大學文科數學張國楚集合實數極限PPT學習教案

1、會計學1大學文科數學張國楚集合實數極限大學文科數學張國楚集合實數極限教學目標：本章的目標是介紹集合、實數和極限。要求了解集合、實數與極限在微積分中的作用。了解我國數學家祖沖之在我國古代數學中所作出的杰出貢獻。教學重點：集合、實數與極限在微積分中的作用、鄰域的概念。教學難點：極限概念及其在微積分中的作用、鄰域的概念。教學時數：6學時。第1頁/共45頁祖沖之第2頁/共45頁 微積分 極限理論 實數理論 自然數 集合論 從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎。從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎。第3頁/共45頁第4頁/共45頁 自然數集 實數集 有理數集 整數集（1）（2）（3）（1）是為了使在自然

2、數范圍內減法運算也封閉。（2）是為了使在整數范圍內除法運算也封閉。（3）數軸上除了有理點之外的成為無理數，合稱為實數。 有理數集稠密，但不連續(xù)；實數集則連續(xù)。第5頁/共45頁0 x00 x,0 xU0 x0 xxx0 x,0 xU0 x0 x第6頁/共45頁0212xx421421421421,421212，示為：的鄰域。用區(qū)間符號表為半徑為中心、以所以它表示以。即得由xxx第7頁/共45頁第8頁/共45頁)(nfy 321, 3 , 2 , 1，）（所得到的一列函數值iifai)(nfan na第9頁/共45頁 nana.limnaaaannn或nn na第10頁/共45頁時的無窮小量。就是

3、nn21第11頁/共45頁aan na).(,limnaaaannn或第12頁/共45頁例 證明：. 021limnn證明：設為任意小的正數 ，由 （不妨設 ）求N：nn210211.2lglg,12nn即取 由前面的推導過程可知，則當nN時，就有 ,2lglgN得證。恒成立,021n第13頁/共45頁第14頁/共45頁，該定義又稱為“” 定義。x0 x)(xfy 0 x0 x00 xxx Axf)()(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx或第15頁/共45頁例：證明： 。 00limxxxx證明：對任意給定的 ，要使 成立，只需取 ，顯然當 時， 恒成立，所以原式成立。

4、0 0 xxAxf00 xx 0 xxAxf2.左極限和右極限（不作為講解內容）第16頁/共45頁.2arctanlim,2arctanlim).(lim)(lim)(00. 01lim0,1)(,)(xxxfxfxfxxxAxxxxxfxxfyxxxxx例如：或的極限分別記作時，函數或當為極限，記作：以常數時，該函數或即當見的絕對值無限變小，可函數無限增大時，當而言對于函數第17頁/共45頁4.函數極限的性質 ).0(0),0(0lim000000 xfxUxxUxAxfxfxxfxxxx恒有，對一切的某鄰域在點則存是正（負）數。即若也數值的某一去心鄰域內，函數，則在點的極限值是正（負）函數

5、定理：如果第18頁/共45頁 正是所要證明的。分成立，不等式的左半部即恒成立，時，使得當，則存在相應的正數定義可知，若限定任意”所以由“證明：由于AAxfAAAAxfxxAxxAxf0)(0,),( , 000 . 0,lim, 00AAxfxfxx那么且非負。即如果定理：非負函數的極限第19頁/共45頁 成立。假設不不成立，原命題的假設矛盾，故這與的某鄰域內在由以前所學定理可知，不成立，即設證明：（反證法）0. 0. 000 xfxfxAA .limlim,000BAxgxfBxgAxfxxxgxfxxxx，即則時，且當推論：若第20頁/共45頁第21頁/共45頁無窮大量的倒數是無窮小量。第

6、22頁/共45頁第23頁/共45頁兩個變量之商的極限定語極限之商。第24頁/共45頁例例1 求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：設設,)(110nnnaxaxaxf 則有則有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 完完第25頁/共45頁例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373

7、593222 .229 注注：設設,)()()(xQxPxf 且且, 0)(0 xQ則有則有)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 當當0)(0 xQ時，時，則商的法則不能應用則商的法則不能應用.完完第26頁/共45頁例例3 求求.321lim221 xxxx解解1x時時, , 分子和分母的極限都是零分子和分母的極限都是零. .此時應先此時應先約去不為零的無窮小因子約去不為零的無窮小因子1 x后再求極限后再求極限. .)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去

8、零因子法完完第27頁/共45頁例例4 計算計算.354lim4 xxx解解 當當4x時時, 0)35( x不能直接使用商的極限運算法則不能直接使用商的極限運算法則.但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子.)35)(35()35)(4(lim354lim44 xxxxxxxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx完完第28頁/共45頁1214lim5221xxx求：例.1312.633limnnnn求：例212lim21xx解：原式3213112332limlimnnnnn解：原式第29頁/共45頁定理定理2

9、(復合函數的極限運算法則復合函數的極限運算法則)設函數設函數)(xgfy 是由函數是由函數)(ufy 與函數與函數)(xgu 復合而成復合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 則則)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心鄰域內有的某去心鄰域內有0 x注注:若函數若函數)(uf)(xg和和滿足該定理的條件滿足該定理的條件,則作代換則作代換),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化為求化為求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理2表明表明:完完第30頁/共45頁例例7 計算計算.2s

10、inlim0 xx解解 令令,2xu 則函數則函數xy2sin xu2 構成的復合函數構成的復合函數.因為因為, 0 x且且0u時時, 0sinu所以所以. 0sinlim2sinlim00 uxux完完可視為由可視為由,sinuy , 02 xu第31頁/共45頁例例8 計算計算.2lim1xx 解解 令令,1xu 則則, 01lim xx且且, 12lim0 uu所以所以. 12lim2lim01 uuxx完完第32頁/共45頁例例9解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 完完第33頁/共45頁例

11、例10求求.3sinlim0 xxx解解xxxxxx33sin3lim3sinlim00 . 3 tx 3令令tttsinlim30完完第34頁/共45頁例例11解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx2121 .21 完完第35頁/共45頁例例12求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxxxxxxx2sin12sin1lim2sin2sinlim00 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 完完第36頁/共45頁例例13解解求求 .11lim3 xxx 311lim xxx 31111limxxxx 31111limxxxx 1 e. e 完完第37頁/共45頁例例14解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxxxx 111lim.1e 完完第38頁/共45頁.3115limxxx：求例題，有解：作變量代換，令uxxu3,31于是得：時，顯然，當.uxuuxxux31131limlim3311limeuuu第39頁/共45頁例例16求求.)1(lim10yyy 解解 令令,1xy , x則則0y時時,于是于是 .11lim)1(