高等代數(shù)試題附答案

1、科 目 名 稱： 高 等 代 數(shù)姓名：班級(jí)：考試時(shí)間：120分鐘 考試形式：閉卷一、填空題（每小題5分，共25分）1、 在P X中，向量1 x x2關(guān)丁基1, x 1,x2 3x 2的坐標(biāo)為 o2、 向量組 11,2, 1 , 22,4, 2 , 33,0,3, 4 1, 1,2 , 5 5, 3,8 的秩為，一個(gè)最大無關(guān)組為 .。3、 （維數(shù)公式）如果V1,V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么 。3204、 假設(shè)A1 31的特征根是，特征向量分別為 。5、 實(shí)二次型 f x1,x2,x34x1 x2 2x1x3 2x2x3 的秩為 、是非題（每小題2分，共20分）1、如果a1,a2, ,ar線

2、性無關(guān)，那么其中每一個(gè)向量都不是其余向量的線性組合。（ ）2、 在Px中，定義變換Af（x） f（x°）,其中x° P,是一固定的數(shù)，那么變換 A是線性變換。（）3、設(shè)W1,W2是向量空間V的兩個(gè)子空間，那么它們的并W, W2也是V的一個(gè)子空間。（ ）4、 兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們有相同的維數(shù)。（）5、 令（為乂乂*）是R4的任意向量，那么 是R4到自身的線性變換。其中,2222./（x，乂2,乂3法4）。（6、矩陣A的特征向量的線性組合仍是 A的特征向量。（）7、若矩陣A與B相似，那么A與B等價(jià)。（）8、 n階實(shí)對(duì)稱矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。（）9、在

3、M2（R）中，若W由所有滿足跡等丁零的矩陣組成,那么 W是M 2（R ）的子空間。（）10、齊次線性方程組（E A）X 0的非零解向量是A的屆丁 的特征向量、明證題（每小題XX分，共 31分）1， 2，是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換，證明：A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A 1, A 2, ,A n線性無關(guān)。（10）2、 設(shè) 是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變幻，證明：如果是對(duì)稱變幻，2=l是單位 變幻，那么是正交變換。（11）3、設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，證明：如果W1,W2都是V得子空間，那么姓名:科目名稱:高等代數(shù)»班級(jí):考試時(shí)間：120分鐘 考試形式：閉卷w W2WW 。 （10）四、計(jì)算題

4、（每小題1、求矩陣A8分，共24分）13 335 3的特征根與特征向量，并求滿秩矩陣P使得P 1AP為對(duì)66 4角形矩陣。3202、求一個(gè)正交矩陣U，使得U AU使對(duì)角形式，其中A 242。3、化二次型025fX1,X2,X34X1X2 2X1X3 2X2X3為平方和，并求所用的兩秩線性變換。CZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZD

5、CZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZDCZD、填空題（每小題5分，共25分）1、（3,4,1 ）1,32、秩為2, 一個(gè)最大無關(guān)組為3、維（V ）+ 維（V2）W隹（VV2）+ 維（V1V2）4、特征根是1, 1, 2,特征向量分別為11,1,1 , 22,1, 1 ,5、秩為3、是非題（每小題2分，共20分）1、（是）2、（是）3、（是）4、（否）5、（否）6、（否）7、（是）8、（是）9、（是）10、（是）三、明證題（每小題xx分，共 31分）1、證明設(shè)A可逆，則A1存在，且A 1也是V的線性變換，（1）若 A 1,A 2, ,A

6、n 線性相關(guān)，則 A 1（A 1）,A1（A 2）, ,A 1（A n）, （2）即1, 2, , n也線性相關(guān)，這與假設(shè) 1, 2, , n是基矛盾，故A,A 2, , A n線性無關(guān)。（5）反之，若A 1,A 2, ,A n線性無關(guān)，因V是n維線性空間，故它也是V的一組基，故對(duì)V中任意向量 1有 1 A（k1 1 k2 2kn n）, 即存在(k11 k2 2kn n），使A（ ）1,故A為V到V上的變換。（8）若 乂有l(wèi) 1 1 l2 2l n n，使A( )1,即AI1A1 l2 A2lnA n«iA 1k2A 2kn A n)，因?yàn)?A i,A 2, ,A n是基，liki

7、,(i1,2, ,n），即，從而A 乂是的變換，故A為可逆變換。（10）2、證：2) (，)2(，) (，),(4),)2, ) ( 2, ) ,(8)=2(,) 2(, 2 ), (10)=0,(11)3、證：（1)W.W2WW2WW2WW2 ,(5)同理W,W2wW2 ,(8)則叫 W2叫 W2。（10）四、計(jì)算題（每小題8分，共24分）1、解：E A =（2）2（ 4）,則A的特征根為1,22 , 3 4,i (i1,2,3),它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為110,2111 , 3011 ,2(6)1 11200易知1, 2, 3線性無關(guān)，取P 011，那么就得P1AP020。(8)1 020042、解:E A (1)(4)(7),貝U特征根為1 1,24,37 ,(3)221對(duì)應(yīng)它們的線性無關(guān)的特征向量分別為12 , 21 , 32 ,122他們單位化后分別為23231 3232313213,21 3,3土 ，取正交矩陣U2331 ,122122333333100則，U AU040。(8)0 0 7X1y1y211 03、解X2y1y2,C11