圓錐曲線題型總結(jié)

1、 1 圓錐曲線題型圓錐曲線題型 一一曲線方程曲線方程 1 1 定義法定義法 （ 1 ） (2011(2011年 高 考 廣 東 卷 第年 高 考 廣 東 卷 第1919題 （ 理 ）題 （ 理 ） ) ) 設(shè) 圓C與 兩 圓2222(5 )4 , (5 )4xyxy中的一個內(nèi)切，另一個外切。求圓 C 的圓心軌跡 L的方程; 解： （1）兩圓半徑都為 2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為1(5, 0)F 、2( 5, 0)F， 由題意得12| 2 | 2RCFCF 或21| 2 | 2RCFCF ， 1212| 42 5 |CFCFFF， 可知圓心 C 的軌跡是以12,F F為焦點的雙曲線，設(shè)方程為2

2、2221xyab，則 22224,2,5,1,1aacbcab，所以軌跡 L 的方程為2214xy 2 2 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 （2）已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為4 53和2 53，過P作長軸的垂線恰好經(jīng)過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程 3 3 方程法方程法 2 （3 3）(2011(2011 年高考廣東卷第年高考廣東卷第 2121 小題（理）小題（理）) ) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線:2l xx 交軸于點A，設(shè)P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上的一點，且滿足.MPOAOP 當(dāng)點P在l上與動時，求點M的軌跡E的方程； 解： （1）如圖 1，設(shè) MQ

3、 為線段 OP 的垂直平分線，交 OP 于點 Q， ,| |.MPQAOPMPlMOMP 且 因此22|2|,xyx即24(1)(1).yxx 另一種情況，見圖 2（即點 M 和 A 位于直線 OP 的同側(cè)） 。 MQ 為線段 OP 的垂直平分線， .MPQMOQ 又,.MPQAOPMOQAOP 因此 M 在x軸上，此時，記 M 的坐標(biāo)為( ,0).x 為分析( ,0)M xx中的變化范圍，設(shè)( 2, )Pa為l上任意點().aR 由| |MOMP （即22|(2)xxa）得， 2111.4xa 故( ,0)M x的軌跡方程為 0,1yx 綜合和得，點 M 軌跡 E 的方程為 24(1),1,

4、0,1.xxyx 二二 離心率離心率 3 1 1 找找, ,a b c等量關(guān)系，求出等量關(guān)系，求出e 1 若一個橢圓長軸的長度、 短軸的長度和焦距成等級差數(shù)列， 則該橢圓的離心率是 （ ） A 45 B 35 C 25 D 15 2 已知橢圓短軸上兩個頂點分別為1B，2B，焦點為1F，2F，若四邊形1122B FB F是正方形，則這個橢圓的離心率e等于（ ） A 22 B 12 C 32 D 33 2 利用橢圓焦點三角形利用橢圓焦點三角形面積面積2tan2Sb 3 若橢圓22221xyab（0ab）上存在點P，使得120PF PF ，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 3 利用雙曲線焦半徑最小值利

5、用雙曲線焦半徑最小值ca 4 已知雙曲線22221xyab（0,0ab）的左、右焦點分別為12(,0),( ,0).FcF c若雙曲線存在點P使1221sinsinPFFaPF Fc，則雙曲線的離心率的取值范圍是- 三三 焦點三角形（邊長與周長，角度與面積）焦點三角形（邊長與周長，角度與面積） 4 方法：余弦定理，基本不等式，方法：余弦定理，基本不等式，122PFPFa 1（2013 內(nèi)蒙古高三摸底考試）設(shè)雙曲線2218yx 的兩個焦點為1F，2F，P是雙曲線上的一點，且12:3:4PFPF ，則12PFF的面積等于（ ） A 10 3 B 8 3 C 8 5 D 16 5 2（06 年四川）

6、如圖把橢圓22221xyab的長軸分成 8 等分，過每個點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于127,P PP七個點。F是橢圓的一個焦點，則127PFPFPF 3（2000 全國）橢圓22194xy的焦點為12F F,，點P為其上的動點，當(dāng)12FPF為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是 4 P是橢圓22154xy上的點，12F F,是橢圓的焦點，若12FPF6，則12PFF的面積等于 四四 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線 5 1 （2013 福建省三明市高中畢業(yè)班質(zhì)檢）過雙曲線22221xyab（0,0ab）的左焦點 F作圓 O：222xya的兩條切線，切點為 A，B，雙曲線左頂點為 C，若0120ACB

7、，則雙曲線的漸近線方程為 2 已知雙曲線22219yxa的兩條漸近線與以橢圓221259xy的左焦點為圓心、165為半徑的圓相切，則漸近線方程為 五五 直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線 （一）（一）直線斜率問題直線斜率問題 1 12,A A是橢圓22143xy的左右頂點，動點P在橢圓上，直線2PA的斜率范圍為2, 1，求直線1PA的范圍 2 （2010 山東理）如圖，已知橢圓)0( 12222babyax的離心率 6 為22，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點21,FF 為頂點的三角形的周長為) 12(4，一等軸雙曲線 的頂點是該橢圓的焦點，設(shè) P 為該雙曲線上異于項點 的任一點，直線1PF和2PF

8、與橢圓的交點分別為 A、 B 和 C、D. （）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)直線1PF、2PF的斜率分別為1k、2k，證明：121kk； （）是否存在常數(shù)，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 本小題主要考查橢圓、雙曲線的基本概念和基本性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查坐標(biāo)第、定值和存在性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想和探求問題的能力。 解： （）設(shè)橢圓的半焦距為c， 由題意知2,224( 21)2caca 所以2 2,2ac 又222abc，因此2.b 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22184xy 由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)xymmm， 因為等軸雙曲線的

9、頂點是橢圓的焦點， 所以2m 因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22144xy （）設(shè)112200(,), (,), (,)A x yB xyP xy 則001200,22yykkxx 因為點 P 在雙曲線224xy上， 7 所以22004.xy 因此0001220001224yyyk kxxx 即121.k k （）由于 PF1的方程為1(2)yk x，將其代入橢圓方程得 2222111(21)8880kxk xk 由違達定理得221112122211888,2121kkxxx xkk 所以2211212|1()4ABkxxx x 22211122118881()42121kkkkk 212114 22

10、1kk 同理可得22221| 4 2.21kCDk 則221222122121111()|114 2kkABCDkk 又121k k 所以2222111122211121212121211123 2()()1|881114 21kkkkABCDkkkk 故3 2| |8ABCDABCD 因此，存在3 28， 使| |ABCDABCD恒成立。 （二）（二）直線與圓錐曲線相離直線與圓錐曲線相離 8 橢圓221259xy上點到直線23120 xy的最短距離 （三）（三）直線與圓錐曲線相切直線與圓錐曲線相切 (2012(2012 年高考廣東卷第年高考廣東卷第 2020 小題（文科）小題（文科）) )（

11、本小題滿分 14 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓22122:1(0)xyCabab的左焦點為1( 1,0)F ，且點(0,1)P在1C上 （1） 求橢圓1C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓1C和拋物線22:4Cyx相切，求直線l的方程 解：(1):依題意：c=1,1 分 則：122ba,2 分 設(shè)橢圓方程為：112222bybx3 分 將) 1 , 0(P點坐標(biāo)代入，解得：12b4 分 所以 211122 ba 故橢圓方程為：1222 yx5分 （2）設(shè)所求切線的方程為：mkxy6 分 1222yxmkxy 消除 y )22)(12(4)4(2221mkkm7 分 化簡得： 0)22(4)

12、 12(222mkmxxk 9 1222km8 分 同理：聯(lián)立直線方程和拋物線的方程得： xymkxy42 消除 y 得： 0)42(222mxkmxk 04)42(2222mkkm 9 分 化簡得： 1km 10 分 將代入解得：01224 kk 解得：22,221( ,2122kkkk或者舍去），故 21,21mkmk時，當(dāng)時，當(dāng)12 分 故切線方程為：222222xyxy或者14 分 2（2012 遼寧文）已知 P,Q 為拋物線 x2=2y 上兩點，點 P,Q 的橫坐標(biāo)分別為 4，2，過 P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點 A，則點 A 的縱坐標(biāo)為 A 1 B 3 C 4 D 8 3

13、（2013 遼理）如圖，拋物線2212002:4 ,:20 .,Cxy Cxpy pM xyC 點在拋物線上， 1MC過作0,.12A B MOA BOx 的切線，切點為為原點 時，重合于當(dāng)時，1-.2MA切線的斜率為 （I I）P求 的值； （IIII）2MCABN當(dāng)在上運動時，求線段中點 的軌跡方程 ,.A BOO重合于 時 中點為 10 （四）（四）直線與圓錐曲線相交（相交弦，韋達定理）直線與圓錐曲線相交（相交弦，韋達定理） 1 設(shè)12,F F分別是橢圓2222:1(0)xyEabab的左、 右焦點， 過1F斜率為 1 的直線i與E相交于,A B兩點，且22,AFABBF成等差數(shù)列。 （

14、1）求E的離心率； （2） 設(shè)點(0, 1)p滿足PAPB，求E的方程 解： （I）由橢圓定義知224AFBFABa，又222 ABAFBF， 得43ABa l的方程為yxc，其中22cab。 11 設(shè)11,A x y，22,B xy，則 A、B 兩點坐標(biāo)滿足方程組 22221yxcxyab 化簡的222222220abxa cxacb 則2222121222222,acba cxxx xabab 因為直線 AB 斜率為 1，所以AB 2211212224xxxxx x 得22244,3abaab故222ab 所以 E 的離心率2222cabeaa （II）設(shè) AB 的中點為00,N xy，由

15、（I）知 212022223xxa cxcab ，003cyxc。 由PAPB，得1PNk ， 即0011yx 得3c ，從而3 2,3ab 故橢圓 E 的方程為221189xy。 2 （2013 年山西省山大附中高三 9 月月考）1122( ,),(,)P x yQ xy是拋物線22(0)ypx p上相異兩點，Q，P 到y(tǒng)軸的距離的積為 4，且0OP OQ 。 （1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）過 Q 的直線與拋物線的另一交點為 R，與 x 軸的交點為 T ，且 Q 為線段 RT 的中點，試求弦 PR 長度的最小值 12 （五）（五）焦點弦焦點弦 1（2014 江西師大附中高三開學(xué)考試）拋物線

16、22(0)ypx p的焦點為 F，已知點 A，B 為拋物線上的兩個動點，且滿足0120AFB，過弦 AB 的中點 M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線 MN，垂足為 N，則MNAB的最大值為 13 2（2011 年江西文）已知過拋物線022ppxy的焦點，斜率為22的直線交拋物線于12,A x y22,B xy（12xx）兩點，且9AB （1）求該拋物線的方程； （2）O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若OBOAOC，求的值 解析： （1）直線 AB 的方程是, 05x4px2y),2(22222ppxpxy聯(lián)立，從而有與 所以：4521pxx，由拋物線定義得：921pxxAB，所以 p=4， 拋物線方程為：

17、xy82 （2）、由p=4，, 05x422ppx化簡得0452 xx，從而, 4, 121xx24,2221yy,從而 A:(1,22),B(4,24) 設(shè))24 , 4()22, 1 ()(3, 3yxOC=)2422,41 (， 又3238xy， 即212228（41） ，即14) 12(2，解得2, 0或 3 若拋物線24yx的焦點為 F，過 F 且斜率為 1 的直線交拋物線于 A，B 兩點，動點 P 在曲線24 (0)yx y 上，則PAB的面積的最小值為- 六六 定點、定值問題（兩種方法：方程組或不等式，特殊情況法）定點、定值問題（兩種方法：方程組或不等式，特殊情況法） 14 1（

18、2013 河北省唐山市高三年級摸底考試）已知點 M 是橢圓 C：22221xyab（0,0ab）上一點，1F，2F分別為 C 的左、右焦點，且124FF ，01260FMF，12FMF的面積為4 33。 （1）求橢圓 C 的過程； （2）設(shè)(0,2)N，過點 P（1，-2）作直線l,交橢圓 C 異于 N 的 A，B 兩點，直線 NA，NB 的斜率分別為12,k k，證明：12kk為定值 2（2012 福建文）如圖，等邊三角形OAB的邊長為8 3，且其三個頂點均在拋物線)0(2:2ppyxE上。 （I）求拋物線E的方程； （II）設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線1y相交于點Q。證明以PQ為

19、直徑的圓恒過y軸上某定點。 本小題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、 推理論證能力， 考查數(shù)形結(jié)合思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想、 特殊與一般思想 滿分 12 分 15 解法一： （1） 依題意|OB=38，。30Boy 設(shè) B（x,y） ，則 x=|OBsin30。=34，y=|OBcos30。=12 因為點 B（34，12）在 x2=2py 上，所以234）（=2p*12，所以 p=2 所以拋物線 E 的方程為yx42 (2)由（1）知241xy ,y=21x. 設(shè) P（x0,y0）,則 x00，并且 l 的方程為)x-(x x=y-y00

20、0，即004121yxxx 由14121200yxxxy，得124020yxxx 所以) 1,24(020 xxxQ 設(shè)), 0(1yM,令=0MP MQ對滿足2001(0)4yxx的0 x，0y恒成立。 由于）100,(yyxMP，)y-1-241020，（xxMQ 由于OMQMP,得0y24211100020yyyyxx 即（0)y1 ()2(y01121yy （*） 由于（*）對滿足)0(41y0200 xx的0y恒成立，所以02011211yyy 解得 11y 故以 PQ 為直徑的預(yù)案橫過 y 軸上的定點 M（0，1） 解法二 （1） 同解法一 （2） 由（1）知241xy ,y=21

21、x，設(shè) P（x0,y0），則00 x，且 l 的直線方程為)(21000 xxxyy，即2004121xxxy 16 由14121200yxxxy得，124020yxxx，所以) 1,24(020 xxxQ 取0 x=2， 此時 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 為直徑的圓為2y1(22 ）x， 交 y 軸于點1M（0,1）或2M（0，-1）；取0 x=1，此時 P（1，41），Q（32，-1），以 PQ 為直徑的圓為64125)83()41(22yx，交 y 軸于3M（0,1）或，4M（0，47） 故若滿足條件得點 M 存在，只能是M（0,1）。 以下證明點M（0,1）就是所要求的點。 因為）1,(00yxMP，)2-24020，（xxMQ 0222222-24000020yyyxxMQMP 故以 PQ 為直徑的圓恒過 y 軸上的定點 M 3（2013 江蘇揚州中學(xué)高三檢測）已知橢圓 C：2214xy的上，下頂點分別為 A，B，點 P在橢圓上，且異于點 A，B，直線 AP，BP 與直線l：2y 分別交于點 M，N。 （1）設(shè)直線 AP，BP 的斜率分別為12,k k，求證：1 2k k為定值 （2）求線段 MN 長的最小值 （3）當(dāng)點 P 運動時，以 MN 為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？，請證明你的結(jié)論。 七七 最值問題最值問題