材料力學講義101頁

1、第一章 緒論及基本概念§11 材料力學的任務要想使結構物或機械正常地工作，必須保證每一構件在荷載作用下能夠安全、正常地工作。因此，在力學上對構件有一定的要求：1 強度，即材料或構件抵抗破壞的能力；2 剛度，即抵抗變性的能力；3 穩(wěn)定性，承受荷載時，構件在其原有形態(tài)下的平衡應保持為穩(wěn)定平衡§12 可變性固體的性質及基本假設可變性固體：理學彈性體、小變性基本假設：1 連續(xù)、均勻性；2 各項同性假設。FNxFNyFNzMxMyMzxyz§13 內力、截面法、應力求內力量KK'AA'§14 位移和應變的概念線位移：AA'角位移：zxyyx

2、u稱為K點處沿x方向的線應變直角的改變量稱為切應變。§15 桿件變性的基本形式FF1軸向拉伸或軸向壓縮FFFF2剪切MM3扭轉MM4彎曲第二章 軸向拉伸和壓縮§21 軸向拉伸和壓縮的概念圖21圖22FFFF圖2-4圖6-3圖23屋架桿軸向拉伸或軸向壓縮變形是桿件基本變形之一。軸向拉伸或壓縮變形的受力及變形特點是：桿件受對平衡力F的作用(圖21)，它們的作用線與桿件的軸線重合。若作用力F拉伸桿件(圖21)則為軸向拉伸，此時桿被拉長(圖21虛線)；若作用力F壓縮桿件(圖22)則為軸向壓縮，此時桿將縮短(圖22虛線)。軸向拉伸或壓縮也稱簡單拉伸或壓縮，或簡稱為拉伸或壓縮。工程中許

3、多構件，如單層廠房結構中的屋架桿(圖23)、各類網(wǎng)架結構的桿件(圖24)等，這類結構的構件由荷載引起的內力其作用線與軸線重合，桿件發(fā)生軸向拉伸或壓縮。軸向拉伸或壓縮的桿件的端部可以有各種連接方式，如果不考慮其端部的具體連接情況，其計算簡圖均可簡化為圖21和圖22。§ 22 內力·截面法·軸力及軸力圖FFmmFFNFFN（a）（b）)）（c）)）圖25一、橫截面上的內力軸力圖25a所示的桿件求解橫截面m m的內力。按截面法求解步驟有：可在此截面處假想將桿截斷，保留左部分或右部分為脫離體，移去部分對保留部分的作用，用內力來代替，其合力FN，如圖25b或圖25c所示。對

4、于留下部分來說，截面m m上的內力FN就成為外力。由于原直桿處于平衡狀態(tài)，故截開后各部分仍應維持平衡。根據(jù)保留部分的平衡條件得(21)FFmmFFNFFN（a）（b）)）（c）)）圖26式中，F(xiàn)N為桿件任一截面m m上的內力，其作用線也與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心，故稱這種內力為軸力，用符號FN表示。若取部分為脫離體，則由作用與反作用原理可知，部分截開面上的軸力與前述部分上的軸力數(shù)值相等而方向相反(圖25b,c)。同樣也可以從脫離體的平衡條件來確定。二、軸力圖當桿受多個軸向外力作用時，如圖27a，求軸力時須分段進行，因為AB段的軸力與BC段的軸力不相同。m)）n)）F)）F)）2

5、F)）A)）B)）C)）F)）FN)）m)）m)）n)）n)）F)）2F)）FN)）A)）A)）B)）（a）（b）B)）（c）FN)）圖27)）（d）)）mn要求AB段桿內某截面m m的軸力，則假想用一平面沿m m處將桿截開，設取左段為脫離體(圖27b)，以FN代表該截面上的軸力。于是，根據(jù)平衡條件Fx0，有負號表示的方向與所設的方向相反，即為壓力。要求BC段桿內某截面n-n的軸力，則在n n處將桿截開，仍取左段為脫離體（圖27c），以FN代表該截面上的軸力。于是，根據(jù)平衡條件Fx0，有由此得在多個力作用時，由于各段桿軸力的大小及正負號各異，所以為了形象地表明各截面軸力的變化情況，通常將其繪成

6、“軸力圖”(圖27d)。作法是：以桿的端點為坐標原點，取平行桿軸線的坐標軸為x軸，稱為基線，其值代表截面位置，取FN軸為縱坐標軸，其值代表對應截面的軸力值。正值繪在基線上方，負值繪在基線下方，如圖27d所示。例題21 一等直桿及其受力情況如圖a所示，試作桿的軸力圖。600)）300)）500)）400)）A)）B)）C)）D)）E)）40kN)）55kN)）25kN)）20kN)）（a）)）A)）B)）C)）D)）E)）40kN)）55kN)）20kN)）FR)）1)）1)）FR)）FN1)）A)）FN2)）FR)）A)）B)）40kN)）2)）2)）223344FN3)）25kN)）20kN

7、)）D)）33（b）)）（c）)）（d）)）（e）)）10)）50)）5)）20)）FN圖（kN）)）（f）)）例題21圖)）FN4)）20kN)）44解：首先對桿件進行受力分析，求出支反力FR（圖b）。由整個桿的平衡方程得在求AB段內任一截面上的軸力時，在任一截面11處截斷，取左段為脫離體（圖c），并設軸力FN1為拉力。由平衡方程求出：其結果為正值，故FN1為拉力。同理，可求得BC段任一截面上的軸力（圖d）為在求CD段內的軸力時，將桿截開后宜取右段為脫離體，因為右段桿比左段桿上包含的外力較少，并設軸力FN 3為拉力（圖e）。由結果為負值，說明原假定的FN 3的指向與實際相反，應為壓力。同理，

8、可得DE段內任一橫截面上的軸力FN 4為按軸力圖作圖規(guī)則，作出桿的軸力圖f。FN max發(fā)生在BC段內的任一橫截面上，其值為50 kN。§23應力·拉（壓）桿內的應力一、拉（壓）桿橫截面上的應力mFFNFFN（a）（b）)）（c）)）圖28FFmFFa'b'c'd'bacd（d）)）如圖28a，為一等截面直桿，假定在未受力前在該桿側面作相鄰的兩條橫向線ab和cd,然后使桿受拉力F作用(圖68b)發(fā)生變形，并可觀察到兩橫向線平移到ab和cd的位置且仍垂直于軸線。這一現(xiàn)象說明：桿件的任一橫截面上各點的變形是相同的，即變形前是平面的橫截面，變形后仍

9、保持為平面且仍垂直于桿的軸線，稱為平面假設。根據(jù)這一假設，橫截面上所有各點受力相同，內力均勻分布，內力分布集度為常量，即橫截面上各點處的正應力相等(見圖28c、d)。由靜力學求合力的概念即拉壓桿橫截面上正應力計算公式(22)式中，F(xiàn)N為軸力；A為桿的橫截面面積。由式（22）知，正應力的正負號取決于軸力的正負號，若FN為拉力，則為拉應力，若FN為壓力，則為壓應力，并規(guī)定拉應力為正，壓應力為負。例題22 圖a所示橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段，柱頂受軸向壓力F作用。上段柱重為G1，下段柱重為G2。已知：F10kN，G1 = 2.5kN，G210kN，求上、下段柱的底截面aa和bb上的應力。解：(

10、1)先分別求出截面aa和bb的軸力。為此應用截面法，假想用平面在截面aa和bb處截開，取上部為脫離體(圖b、c)。根據(jù)平衡條件可求得：截面aa：負號表示壓力。截面bb：負號表示壓力。（2）求應力，由式(62)分別將截面a a和bb的軸力FN a、FN b和面積Aa、Ab代入，得截面aa：負號表示壓應力。FG1G2FF37000例題22圖（a）aabbFFN aG1aa（b）FG1G2FN bbb（c）FF截面bb：負號表示壓應力。§24 拉壓桿的變形·胡克定律實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下，沿軸線方向將發(fā)生伸長或縮短同時，橫向（與軸線垂真的方向）必發(fā)生縮短或伸長，如

11、圖210、211所示，圖中實線為變形前的形狀，虛線為變形后的形狀。FF圖2 10ll1dd1圖211FFll1dd1設l與d分別為桿件變形前的長度和直徑，l1與d1為變形后的長度與直徑，則變形后的長度改變量l和直徑改變量d將分別為l和d稱為桿件的絕對縱向和橫向伸長或縮短，即總的伸長量或縮短量。其單位為m或mm。桿的變形程度用每單位長度的伸長來表示，即絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，稱為線應變，并用符號表示。對軸力為常量的等直桿，其縱、橫方向的線應變分別為為縱向線應變。為橫向線應變。它們都是量綱為一的量。規(guī)定，l和d伸長為正，縮短為負；和的正負號分別與l和d一致，因此規(guī)定：拉應變?yōu)檎?，壓應變?yōu)樨摗?/p>

12、實驗表明，在彈性變形范圍內，桿件的伸長l與力F及桿長l成正比，與截面面積A成反比，即(c)引進比例常數(shù)，則有（28）由于F = FN，故上式可改寫為這一關系式稱為胡克定律。式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，其單位為Pa。EA稱為桿的抗拉（壓）剛度。將式（29）改寫成(d)由于，代入，可得此式表明，在彈性變形范圍內，應力與應變成正比。式（28）、（29）、(210)均稱為胡克定律。實驗結果表明，在彈性變形范圍內，橫向線應變與縱向線應變之間保持一定的比例關系，以代表它們的比值之絕對值稱為泊松比，它是量綱為一的常數(shù)，其值隨材料而異，可由實驗測定?？紤]到縱向線應變與橫向線應變的正負號恒相反，故有彈性模量E

13、和泊松比都是材料的彈性常數(shù)。例題24 圖示一等直鋼桿，材料的彈性模量E210GPa。試計算：(1) 每段的伸長；(2) 每段的線應變；(3) 全桿總伸長。解：（1）求出各段軸力，并作軸力圖（圖（b）。（2）AB段的伸長lAB。由式（29）得BC段的伸長：CD段的伸長：（3）AB段的線應變AB。根據(jù)式（25）（a）（b）5kN10kN10kN5kN2m2m2m5kN5kN5kN軸力圖例題24圖ABCD10mmBC段的線應變：CD段的線應變：（4）全桿總伸長：在軸力和橫截面均沿軸線變化的情況下，拉(壓)桿任意核截面上的應力 (x)和全桿的變形l可按下面的公式計算：§26 材料在拉伸和壓縮

14、時的力學性能一、低碳鋼拉伸時的力學性能1試件ld（a）lA（b）圖212把低碳鋼制成一定尺寸的桿件，稱為試件。在進行拉伸試驗時，應將材料做成標準試件，如圖212所示，取試件中間l長的一段(應是等直桿)作為測量變形的計算長度(或工作長度)，稱為標矩。通常對圓截面標準試件的標距l(xiāng)與其橫截面直徑d的比值加以規(guī)定，l = 10d或l = 5d。 2試驗設備FlO對應頸縮截面對應截面圖213通常使用的設備稱為萬能試驗機，其基本工作原理是通過試驗機夾頭或承壓平臺的位移，使放在其中的試件發(fā)生變形，在試驗機的示力盤上則指示出試件的抗力。 3低碳鋼試件的應力應變曲線及其力學性能圖213所示為低碳鋼試件的拉伸圖，

15、描述了荷載與變形間的關系。圖214表示的 曲線是根據(jù)圖213而得的，其縱坐標實質上是名義應力，并不是橫截面上的實際應力。我們對低碳鋼拉伸試驗所得到的 曲線（圖214）進行研究，大致可分為以下四個階段。第階段彈性階段 試件的變形完全是彈性的，全部卸除荷載后，試件將恢復其原長，因此稱這一階段為彈性階段。在彈性階段內，A點是應力與應變成正比即符合胡克定律的最高限，與之對應的應力則稱為材料的比例極限，用p表示。彈性階段的最高點B是卸載后不發(fā)生塑性變形的極限，而與之對應的應力則稱為材料的彈性極限，并以e表示。第階段屈服階段 超過彈性極限以后，應力有幅度不大的波動，應變急劇地增加，這一現(xiàn)象通常稱為屈服或流

16、動，這一階段則稱為屈服階段或流動階段。在此階段，試件表面上將可看到大約與試件軸線成45°方向的條紋，它們是由于材料沿試件的最大切應力面發(fā)生滑移而出現(xiàn)的，故通常稱為滑移線。在屈服階段里，其最高點C的應力稱為上屈服極限，而最低點D的應力則稱為下屈服極限（圖214），上屈服極限的數(shù)值不穩(wěn)定，而屈服低限值則較為穩(wěn)定。因此，通常將下屈服極限稱為材料的屈服極限或流動極限，并以s表示。第階段強化階段 應力經(jīng)過屈服階段后，由于材料在塑性變形過程中不斷發(fā)生強化，使試件主要產(chǎn)生塑性變形，且比在彈性階段內變形大得多，可以較明顯地看到整個試件的橫向尺寸在縮小。因此，這一階段稱為強化階段。 曲線中的G是該階段

17、的最高點，即試件中的名義應力達到了最大值，G點的名義應力稱為材料的強度極限，以b表示。第階段局部變形階段 當應力達到強度極限后，試件某一段內的橫截面面積顯著地收縮，出現(xiàn)如圖213所示的“頸縮”現(xiàn)象。頸縮出現(xiàn)后，使試件繼續(xù)變形所需的拉力減小，應力應變曲線相應呈現(xiàn)下降，最后導致試件在頸縮處斷裂。對低碳鋼來講，屈服極限s和強度極限b是衡量材料強度的兩個重要指標。為了衡量材料塑性性質的好壞，通常以試樣斷裂后標距的殘余伸長量l1 （即塑性伸長），與標距l(xiāng)的比值（表成百分數(shù)）來表示： 稱為伸長率，低碳鋼的 = 20%30%。此值的大小表示材料在拉斷前能發(fā)生的最大的塑性變形程度，它是衡量材料塑性的一個重要指

18、標。工程上，一般將5的材料定為脆性材料。另一個衡量塑性性質好壞的指標是：p0.2ab0.2%O圖216式中A1是拉斷后頸縮處的截面面積，A是變形前標距范圍內的截面面積，稱為斷面收縮率，低碳鋼的 = 6070。如果卸載后立即重新加載，則應力應變之間基本上仍遵循著卸載時的同一直線關系，一直到開始卸載時的應力為止。然后則大體上遵循著原來的應力應變曲線關系。此時，其屈服極限得到提高，但其塑性變形將減少，這一現(xiàn)象通常稱為材料的冷作硬化。若試件拉伸至強化階段后卸載，經(jīng)過一段時間后再重新加載，則其屈服極限將進一步提高，強度極限也將提高，其伸長率將降低，如圖215中實線cb所示。這種現(xiàn)象稱為材料的冷作時效。冷

19、作時效使材料的強度提高，塑性降低。二、其它幾種材料在拉伸時的力學性能 (MPa)00.10.20.3(%)4080120圖2170.50.416016錳鋼以及另外一些高強度低合金鋼等材料與低碳鋼在曲線上相似，它們與低碳鋼相比，屈服極限和強度極限部顯著地提高了，而屈服階段稍短且伸長率略低。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，國家標淮規(guī)定，取塑性應變?yōu)?.2時所對應的應力值作為名義屈服極限，以p0.2表示(圖216)。圖217所示的就是脆性材料灰口鑄鐵在拉伸時的 曲線。一般來說，脆性材料在受拉過程中沒有屈服階段，也不會發(fā)生頸縮現(xiàn)象。其斷裂時的應力即為拉伸強度極限，它是衡量脆性材料拉伸強度的唯指標。圖2

20、18（a）（b）三、低碳鋼及其它材料壓縮時的力學性質用金屬材料作壓縮試驗時，試件一般作成短圓柱形，長度為直徑的1.53倍。如圖218a所示。圖219示低碳鋼壓縮時的圖。低碳鋼試件的壓縮強度極限無法測定。如圖218b所示。圖220a和b中繪出兩種典型脆性材料鑄鐵和混凝土壓縮時的曲線。拉伸壓縮O圖219 (MPa)0123 (×10-3)圖220b 220b51015452025混凝土壓縮圖 (MPa)0246 (%)圖220a100200300810400500600鑄鐵壓縮圖壓縮拉伸O圖223順紋拉伸順紋壓縮橫紋壓縮四、木材在拉伸和壓縮時的力學性質木材的力學性能隨應力方向與木紋方向間

21、傾角的不同而有很大的差異，即木材屬各向異性材料。圖223示木材的幾項試驗結果，由圖可見，順紋壓縮的強度要比橫紋壓縮的高，順紋拉伸的強度要比橫紋壓縮的高得多。五、影響材料力學性質的因素1溫度 2變形速率 3荷載長時間作用的影響4應力性質的影響§27 強度條件·安全因數(shù)·許用應力一、極限應力材料喪失正常工作能力時的應力，稱為極限應力，以u表示。對于塑性材料，當應力達到屈服極限s時，將發(fā)生較大的塑性變形，此時雖未發(fā)生破壞，但因變形過大將影響構件的正常工作，引起構件失效，所以把s定為極限應力，即u= s。對于脆性材料，因塑性變形很小，斷裂就是破壞的標志，故以強度極限作為極

22、限應力，即u= b。二、安全因數(shù)及許用應力為了保證構件有足夠的強度，它在荷載作用下所引起的應力（稱為工作應力）的最大值應低于極限應力，考慮到在設計計算時的一些近似因素，如荷載值的確定是近似的；計算簡圖不能精確地符合實際構件的工作情況；實際材料的均勻性不能完全符合計算時所作的理想均勻假設；公式和理論都是在一定的假設下建立起來的，所以有一定的近似性；結構在使用過程中偶爾會遇到超載的情況，即受到的荷載超過設計時所規(guī)定的標準荷載等諸多因素的影響，都會造成偏于不安全的后果，所以，為了安全起見應把極限應力打一折扣，即除以個大于1的系數(shù)，以n表示，稱為安全因數(shù)，所得結果稱為許用應力，用表示，即對于塑性材料有

23、對于脆性材料有式中ns和nb分別為塑性材料和脆性材料的安全因數(shù)。三、強度條件為了確保拉(壓)桿件不致因強度不足而破壞，其強度條件為(216)即桿件的最大工作應力不許超過材料的許用應力。對于等截面直桿，拉伸（壓縮）時的強度條件可改寫為(217)根據(jù)上述強度條件，可以解決下列三種強度計算問題：(1)強度校核 已知荷載、桿件尺寸及材料的許用應力，根據(jù)式（616）檢驗桿件能否滿足強度條件。(2)截面選擇 已知荷載及材料的許用應力，按強度條件選擇桿件的橫截面面積或尺寸，即確定桿件所需的最小橫截面面積。將式（617）改寫為 (218)(3)確定許用荷載 已知桿件的橫截面面積及材料的許用應力，確定許用荷載。

24、先由式（217）確定最大軸力，即(219)然后再求許用荷載。例題27 圖a示一三鉸屋架的計算簡圖，屋架的上弦桿AC和BC承受豎向均布荷載q作用，q=4.5kN/m。下弦桿AB為圓截面鋼拉桿，材料為Q235鋼，其長l=8.5m，直徑d=16mm，屋架高度h=1.5m，Q235鋼的許用應力=170MPa。試校核拉桿的強度。8.5m A BCFRA FRB A FRA FNAB FCx FCy q （b） （a） 例題27圖q C解：（1）求支反力：由屋架整體的平衡條件可得：得根據(jù)結構對稱有（2）求拉桿的軸力FNAB：用截面法，取半個屋架為脫離體（圖b），由平衡方程（3）求拉桿橫截面上的工作應力（4

25、）強度校核：滿足強度條件，故拉桿的強度是安全的。例題29 圖示三角架中，AB桿為空心圓截面，其外徑DAB=40mm，內徑dAB=0.8DAB；BC為圓截面桿，dBC=40mm，材料均為Q235鋼。已知F=12kN，a=1m，材料的許用應力=170MPa，試求此三角架所能承受的最大許用荷載F。解：（1）截取節(jié)點B為脫離體（圖b），求出兩桿內力與F的關系：解出（2）分別由強度條件求出兩桿的許用軸力：對于AB桿，軸力為拉力，則許用軸力為對于BC桿，軸力為壓力，取絕對值，則許用軸力為（3）確定許用荷載： 根據(jù)AB桿的許用軸力確定的許用荷載為 根據(jù)BC桿的許用軸力確定的許用荷載為 從上述兩桿的對應的許用

26、荷載選取最小的即為結構的許用荷載，即§28 拉伸與壓縮的超靜定問題圖224a所示兩端固定桿，在桿的中部受軸向力的作用。欲求此桿兩端的反力FRA和FRB，僅用平衡條件就無法解決。因為反力FRA、FRB和F是共線力系(圖224b)，所以只能有一個獨立平衡方程，顯然，僅由靜力學平衡方程不可能求出全部的未知反力。這類不能單憑靜力學平衡方程求解的問題，稱為超靜定問題。FFRArFRB(a)(b)圖224FAB在超靜定問題中，都存在多于維持平衡所必需的支座或桿件，習慣上稱其為“多余”約束。未知力的個數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定的次數(shù)。與多余約束相應的支反力或內力，習慣上稱為多余未知力。

27、為解超靜定問題，除了平衡方程之外，必須補充與超靜定次數(shù)相同個數(shù)的有效方程，稱為補充方程。將補充方程與平衡方程聯(lián)立求解，即可求得全部未知力。FRArFRB(a)(b)圖225)ACBFFCFFRBA(c)FRBF-FRB(d) (1)靜力方面 桿的受力圖如圖625b所示。其平衡方程為(220)由上式不能求解出兩個反力，此結構為一次超靜定結構。(2)幾何方面 由于是一次超靜定，所以有一個多余約束，去掉固定端B（也可取上固定端A）用多余力FRB來代替此約束對桿AB的作用，則可看作靜定桿（圖225c）受已知力F和未知力FRB作用，并引起變形。AB桿的伸長lAB就等于B端的位移，而B端的位移B = 0，

28、即有(a)稱為變形協(xié)調方程。(3)物理方面 首先作桿軸力圖（圖225d）。根據(jù)胡克定律，則有(b)稱為物理方程。將式（b）代入式（a）,得(c)即為補充方程，它表達了多余未知力與已知力荷載F之間的關系，并由此方程求解出多余力。(d)最后，由平衡方程（220）解出(e)將FRB代入軸力圖中，便可得到AC段和CB段的軸力。例題210 圖示結構由剛性桿AB及兩彈性鋼制空心管EC及FD組成，在B端受力F作用。兩彈性桿由相同材料所組成，且長度相等、橫截面面積相同，其面積為A，彈性模量為E。試求出兩彈性桿的軸力。解：該結構為一次超靜定，須找一個補充方程。靜力方面 取脫離體如圖b所示，F(xiàn)DF為DF桿的軸力，

29、且以實際方向壓力給出； FDF（b）FCEFAyFAx例題210圖CDl/2llFABEACFDl/2l/2（a）FCE是CE桿的軸力，為拉力。建立有效的平衡方程為(a)幾何方面 剛性桿AB在F作用下變形如圖a所示，CE桿的伸長lCE與DE桿的縮短lDF幾何關系為： (b)這里， DF桿的變形為縮短，取其絕對值。(3)物理方面 根據(jù)胡克定律，有(c)將式（c）代入式（b）得(e)此式為補充方程。與平衡方程（a）聯(lián)立求解，即得(e)此時，CE桿軸力為拉力，DF桿軸力為壓力。§29 應力集中的概念由桿件截面驟然變化（或幾何外形局部不規(guī)則）而引起的局部應力驟增現(xiàn)象，稱為應力集中。FFmax

30、nom圖226在桿件外形局部不規(guī)則處的最大局部應力 max必須借助于彈性理論、計算力學或實驗應力分析的方法求得。在工程實際中，應力集中的程度用最大局部應力 max與該截面上的名義應力 nom（軸向拉壓時即為截面上的平均應力）的比值來表示，即這一比值Kt稱為理論應力集中因數(shù)，其下標表示是正應力。在動荷載作用下，則不論是塑性材料，還是脆性材料制成的桿件，都應考慮應力集中的影響。*§210 薄壁容器的應力計算在工程實際中，常常使用承受內壓的薄壁容器，如氣瓶、鍋爐等容器，當壁厚t小于或等于容器內徑D之比約在二十分之一時，可以認為軸向與徑向應力均沿壁厚均勻分布。即可按本節(jié)所述近似方法討算。圖2

31、-27ptmmnn1n（a）cc（b）pxFNx=pD2/4x（c）（d）ttpDt可以看出：作用在兩端筒底的壓力，在圓筒橫截面上引起軸向正應力x（圖227c）；而作用在筒壁的壓力、則在圓筒徑向縱截面上引起周向正應力t。(1)求橫截面上的應力 軸向正應力x 假想用平面nn將容器沿橫向截開，取右部為脫離體，如圖227c所示，由平衡條件Fx0，得 (a)由此得(222)應力為(223)(2)求縱截面上的應力周向正應力t 假想用兩個平行平面沿mm和nn橫向截取長為一單位的一段來考慮，如圖227a、b所示，再用一直徑平面cc一截為二，取上半部為脫離體(圖227d)。即 由此得(224)此式表明，薄壁容

32、器的圓筒部分，其縱截面上的應力較橫截面上的應力大一倍。所以，圓筒發(fā)生強度破壞時，將沿縱向發(fā)生裂縫。第三章 剪 切§31 剪切的概念及工程實例一、概念剪切變形是桿件的基本變形之一。如圖31a所示，當桿件受到一對垂直于桿軸、大小相等、方向相反、作用線相距很近的力F作用時，力F作用線之間的各橫截面都將發(fā)生相對錯動，即剪切變形。若力F過大，桿件將在力F作用線之間的某一截面mm處被剪斷，mm稱為剪切面。如圖31b所示，截面bb相對于截面aa發(fā)生錯動。（a）圖31a ba bFF（b）aaFFbbmm二、工程實例Me輪軸鍵（c）（d）（b）圖32（a）焊縫銷釘鉚釘工程中以剪切變形為主的構件很多，

33、如在構件之間起連接作用的鉚釘（圖32a）、銷釘（圖32b）、螺栓、焊縫（圖32c）、鍵塊（圖32d）等都稱為連接件。在結構中，它們的體積雖然都比較小，但對保證整個結構的安全卻起著重要的作用。根據(jù)實驗及理論分析，在外力作用下，螺栓、鉚釘、鍵塊等連接件在發(fā)生剪切變形的同時往往伴隨著其它變形，在它們內部所引起的應力，不論其性質、分布規(guī)律及大小等都很復雜。因此，工程中為了便于計算，在實驗的基礎上，往往對它們作一些近似的假設，采用實用計算的方法。§32 剪切的實用計算圖33(c)鉚釘（a）m-m (b)如圖33a所示，用鉚釘連接兩塊鋼板，當鋼板受到軸力F的作用時，鉚釘受到與軸線垂直、大小相等、

34、方向相反、彼此相距很近的兩組力的作用（圖33b），在這兩組力的作用下，鉚釘在m-m截面處發(fā)生剪切變形（圖33c），m-m截面稱為剪切面。用截面法可以計算鉚釘在剪切面上的內力。如圖34a所示，假想鉚釘沿mm面切斷，取下部為脫離體來研究。設剪切面mm上的內力為FS，根據(jù)靜力平衡條件得作用在剪切面上平行于截面的內力FS稱為剪力，與F大小相等，方向相反。（a）FFsm m圖34 F（b）在剪切面上切應力的分布是比較復雜的，對于可能發(fā)生剪切破壞的構件，其剪切強度計算，工程中采用實用計算的方法，假定剪切面上切應力是均勻分布的（圖74b）。即（31）式中Fs為剪切面上的剪力，As為剪切面面積。切應力的方向與

35、剪力Fs一致，實質上就是截面上的平均切應力，稱為計算切應力（又稱名義切應力）。要判斷構件是否會發(fā)生破壞，還需要建立剪切強度條件。材料的極限切應力是按計算切應力公式，根據(jù)剪切試驗所得破壞荷載而得來的（a）選擇適當?shù)陌踩驍?shù)，得許用切應力（b）于是，剪切強度條件為（32）§33 擠壓的實用計算連接件在發(fā)生剪切變形的同時，還伴隨著局部受壓現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱之為擠壓。作用在承壓面上的壓力稱為擠壓力。在承壓面上由于擠壓作用而引起的應力稱為擠壓應力。擠壓應力的實際分布情況比較復雜，在工程實際計算中，采用實用計算的方法。圖35（a）（b）ABAB（c）BdA圖35a所示的鉚釘與鋼板之間發(fā)生擠壓，接觸

36、面為半圓柱面，實際擠壓應力在此接觸面是不均勻分布的，其分布規(guī)律比較復雜，如圖35 b所示。在擠壓的實用計算中，假設計算擠壓應力在計算擠壓面上均勻分布，計算擠壓面為承壓面在垂直于擠壓力方向的平面上的投影。計算擠壓應力的計算式為（33）其中Fbs為接觸面上的擠壓力；Abs為計算擠壓面的面積。計算擠壓應力與實際擠壓應力的最大值是接近的。對于接觸面是半圓柱面時，取直徑平面面積，如圖35d所示。為了確定連接件的許用擠壓應力，可以通過連接件的破壞實驗測定擠壓極限荷載，然后按照計算擠壓應力的實用計算公式可以算出擠壓極限應力，再除以適當?shù)陌踩禂?shù)就可以得到連接件的許用擠壓應力。于是建立擠壓強度條件如下：（34

37、）其中bs為許用擠壓應力。試驗表明，許用擠壓應力bs比許用應力要大，對于鋼材，可取bs=(1.72.0) 。下面以圖36所示的鉚釘搭結兩塊鋼板為例，討論用鉚釘連接的拉壓構件的強度計算。鉚釘連接的破壞有下列三種形式：（1）鉚釘沿其剪切面被剪斷；（2）鉚釘與鋼板之間的擠壓破壞；（3）鋼板沿被削弱了的橫截面被拉斷。為了保證鉚釘連接的正常工作，就必須避免上述三種破壞的發(fā)生，根據(jù)強度條件分別對三種情況作實用強度計算。1. 鉚釘?shù)募羟袑嵱糜嬎阍O鉚釘個數(shù)為n，鉚釘直徑為d，接頭所受的拉力為F，采用前面鉚釘?shù)募羟袑嵱糜嬎惴椒?，假定鉚釘只受剪切作用，切應力沿剪切面均勻分布，并且每個鉚釘所受的剪力相等，即所有鉚釘

38、平均分擔接頭所承受的拉力F。圖37（a）FF（b）FF圖36（a）FF（b）FF每個鉚釘剪切面上的剪力為（a）根據(jù)剪切的實用計算式（31），強度條件為（35）F/n圖38F/2nF/2n式中為鉚釘?shù)脑S用切應力，AS為剪切面面積。必須指出，以上所述是對搭接方式連接的實用計算，每個鉚釘只有一個剪切面。如果采用對接方式連接（如圖37所示），則每個鉚釘有兩個剪切面（圖38），每個剪切面上的剪力（c）其它計算與上類似。2. 鉚釘與鋼板孔壁之間的擠壓實用計算采用前面鉚釘與鋼板孔壁之間的擠壓實用計算方法，假設擠壓應力在計算擠壓面上是均勻分布的。根據(jù)擠壓應力的實用計算式（33），擠壓強度條件為（36）對于搭接

39、方式連接的情況（如圖37所示），應分別校核中間鋼板及上下鋼板與鉚釘之間的擠壓強度。3.鋼板的抗拉強度校核由于鉚釘孔的存在，鋼板在開孔處的橫截面面積有所減小，必須對鋼板被削弱的截面進行強度校核。例題31圖示兩塊鋼板搭接連接而成的鉚接接頭。鋼板寬度b = 200mm，厚度t =8mm。設接頭拉力F = 200kN，鉚釘直徑20mm，許用切應力t=160MPa，鋼板許用拉應力=170MPa，擠壓許用應力 bs=340MPa。試校核此接頭的強度。解： 為保證接頭強度，需作出三方面的校核。(1) 鉚釘?shù)募羟袕姸刃：嗣總€鉚釘所受到的力等于F/4。根據(jù)剪切強度條件式（32）得=159.15×106

40、Pa =159.15MPa<nmmn（a）FF（b）FF例題31圖（d）3F/4FF/4（c）F/4F/4FF/4F/4滿足剪切強度條件。(2) 鉚釘?shù)臄D壓強度校核上、下側鋼板與每個鉚釘之間的擠壓力均為FbsF/4，由于上、下側鋼板厚度相同，所以只校核下側鋼板與每個鉚釘之間的擠壓強度，根據(jù)擠壓強度條件式34得=312.5×106Pa =312.5MPa<滿足擠壓強度條件。(3) 鋼板的抗拉強度校核由于上、下側鋼板厚度相同，故驗算下側鋼塊即可，畫出它的受力圖及軸力圖(圖c，d)。對于截面mm：滿足抗拉強度條件。對于截面nn：滿足抗拉強度條件。綜上所述，該接頭是安全的。例題3

41、2 圖示為受拉力F=150kN作用的對接接頭，其中主板寬度b =170mm、厚度t1 =10mm，上下蓋板的厚度t2 = 6mm。已知材料的許用拉應力為s=160MPa，許用切應力為t=100MPa，許用擠壓應力為sbs=300MPa，試確定鉚釘?shù)闹睆?。解：對接口一側?個鉚釘，則每個鉚釘受力如圖78所示。(1) 由剪切強度條件 得(2) 校核擠壓強度選擇鉚釘?shù)闹睆綖?8mm。（b）FFnm(c)nmF/3F/3F/3F2F/3F例題32圖（a）FFt2t2t1(3) 鋼板的抗拉強度校核兩塊蓋板的厚度之和大于主板的厚度，故只要校核主板的抗拉強度即可，主板的受力和軸力圖如圖c。對于截面mm：對于

42、截面nn：鋼板滿足抗拉強度條件。最終選擇鉚釘直徑為18mm。例題33 圖示齒輪用平鍵與軸連接。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=20× Meme（c）（a）MeMeMemeMe雨篷板雨篷梁（d）圖82MeFF（b）Me12×100mm，傳遞的扭轉力偶矩Me=2kN·m，鍵的許用切應力t=60MPa，試校核鍵的剪切強度。（c）（b）（a）FbhMeOdn h/2lbn nFFS例題33圖FSMeOn FF解：將平鍵沿nn截面分為兩部分，并把nn截面以下的部分和軸作為一個整體來考慮（圖b）。假設該截面上的切應力是均勻分布的，該截面上剪

43、切面積為剪力對軸心取矩，由平衡方程MO = 0，得故=28.6×106Pa =28.6MPa<t 滿足剪切強度條件。BAF=10kNMe =6kN.m3m3mB(a)BAMe 第四章 扭 轉§41 概 述扭轉變形是桿件的基本變形形式之一。扭轉變形的基本特征是：桿件在兩端垂直于軸線的平面內作用一對大小相等而方向相反的力偶，使其橫截面產(chǎn)生相對轉動（圖41）。圓桿表面的縱向線變成了螺旋線，螺旋線的切線與原縱向線的夾角稱為剪切角。截面B相對于截面A轉動的角度，稱為相對扭轉角。BAMeMe圖41Meme（c）（a）MeMeMemeMe雨篷板雨篷梁（d）圖42MeFF（b）Me例

44、如圖42b所示汽車轉向軸AB，其B端受到汽車方向盤的力偶作用，A端受到與方向盤轉向相反的力偶的作用，使轉向軸產(chǎn)生扭轉變形。又如機器中的傳動軸（圖42a）、鉆桿（圖42c）、攪拌機的主軸等都是以扭轉為主要變形的構件。而在工程中單純受扭轉的構件并不多，通常還伴有彎曲變形。如雨篷梁（圖42d），房屋的圓弧梁等。本章著重討論扭轉變形中等直圓桿受扭時的強度和剛度計算，它是扭轉中的最基本問題。§42 傳動軸的外扭矩·扭矩及扭矩圖圖43（a）xnMenMenxTnMe（c）（b）TnnxMe當桿件受到外力偶作用發(fā)生扭轉變形時，在桿件的橫截面上會產(chǎn)生內力。如圖43a所示圓軸受到一對外力偶Me的作用，使其產(chǎn)生了扭轉變形，求任一橫截面nn上的內力。可以采用截面法。設想將桿件沿nn截面截成兩段，并取左段為脫離體（圖43b）。那么nn截面上必有一內力偶作用。由靜力平衡方程Mx = 0，得T = Me （41）該內力偶矩稱為扭矩，用T表示，單位是N·m或kN·m。通常對扭矩的正負號作如下規(guī)定：采用右手螺旋法則，若以右手的四指表示扭矩的轉向，則大拇指指向與截面外法線方向一致時，