多元函數(shù)的極值90434PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值90434一、多元函數(shù)的極值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是某點(diǎn)函數(shù)值比該點(diǎn)附近函數(shù)值大(小).定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn). 類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域, ),()(,00PfPfPP 為極大值.則稱)(0Pf第1頁/共38頁 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的, 一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí),極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.注第2頁/共38頁xyzOxyzO2243yxz 22yxz xyz

2、 函數(shù)是否存在極值, 在(0,0)點(diǎn)取極小值. 在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無極值.橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面馬鞍面在簡單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù) xyzO 第3頁/共38頁2.極值存在的必要條件證.定理1(必要條件),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 具有具有處處且在點(diǎn)且在點(diǎn)),(00yx則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),有有極極值值處處在點(diǎn)在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 有極大值,不妨設(shè)的某鄰域內(nèi)任意的某鄰域內(nèi)任意則對(duì)于則對(duì)于),(00yx),(),(00yxyx 都

3、有),(),(00yxfyxf 00,yyxx特特別別地地, ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)),(),(000yxfyxf 有有這說明一元函數(shù)處處在在00),(xxyxf 有極大值,必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy類似地可證第4頁/共38頁推廣如果三元函數(shù)),(),(000zyxPzyxfu在點(diǎn)在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù),則它在),(000zyxP有極值的必要條件為, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz駐點(diǎn)極值點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),稱為函數(shù)的駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,的的是函數(shù)是函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)xyz )0 , 0(駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn). 注

4、第5頁/共38頁3.極值存在的充分條件定理2(充分條件),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)則則處是否取得極值的條件如下:(1)時(shí)時(shí)02 BAC有極值,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 A有極大值,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 A有極小值;(2)時(shí)時(shí)02 BAC沒有極值;(3)時(shí)時(shí)02 BAC可能有極值,也可能無極值.（用定義判定）第6頁/共38頁求函數(shù) 極值的一般步驟:),(yxfz 第一步解方程組 0),(0)

5、,(yxfyxfyx求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值.CBA、第三步定出2BAC 的符號(hào),再判定是否是極值.具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)極值的求法極值的求法的函數(shù)的函數(shù)),(yxfz 第7頁/共38頁例1. 解.又在點(diǎn)(0,0)處, 在點(diǎn)(a,a)處, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函數(shù)求函數(shù) 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa駐駐點(diǎn)點(diǎn) xxf xyf yyf229aBAC 故),(yxf2227aBAC aA6 且且故),(yxf即.),(3aaaf 的極值.0 在(0,0)無極值;在(a,a)有極大值,0 ,6x ,3a

6、.6y 0 第8頁/共38頁04222 xxzzzx解.求由方程010422222 zyxzyx.),(的極值的極值確定的函數(shù)確定的函數(shù)yxfz 將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),04222 yyzzzy 由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為),1, 1( P將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 例2. 第9頁/共38頁故22)2(1zBAC )2( z函數(shù)在P有極值.0 )1, 1( P將將代入原方程,6, 221 zz有有,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 2)1, 1( fz為極小值;,62時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 6)1, 1(

7、fz為極大值.所以所以第10頁/共38頁然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)22yxz 不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.可能極值點(diǎn): 駐點(diǎn), 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).由極值的必要條件知,若函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)注釋極值只可能在駐點(diǎn)處取得.第11頁/共38頁對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件.無條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法第12頁/共38頁解.yxz 18xyzV ：區(qū)域區(qū)域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例3.已知長

8、方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時(shí)長方體的體積最大？設(shè)長方體的長、寬、高分別為., zyx、由題意長方體的體積為18, 0, 0 yxyx)6 , 6(駐駐點(diǎn)點(diǎn) 且長方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時(shí)長方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),18 zyx第13頁/共38頁上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)zyx、但但的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件 有時(shí)條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介紹解決條件極值問題的一般方法:下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法xyzV 18 zyx第1

9、4頁/共38頁拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)),(yxfz 0),( yx 在約束條件 下取得 如函數(shù)(1)在),(00yx0),(00 yx 由條件0),( yx (1)(2)極值的必要條件.取得所求的極值,那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù)).(xyy 不必將它真的解出來,則于是函數(shù)(1),(00yx在在0 xx 即, 在 取得所取得極值.求的極值.),(,(xyxfz 第15頁/共38頁其中 0ddxxxy代入(4)得:)5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知: 0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddx

10、xyyxxxyyf 0 ),(),(0000yxyxyx 0 xx 取得極值.在(3) ,(5)兩式),(00yx在在取得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的)(,(xyxfz 第16頁/共38頁 設(shè) ),(),(0000yxyxfyy上述必要條件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6),0),(00 yx ),(),(),(yxyxfyxL 的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在),(00yx的值. 參參數(shù)數(shù)函數(shù)),(yxL稱為

11、拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).第17頁/共38頁拉格朗日乘數(shù)法:),(yxfz 0),( yx 總結(jié)：條件極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxL 為某一常數(shù),其中可由 解出, yx其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).yx, 0),(),( yxyxfxx, 0),(),( yxyxfyy. 0),( yx 第18頁/共38頁如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問題中, 非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來的情況.自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)第19頁/共38頁其中最大者即為最大值, 與一元函數(shù)相類似,可

12、利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有可能的極值點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,三、有界閉區(qū)域上函數(shù)的最值第20頁/共38頁解.(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn) 由于所以函數(shù)在D內(nèi)無極值.(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)與與在在求函數(shù)求函數(shù)0, 0212 yxyxxz1 yx直直線線圍成的三角形閉域D上的0 最大(小)值.例4.xzx21 2 yz 1 yxDxyO第21頁/共38頁在邊界線在邊界線由于最小, 由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0

13、,21( z有駐點(diǎn) 函數(shù)值有, 0 x單調(diào)上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10上上 x1 yxDxyO第22頁/共38頁在邊界線所以, 最值在端點(diǎn)處. )1(212xxxz由于 函數(shù)單調(diào)下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比較),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z1 yxDx

14、yO第23頁/共38頁解.),(000zyxP設(shè)設(shè)為橢球面上的一點(diǎn),令1),(222222 czbyaxzyxF則,2|20axFPx ,2|20byFPy 202|azFPz 的切平面方程為),(000zyxP過過在第一卦限內(nèi)作橢球面的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例5.1222222 czbyax切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).0)()()(020020020 zzczyybyxxax第24頁/共38頁目標(biāo)函數(shù)該切平面在三個(gè)軸上的截距各為化簡為1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面體的體積xyzV61 0002226zyxcba 約束條件在條件

15、1220220220 czbyax下求V 的最小值,第25頁/共38頁令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由 , 00 xL01220220220 czbyax, 00 yL00 zL第26頁/共38頁可得即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為)3,3,3(cba四面體的體積最小abcV23min 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 第27頁/共38頁.)21, 1 , 1(22的最短距離的最短距離到曲面到曲面求點(diǎn)求點(diǎn)yxz 解. d為簡化計(jì)算,令

16、222)21()1()1(),( zyxzyxf22yxz ),(zyx設(shè)設(shè)是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為問題化為在),(zyxf下求的最小值.222)21()1()1( zyx目標(biāo)函數(shù)約束條件例6.第28頁/共38頁 ),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由 )1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1( zyx設(shè)02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代代入入)4(第29頁/共38頁由于問題確實(shí)存在最小值，與與由由22xz xxxz212121 故xx21

17、22 有最小值有最小值d得唯一駐點(diǎn)24,41,41 zyx333222141412 33處處，故在點(diǎn)故在點(diǎn) 244141333第30頁/共38頁解.22)1(yxz 先求函數(shù)先求函數(shù) 0202yzxzyx駐駐點(diǎn)點(diǎn)22)2(yxz 再再求求 為此作拉格朗日乘函數(shù): ),(yxL上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);在圓上的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx )0 , 0(9)2()2(2222 yxyxz在圓在圓求函數(shù)求函數(shù)例7.第31頁/共38頁)(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代代入入)(c225 yx比較比較)3(,25 z. 0 z, yx 22

18、 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值為最小值為、)0 , 0( z、 225,225z 22,22z上，上，在圓在圓9)2()2(22 yx第32頁/共38頁選擇題已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且則(A) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).例8.第33頁/共38頁多元函數(shù)極值的概念條件極值 拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件多元函數(shù)最值的概念三、小結(jié)(上述問題均可與一元函數(shù)類比)第34頁/共38頁思考題,),(00的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)為為若若yxfx是否為是否為點(diǎn)點(diǎn)),(00yx?),(的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)yxfz 答不一定.二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)),(000yxP處有極值(不妨設(shè)為極小值),是指存在),(0