東南大學(xué)DSP第五章習(xí)題課

1、第五章習(xí)題課：IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一、重點(diǎn)內(nèi)容 濾波器是指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分量充分地衰減，同時(shí)保留需要的頻率分量的一類系統(tǒng)，濾波器在信號(hào)傳輸與信號(hào)處理中起重要作用。 模擬濾波器和數(shù)字濾波器的概念相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波的方法不同。模擬濾波器要用硬件電路來實(shí)現(xiàn)，而數(shù)字濾波器是把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成所要求的輸出序列，從而完成濾波功能。因此，數(shù)字濾波器就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。本章邏輯思路是數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述；模擬濾波器設(shè)計(jì)；脈沖響應(yīng)不變法；雙線性變換法；IIR數(shù)字濾波器的頻率變換和其它設(shè)計(jì)法。1.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)概述1.1數(shù)字濾波器的分類 （1）經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器 經(jīng)典濾波器

2、即一般濾波器，用于分離加性組合的信號(hào)，要求輸入信號(hào)中有用頻譜和希望濾去的頻譜各占不同的頻段，通過一個(gè)合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的。 現(xiàn)代濾波器理論研究的主要內(nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄中估計(jì)出信號(hào)的某些特性或信號(hào)本身。該濾波器把信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)，利用它們的統(tǒng)計(jì)特性導(dǎo)出一套最佳的估值算法。 比較以上兩種濾波器，它們的區(qū)別有： a.信號(hào)和干擾的頻帶相互是否重疊。 b.濾波方式不一定在頻域?qū)崿F(xiàn)。 （2）IIR和FIR濾波器 數(shù)字濾波器的差分方程的一般形式為 如果式中，k =1，2N，這就是FIR DF，如果式中有非零值，這就是IIR DF。這兩類濾波器無論在性能上還是在設(shè)計(jì)方法上都有很大區(qū)別

3、，所以我們?cè)谠O(shè)計(jì)DF時(shí)按此角度分類DF。 （3）低通、高通、帶通、帶阻濾波器我們通常用的數(shù)字濾波器是選頻濾波器，選頻濾波器按其幅頻特性來分可分成低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻（BS）四種類型。這四種濾波器理想的幅頻響應(yīng)如P.133圖5-1所示，由圖可見：a.數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2為周期的，LP頻帶處于2的整數(shù)倍附近，而HP頻帶處于的奇數(shù)倍附近，這一點(diǎn)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)有區(qū)別。b.有時(shí)為了簡(jiǎn)化，也因?yàn)榉l響應(yīng)的偶對(duì)稱和周期性，在繪制數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)時(shí)，只給出部分特性，這完全是可以的。c.圖中的幅頻特性是理想的特性，在實(shí)際中是不可實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兯鶎?duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)有過

4、沖和振鈴現(xiàn)象，而且是非因果的。所以可以想見，我們?cè)O(shè)計(jì)出的濾波器都是在某些準(zhǔn)則下對(duì)理想濾波器的近似，但這保證了物理可實(shí)現(xiàn)，而且能保證因果穩(wěn)定。1.2技術(shù)指標(biāo)描述濾波器的指標(biāo)通常在頻域中給出，由前面的討論可知：由上式可知系統(tǒng)頻響可以由系統(tǒng)函數(shù)得到，所以設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器就是設(shè)計(jì)相應(yīng)技術(shù)指標(biāo)要求下的，這等同于設(shè)計(jì)，而幅頻特性則表示信號(hào)通過濾波器后頻率成分衰減的情況，所以IIR數(shù)字濾波器通常就是用作技術(shù)指標(biāo)。理想濾波器是非因果的，而實(shí)際濾波器必須是物理可實(shí)現(xiàn)的，所以一定是因果的，另外還要考慮（逼近后）系統(tǒng)的易實(shí)現(xiàn)性和成本問題，所以實(shí)際的數(shù)字濾波器總是在通帶中允許一定的容限，阻帶中允許另外一個(gè)容限，而

5、且在通帶與阻帶之間有一個(gè)過渡帶。P.133圖5-2是典型IIR低通濾波器的幅頻響應(yīng)容限圖。在設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，并不是直接作的容限圖，而是作樣板圖，即用再定義一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，稱為衰減值，其定義為例如低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)描述包括通帶截止頻率（邊界頻率），及在處最大衰減，定義為 還包括阻帶截止頻率（邊界頻率），及在處的最小衰減，定義為 共四個(gè)技術(shù)指標(biāo)、?？梢韵胍姼咄āê蛶ё钄?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)與低通類似，亦用樣板圖給出。由于在數(shù)字濾波器中是用弧度表示的，而從實(shí)際任務(wù)中明確技術(shù)要求時(shí)是用實(shí)際頻率f（單位Hz）表示的，所以需用公式來轉(zhuǎn)換。即f 指標(biāo)到指標(biāo)必須給定采樣頻率（單位Hz）。1.3設(shè)計(jì)方

6、法 （1）設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的一般步驟就廣義而言，數(shù)字濾波器是一個(gè)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)。設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器的一般步驟是：a.按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求，通常就是樣板圖。b.用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近這個(gè)性能要求。c.用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。在上面三個(gè)步驟中，第二步是關(guān)鍵。由于IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 所以IIR濾波器的設(shè)計(jì)，在數(shù)學(xué)上講，就是求出各系數(shù)、或者、，使濾波器性能逼近給定的性能要求。 （2）設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法設(shè)計(jì)IIR DF的方法一般有三種，即：a.零、極點(diǎn)位置累試法根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值，在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值的特

7、點(diǎn)來設(shè)置零、極點(diǎn)以達(dá)到性能要求，這種方法只適用于簡(jiǎn)單濾波器的設(shè)計(jì)。b.利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器由于模擬濾波器綜合理論已發(fā)展的相當(dāng)成熟；數(shù)字濾波器在很多情況下能兼容模擬濾波器；更由于數(shù)字濾波器性能指標(biāo)是相應(yīng)模擬濾波器性能指標(biāo)的周期延拓，所以完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。c.最優(yōu)化設(shè)計(jì)法最優(yōu)化設(shè)計(jì)法又稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法，因?yàn)檫@種方法一般分兩步來進(jìn)行：第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則；第二步求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)、，這一步需要進(jìn)行大量迭代運(yùn)算，故要靠計(jì)算機(jī)來完成。在以上幾種方法中，本章主要討論第二種方法。但隨著計(jì)算機(jī)的普及，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法也日益發(fā)展。

8、（3）利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器這種方法的設(shè)計(jì)過程是：首先根據(jù)所給的濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，然后“設(shè)法”將它轉(zhuǎn)換到數(shù)字域中以形成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)。由此過程可知：a.這種方法的設(shè)計(jì)原型是模擬濾波器，而原型中的原型又是模擬低通濾波器。b.要想利用模擬低通濾波器作設(shè)計(jì)原型，根據(jù)濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟可知，在進(jìn)入低通原型的設(shè)計(jì)指標(biāo)將有一次之間的變換，而走出模擬低通原型的設(shè)計(jì)結(jié)果將有另一次sz之間的變換。c.“設(shè)法”將轉(zhuǎn)移函數(shù)從S平面變換到Z平面有許多方法，但工程上常用“脈沖響應(yīng)不變法”和“雙線性變換法”。d.在以上變換中，一般要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)能保留

9、原模擬濾波器頻率響應(yīng)的主要特性，為此，對(duì)變換關(guān)系提出如下要求：其一：使S平面的虛軸轉(zhuǎn)換到Z平面的單位圓上，即頻響“不變”。 其二：使S平面的左半平面轉(zhuǎn)換到Z平面的單位圓內(nèi)，即因果穩(wěn)定性“不變”。2.模擬濾波器設(shè)計(jì)2.1模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求 （1）由于高通、帶通和帶阻濾波器的傳輸函數(shù)都能經(jīng)過頻率變換由低通濾波器傳輸函數(shù)求得，故把低通濾波器稱為原型低通濾波器。不論設(shè)計(jì)何種濾波器，都是先把該種濾波器的技術(shù)要求轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的低通濾波器的技術(shù)要求，然后設(shè)計(jì)低通濾波器的傳輸函數(shù)，然后再經(jīng)過頻率變換將變換為所求的濾波器的傳輸函數(shù)。因此我們先研究低通濾波器的設(shè)計(jì)方法。 （2）低通濾波器的技術(shù)要求為通帶截止頻

10、率通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶最小衰減上述四個(gè)量的含義可以用樣板圖來表示。s · p · · (rad/s) 0 p s 以上技術(shù)要求中的定義為 由上式可知，和成反比，故稱為衰減值。該值本質(zhì)上仍是幅頻特性。2.2對(duì)給定技術(shù)條件的逼近方法在給定要求的技術(shù)條件之后，要找出一個(gè)或使之近似地符合給定的技術(shù)指標(biāo)。但這個(gè)表示式不容易直接用多項(xiàng)式或有理式來逼近，所以需要找一個(gè)能夠用多項(xiàng)式或有理式逼近的函數(shù)，此函數(shù)稱為特征函數(shù)，以表示，它定義為 結(jié)合的定義式，可以得到 及 等于一個(gè)以為自變量的多項(xiàng)式或有理式。例如式中，都是常數(shù)再例如式中，為一待定常數(shù)，n為正整數(shù)當(dāng)然，還有其他的形

11、式。一些學(xué)者已經(jīng)作了很多研究工作，我們只討論以上兩種形式，分別稱為巴特沃思逼近和切比雪夫逼近。以上這些逼近方法只考慮了幅度特性的逼近而沒有考慮相位特性的逼近。如對(duì)相位有較高要求，則需要在上述濾波器之后再加全通濾波器來校正其相位。由于各濾波器所需要的頻率范圍很不相同，為了使設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化，常將所用的頻率歸一化。即設(shè)定某一頻率為參考頻率，并令參考頻率的歸一化值為1，將其他頻率與這個(gè)頻率的比值作為其他頻率的歸一化值。歸一化后，濾波器的計(jì)算方法不會(huì)因頻率的絕對(duì)值高低而異。并可由統(tǒng)一的圖表或曲線，再轉(zhuǎn)換為真實(shí)頻率對(duì)應(yīng)的傳輸函數(shù)。2.3由幅度平方函數(shù)確定傳輸函數(shù)在討論具體的逼近函數(shù)之前，還需要進(jìn)行一項(xiàng)工作，即如

12、何由給定的（或，稱為幅度平方函數(shù)）求出或。因?yàn)?由于濾波器沖激響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，因而具有共軛對(duì)稱性 所以 現(xiàn)在的問題是要由已知的求得。下面作一般性討論： （1）由P.139圖5-5可知：的零、極點(diǎn)分布成象限對(duì)稱，特別地，在虛軸上的極點(diǎn)或零點(diǎn)一定是二階的，但對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，在虛軸上沒有極點(diǎn)。 （2）任何實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，而穩(wěn)定系統(tǒng)的傳輸函數(shù)的極點(diǎn)一定落在S平面的左半平面，所以左半平面的極點(diǎn)一定屬于，而右半平面的極點(diǎn)必屬于。 （3）零點(diǎn)的分布無此限制，它只和濾波器的相位特征有關(guān)。如要求最小相位延時(shí)特性，則應(yīng)取左半平面零點(diǎn)。如無特殊要求，則可將對(duì)稱零點(diǎn)的任一半（應(yīng)為共軛對(duì)）取為的零點(diǎn)，則滿足解

13、的就是多個(gè)。 （4）最后，按照與的低頻特性的對(duì)比，即，或高頻特性的對(duì)比，確定增益常數(shù)k。 綜合以上四點(diǎn)，即由求出的的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益常數(shù)，則可完全確定傳輸函數(shù)。P.139例5-1。 2.4巴特沃思低通濾波器 巴氏低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為 式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)；為通帶截止頻率（通常給定）；為3 dB截止頻率，當(dāng)時(shí)，所以是濾波器的電壓-3dB點(diǎn)或稱半功率點(diǎn)。（1）幅度響應(yīng)的特點(diǎn) 巴氏低通濾波器的特點(diǎn)如下： a.當(dāng)時(shí)，即在處無衰減； b.當(dāng)時(shí)，。且當(dāng)時(shí)，不管N為多少，所有特性曲線都通過-3dB點(diǎn)，或者說衰減為3dB。這就是3dB不變性； c.當(dāng)時(shí)，即通帶內(nèi)巴氏低通濾波器有最大平坦的

14、幅度特性，即N階巴氏低通濾波器在處幅度平方函數(shù)的前2N-1階導(dǎo)數(shù)為零，因而巴氏濾波器又稱為最平坦幅度特性濾波器。隨N由0增大，單調(diào)減小，N越大，通帶內(nèi)特性越平坦。 d.當(dāng)時(shí)，隨增加而單調(diào)減小，N越大，衰減速度越大。以上特點(diǎn)可見P.140圖5-6。（2）傳輸函數(shù)的確定 在設(shè)計(jì)模擬低通濾波器時(shí)，所給技術(shù)要求為通帶指標(biāo)、；阻帶指標(biāo)、，因此，根據(jù)給定的通帶指標(biāo)可得 由此可得參數(shù)為 根據(jù)給定的阻帶指標(biāo)可得 由此解得濾波器的階數(shù)N為滿足下式的最小整數(shù) （N取整數(shù)）得到了濾波器的參數(shù)和階數(shù)N后，就可以確定零、極點(diǎn)形式的傳輸函數(shù)。根據(jù)關(guān)系式 可得 （1）由此式可求出的極點(diǎn)，其中位于S左平面的極點(diǎn)為的極點(diǎn)（系統(tǒng)

15、穩(wěn)定），而其余極點(diǎn)為的極點(diǎn)。 （3）歸一化巴氏濾波器的傳輸函數(shù)為了使設(shè)計(jì)計(jì)算簡(jiǎn)化，這里選擇作為歸一化的參考頻率。令，則式（1）變?yōu)?令上式分母多項(xiàng)式等于零，即 得 ， k =0，1，2N-1這2N個(gè)極點(diǎn)均勻分布在S平面以原點(diǎn)為中心，半徑為的圓上，相距為弧度。其中，一半位于S平面的左半平面，另一半位于S平面的右半平面。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，取在S平面左半平面的N個(gè)根作為的極點(diǎn)，即 ， k =0，1，N-1這樣 最后，將去歸一化，即把代入，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)。綜合（2）和（3），對(duì)于給定模擬低通濾波器通帶技術(shù)指標(biāo)、和阻帶技術(shù)指標(biāo)、后，采用巴氏方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的步驟為a.計(jì)算參數(shù) b.計(jì)算濾波

16、器的階數(shù)N 式中N取整數(shù)，為歸一化阻帶截止頻率。c.計(jì)算濾波器的傳輸函數(shù) P.141例5-2。（4）巴氏濾波器的圖表法設(shè)計(jì)由于模擬濾波器的理論已相當(dāng)成熟，很多常用濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)已表格化和圖形化，如P.142表5-1和圖5-7 所示。借助這些表格和圖形可以很方便地設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的濾波器。因此，實(shí)際中更多采用圖表法。需要特別指出的是，一般給出的巴氏圖表均是以3 dB截止頻率為參考頻率（而非通帶截止頻率）進(jìn)行歸一化的，因此，在利用圖表法設(shè)計(jì)巴氏濾波器之前，需先用通帶指標(biāo)、或阻帶指標(biāo)、計(jì)算出來。由通帶和，求得為 利用上式求，通帶指標(biāo)正好滿足，但阻帶指標(biāo)有富裕量。由阻帶和，求得為 利用上式求，阻帶指標(biāo)正

17、好滿足，但通帶指標(biāo)有富裕量。圖表法設(shè)計(jì)濾波器的基本步驟如下：a.將頻率歸一化；b.由歸一化頻率一幅頻特性曲線（P.143圖5-7），查得階數(shù)N；c.查P.142表5-1，得到歸一化傳輸函數(shù)的分母多項(xiàng)式；d. 去歸一化，將代入，得到實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù)P.143例5-3。2.5切比雪夫低通濾波器相比巴氏方法，更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。切比雪夫?yàn)V波器就是具有等波紋特性的一種濾波器。切比雪夫?yàn)V波器的

18、幅頻特性在通帶或阻帶內(nèi)具有等波紋特性。如果幅頻特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調(diào)的，稱為切比雪夫I型。相反情況，則稱為切比雪夫II型。具體用哪一種由實(shí)際情況定。切氏濾波器的設(shè)計(jì)和巴氏濾波器的設(shè)計(jì)一樣，設(shè)計(jì)方法相當(dāng)成熟，所以對(duì)它的介紹完全可以僅了解它它的設(shè)計(jì)步驟。 （1）幅度平方函數(shù)以切氏I型濾波器為例來討論，幅度平方函數(shù)為 （2）式中，為小于1的正數(shù)，它是表示通帶波紋大小的一個(gè)參數(shù)，是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 通過對(duì)的研究可得P.146表5-2和圖5-9.由圖5-9多項(xiàng)式特性曲線可以看出：時(shí)，在之間波動(dòng)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)上升。則切氏濾波器的幅度平方函數(shù)的特性是：a.當(dāng)時(shí)，的值將在1與之間變化。

19、由式（2）即為，也就是在通帶范圍內(nèi)，此時(shí)的在1與之間波動(dòng)；b.在時(shí)，也就是時(shí)，隨著的增大迅速趨于零。P.146圖5-10是按式（2）畫出的切氏濾波器的幅度平方函數(shù)。由圖5-10還可見N為偶數(shù)，在處的值為，是最小值；N為奇數(shù)，在處的值為1，是最大值。 （2）參數(shù)的確定與巴氏設(shè)計(jì)方法一樣，切氏設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)的步驟是：a.計(jì)算參數(shù) b.計(jì)算濾波器的階數(shù)N c.計(jì)算歸一化系統(tǒng)函數(shù) 式中，；，和由P.148式（5-47）求得。d.將去歸一化，即把代入，得到實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù) P.148例5-5。 （3）切氏濾波器的圖表法設(shè)計(jì)同巴氏濾波器一樣，切氏濾波器也可以采用圖表法進(jìn)行設(shè)計(jì)，其

20、步驟如下：a.頻率歸一化，得到和，注意，對(duì)于切氏濾波器的表格曲線，沒有特指3dB頻率點(diǎn)；b.根據(jù)和查歸一化頻率一幅頻特性曲線（P.149圖5-11），查得階數(shù)N；c.根據(jù)給定的通帶內(nèi)最大衰減，查P.149表5-3得（此值已列于表5-3的上部）；d.查表得到歸一化傳輸函數(shù)的分母多項(xiàng)式；e. 去歸一化，將代入，得到實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù)。P.150例5-6。2.5模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通和帶阻濾波器的傳輸函數(shù)可以通過頻率變換從模擬低通變換到所需要的類型，從而不用對(duì)它們的表達(dá)式單獨(dú)設(shè)計(jì)。我們前面所研究的低通濾波器設(shè)計(jì)實(shí)際上是一個(gè)原型低通濾波器設(shè)計(jì)，其它形式的濾波器設(shè)計(jì)可以由此濾波器通過頻率變

21、換得到。下圖給出了反映這種設(shè)計(jì)思想的流程圖： 待求濾波器的傳輸函數(shù)低通原型傳輸函數(shù)低通原型指標(biāo)給定技術(shù)指標(biāo) 頻率變換 原型設(shè)計(jì) 頻率變換由上圖可見，在整個(gè)設(shè)計(jì)流程中共有兩次頻率變換，第一次頻率變換是技術(shù)指標(biāo)之間的變換，而第二次頻率變換是傳輸函數(shù)之間的變換。為了避免符號(hào)上的混亂，先將所用符號(hào)作如下規(guī)定：頻率變換中一些符號(hào)的規(guī)定變量名稱 原型低通濾波器 待求（高通、帶通、帶阻）濾波器未歸一化的拉氏變量 s未歸一化的傳輸函數(shù) H(s)未歸一化的頻率 歸一化的拉氏變量 p q歸一化的傳輸函數(shù) G(p) H(q)歸一化的頻率 ( = p/j ) ( = q/j )通過對(duì)原型低通濾波器技術(shù)指標(biāo)頻率特征點(diǎn)與

22、其它模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)頻率特征點(diǎn)比對(duì)關(guān)系的討論,可以得到低通到高通、通帶和帶阻的二次頻率變換關(guān)系，現(xiàn)將討論結(jié)果歸納如下表所示。模擬濾波器的頻率變換濾波器類型 歸一化低通濾波器G(p) 要求設(shè)計(jì)的濾波器H(s)的技術(shù)指標(biāo)要求低通G(p)低通H(s) 低通G(p)高通H(s) 低通G(p)帶通H(s) 低通G(p)帶阻H(s) 表中,p表示所要求濾波器的通帶截止頻率，p2和p1表示所要求濾波器的通帶上下截止頻率，s表示所要求濾波器的阻帶截止頻率，s2和s1表示所要求濾波器的阻帶上下截止頻率，0是濾波器的通帶中心頻率，B是濾波器的通帶（或阻帶）帶寬，a是一個(gè)取決于濾波器類型的歸一化參數(shù)。這些參數(shù)的定

23、義如下： 歸一化參數(shù)a的取值，要視所設(shè)計(jì)濾波器的類型而定。當(dāng)所設(shè)計(jì)濾波器是巴特沃思或切比雪夫?yàn)V波器時(shí)，a = 1。當(dāng)所設(shè)計(jì)濾波器是橢圓濾波器時(shí)，對(duì)于低通，a?。粚?duì)于高通，a取；對(duì)于帶通，a??；對(duì)于帶阻，a取。3. 脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，下表是模擬濾波器和數(shù)字濾波器描述方式的比較，從中能找到數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器可能的角度。濾波器的描述方式模擬濾波器數(shù)字濾波器微分方程差分方程沖激響應(yīng)h(t)單位脈沖響應(yīng)h(n)傳輸函數(shù)H(s)傳輸函數(shù)H(z)頻率響應(yīng)函數(shù)H(j)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)當(dāng)然濾波器之間的“模仿”，在數(shù)學(xué)上就是一種“逼

24、近”，即完成S平面到Z平面的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足兩個(gè)基本要求： （1）頻響的關(guān)系不變。要求H(z)的頻響要逼近H(s)的頻響；同時(shí)，應(yīng)該與是線性關(guān)系以保持頻響的形狀不變。 （2）因果穩(wěn)定的關(guān)系不變。要求將S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。脈沖響應(yīng)不變法是從時(shí)域出發(fā)，使數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t),即使h(n)等于ha(t)的采樣值。3.1變換原理 （1）基本思路從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)逼近模擬濾波器的脈沖響應(yīng)ha(t),使h(n)等于ha(t)的采樣值，即 h(n) =ha(nT)式中，T為采樣周期。 （2）轉(zhuǎn)換步驟

25、由以上基本思路可以建立轉(zhuǎn)換步驟如下： 下面根據(jù)以上步驟研究已經(jīng)獲得了滿足性能要求的模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)后，怎樣根據(jù)脈沖響應(yīng)不變法求與之對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則可將Ha(s)展開成部分分式形式 按步驟，對(duì)Ha(s)取拉氏反變換，即 按步驟，對(duì)ha(t)采樣得到ha(nT)，即 按步驟，令h(n) =ha(nT)按步驟，對(duì)h(n) 進(jìn)行Z變換，得到所需數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 對(duì)比Ha(s)和H(z)，當(dāng)將Ha(s)和H(z)展開成部分分式形式的時(shí)候，S平面上的一個(gè)極點(diǎn)s=si對(duì)應(yīng)Z平面上的

26、一個(gè)極點(diǎn)，而Ha(s)與H(z)的部分分式中所有對(duì)應(yīng)系數(shù)不變。應(yīng)特別注意：這種Ha(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，必須將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式。3.2對(duì)脈沖響應(yīng)不變法的進(jìn)一步討論由于模擬濾波器單位沖激響應(yīng)的采樣值與數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)相等，故在研究的Z變換與的拉普拉斯變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，應(yīng)以采樣信號(hào)作為橋梁。 （1）與可以證明： 又脈沖響應(yīng)不變法是使，所以有 （2）與由第二章中的時(shí)域采樣定理可知 將延拓到整個(gè)S平面，即將代入上式，得 由（1）可得 上式表明和之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系必須先將在S平面上沿虛軸按照周期延拓后，再按照映射到Z平面上，就得到，所以可以想見，不是和之間有的關(guān)系，而是和之

27、間有的關(guān)系。這個(gè)概念其實(shí)就是第二章中離散時(shí)間系統(tǒng)拉氏變換與Z變換之間的關(guān)系。故脈沖響應(yīng)不變法又稱為標(biāo)準(zhǔn)Z變換法。3.3幾個(gè)結(jié)論在3.1和3.2中我們討論了脈沖響應(yīng)不變法，由此可以對(duì)脈沖響應(yīng)不變法結(jié)論如下： （1）的映射關(guān)系反映的是的周期延拓與的關(guān)系，而不是本身與的關(guān)系，因此使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從到并沒有一個(gè)由S平面到Z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即不存在一個(gè)的代數(shù)關(guān)系式。例如，極點(diǎn)之間有一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但零點(diǎn)之間就沒有。（2）由于是標(biāo)準(zhǔn)Z變換法，所以S平面和Z平面的映射關(guān)系可以達(dá)到映射應(yīng)滿足的兩個(gè)基本要求。 （3）由于是標(biāo)準(zhǔn)Z變換法，由第二章的討論可知，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響

28、應(yīng)的周期延拓，延拓周期為采樣角頻率，即 如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)的帶寬被限定在折疊頻率以內(nèi)，即 則數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)能夠重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，即 ，然而，任何實(shí)際的模擬濾波器都不是帶限的，因此數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)必然產(chǎn)生混疊失真，如P.160圖5-17所示。為了減少混疊失真，可以增大采樣頻率fs，即令采樣周期（T=1/fs）減少，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減少混疊失真。但當(dāng)采樣頻率很高時(shí)，即T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益會(huì)很高，要使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不受采樣頻率的影響，應(yīng)作以下修正，令 則有 及 ， 這樣，數(shù)字濾波器的增益不隨T變化。 （4）脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) a.

29、脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，所以時(shí)域逼近良好。b.模擬頻率與數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T，因而一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）可以映射成一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。c.由于頻率混疊效應(yīng)，脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器。高通和帶阻濾波器不宜采樣脈沖響應(yīng)不變法，否則要加保護(hù)濾波器，濾掉折疊頻率以上的頻率分量。對(duì)于帶通和低通濾波器，需充分的帶限，阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。P.161例5-10。4.雙線性變換法在上節(jié)中我們看到脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜的周期延拓產(chǎn)生的混疊失真，這是因?yàn)閺腟平面到Z平面不是一一映射的關(guān)系造成的。為了克服

30、這個(gè)缺點(diǎn)，可以采用雙線性變換法。4.1 變換原理 （1）基本思路雙線性變換法的基本思路是用表征數(shù)字濾波器H(z)的差分方程作為模擬濾波器所對(duì)應(yīng)的微分方程的近似解，其變換過程為 微分方程差分方程采用上述流程的還可以是其他變換法，而雙線性變換法的特點(diǎn)是在微分方程逼近差分方程的過程中采用了“梯形近似積分”。 （2）雙線性變換法克服頻譜混疊的原理雙線性變換法就是將代數(shù)變換式 （3）代入到模擬濾波器的傳輸函數(shù)中，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 雙線性變換法所以能克服頻混，這是因?yàn)槭剑?）所示的變換關(guān)系實(shí)際上是由兩步構(gòu)成的，即第一步：把S平面先變換到另一個(gè)復(fù)平面S1上，其變換關(guān)系為 （4）式中，

31、s1是S1平面上的復(fù)變量，T為采樣周期，th·為雙曲正切函數(shù)。令s1=j1，代入式（4），相對(duì)應(yīng)的，即 （5）由式（5）可知，S平面的虛軸j已由這種變換關(guān)系一一變換到S1平面的虛軸j1 到的頻段上，如P.163圖5-19所示。 第二步：按標(biāo)準(zhǔn)Z變換關(guān)系，把S1平面變換到Z平面上，其變換關(guān)系為 （6）令s1=j1，代入式（6），相對(duì)應(yīng)的，即 （7）由式（7）可知，S1平面上的虛軸由這種變換關(guān)系一一映射到Z平面的單位圓上，如P.163圖5-19所示。通過以上兩步變換，將式（5）和式（7）合并，可得出S平面虛軸上的模擬角頻率與Z平面單位圓上的數(shù)字角頻率的關(guān)系為 （8）由上式可知，S平面上與

32、Z平面上成非線性的正切關(guān)系，如P.164圖5-20所示。由圖可以看出，當(dāng)從0變到時(shí)，從0變到，因此采用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器不存在頻譜混疊失真。將式（4）和式（6）合并，可得出S平面和Z平面單值映射的關(guān)系為 或 （9）由上式可知，用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到了相應(yīng)的模擬濾波器的傳輸函數(shù)后，只要將相應(yīng)的變換關(guān)系代入，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即 4.2 S平面與Z平面的映射關(guān)系由4.1可知，雙線性變換法中S平面與Z平面的映射關(guān)系是非標(biāo)準(zhǔn)Z變換關(guān)系，所以需對(duì)此討論如下：將和代入式（9）得 （10） （11）由此可得出S平面與Z平面的映射關(guān)系，即 （1）當(dāng)時(shí)，S平面的虛軸確實(shí)與Z平

33、面的單位圓相對(duì)應(yīng)。 （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 （3）令式（11）中，則得模擬頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系，即 由上式可知，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系。由P.164圖5-20可見頻率標(biāo)度之間的非線性在高頻段較為嚴(yán)重，而在低頻段接近于線性，在線性段數(shù)字頻響能夠逼近模擬頻響。4.3 幾個(gè)結(jié)論 （1）主要優(yōu)點(diǎn)：依靠頻率的非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)j軸單值對(duì)應(yīng)于單位圓一周，消除了脈沖響應(yīng)不變法固有的頻譜混疊效應(yīng)。雙線性變換法比脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單，由于s與z之間存在簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，這要比脈沖響應(yīng)不

34、變法的部分分式分解便捷，所以從模擬系統(tǒng)函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 （2）主要缺點(diǎn)：與之間存在非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。另外，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，數(shù)字濾波器就不再保持線性相位特性。 （3）分段常數(shù)的頻響特性通過雙線性變換后仍保持分段常數(shù)的特性。大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)由于非線性頻率變換而產(chǎn)生畸變。這種畸變可以通過“預(yù)畸變”克服。 （4）所謂預(yù)畸變就是在給定數(shù)字濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率后，我們并不直接按照這個(gè)給定的數(shù)據(jù)去設(shè)計(jì)

35、原型模擬濾波器，而是先根據(jù)的關(guān)系求出相應(yīng)的和，然后根據(jù)和設(shè)計(jì)模擬原型，求出其傳輸函數(shù)，最后在利用代入求出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。P.165例5-11。5、IIR數(shù)字濾波器的頻率變換和其它設(shè)計(jì)法5.1 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器與設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)把設(shè)計(jì)模擬低通濾波器作為原型設(shè)計(jì)一樣，在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，可以把設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器作為“原型”設(shè)計(jì)。利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟是： （1）確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)要求：、。如果給出的是模擬技術(shù)要求、，可利用公式將邊界頻率進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 （2）將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率

36、的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （3）按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 （4）將模擬低通濾波器，從S平面轉(zhuǎn)換到Z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。5.2 數(shù)字濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器時(shí)常常借助于模擬濾波器，即先將所需要的數(shù)字濾波器技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為一個(gè)低通模擬濾波器的技術(shù)要求，然后設(shè)計(jì)這個(gè)原型低通模擬濾波器。在得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)（或）后，再變換為所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。將（或）變換為的方法通常有兩種，變換流程為下圖所示：數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬低通、高通、帶通、帶阻歸一化模擬低通原型 頻率 脈沖響應(yīng)變換法 變換 雙線性變換

37、法 第一種方法歸一化數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻歸一化模擬低通原型 脈沖響應(yīng)不變法 頻率 雙線性變換法 變換 第二種方法 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法對(duì)于第一種方法，重點(diǎn)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器。轉(zhuǎn)換公式見P.155表5-7。該方法的一般實(shí)現(xiàn)步驟： （1）確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （2）將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 （3）將所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)（轉(zhuǎn)換公式見P.155表5-7）。 （4）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 （5）將模擬低通濾波器通過頻

38、率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 （6）將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。對(duì)于第二種方法，由于其頻率變換是在離散域內(nèi)進(jìn)行的，因而可以避免脈沖響應(yīng)不變法由于頻響混疊嚴(yán)重而不適合用于設(shè)計(jì)高通、帶阻濾波器的限制。P.170表5-8列出了數(shù)字低通濾波器到其他類型數(shù)字濾波器的頻率變換關(guān)系式，進(jìn)一步的討論可見參考文獻(xiàn)1。5.3其它設(shè)計(jì)法前面我們介紹的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法是通過先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再進(jìn)行S平面到Z平面的映射來達(dá)到設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的目的。這種設(shè)計(jì)方法實(shí)際上是數(shù)字濾波器的一種間接設(shè)計(jì)方法，而且幅頻特性受到所選模擬濾波器特性的限制。對(duì)于要求任意幅度特性的濾波器，則不適合采用這種方法。本節(jié)介紹一種在數(shù)字域直接設(shè)計(jì)IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，這種算法需要借助于優(yōu)化設(shè)計(jì)理論和迭代算法來逼近所需的濾波器。首先初始化一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，然后計(jì)算該濾波器的幅頻響應(yīng)，并與要求的濾波器的幅頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)學(xué)上的比較，當(dāng)出現(xiàn)失配時(shí)，調(diào)整濾波器的系數(shù)值并重新計(jì)算，直到找到滿足要求的濾波器幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為止。由于這種逼近所需濾波器的方法常常需要解線性的或非線性的聯(lián)立方程組，這往往需要計(jì)算機(jī)來完