分部積分法PPT課件

1、第三節(jié)由導數(shù)公式vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計算 .:)d(的原則或及選取vvu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分部積分法 第四四章 例例1. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 則, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 則原式xx cos2xxxdcos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求.dlnxxx解解: 令,ln xu xv

2、則,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 則,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 則,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 則,sin xuxev xexsinxxexexx

3、dsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21說明說明: 也可設veux,為三角函數(shù) , 但兩次所設類型必須一致 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 則,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反: 反三角函數(shù)對: 對數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角

4、函數(shù)例例6. 求.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 則,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求.dxex解解: 令, tx則,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令例例8. 求. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v則,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222

5、)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v則,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得遞推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:遞推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222

6、)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 證明遞推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分 ;2) 分部產生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;

7、(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )例例43) 對含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 .例4 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例11. 已知)(xf的一個原函數(shù)是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2說明說明: 此題若先求出)(xf 再求積分反而復雜.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例12. 求.d xI23)1 (2x解法解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則te

8、It3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctanvu內容小結內容小結 分部積分公式xvuvux

9、vudd1. 使用原則 :xvuvd易求出,易積分2. 使用經驗 : “反對冪指三反對冪指三” , 前 u 后v3. 題目類型 :分部化簡 ;循環(huán)解出;遞推公式4. 計算格式 :vu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13. 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 則texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 uexexuudd,例例14. 求.d)(ln43xxx解解:

10、 令則原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 下述運算錯在哪里? 應如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .xxsinsindCx sinln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 求xbxaeIxkd)cos(對比 P354 公式(128) , (129)提示提示:)cos(bxa )sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題.求不定積分解解：.d1xexexx方法1(先分部 , 再換元)xexexxd1) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xexxexd12令, 1xeu則uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414機動 目