第六章--對流換熱基本方程

1、2021/8/141第六章第六章 對流換熱基本方程對流換熱基本方程 2021/8/142第六章第六章 對流換熱基本方程對流換熱基本方程 2021/8/1436-1 質量守恒與連續(xù)性方程質量守恒與連續(xù)性方程 4如果研究對象取控制體，則有4 (6-1-1)4假設流場是二維的，如圖6-1所示?？刂企w為xy，點(x，y)處的速度為u和v，控制體內的質量為xy。方程(6-1-1)應用于該控制體中，得到4 (6-1-2) cvmminoutmqqt()()()uvx yu yv xuxyvyxxy 2021/8/1446-1 質量守恒與連續(xù)性方程質量守恒與連續(xù)性方程 4通過消去控制體體積xy，得到4 (6

2、-1-3)4對于三維流動，類似地可以得到4 (6-1-4)4這就是流體的連續(xù)性方程，用矢量形式表示，則為4 (6-1-5)4式中div表示散度，即4 (6-1-6) ()()0uvxy()()()0uvwxyz()0divV()()()uvwdivVxyz）2021/8/1454局部的質量守恒表達式也可以寫為4 (6-1-7)4即 4其中 為全導數(shù)，即4 (6-1-8)4 為當?shù)刈兓?。V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式變?yōu)?6-1 質量守恒與連續(xù)性方程質量守恒與連續(xù)性方程 ()0uvwuvwxyzxyz0DVD DDDuvwDxyz2021/8/1464 (6-1-9)4也可以用張量

3、形式寫出連續(xù)性方程，即4 (6-1-10)4其中i1，2，3。4對于不可壓流體，密度為常量， 0，則連續(xù)性方程為4 (6-1-11) 6-1 質量守恒與連續(xù)性方程質量守恒與連續(xù)性方程 0DdivVD()0ivxDD0uvwdivVxyz2021/8/1474將動量守恒定律應用于運動的流體(控制體)中，可以得到動量方程?？刂企w上的外作用力分為表面力(與表面積成正比，如壓力和粘性應力等)和體積力(與體積成正比，如重力和離心力等)。4考慮作用于控制體上的力平衡，有4 (6-2-1)4式中，n表示所討論的方向。4有關動量方程的推導，只扼要討論其二維情況。4圖6-2給出了二維有限控制體的動量變化和作用力

4、分析，將式(6-2-1)應用于x方向，得到4 (6-2-2) 6-2 動量方程動量方程 ()()()ncvmnmninoutMvq vq v222()()()()()0 xyxxxxyxyxu x yuyuuxyuv xuvuvyxxyyxyxyFx yxy 2021/8/1486-2 動量方程動量方程 圖6-2 二維控制體在x方向上的力平衡 2021/8/1494等式兩邊同除以，得到4 (6-2-3)4考慮前面得到的連續(xù)性方程(6-1-4)，有4 (6-2-4)4式(6-2-4)中的法向應力 和切向應力 由下式給出：4 (6-2-5) 4 (6-2-6) 6-2 動量方程動量方程 ()xyx

5、xDuDuvuFDDxyxy xyxxDuFDxy yxy22()3xuuvPxxy()xyuvyx2021/8/14104將應力關系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的納維-斯托克斯方程：4 (6-2-7)4如果流體是常物性和不可壓縮的，則上式簡化為4 (6-2-8)4下面給出了直角坐標系下的三維、常物性、不可壓縮流體的納維-斯托克斯(N-S)方程：4 (6-2-9)4 (6-2-10) 6-2 動量方程動量方程 22()()3xDuPuuvuvFDxxxxyyyx 2222()()xuuuPuuuvFxyxxy 222222()()xuuuuPuuuuvwFxyzxxyz

6、222222222222()()()()yzvvvvPvvvuvwFxyzyxyzwwwwPwwwuvwFxyzzxyz 2021/8/14114為簡潔，可以表示為向量形式：4 (6-2-12)4由熱力學知 (6-2-13)4一般 ， 不為零，但dP、dT較小時可以認為d0, =常數(shù)。 6-2 動量方程動量方程 2DVFPVD ( , )f P T()()TPddPdTPT()TP()PT2021/8/14124 6 -3 能量方程能量方程 convconddQdQdWdE2021/8/14136 -3 能量方程能量方程 圖6-3 控制體能量平衡 2021/8/141446-3 -1 熱對流攜

7、的凈能量熱對流攜的凈能量 4單位質量流體的總能量e 由熱力學能與宏觀動能組成，稱為總能：4 (6-3-2) 4x 方向流體攜入控制體的凈能量為uedydz與 之差，即 4類似地可以得到y(tǒng) 、z方向流體凈攜入的能量為4 和 4因而，單位時間內流體通過界面凈攜入控制體的能量為dE或6 -3 能量方程能量方程 12eU222（u +v +w ）dxdydz( ue)uedydz+xdxdydz( ue)xvdxdydzy(e)wdxdydzz(e)convuvwdQdxdydzxyz (e)(e)(e)2021/8/141546 -3 -2 通過導熱在界面導的凈能通過導熱在界面導的凈能4x方向凈導能

8、量為4 與 之差，即4 由傅里葉定律6 -3 能量方程能量方程 xq dydz()xxqqdx dydzxxqdxdydzxxTqx 2021/8/14166 -3 能量方程能量方程 4因而x方向凈導的能量可寫為：4 類似的，y、z方向的凈導的能量為：4 和 ()Tdxdydzxx()Tdxdydzyy()Tdxdydzzz2021/8/14176 -3 能量方程能量方程 46-3-3 控制體內總能控制體內總能t 隨時間的變化率隨時間的變化率4控制體內總能量隨時間的變化率為4能量守恒方程4 (6-3-5) 4dW 將在后面詳細討論。引入連續(xù)性方程，上式整理為4 (6-3-6) 4也可以將總能量

9、分為熱力學能和動能即4 (6-3-7) () edEdxdydz()()()()()()()ueveweTTTdxdydzdxdydzdWxyzxxyyzzedxdydz()()()DeTTTdxdydzdxdydzdWDxxyyzz12eU222（u +v +w ）2021/8/14186 -3 能量方程能量方程 46-3-4 界面上作用力對流體作的功界面上作用力對流體作的功4作用力由表面力(粘性力和靜壓力)和體積力組成。x方向的凈功為4類似地，y、z方向作用力的凈功為4三項之和為總功dW。 xpF u dxdydzxyzxyxxxzx（u）（u）（u）（ u）ypvF v dxdydzxy

10、zyxyyyzy（v）（v）（w）（）zpwF w dxdydzxyzzyzzyxz（w）（w）（w）（）2021/8/14196 -3 能量方程能量方程 4dW 減去x、y 和z方向的動量方程分別乘以u、v、w和dxdydz 的積，可以得到 4 (6-3-8) 4定義上式等號右邊方括號內各項為，則方程簡化為4 (6-3-9) 2221()2()()()()xxyxzxxyyyzyxzyzzzDdWuvwdxdydzDuuuvvvwwwdxdydzxyzxyzxyzuvwpdxdydzxyz2221()()2DuvwdWuvwdxdydzdxdydzpdxdydzDxyz2021/8/1420

11、6 -3 能量方程能量方程 4即，體積力和表面力所作的功等于流體動能的變化、體積變形時壓力作的功和耗散之和。整理可得4 (6-3-10) 4稱為能量耗散函數(shù)它是單位時間作用在控制體上的(法向和切向)粘性力由于摩擦而作的功轉變?yōu)闊崮艿牟糠郑梢员硎? (6-3-11) 4對于不可壓縮流體，divV = 0 ，有關項可以略去。低速流動時，耗散項很小，可以不計。能量方程也可以通過焓的形式變換，得到溫度形式的能量方程。熱力學定義焓為4 (6-3-12) ()()()()DUTTTuvwpDxxyyzzxyz22222222()()()()3vwuvuwvwyzyxzxzyy222uuvw（） （） （

12、）xxzphU2021/8/14216 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-13) 4焓是熱力學狀態(tài)函數(shù)，可以寫為h = h( T , p )。則4 (6-3-14) 4由熱力學微分關系式，得4 (6-3-15) 4定義體脹系數(shù) ，得到 21DhDUDpp DDDDD()()()pTpThhhdhdTdpc dTdpTpp1()1()TphTpT1()vpT 2021/8/14226 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-16) 4將式(6-3-13 )、(6-3 -16 )代入式(6 -3 -10 ) ，經(jīng)整理得到能量方程4 (6-3-17)4對于理想氣體， ，上式簡化為1(1)pvdhc

13、 dTT dp()()()pvDTTTTDpcTDxxyyzzD1vT()()()pDTTTTDpcDxxyyzzD2021/8/14236 -3 能量方程能量方程4對于不可壓縮流體，v = 0，若忽略耗散函數(shù)，式(6-3-17 )變?yōu)椋? 其向量形式為4 (6-3-20) 4熱物性是常數(shù)時，可以寫為4 (6-3-2 1) ()()()TTTxxyyzzpDTcD （T）2pDTcTD 2021/8/14246-4 熵方程熵方程 4與連續(xù)性方程的推導類似，可以得到控制體的熵方程4 (6-4-1) 4式中：s 是比墑；divs是單位時間控制體內的熵流； 是熵產(chǎn)。4對于可逆過程，由熱力學知 4 (

14、6-4-2) DsdivssD s1()TDsDUpd2021/8/14256-4 熵方程熵方程 4實際熱力過程都是不平衡過程，但分析是基于局部熱力學平衡假設，式(6-4-2 )仍然適用。將式(6-3-10 )代上式，得到4 (6-4-3 ) 4因為 4得到 ( 6-4-4 ) 4 DsdivqTD 221()qTdivdivqTTT22()()DsqTdivDTTT 2021/8/14266-5 方程的封閉與求解方法方程的封閉與求解方法 2021/8/14276-5 方程的封閉與求解方法方程的封閉與求解方法 2021/8/14286-6 數(shù)量級分析數(shù)量級分析 4以一維非穩(wěn)態(tài)導熱為例說明數(shù)量級

15、分析。假設厚度為2的平板，溫度為t0，放入溫度為t的流體中，若流體與固體的換熱很好，固體表而溫度立刻達到流體溫度t，試估計平板中心感受到外部影響所需的時間。 2021/8/14296-6 數(shù)量級分析數(shù)量級分析 4考慮平板的對稱性，只需研究平板的一半，即厚度為。能量方程如下： 4 (6-6-l) 4估計各項的數(shù)量級大小。左側 4 (6-6-2) 4右側 4 (6-6-3) 22pttcxppttcc222()ttttxxx 2021/8/14306-6 數(shù)量級分析數(shù)量級分析 4考慮式(6-6-2)與式(6-6-3 )相等，得到 4 (6-6-4) 4式中， ，是熱擴散率。4可見，通過數(shù)量級分析可

16、以十分簡單地獲得滲透時間的數(shù)量級，與傅里葉分析相比，兩者吻合得很好，但計算量則少得多。數(shù)量級分析的突出特點，是在眾多的影響因索中可以給出主導過程特性的物理量，這一點將在以后的分析中更清楚地表明。數(shù)量級分析法則如下：4( 1 ) 通常要確定數(shù)量級分析的區(qū)域空間，例如前面討論的非穩(wěn)態(tài)導熱的，或邊界層流動的。4( 2 ) 任何方程中至少有兩個數(shù)量級相等的主要控制項。2apac2021/8/14316-6 數(shù)量級分析數(shù)量級分析 4( 3 ) 如果兩項之和4c = a+b (6-6-5) 4中一項遠大于另一項，即4O(a) O(b) (6-6-6) 4則和的數(shù)量級大小由主要項決定：4O(c) O(a) (6-6-7)4C = a-b或c = -a+b 的情況類似。4