數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_5251

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§ 1 實(shí)數(shù)授課章節(jié)： 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§1 實(shí)數(shù)教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn) ：(1) 理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2) 牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式 （它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn) ：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法 ：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序 ：引 言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始， 我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始 問題 為什么從“實(shí)數(shù)”開始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)

2、，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課復(fù)變函數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)） 為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)有理數(shù): 任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式q( p, q為整數(shù)且q0) 表示，p也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)小數(shù)來表示.無理數(shù) : 用無限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.R x | x為實(shí)數(shù) - - 全體實(shí)數(shù)的集合 問題 有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)” （包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)” 為此作如下規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)x a0.a a1 an ,其中0 aii 9, n an1 a0為,非負(fù)整2數(shù)，,記 x

3、, a0.a1 , an 1 (an1)99990,；對(duì)于正整數(shù) xa0 , 則記 x(a01).9999；對(duì)于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)） y ，則先將y 表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào)0 表示為0 0.0000例：2.0012.0009999；32.9999；2.0012.009999；32.9999利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大?。?、兩實(shí)數(shù)大小的比較1）定義 1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) xa0.a1 an， yb0.b1 bn .其中 a0 ,b0 為非 負(fù) 整 數(shù) ， ak , b k( k1 , 2 ,為 整 數(shù) ， 0 ak9 ,

4、 b0 k 若 有ak b k , k0, 1 ,，2則稱 x 與 y 相等，記為 xy ；若 a0b0 或存在非負(fù)整數(shù) l ，使得 akb, k0,1,2,l ，而 ab，則稱 x 大于y或y小于 x ，分別記為x ykl 1l 1或 yx 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x 、 y ，若按上述規(guī)定分別有xy 或 xy ，則分別稱為 xy 與 xy （或yx ）規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)2）實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過有限小數(shù)來比較）定義2（不足近似與過剩近似）：xa0.a1an為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)xna0.a1an為實(shí)數(shù)x 的n 位不足近似 ；xnxn110n稱為實(shí)數(shù)x 的 n 位過剩近似， n0,1,2

5、,.對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)xa0 .a1an，其 n 位不足近似xna0 .a1an110n； n 位過剩近似xna0 .a1an.注：實(shí)數(shù)x 的不足近似xn 當(dāng) n 增大時(shí)不減，即有x0x1x2； 過剩近似xn當(dāng) n 增大時(shí)不增，即有x0x1x2命題：記 xa0.a1an，yb0 .b1bn為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則xy 的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使xnyn（其中xn 為 x 的 n 位不足近似，yn為y 的 n 位過剩近似）命題應(yīng)用例 1 設(shè) x, y為實(shí)數(shù)，xy ，證明存在有理數(shù)r ，滿足xry 證明：由 xy ，知：存在非負(fù)整數(shù) n，使得 xn yn 令 r1xn yn ，則 r2為有理數(shù)，且x xnr

6、yn y 即 x ry 3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì) （詳見附錄P289P302 ）1）封閉性（實(shí)數(shù)集 R 對(duì), , ,）四則運(yùn)算是封閉的 即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)2）有序性：a,bR ，關(guān)系 ab, ab,ab ，三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性 ：a，b，cR ，若ab, bc，則 ac 4）阿基米德性 ：a,bR,ba0nN使得 nab 5）稠密性 ：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6）一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ：實(shí)數(shù)集 R 與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系例 2 設(shè)a, bR ，證明：若對(duì)任何正數(shù)，有 ab，則 ab （提示：反證法利用“有序性” ，取ab ）二、絕對(duì)值與不等式1、

7、絕對(duì)值的定義實(shí)數(shù) a 的絕對(duì)值的定義為 | a |a,a0 aa02、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù) a 的絕對(duì)值 | a | 就是點(diǎn) a 到原點(diǎn)的距離 | xa | 表示就是數(shù)軸上點(diǎn) x 與 a 之間的距離3、性質(zhì)1） | a | |a |0;| a |0a0 （非負(fù)性）；2） | a |a| a | ；3） | a | hhah ， | a |hhah.(h 0) ；4）對(duì)任何 a, bR 有 | a | b | ab | | a | b |（三角不等式）；5） | ab | | a | |b | ；6） a| a | （ b0 ）b| b |三、幾個(gè)重要不等式1、 a 2b22 ab ,sin x

8、1.sin xx .2、均值不等式 : 對(duì) a1, a2 , , anR , 記a1a2an1 n(算術(shù)平均值 )M (ai )nai ,n i 11nnG(ai )n a1a2anai,(幾何平均值 )i 1H (ai )n1n. ( 調(diào)和平均值 )11a1a2有平均值不等式 : H (ai )G (ai )11 n 1n 1ann i 1 aii 1 aiM (ai ), 即：nn a1a2a1 a2an11ann1a1a2an等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a1 a2an 時(shí)成立 .3、Bernoulli不等式 :( 在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 )x1, 有不等式 (1x)n1nx ,n N.當(dāng) x1 且

9、 x0 , nN 且 n2時(shí) , 有嚴(yán)格不等式 (1x) n1nx.證：由 1 x0 且 1x0,(1x)nn1(1x)n1 11n n (1 x) nn (1x).(1x) n1nx.4、利用二項(xiàng)展開式得到的不等式: 對(duì)h0, 由二項(xiàng)展開式(1h) n1 nhn(n 1) h 2n(n 1)( n 2) h3hn ,2!3!有(1 h)n上式右端任何一項(xiàng) .練習(xí)P45一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)課堂小結(jié) ：實(shí)數(shù)：.二 絕對(duì)值與不等式 作業(yè) P41(1) ，2(2) 、(3) ，3§2 數(shù)集和確界原理授課章節(jié)： 第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§2 數(shù)集和確界原理教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握確界原理，建立

10、起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1) 掌握鄰域的概念；(2) 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用 .教學(xué)重點(diǎn) ：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學(xué)難點(diǎn) ：確界的定義及其應(yīng)用 .教學(xué)方法 ：講授為主 .教學(xué)程序 ：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果， 此后導(dǎo)入新課 .引言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡(jiǎn)要討論； 此后又讓大家自學(xué)了第一章§1 實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容 . 下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1 、 證 明 ： 對(duì) 任 何 xR有 ：(1)| x 1| x 2 | 1 ； (2)| x 1| | x 2 | x 3| 2

11、 .（ （1） x 11 ( x 2) 1 x 2 , x 1 x 2 1 ）（2）x 1 x21, x2 x31, x 2x 32.三式相加化簡(jiǎn)即可 ）、證明： | x | y | xy |.23、設(shè) a,bR ，證明：若對(duì)任何正數(shù)有 ab，則 ab .4、設(shè) x, yR, xy ，證明：存在有理數(shù) r 滿足 yr x . 引申 ：由題 1 可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一 . 而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同； 理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的

12、習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用 . 提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具 .本節(jié)主要內(nèi)容 ：1、先定義實(shí)數(shù)集 R 中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.一 、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）設(shè) a, bR 且 a有限區(qū)間，其中b . 區(qū)間無限區(qū)間開區(qū)間 :xR | axb(a,b)有限區(qū)間閉區(qū)間 :xR | axb a,b閉開區(qū)間 :xR | axb a, b)半開半閉區(qū)間xR | axb( a, b開閉區(qū)間 :xR | xa a,).xR | xa(,a.無限區(qū)間xR | xa(a,).x

13、R | xa(, a).xR |xR.2、鄰域聯(lián)想：“鄰居” . 字面意思：“鄰近的區(qū)域” . 與 a 鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于 a 的對(duì)稱區(qū)間”； 如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？（1） a 的鄰域：設(shè) aR,0 ，滿足不等式 | xa |的全體實(shí)數(shù) x 的集合稱為點(diǎn) a 的鄰域，記作 U (a;) ，或簡(jiǎn)記為U ( a; ) x | x a |(a, a) .其中 a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑 .（ 2）點(diǎn) a 的空心鄰域U o (a; )x 0 | x a |(a, a) ( a, a) U o ( a) .（ 3） a 的右鄰域和點(diǎn) a 的空心

14、右鄰域U(a;) a, a)U (a)x axa;U 0 (a;)(a, a)U 0 (a)x axa.（ 4）點(diǎn) a 的左鄰域和點(diǎn) a 的空心左鄰域U(a; )(a, aU (a)x axa;U 0 (a;)( a, a)U 0 (a)x axa .（ 5） 鄰域，鄰域，鄰域U ()x | x |M , （其中 M為充分大的正數(shù)）；U ()x xM, U ()x xM二 、有界集與無界集1、 定義 1（上、下界）：設(shè) S 為 R 中的一個(gè)數(shù)集 . 若存在數(shù) M ( L) ，使得一切 xS都有 x M ( x L) ，則稱 S 為有上（下）界的數(shù)集 . 數(shù) M (L) 稱為 S 的上界（下界）

15、；若數(shù)集 S 既有上界，又有下界，則稱 S 為有界集 .閉區(qū)間a, b 、開區(qū)間 (a,b) (a,b 為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 Eyysin x,x (,) 也是有界數(shù)集 .若數(shù)集 S 不是有界集，則稱S 為無界集 .(,),(,0), (0,) 等都是無界數(shù)集 ,集合 Eyy1 , x( 0,1)也是無界數(shù)集 .x注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與 S 的關(guān)系如何？看下例：例 1討論數(shù)集 Nn | n為正整數(shù)的有界性 .解：任取 n0N ，顯然有 n01 ，所以 N 有下界 1；但 N 無上界 . 因?yàn)榧僭O(shè) N 有上界 M,則 M>0，按定義，對(duì)任意 n0

16、N ，都有n0M ，這是不可能的，如取n0M （1符號(hào) M 表示不超過 M的最大整數(shù)），則 n0 N ，且 n0 M .綜上所述知： N 是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.例 2 證明：（ 1）任何有限區(qū)間都是有界集； （2）無限區(qū)間都是無界集； （3）由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集 . 問題 ：若數(shù)集 S 有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？ ( 答：不唯一 ，有無窮多個(gè) ).三 、確界與確界原理1、定義定義 2（上確界 ）設(shè) S 是 R 中的一個(gè)數(shù)集， 若數(shù)滿足：(1)對(duì)一切 xS,有 x（即是 S 的上界） ; (2)對(duì)任何，存在 x0 S ，使得 x0（即是 S 的上界中最小的一個(gè)），則

17、稱數(shù)為數(shù)集 S 的上確界，記作sup S.從定義中可以得出： 上確界就是上界中的最小者 .命題 1Msup E充要條件1） xE, xM；2）o, x0S,使得 x0M.證明：必要性，用反證法 . 設(shè) 2）不成立，則 00, 使得 xE,均有 xMo ，與 M 是上界中最小的一個(gè)矛盾 .充分性（用反證法） ，設(shè) M 不是 E 的上確界，即M 0 是上界，但 MM 0 .令M M 00 ，由 2）， x0E ，使得 x0MM 0，與 M0 是 E 的上界矛盾 .定義 3（下確界 ）設(shè) S是 R 中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足：（1）對(duì)一切 xS, 有x（即 是 S 的下界）；（2）對(duì)任何，存在 x0S

18、，使得 x0（即 是S 的下界中最大的一個(gè)），則稱數(shù)為數(shù)集 S 的下確界，記作inf S .從定義中可以得出： 下確界就是下界中的最大者 .命題 2infS 的充要條件：1）x E, x；2）0， x0S, 有 x0 .上確界與下確界統(tǒng)稱為 確界 .例 （ ）S1(1) n, 則sup S1；inf S0 .3 1n（2） Eyysin x,x(0, ) . 則 sup S1 ； inf S0 .注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的 .命題 3：設(shè)數(shù)集 A 有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一的.證明：設(shè)sup A ，sup A且，則不妨設(shè)sup AxA 有 xsup A對(duì)，x0A 使

19、x0 ，矛盾 .例： sup R0n1 ， infn1， supn 12n Zn 1n ZE5,0,3,9,11 則有 inf E5 .開區(qū)間a , b 與閉區(qū)間a , b 有相同的上確界 b 與下確界 a例例4 設(shè) S 和 A 是非空數(shù)集，且有5 設(shè) A和B是非空數(shù)集S .A.則有 sup S若 對(duì)xA 和sup A, inf SinfyB, 都 有 xA. y,則 有s u pAi n fB.證 明 ：yB,y 是A的上界,sup Ay.sup A 是B的 下界 ,sup Ainf B.例 6A和B為非空數(shù)集 , S 證明： x S, 有 x A 或 xAB. 試證明 : inf Smin

20、B, 由 inf A 和 inf B 分別是inf A , inf B .A和B的下界,有xinfA 或 xinf B.xmininf A , inf B .即 min inf A , inf B 是數(shù)集 S 的下界 ,inf Smininf A , inf B . 又SA,S的下界就是A 的 下界 , inf S 是 S 的下 界 ,inf S 是in fSin fB.于是有 inf Smininf A , inf B.A的下界,inf Sinf A; 同 理有綜上 , 有 inf Smininf A , inf B.1. 數(shù)集與確界的關(guān)系 : 確界不一定屬于原集合 . 以例 3為例做解釋

21、.2. 確界與最值的關(guān)系 : 設(shè) E 為數(shù)集 .（1） E 的最值必屬于 E , 但確界未必 , 確界是一種臨界點(diǎn) .（2）非空有界數(shù)集必有確界( 見下面的確界原理 ), 但未必有最值 .（3）若 max E 存在 , 必有 max Esup E. 對(duì)下確界有類似的結(jié)論.4. 確界原理 :Th1.1( 確界原理 ). 設(shè) S 非空的數(shù)集 . 若 S 有上界，則 S 必有上確界；若 S 有下界，則 S 必有下確界 .這里我們給一個(gè)可以接受的說明 E R, E 非空， x E ，我們可以找到一個(gè) 整 數(shù) p ， 使 得 p 不 是 E 上 界 ， 而 p 1 是 E 的 上 界 . 然 后 我 們

22、 遍 查p.1, p.2 , p.9 和 p 1 ，我們可以找到一個(gè) q0 ， 0q09 ，使得 p.q0 不是 E 上界， p.(q01) 是 E 上界，如果再找第二位小數(shù)q1，, 如此下去，最后得到p.q0 q1q2，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為 E 的上確界 .證明：（書上對(duì)上確界的情況給出證明， 下面講對(duì)下確界的證明） 不妨設(shè) S 中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù) n ，使得1） xS ，有 xn ；2）存在 xS ，有x n1；1把區(qū)間 (n, n1 10 等分，分點(diǎn)為 n. 1，.2，, . 9,存在 n1，使得1）S，有； xn.n ；1n.n1102）存在 x2S ，使得 x21再對(duì)開

23、區(qū)間 (n.n , n.n1 10 等分，同理存在 n2，使得11101）對(duì)任何xS，有 x n.n n；2）存在 x2n.n1n21 2，使 x21021繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對(duì)任何 k1,2,，存在 nk 使得1）對(duì)任何xS， x n.n nnk1 k；12102）存在 xkS ， xkn.n1n2nk因此得到n.n1 n2nk以下證明inf S （）對(duì)任意 xS， x；（）對(duì)任何，存在 xS 使x 作業(yè)：P91 （1），（2）；2； 4 （2）、（4）；§ 3 函數(shù)概念授課章節(jié) ：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§ 3 函數(shù)概念教學(xué)目的 ：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念 .教學(xué)要求 ：（）深刻

24、理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、 反函數(shù)和初等函數(shù)的定義， 熟悉函數(shù)的各種表示法；（）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象. 會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn) ：函數(shù)的概念 .教學(xué)難點(diǎn) ：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法 ：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序 ：引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解. 為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對(duì)此作進(jìn)一步討論 .一、函數(shù)的定義定義設(shè) D , MR ，如果存在對(duì)應(yīng)法則f ，使對(duì)xD ，存在唯一的一個(gè)數(shù) yM 與之對(duì)應(yīng)，則稱f 是定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)，記作f : DMx |y .數(shù)集 D 稱為函數(shù) f 的定義域， x

25、 所對(duì)應(yīng)的 y ，稱為 f 在點(diǎn) x 的函數(shù)值，記為f ( x) . 全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f 的值域，記作f (D ) .即 f ( D)y | yf (x), xD .幾點(diǎn)說明（1）函數(shù)定義的記號(hào)中“f : DM ”表示按法則f 建立 D 到 M 的函數(shù)關(guān)系， x |y 表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記作x |f ( x) . 習(xí)慣上稱x 自變量， y 為因變量 .（2） 函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域 . 當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來 . 因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則. 所以函數(shù)也常表示為：yf ( x), xD .由此，我們說兩個(gè)函數(shù)

26、相同，是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則.例如： 1） f ( x)1, xR,g( x)1, xR0 . （不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，定義域不同）2）( x)| x |, xR,( x)x2 , xR.（相同，只是對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式不同） .（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）. 此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)中的定義域可省略不寫，而只用對(duì)應(yīng)法則f 來表示一個(gè)函數(shù) . 即“函數(shù) yf ( x) ”或“函數(shù) f ”.（4）“映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)f 本質(zhì)上是映射，對(duì)于aD ， f (a) 稱為映射 f 下 a 的象 . a 稱為 f (

27、a) 的原象 .（5）函數(shù)定義中，xD ，只能有唯一的一個(gè)y 值與它對(duì)應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對(duì)同一個(gè)x 值，可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè)y 值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù) . 本書中只討論單值函數(shù)（簡(jiǎn)稱函數(shù)）.二 、函數(shù)的表示方法1主要方法：解析法（公式法） 、列表法（表格法）和圖象法（圖示法） .2可用“特殊方法”來表示的函數(shù) .1）分段函數(shù) ：在定義域的不同部分用不同的公式來表示 .1 x,0例如s g xnx0, ，（符0號(hào)函數(shù)）1 x,0（借助于 sgnx 可表示 f (x)| x |, 即 f (x) | x |x sgn x ）.2）用語言敘述的函數(shù) . （注意；以下函數(shù)不是分段函

28、數(shù)）例） y x （取整函數(shù)）比如： 3.5=3,3=3,-3.5=-4.常有 xx x1 , 即 0 x x 1.與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù) yx xx（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是一條大鋸，畫出圖看一看 .）狄利克雷（ Dirichlet）函數(shù)當(dāng) 為有理數(shù),1, xD ( x)0,當(dāng)x為無理數(shù),這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形 . 它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期 .）黎曼（ Riemman）函數(shù)1 ,當(dāng) xp ( p, q N , p 為既約分?jǐn)?shù) ),R( x)qqq當(dāng)和內(nèi)的無理數(shù) .0, x0,1(0,1)三函數(shù)的四則運(yùn)算給定兩個(gè)函數(shù)f , xD1 , g,

29、xD2 ，記 DD1D 2 ，并設(shè) D，定義 f 與 g 在D 上的和、差、積運(yùn)算如下：F ( x)f ( x)g (x), xD；G ( x)f ( x)g( x), xD；H (x)f ( x)g (x), xD .若在 D 中除去使 g ( x)0的值，即令 DD x g( x) 0, x D 2，可在 D上定義 f 與 g 的商運(yùn)算如下； L( x)f ( x) , xD .g ( x)注：）若 D D1D2，則 f 與 g 不能進(jìn)行四則運(yùn)算 .） 為敘述方便， 函數(shù) f 與 g 的和、 差、積 、商常分別寫 為：fg,fg,fg ,f .g四、復(fù)合運(yùn)算引言在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量

30、與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 .例：質(zhì)量為 m的物體自由下落，速度為v，則功率 E 為E1mv21 mg 2t 2 .2Evgt2抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)f (v)1mv2 ,vgt ，把 v(t ) 代2入 f ，即得f ( v(t)1 mg2t 2 .2這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合” ，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”. 問題 任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；yf (u)arcsin u,uD 1,1,ug( x)2x2 , xER .就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義） .2

31、定義（復(fù)合函數(shù)）設(shè)有兩個(gè)函數(shù)yf (u), uD ,ug( x), xE ，Ex f (x)DE ，若 E，則對(duì)每一個(gè) xE ，通過 g 對(duì)應(yīng) D 內(nèi)唯一一個(gè)值 u ，而 u 又通過 f 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值y ，這就確定了一個(gè)定義在E 上的函數(shù)，它以 x 為自變量，y 因變量，記作yf ( g( x), xE 或 y( fg)( x), xE . 簡(jiǎn)記為fg . 稱為函數(shù)f 和 g 的復(fù)合函數(shù)，并稱f 為外函數(shù)， g 為內(nèi)函數(shù)， u 為中間變量 .3. 例子例 y f (u)域 .例f (1 x) x 2x 1,f ( x)()u ,ug (x)1 x 2 . 求f g ( x) f g (x).

32、 并求定義f ( x)_ _ .f x1x 21 .則xx 2A.x 2 ,B. x21,C.x22,D.x22.例討論函數(shù) y f (u)u, u0,) 與函數(shù) ug (x)1 x2 , xR 能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù) .4 說明）復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成 . 每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如：ysiunu,v2, v ， 1 復(fù)x 合成：ysin1x2 , x1,1 .）不僅要會(huì)復(fù)合， 更要會(huì)分解 . 把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)， 在分解時(shí)也要注意定義域的變化 . ylog a 1x2 , x (0,1)y log a u,uz,

33、z1 x2. yarcsinx21y arcsinu,uv , vx21. y2sin 2 xy2u ,uv2 , vsin x.五、反函數(shù). 引言在函數(shù) yf ( x) 中把 x 叫做自變量， y 叫做因變量 . 但需要指出的是， 自變量與因變量的地位并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，例如：f (u)u ,ut 21, 那么 u對(duì)于 f 來講是自變量，但對(duì)t 來講， u 是因變量 .習(xí)慣上說函數(shù)yf ( x) 中 x 是自變量，y 是因變量，是基于y 隨 x 的變化現(xiàn)時(shí)變化 . 但有時(shí)我們不僅要研究y 隨 x 的變化狀況，也要研究 x 隨 y 的變化的狀況 .對(duì)此，我們引入反函數(shù)的概念. 反函數(shù)概念

34、定 義 設(shè) f : XR 是一函數(shù)，如果x1 ， x2 X , 由x1 x2f (x1 ) f ( x2 )( 或由 f (x1 )f ( x2 )x1x2) ，則稱 f 在 X 上是 1-1的.若 f : XY ， Yf ( X ) ，稱 f 為滿的 .若 f: XY 是滿的 1-1的，則稱 f為 1-1對(duì)應(yīng) .f: XR 是 1-1 的意味著 yf ( x) 對(duì)固定 y 至多有一個(gè)解x ， f : XY是 1-1的意味著對(duì) yY ， yf ( x) 有且僅有一個(gè)解 x .定義設(shè) f : XY 是 1-1 對(duì)應(yīng).y Y ,由 yf ( x) 唯一確定一個(gè) xX , 由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)

35、稱為yf (x) 的反函數(shù)，記為 xf 1 ( y) .反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f : XYf1 : YX顯然有f1fI: XX(恒等變換）ff1I : YY(恒等變換 )( f1 ) 1f : XY .從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為yf1 (x) ,這樣它的圖形與y f ( x) 的圖形是關(guān)于對(duì)角線 y x 對(duì)稱的 .y嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù) .但 1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子f ( x)x,0x13 x,1 x2它的反函數(shù)即為它自己 .實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：0x1.確定f : XY 的定義域