巴特沃斯數(shù)字低通濾波器

1、 目錄1. 題目. .22. 要求.23. 設(shè)計原理.23.1 數(shù)字濾波器基本概念.23.2 數(shù)字濾波器工作原理.23.3 巴特沃斯濾波器設(shè)計原理.23.4脈沖響應(yīng)不法.43.5實驗所用MATLAB函數(shù)說明.54.設(shè)計思路.65、實驗內(nèi)容.65.1實驗程序.65.2實驗結(jié)果分析.106.心得體會.107.參考文獻.10 一、題目：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器二、要求：利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100HZ,采樣頻率1000HZ，通帶最大衰減為0.5HZ，阻帶最小衰減為10HZ，畫出幅頻、相頻相應(yīng)相應(yīng)曲線。并假設(shè)一個信號x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*

2、pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。用此信號驗證濾波器設(shè)計的正確性。三、設(shè)計原理1、 數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾波器除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是的形式和實現(xiàn)濾波方法不同。正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實驗?zāi)M濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可通過ADC和DAC,在信號形式上進行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進行濾波。2、

3、 數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個時間序列，輸出y(n)也是一個時間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應(yīng)為h(n),則在時間域內(nèi)存在下列關(guān)系 y(n)=x(n) h(n) 在Z域內(nèi)，輸入輸出存在下列關(guān)系 Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換。 同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關(guān)系 Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜。w為數(shù)字角頻率，單位rad。通常設(shè)計H(jw)在某些頻段的響應(yīng)值為1，在某些頻段的響應(yīng)

4、為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應(yīng)為1的那些頻段的值仍為X(jw)，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應(yīng)為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。 一個合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號y(n)保留信號x(n)中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。3、巴特沃斯濾波器設(shè)計原理（1）基本性質(zhì)巴特沃斯濾波器以巴特沃斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。巴特沃思

5、濾波器的低通模平方函數(shù)表示1 N=1,2， （2-6）下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征a對所有的N，。 b對所有的N，即c是的單調(diào)下降函數(shù)。d隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。如下圖2所示，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率c處的函數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內(nèi)有更多的頻帶區(qū)的值接近于1；在阻帶內(nèi)更迅速的趨近于零。圖2 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)（2）系統(tǒng)函數(shù)設(shè)巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)為Ha（s），則：（3）設(shè)計過程巴特沃思低通濾波技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為ap>-20log|Ha(j)|，<Pas<-20log|Ha(j)|，>

6、s其中：p為通帶邊界頻率，s為阻帶邊界頻率。代入式1.4.1可得:經(jīng)過化簡整理可得：取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。再將N代入可得： 或查表求得歸一化傳輸函數(shù)H(s),令s/c代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的s,即得到實際濾波器傳輸函數(shù)。4、脈沖響應(yīng)不變法 所謂脈沖響應(yīng)不變法就是數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)等于模擬濾波器的響應(yīng)ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)式中，T為采樣周期。因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可由下式求得 H(z)=Zh(n)=Zha(nT) Z-表示-的內(nèi)容進行變換，變換的內(nèi)容請參考相應(yīng)的數(shù)字信號處理材料。如果已經(jīng)獲得了滿足性能

7、指標(biāo)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s) ,求與之對應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的方法是：（1） 、求模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)。式中，LHa(s)表示對Ha(s)的Laplace.逆變換。Laplace變換內(nèi)容請參考高等數(shù)學(xué)的積分變換或信號處理教材。（2）、求模擬濾波器單位沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)序列h(n)。（3）、對數(shù)字濾波器的沖激h(n)響應(yīng)進行z變換，得到傳遞函數(shù)H(z)。由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的步驟是：（1） 利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(z)展開成 Ha(s)= Rk(S-P

8、k)在MATLAB中這步可通過residue函數(shù)實現(xiàn)若調(diào)用residue函數(shù)的形式為b,a=residue(R,P,K)形式。若為R,P,K=residue(a,b)則為上面調(diào)用形式的反過程。 (2)將模擬極點Pk變換為數(shù)字極點epkT即得到數(shù)字系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)= Rk(1-epkT*z*(-1)式中T為采樣間隔。（3）將上式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，可采用R,P,K=residue(b,a)。對于上面的步驟，中已經(jīng)提供了沖激響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器的函數(shù)，調(diào)用格式為 bz,az=impinvar(b,a ,Fs,Fp)式中，b,a為模擬濾波器分子和分母多項式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率（所濾波

9、數(shù)據(jù)），單位Hz，缺省時為1Hz，為預(yù)畸變頻率（prewarped frequency），是一個“匹配”頻率，在該頻率上，頻率響應(yīng)在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設(shè)計中不考慮。bz,az分別為數(shù)字濾波器分子和分母多項式系數(shù)向量。5、 實驗所用MATLAB函數(shù)說數(shù)。（1） N,wc=buttord(wp,ws,RP,As,s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wc。Wp、ws和wc是實際模擬角頻率(rads)。Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減。（2） Z,P,k=buttap(N) 該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子，返回

10、長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。（3） Y=filter(b,a,x)式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列。IIR函數(shù)實現(xiàn)的直接形式。(4) b，a=butter（N，wc，ftype） 計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量b、a。說明： 調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值，一般是調(diào)用buttord格式（1）計算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的升冪排列。(5) B，A=butter（N，c，ftype

11、，s） 計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)向量。 說明：調(diào)用參數(shù)N和c分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率(實際角頻率)，可調(diào)用buttord（2）格式計算N和c。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。 tfype為濾波器的類型： ftype=high時，高通；c只有1個值。 ftype=stop時，帶阻；c=cl,cu，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。 ftype缺省時：若c只有1個值，則默認(rèn)為低通；若c有2個值，則默認(rèn)為帶通；其通帶頻率區(qū)間cl< <cu。(6)H,w=freqz(b,a,N) b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式

12、的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0pi范圍內(nèi)N個頻率等分點的值（其中N為正整數(shù)），w則包含了范圍內(nèi)N個頻率等分點。調(diào)用默認(rèn)的N時，其值是512?？梢韵日{(diào)用freqz()函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。(7)lp2lp函數(shù) bt,at=lp2lp(b,a,w0) 該函數(shù)用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間 進行轉(zhuǎn)換，但無論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原型。（8） bz,az=impinvar（b,a,fs)把具有b,a模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波

13、器的傳遞函數(shù)模型bz,az，如果在函數(shù)中沒有確定頻率fs時，函數(shù)默認(rèn)為1Hz. 4、 設(shè)計思路 設(shè)定信號 模擬低通濾波器原型頻率變換模擬離散化IIR數(shù)字濾波器輸出信號五、設(shè)計內(nèi)容1.MATLAB程序設(shè)計 Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %濾波器截止頻率Rp=0.5; Rs=10; %通帶最大衰減和阻帶最小衰減 Fs=1000; %采樣頻率Nn=128; %調(diào)用freqz所用的頻率點數(shù)N,Wc=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %模擬濾波器的最小階數(shù)z,p,k=buttap(N); %設(shè)計模擬低通原型Butterworth濾波器Bap,Aap

14、=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %進行頻率轉(zhuǎn)換bz,az=impinvar(b,a,Fs); %運用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)figure(1)H,W=freqz(bz,az,Nn,Fs); %繪制數(shù)字濾波器的幅值特性和相頻特性subplot(2,1,1)plot(W,20*log10(abs(H);xlabel('頻率');ylabel('幅度');grid on;subplot(2,1,2);plot(W,180pi*unwrap(angle(H);xlabel(&#

15、39;頻率'); ylabel('幅度');grid on;figure(2)f1=50; f2=200; %輸入信號的頻率N=100; %數(shù)據(jù)長度dt=1Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采樣間隔和時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %濾波器輸入信號subplot(2,1,1); %繪制輸入信號plot(t,x);title('輸入信號'); %用filter函數(shù)對輸入信號濾波y1=filter(bz,az,x); subplot(2,1,2); %繪出輸出波形xlabel('時間')title('輸出信號');2. 實驗結(jié)果分析 實驗得到的兩幅圖如上所示，在第一幅圖中，小于100處衰減小于3Hz，而在大于120Hz處衰減大于15dB，滿足濾波器設(shè)計指標(biāo)。由第二幅圖中看出對50Hz和200Hz頻率成分的信號進行了濾波，濾除了200dB的信號，達到濾波的效果。六.心得體會程序仿真過程中，我找到了我要設(shè)計的低通濾波器的函數(shù)及依據(jù)。依據(jù)設(shè)計的濾波器的wp,ws,Rp,Rs四個參數(shù)來確定輸入信號的頻率以實現(xiàn)過濾的目的。實驗過程中我也遇到很多問題，但