大學(xué)文科數(shù)學(xué)張國(guó)楚集合實(shí)數(shù)極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)文科數(shù)學(xué)張國(guó)楚集合實(shí)數(shù)極限大學(xué)文科數(shù)學(xué)張國(guó)楚集合實(shí)數(shù)極限教學(xué)目標(biāo)：本章的目標(biāo)是介紹集合、實(shí)數(shù)和極限。要求了解集合、實(shí)數(shù)與極限在微積分中的作用。了解我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之在我國(guó)古代數(shù)學(xué)中所作出的杰出貢獻(xiàn)。教學(xué)重點(diǎn)：集合、實(shí)數(shù)與極限在微積分中的作用、鄰域的概念。教學(xué)難點(diǎn)：極限概念及其在微積分中的作用、鄰域的概念。教學(xué)時(shí)數(shù)：6學(xué)時(shí)。第1頁(yè)/共45頁(yè)祖沖之第2頁(yè)/共45頁(yè) 微積分 極限理論 實(shí)數(shù)理論 自然數(shù) 集合論 從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎(chǔ)。從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎(chǔ)。第3頁(yè)/共45頁(yè)第4頁(yè)/共45頁(yè) 自然數(shù)集 實(shí)數(shù)集 有理數(shù)集 整數(shù)集（1）（2）（3）（1）是為了使在自然

2、數(shù)范圍內(nèi)減法運(yùn)算也封閉。（2）是為了使在整數(shù)范圍內(nèi)除法運(yùn)算也封閉。（3）數(shù)軸上除了有理點(diǎn)之外的成為無(wú)理數(shù)，合稱(chēng)為實(shí)數(shù)。 有理數(shù)集稠密，但不連續(xù)；實(shí)數(shù)集則連續(xù)。第5頁(yè)/共45頁(yè)0 x00 x,0 xU0 x0 xxx0 x,0 xU0 x0 x第6頁(yè)/共45頁(yè)0212xx421421421421,421212，示為：的鄰域。用區(qū)間符號(hào)表為半徑為中心、以所以它表示以。即得由xxx第7頁(yè)/共45頁(yè)第8頁(yè)/共45頁(yè))(nfy 321, 3 , 2 , 1，）（所得到的一列函數(shù)值iifai)(nfan na第9頁(yè)/共45頁(yè) nana.limnaaaannn或nn na第10頁(yè)/共45頁(yè)時(shí)的無(wú)窮小量。就是

3、nn21第11頁(yè)/共45頁(yè)aan na).(,limnaaaannn或第12頁(yè)/共45頁(yè)例 證明：. 021limnn證明：設(shè)為任意小的正數(shù) ，由 （不妨設(shè) ）求N：nn210211.2lglg,12nn即取 由前面的推導(dǎo)過(guò)程可知，則當(dāng)nN時(shí)，就有 ,2lglgN得證。恒成立,021n第13頁(yè)/共45頁(yè)第14頁(yè)/共45頁(yè)，該定義又稱(chēng)為“” 定義。x0 x)(xfy 0 x0 x00 xxx Axf)()(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx或第15頁(yè)/共45頁(yè)例：證明： 。 00limxxxx證明：對(duì)任意給定的 ，要使 成立，只需取 ，顯然當(dāng) 時(shí)， 恒成立，所以原式成立。

4、0 0 xxAxf00 xx 0 xxAxf2.左極限和右極限（不作為講解內(nèi)容）第16頁(yè)/共45頁(yè).2arctanlim,2arctanlim).(lim)(lim)(00. 01lim0,1)(,)(xxxfxfxfxxxAxxxxxfxxfyxxxxx例如：或的極限分別記作時(shí)，函數(shù)或當(dāng)為極限，記作：以常數(shù)時(shí)，該函數(shù)或即當(dāng)見(jiàn)的絕對(duì)值無(wú)限變小，可函數(shù)無(wú)限增大時(shí)，當(dāng)而言對(duì)于函數(shù)第17頁(yè)/共45頁(yè)4.函數(shù)極限的性質(zhì) ).0(0),0(0lim000000 xfxUxxUxAxfxfxxfxxxx恒有，對(duì)一切的某鄰域在點(diǎn)則存是正（負(fù)）數(shù)。即若也數(shù)值的某一去心鄰域內(nèi)，函數(shù)，則在點(diǎn)的極限值是正（負(fù)）函數(shù)

5、定理：如果第18頁(yè)/共45頁(yè) 正是所要證明的。分成立，不等式的左半部即恒成立，時(shí)，使得當(dāng)，則存在相應(yīng)的正數(shù)定義可知，若限定任意”所以由“證明：由于AAxfAAAAxfxxAxxAxf0)(0,),( , 000 . 0,lim, 00AAxfxfxx那么且非負(fù)。即如果定理：非負(fù)函數(shù)的極限第19頁(yè)/共45頁(yè) 成立。假設(shè)不不成立，原命題的假設(shè)矛盾，故這與的某鄰域內(nèi)在由以前所學(xué)定理可知，不成立，即設(shè)證明：（反證法）0. 0. 000 xfxfxAA .limlim,000BAxgxfBxgAxfxxxgxfxxxx，即則時(shí)，且當(dāng)推論：若第20頁(yè)/共45頁(yè)第21頁(yè)/共45頁(yè)無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。第

6、22頁(yè)/共45頁(yè)第23頁(yè)/共45頁(yè)兩個(gè)變量之商的極限定語(yǔ)極限之商。第24頁(yè)/共45頁(yè)例例1 求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：設(shè)設(shè),)(110nnnaxaxaxf 則有則有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 完完第25頁(yè)/共45頁(yè)例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373

7、593222 .229 注注：設(shè)設(shè),)()()(xQxPxf 且且, 0)(0 xQ則有則有)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 當(dāng)當(dāng)0)(0 xQ時(shí)，時(shí)，則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用.完完第26頁(yè)/共45頁(yè)例例3 求求.321lim221 xxxx解解1x時(shí)時(shí), , 分子和分母的極限都是零分子和分母的極限都是零. .此時(shí)應(yīng)先此時(shí)應(yīng)先約去不為零的無(wú)窮小因子約去不為零的無(wú)窮小因子1 x后再求極限后再求極限. .)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去

8、零因子法完完第27頁(yè)/共45頁(yè)例例4 計(jì)算計(jì)算.354lim4 xxx解解 當(dāng)當(dāng)4x時(shí)時(shí), 0)35( x不能直接使用商的極限運(yùn)算法則不能直接使用商的極限運(yùn)算法則.但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子.)35)(35()35)(4(lim354lim44 xxxxxxxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx完完第28頁(yè)/共45頁(yè)1214lim5221xxx求：例.1312.633limnnnn求：例212lim21xx解：原式3213112332limlimnnnnn解：原式第29頁(yè)/共45頁(yè)定理定理2

9、(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xgfy 是由函數(shù)是由函數(shù))(ufy 與函數(shù)與函數(shù))(xgu 復(fù)合而成復(fù)合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 則則)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心鄰域內(nèi)有的某去心鄰域內(nèi)有0 x注注:若函數(shù)若函數(shù))(uf)(xg和和滿(mǎn)足該定理的條件滿(mǎn)足該定理的條件,則作代換則作代換),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化為求化為求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理2表明表明:完完第30頁(yè)/共45頁(yè)例例7 計(jì)算計(jì)算.2s

10、inlim0 xx解解 令令,2xu 則函數(shù)則函數(shù)xy2sin xu2 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)? 0 x且且0u時(shí)時(shí), 0sinu所以所以. 0sinlim2sinlim00 uxux完完可視為由可視為由,sinuy , 02 xu第31頁(yè)/共45頁(yè)例例8 計(jì)算計(jì)算.2lim1xx 解解 令令,1xu 則則, 01lim xx且且, 12lim0 uu所以所以. 12lim2lim01 uuxx完完第32頁(yè)/共45頁(yè)例例9解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 完完第33頁(yè)/共45頁(yè)例

11、例10求求.3sinlim0 xxx解解xxxxxx33sin3lim3sinlim00 . 3 tx 3令令tttsinlim30完完第34頁(yè)/共45頁(yè)例例11解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx2121 .21 完完第35頁(yè)/共45頁(yè)例例12求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxxxxxxx2sin12sin1lim2sin2sinlim00 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 完完第36頁(yè)/共45頁(yè)例例13解解求求 .11lim3 xxx 311lim xxx 31111limxxxx 31111limxxxx 1 e. e 完完第37頁(yè)/共45頁(yè)例例14解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxxxx 111lim.1e 完完第38頁(yè)/共45頁(yè).3115limxxx：求例題，有解：作變量代換，令uxxu3,31于是得：時(shí)，顯然，當(dāng).uxuuxxux31131limlim3311limeuuu第39頁(yè)/共45頁(yè)例例16求求.)1(lim10yyy 解解 令令,1xy , x則則0y時(shí)時(shí),于是于是 .11lim)1(