓率一次差在第9點(diǎn)型值處出現(xiàn)連續(xù)變號(hào),故不滿(mǎn)足精光順要求。該型線(xiàn)達(dá)到了粗光順而沒(méi)有達(dá)到精光順, 所以是一根較好的光順型線(xiàn)。§35 船體型線(xiàn)的邊界條件我們知道，船體的型線(xiàn)是由三次樣條函數(shù)來(lái)描述的，但是，要確定這些型線(xiàn)僅僅通過(guò)給定的型值還是不夠的。在我們確定三次樣條函數(shù)時(shí)需要

49、補(bǔ)充兩個(gè)端點(diǎn)條件，如給定端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)等，但是在給定的型值表中并沒(méi)有相關(guān)的信息。一、確定邊界線(xiàn)描述船體的型線(xiàn)除了樣條函數(shù)外，還有一些其它曲線(xiàn)，如直線(xiàn)、圓弧等。對(duì)于船體中出現(xiàn)這些曲線(xiàn)時(shí)，沒(méi)有必要舍近求遠(yuǎn)用樣條曲線(xiàn)來(lái)描述，只要用比較簡(jiǎn)單的直線(xiàn)或圓的函數(shù)來(lái)描述就可以了，只有曲線(xiàn)部分才需要用三次樣條函數(shù)來(lái)插值或擬合。我們知道三次樣條函數(shù)本身是可以保證在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但是當(dāng)三次樣條曲線(xiàn)與直線(xiàn)、圓弧這些較簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)相接時(shí)就不再是這種情況了。當(dāng)曲線(xiàn)（指的是三次樣條曲線(xiàn)）與直線(xiàn)連接時(shí)，交點(diǎn)處只要有函數(shù)值相同，同時(shí)保證曲線(xiàn)在此處的切線(xiàn)與直線(xiàn)重合就行了。也就是說(shuō)保證節(jié)點(diǎn)處有函數(shù)的連

50、續(xù)和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)就可以了。當(dāng)曲線(xiàn)與圓弧連接時(shí)，交點(diǎn)處只要求有函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階及二階以上導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。也就是說(shuō)保證節(jié)點(diǎn)處有函數(shù)的連續(xù)和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)就可以了。因此，在單根曲線(xiàn)光順之前，必須將型線(xiàn)的曲線(xiàn)部分和直線(xiàn)或圓弧部分分開(kāi)。但是怎么樣才能區(qū)分出曲線(xiàn)和直線(xiàn)或圓弧呢?其實(shí)，這部分工作在型線(xiàn)設(shè)計(jì)部分已經(jīng)由設(shè)計(jì)人員完成了，我們稱(chēng)這部分工作為確定端點(diǎn)條件。所謂端點(diǎn)條件就是曲線(xiàn)兩端與其它曲線(xiàn)（直線(xiàn)、圓弧等）拼接時(shí)，求出端點(diǎn)的坐標(biāo)值和切線(xiàn)斜率等。在前面的三次樣條函數(shù)求解的內(nèi)容里，我們知道僅僅通過(guò)若干型值點(diǎn)這些條件還不足以將三次樣條函數(shù)定出，還需要補(bǔ)充兩個(gè)端點(diǎn)條件，這兩個(gè)端點(diǎn)條件是給定端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)

51、或者二階導(dǎo)數(shù)等。前面讓讀者朋友思考了是不是所有的端點(diǎn)條件都是人為給定的，這里我們給出答案。船體的型線(xiàn)如橫剖線(xiàn)、水線(xiàn)、縱剖線(xiàn)，這些型線(xiàn)總是有起點(diǎn)和終點(diǎn)的，如橫剖線(xiàn)從底平開(kāi)始到舷墻頂線(xiàn)結(jié)束，那么該橫剖線(xiàn)與底平線(xiàn)的交點(diǎn)就是其起點(diǎn)，而與舷墻頂線(xiàn)的交點(diǎn)就是終點(diǎn)。對(duì)于這個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)需要給出它的型值和一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)，下面我們就根據(jù)船體數(shù)學(xué)放樣的實(shí)際來(lái)說(shuō)明端點(diǎn)條件的給出方法。在目前世界上大部分造船CAM軟件中，對(duì)型線(xiàn)的處理總是將船體分為前后兩個(gè)半艏，即以中間站號(hào)（10站或5站）為中點(diǎn)，將船體分成前半艏和后半艏。這樣，船體的水線(xiàn)和縱剖線(xiàn)都被分成了前后兩段，這就意味著一個(gè)曲線(xiàn)被分為了兩根曲線(xiàn)，也就是有了4個(gè)端

52、點(diǎn)，需要給出4個(gè)端點(diǎn)條件。所有的水線(xiàn)在船中各有一個(gè)端點(diǎn)，在船舶首尾也各有一個(gè)端點(diǎn)；同樣地所有的縱剖線(xiàn)在船中也都有一個(gè)端點(diǎn)，船舶首尾也各有一個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于橫剖線(xiàn)在船舶底部和頂部也都有端點(diǎn)。如果我們將水線(xiàn)在船中的端點(diǎn)連接起來(lái)就可以形成一條曲線(xiàn)，我們稱(chēng)這條曲線(xiàn)為邊界線(xiàn)。由于船體表面是一個(gè)光順的空間曲面，所以各邊界線(xiàn)也應(yīng)該是光順的曲線(xiàn)。在我們所討論的確定端點(diǎn)條件，其實(shí)就是確定并光順這些邊界線(xiàn)，然后再來(lái)確定各船體曲線(xiàn)（三次樣條曲線(xiàn)）的端點(diǎn)型值和端點(diǎn)斜率。船體的邊界線(xiàn)主要有以下幾種：1、平邊線(xiàn)大部分船舶在船中都有一段是平直的，稱(chēng)為平行中體，如圖3-5-1所示。平邊線(xiàn)站線(xiàn)曲線(xiàn)直線(xiàn)圖3-5-2圖3-5-1如果我們?cè)谙蟼?cè)用一個(gè)垂直于基線(xiàn)平面的平面與船體曲面相切，可以得到一條切線(xiàn)。同樣型線(xiàn)圖中靠近船中的各橫剖線(xiàn)（如第9、10站）與最大半寬相切的各切點(diǎn)，假想連接成一條光順曲線(xiàn)稱(chēng)之為平邊線(xiàn)。不難看出，對(duì)于橫剖線(xiàn)（只是在平行中體部分的橫剖線(xiàn)，其它部分的橫剖線(xiàn)不是如此）而言，平邊線(xiàn)以上的部分必然為直線(xiàn)，這也就是說(shuō)，在平邊處曲線(xiàn)橫剖線(xiàn)與直線(xiàn)連接，即三次樣條曲線(xiàn)與直線(xiàn)連接。對(duì)于水線(xiàn)而言，在平邊線(xiàn)以上這部分（平行中體部分）的水線(xiàn)都為直線(xiàn)，也就是說(shuō)，水線(xiàn)靠中部分有一段是直線(xiàn)，即為三次樣條曲線(xiàn)與直線(xiàn)的連接。水線(xiàn)平行中體曲線(xiàn)直線(xiàn)圖3-5-3平邊線(xiàn)可以確定有關(guān)橫剖曲線(xiàn)在最大半寬的端值和有關(guān)水