高二理科數(shù)學(xué)《3..2立體幾何中的向量方法（五）》

1、 立體幾何中的向量方法 (五)1、教學(xué)任務(wù)分析：學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)是：線面平行判定、線面垂直判定、求二面角的的平面角的大小的傳統(tǒng)幾何方法與向量方法，并且經(jīng)歷了解決上述單個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，積累了初步用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與具體方法。這一節(jié)課的任務(wù)是：1）已知一直線一平面，求證直線與平面平行2）已知一直線一平面，求證直線與平面垂直 3）給定兩個(gè)半平面，求二面角的大小。從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，可以把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題，從而完成任務(wù)。從課型上說(shuō)：屬于“問(wèn)題教學(xué)”，以問(wèn)題為載體，學(xué)生在老師的引導(dǎo)與幫助下，分析、研究問(wèn)題，制訂解決問(wèn)題的策略，選擇解決問(wèn)題的方法。通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生參

2、與教學(xué)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中，老師尊重學(xué)生的思維過(guò)程，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)性以及他們之間的合作交流。2、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)立體幾何的主要向量方法進(jìn)行綜合訓(xùn)練難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q問(wèn)題的方法3 教學(xué)基本流程4 教學(xué)情境設(shè)計(jì)問(wèn) 題設(shè)計(jì)意圖師 生 活 動(dòng)問(wèn)題1：回顧前面討論過(guò)的問(wèn)題，請(qǐng)你概述用向量方法解決立體幾何問(wèn)題時(shí)一般經(jīng)歷怎樣的過(guò)程。 立體幾何中的確向量方法可以歸納為三步：（1）把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）進(jìn)行向量運(yùn)算；（3）由向量運(yùn)算解釋幾何問(wèn)題。問(wèn)題1有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解題通法的整體認(rèn)識(shí)。 教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的例題從整體上歸納解題過(guò)程，留給學(xué)生一定時(shí)間，使其通過(guò)思考能明確認(rèn)識(shí)“三步曲”

3、各階段的主要任務(wù)，并能簡(jiǎn)明地?cái)⑹龀鰜?lái)，為對(duì)本節(jié)后續(xù)內(nèi)容的整體把握作準(zhǔn)備。問(wèn)題2：閱讀例4，請(qǐng)你找出其中的已知條件和求解問(wèn)題。這些求解問(wèn)題能用向量方法解決嗎？ 通過(guò)閱讀題目，使學(xué)生明確題中所給出的條件和求解的問(wèn)題，從需要完成的任務(wù)理出本題可以用向量解決的大體思路。 例1如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn) (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小。分析本題涉及的問(wèn)題包括：判定直線與平面平行和垂直，計(jì)算二面角的大小，這些問(wèn)題都可以利用向量方法解決。由于已知條件中四棱錐的底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，所以非常適合建立空間直角坐標(biāo)系表示向量。 問(wèn)題3：從例

4、4的已知條件和求解問(wèn)題看，你認(rèn)為應(yīng)怎樣把問(wèn)題向量化？如果建立坐標(biāo)系，應(yīng)怎樣建立？ 初步建立已知條件與求解內(nèi)容兩者間的聯(lián)系，使學(xué)生意識(shí)到通過(guò)把向量坐標(biāo)化解決問(wèn)題，培養(yǎng)他們結(jié)合題中條件建立適當(dāng)坐標(biāo)系的能力。教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注已知條件中有“三角線段兩兩垂直且彼此相等”這一條件，使學(xué)生由此聯(lián)想到選擇這些線段所在直線為坐標(biāo)軸、以線段長(zhǎng)（正方形邊長(zhǎng)）為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系，并意識(shí)到這是適合本題的坐標(biāo)化方法。教師要求學(xué)生寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并進(jìn)一步寫(xiě)出等的坐標(biāo)。問(wèn)題4：考慮4（1），要證平面，應(yīng)如何入手？ 運(yùn)用直線與平面平行的判定定理，需證明與平面內(nèi)一直線平行。找出這條直線的過(guò)程可以鍛煉直覺(jué)觀察能力；證明兩線

5、平行可以鞏固對(duì)直線的方向向量、共線向量等概念的理解。教師從“要證平面”出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生考慮直線與平面平行的判定條件，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)討論發(fā)現(xiàn) 與有平行關(guān)系，從而自然地想到寫(xiě)出的坐標(biāo)，并由證出，進(jìn)而證出平面。解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)。（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）。因?yàn)榈酌媸钦叫危渣c(diǎn)是此正方形的中心，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（），且所以而平面，且平面因此平面。法二：設(shè) 共的又平面 平面.問(wèn)題5：考慮例4（2），要證平面，應(yīng)如何入手？ 運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理，需證明與平面內(nèi)兩相交直線垂直。找出這兩條直線的過(guò)程可以鍛煉分析已知條

6、件以及看圖能力；證明直線間的垂直關(guān)系的過(guò)程可以鞏固對(duì)兩非零向量的“數(shù)量積為0”的幾何意義的認(rèn)識(shí)。教師從“要證平面”出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生考慮直線與平面垂直的判定條件，讓學(xué)生討論：應(yīng)證明與哪些線段垂直，用向量方法怎樣證？在討論的基礎(chǔ)上，由學(xué)生自已寫(xiě)出主要證明過(guò)程，即（已知），平面。解析 (2)證明：依題意得又故 所以。由已知，且。所以平面問(wèn)題6：考慮例4（3），要計(jì)算二面角的大小，應(yīng)如何入手？ 計(jì)算二面角的大小，首先要找出其平面角，轉(zhuǎn)而計(jì)算平面角的大小。計(jì)算角的大小時(shí)，向量是非常有力的工具。解決這個(gè)問(wèn)題可以鞏固對(duì)運(yùn)用向量方法求角度的掌握。教師從“計(jì)算二面角的大小”出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生如何找出相應(yīng)的平面角，讓學(xué)

7、生討論：哪個(gè)角是二面角的平面角，用向量方法怎樣計(jì)算它的大小？教師引導(dǎo)學(xué)生考慮：點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)計(jì)算是否重要？怎樣利用題中條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)？讓學(xué)生通過(guò)討論寫(xiě)出確定點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程，再進(jìn)一步考慮并表達(dá)通過(guò)計(jì)算的過(guò)程。法一：（3）已知，由（2）可知故是二面角的平面角。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則因?yàn)?，所以即因?yàn)樗运渣c(diǎn)有坐標(biāo)為又點(diǎn)的坐標(biāo)為所以因?yàn)樗约炊娼堑拇笮?法二：法向量法：由已知可證平面，平面.故平面法向量平面法向量故二面角為法三：方向向量法：過(guò)、分別作棱的垂線、垂足、，仿法一求、坐標(biāo).只求即為所求. 同學(xué)們課后練習(xí).問(wèn)題7：考慮例4后的思考題1.思考題1可以使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量方法中坐標(biāo)化對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算所起的作用。學(xué)生結(jié)合剛討論過(guò)的例題，對(duì)思考題進(jìn)行思考和討論，教師適當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)。注意不要就題論題，而要透過(guò)例題看到解題中的基本想法。師：你能不建立坐標(biāo)系，用向量法完成證明嗎？學(xué)生嘗試，教師指導(dǎo)證明（1）不共面,為一個(gè)基底,取中點(diǎn)為，則，面，面.（2）=.，.又，面.（3）面.，.即為二面角的平面角.不妨設(shè).則，. ，. 問(wèn)題8：考慮例4后的思考題2.思考題2可強(qiáng)化綜合法，理會(huì)各方法的簡(jiǎn)繁，靈活選用三種方法解題.綜合法怎樣題：作，證，求。你能解求出嗎？請(qǐng)課后練習(xí).小結(jié)立體幾何中的不同方法。加