數(shù)學(xué)分析試題庫(kù)--計(jì)算題解答題--答案

1、數(shù)學(xué)分析題庫(kù)（1-22 章）四計(jì)算題、解答題求下列極限解： . lim n24lim ( n2)(n2)lim (n2)nn 2nn2n lim(1111)n1 223n(n1)lim(1111111)n1223nn1lim(11)1nn1 lim ex1limex11x 0 cos xx0 cos x1. 這是 0 型，而0(111 ln(1x)x) x ex1111(1x) x ln(1x)x 2x1x(1x)1xx(1x) ln(1x)x2 (1x)故原極限 lim(1x)1xx(12x)ln(1x)x0x (1x)e lim1ln(1x)12x3x2x0e lim1126 xx1x05

2、lim n31lim (n1)( n2n1)lim (n 2n1) 3n 1 n1n1(n1)n16 lim(1112 )nnnn12n2n (n 1)lim(1) n 1n2nnn1因 lim n(n21)1 ，limn 2nnnn1故原極限 e1e .7用洛必達(dá)法則lim 12sin xlim2 cos x3xcos3xx63sin 3x368.11)ex1xlim(exlim1)x0 x1x0 x(exlimex1limex1ex12ex2x 0 xexx 0 xex9.lim tan xx ;x0 xsin x解法 1：limtan xxlimsec2 x1xsin x1cos xx0

3、x 0lim1cos2 xcos x）x0 cos2 （x1lim 1cosxx 0 cos2 x2解法 2：lim tan x xlim sec2 x 1x 0 x sin xx01 cosxlim 2sec2 x tan xx0sin xlim2cos3 xx02110 lim(sin 2xcos x) xx0解sin 2xcos x 12cos 2 x sin x2 ，（3 分）因 limxlim1x 0x 0故1sin 2 x cos x 1= e2原式lim(1 sin 2xcos x1)sin 2 x cosx 1xx 0求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11.yex cosx12.yln(ln x

4、)13.yxsin x14.求 ysin x 的各階導(dǎo)數(shù) .解 11yex cosxex sin x12111yxx ln xln x13y(esin xln x )xsin x (cos x ln xsin x)x14 .y cos xsin( x)2ysin xsin( x2)2ycosxsin(x3)2y( n )sin(xn2)yexxxx15esin 22cos216y1ln x(sin x1)cos xx17yesin xln(cos x) (cos x) sin x (cos x ln(cosx)tan x)18y (n )sin( x(n1),(n1,2,) .21x12 x1

5、19tanxx23secxln 3；20. 求下列函數(shù)的高階微分：設(shè)u(x)ln x, v(x)ex ，求 d 3 (uv ), d 3 ( u )v解因?yàn)閐 3 (uv)122x1x1xxdx3u v C 3u v C 3 u v uvx3e3x 2e3xeln x e233x( x3x2xln x)e所以d3(uv)d3 (uv)dx3x233ln x)dx3dx3e (x3x2xd 3udx3 ()vx2e(3d 3dx 3 (ln x3 3x 2 xex)2x31x) 31exln x ( ex)x3 e2 ( exxln x)d3(uex(233ln x)dx3所以)x3x2xv21

6、. y(arctanx 3 ) 2 ;解：y2arctan x3 (arctanx3 )26xarctanx31x622. y xxx ;解：令 yxx , ln yx ln x11兩邊對(duì)兩邊對(duì)x 求導(dǎo)有y1ln x 1, (xx )xx ln x xxy1ln yxx ln x兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有 y( xx ln x)y(x x ) ln xxx (ln x)(x x ln xxx )ln xx x 1yxxx ( xx ln xxx )ln x xx 1 )x xx x x (ln 2 xln xx 1)xtcost ,223. 求由參量方程edy:et所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)ysin t

7、;dx2xetcost,解法 1：etysin t ;由含參量方程的求導(dǎo)法則有dyet costet sin tcostsin tdxet costet sin tcostsin t求 d2ydycostsin t,dxcostsin t即求參量方程的導(dǎo)數(shù)dx2xte cost;dy(cost sin t)2(costsin t)2d2 yd ( dx)(costsin t )22dx2dxet (costsint )et (cost sin t )3xet cost,解法 2：yet sin t ;由含參量方程的求導(dǎo)法則有dyetcostetsin tcostsin t)dxetcostet

8、sin tcosttan(tsin t4求 d 2 y 即求參量方程 dx2dy),tan(tdx4 的導(dǎo)數(shù)x et cost;2d ( dy)sec2 (t)2 e tdydx4sec3 (t4)dx2dxt)22e cos(t424設(shè) yx3ex ,試求 y(6).解 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，有(x3 )3x2 ,(x3 )6x,( x3 ) 6,(x3 ) (k ) =0, k4,5,6,(e x) (k)ex, k1,2,6 ,應(yīng)用萊布尼茲公式（n6 ）得y(6)x3ex6 3x2ex15 6xex20 6ex( x318x290x 120)ex .25試求由擺線(xiàn)方程xa(tsin t)

9、,所確定的函數(shù) yf ( x) 的二階導(dǎo)數(shù) .ya(1cost )解dy( a(1cost )sin tcottdx(a(tsin t ) 1cost,22cot t1 csc2 t14 td y222dx2(a(tsin t )a(1cost)4acsc .226 . 求 f ( x)ln(1x2 ) 到 x6 項(xiàng)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 .解 因?yàn)閘n(1x)xx2x332o( x ) ,3所以 f (x)ln(1x2 ) 到 x6 項(xiàng)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式為ln(12)x2 x4x66) .x23o( x27x( ,2)yyf (x)遞減，凹28 解（1） lim f (x

10、)x0(2,( 1,0)(0,)1)不存在極小值遞增，凹極大值遞減，凹遞增，凹limxm sin 10f (0) ，故對(duì)任意正整數(shù)m， f 在 x0連續(xù) .x 0xx m sin100m1（ 2） f(0)lim f ( x)f (0)limxlim x m 1 sin 1x不存在m，x 0x0x 0x0x1故當(dāng) m1時(shí)， f 在 x 0可導(dǎo) .（ 3）先計(jì)算 f 的導(dǎo)函數(shù) .x00 ，xm sin 1x0m sin 1x m sin 1x0m sin 1x0m sin 1x0m sin 1f( x0 ) limxx0limxxxx0xx0xx0xx0x x0( xmx0m ) sin 1x0

11、m (sin 1sin 1 )limxxx0x x0xx0x0m 1 ) sin 1x0m 2 cos xx0 sinx0xlim (x m 1x m 2 x0lim2xx02xx0x x0xxx0xx0mx0m 1 sin 1x0m cos 11mx0m 1 sin 1x0m2 cos 1x0x0x02x0x0lim f(x) lim ( mxm 1 sin 1x m 2 cos 1)lim x m 2 (mxsin 1cos 1 )0m2x 0x 0xxx0xx不存在m2由（ 2）知， f (0)0 ，于是當(dāng) m2 時(shí)，有 limf ( x)0f( 0) ，所以當(dāng) m2 時(shí)， fx0在 x

12、 0連續(xù) .29 解因?yàn)?f(x)2x,g (x)3x 2 ，故當(dāng) x0時(shí)， f(0)0, g (0)0 ，不滿(mǎn)足柯西中值定理的條件，所以在區(qū)間-1, 1上不能用柯西中值定理 .30 證明（1）對(duì)任何 x0 ，有 f (x)x4 sin 2 10f (0) ，故 x0是極小值點(diǎn) .（ 2）當(dāng) x0 時(shí)，有xf( x) 4x3 sin 212x 2 sin 1 cos 12x2 sin 1 (2x sin 1cos 1) ，作數(shù)列xxxxxxxn1， yn1，則 xn0， yn0 . 即在 x0 的任何右鄰域2n22n4U 0(0)內(nèi)，既有數(shù)列 xn 中的點(diǎn)，也有數(shù)列 yn 中的點(diǎn) . 并且 f

13、( xn )0 ， f ( yn )0 ，所以在 U 0 (0) 內(nèi) f 的符號(hào)是變化的，從而f不滿(mǎn)足極值的第一充分條件. 又因?yàn)閤4 sin 2102x 2 sin 1 (2x sin 1cos 1 )0f (0)limxx0 ， f(0)limxxxx0，所以x 0x0用極值的第二充分條件也不能確定f的極值 .31答：能推出 f 在 (a, b) 內(nèi)連續(xù) . 證明如下：x0( a, b) ，取1 minx0a, bx0 ，2于是 x0 a, b ，由題設(shè)， f在 a, b 上連續(xù)，從而在x0連續(xù) . 由 x0 的任意性知， f 在 (a, b) 內(nèi)連續(xù) .32. 試求函數(shù) y | 2 x3

14、9x2 12x |在 1, 3 上的最值和極值 .解y | 2x39x212x | x(2 x29x 12) |x(2 x29x12), 1 x 0,x(2x2 9 x 12), 0 x 3,在閉區(qū)間 1,3 上連續(xù) ,故必存在最大最小值 .y6x218x12,6x218x126(x1)(x 2),1x0,6(x1)(x2),0x3,令 y 0, 得穩(wěn)定點(diǎn)為 x1, 2.又因 f (0)12, f(0)12,故 y 在 x0 處不可導(dǎo) .列表如下x 1,0)0(0,1)1(1,2)2(2,3f( x)不存在00極小值極大值極小值f ( x)遞減f (0)0遞增f (1)遞減f (2)遞增54所

15、以 x0 和 x 2 為極小值點(diǎn), 極小值分別為f (0)0 和 f (2)4 , x 1 為極大值點(diǎn), 極大值為 f (1) 5 .又在端點(diǎn)處有f ( 1)23 , f (3)9 , 所以函數(shù)在x0 處取最小值0 , 在 x1處取最大值 23.33. 求函數(shù)554531在xx 1,2y x上的最大最小值：解：令 yf ( x)y5x420 x315x25x2 ( x24x3)5x2 ( x 1)(x 3)令 y 0解得函數(shù)在 1,2 的穩(wěn)定點(diǎn)為 x10, x2 1 ,而 f ( 1)10, f (0)1, f (1)2, f (2)7 ，所以函數(shù)在 1,2 的最大值和最小值分別為f max

16、(1)2, f min (1) 10.34.確定函數(shù)23323625的凸性區(qū)間與拐點(diǎn) :yxxx解：令 yf ( x)y6x26x36,y12 x6,y12 x60, 解得 x1，2當(dāng) x(, 1 ) 時(shí)， y0，從而區(qū)間 (, 1 ) 為函數(shù)的凹區(qū)間 ,22當(dāng) x( 1 ,) 時(shí)， y0 ，從而區(qū)間 (1 ,) 為函數(shù)的凸區(qū)間 .22并且 f ( 1 )0, f(1 )13，所以 (1, 13) 為曲線(xiàn)的拐點(diǎn) .222221n35. 設(shè) an1(n1,2,), 則 a是有理數(shù)列 .nn點(diǎn)集 ann1,2,非空有界 , 但在有理數(shù)集內(nèi)無(wú)上確界 .數(shù)列 an遞增有上界 ,但在有理數(shù)集內(nèi)無(wú)極限 .

17、1n36. 設(shè) an1(n1,2,), 則 a是有理數(shù)列 .nn點(diǎn)集 ann1,2,有界無(wú)限 , 但在有理數(shù)集內(nèi)無(wú)不存在聚點(diǎn) .數(shù)列 an滿(mǎn)足柯西準(zhǔn)則 , 但在有理數(shù)集內(nèi)不存在極限 .37. 不能從 H 中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋0,1 . 因?yàn)?H 中任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間, 設(shè)其中左端點(diǎn)2最小的為1,則當(dāng)0x1時(shí) , 這有限個(gè)開(kāi)區(qū)間不能覆蓋x .NN3238.29.du6 ux6x5dx6x2x 11dxu3 ux3x2x 16x3x2xln x1C322u33 u6 6 u6ln 6 u1C.39. 令 xa sin t, t, 則2a2x2dxa costda sin ta22a21cos 2t

18、dtcos tdt2a2112x222t2 sin 2tC2aarcsin axaxC.40.31.xarctan xdxarctanxdx21x21 arctanx1x21 d arctanx222x21 arctanx1x21 dxx21 arctanx1 xC.221x22241.232.2x3dx1x211dxln x142dx1xx1x2x231ln x11arcsin 2x1C.3342. 令 tx2 ,則有x2 t 21, dx8tdt,x 2t 21t 2 1 21x2 dx4t 2dt22dtx x 21 t 21 t 21 t 21 t 2ln 1t2arctantC1x2

19、x22arctanx2C.lnx2x21t1x2x1t 2243.令 ttan 2 , 則有 cos x1t 2 , dx1t 2dt ,5dx1dt11d (2t)1 arctan2tC1 arctan2 tan xC. .3cos x4t22(2 t)222244.eln x dx1ln xdxex ln x1xln xxe11ln xdxx 11ee1e11111145.0 ex dx xt0 et dt22 0 tdet2 tet00 et dt2 eet02(1e 1 ) .2 .111121xdx1dx1 x2146.arcsin xdxx arcsin x 02101 x2212

20、20200x.111n1147. J lim nlim.其中和式是函數(shù)n21n2222n22nni 1in1n1f ( x)1x2x48. F ( x)a在 0,11dx1.上的一個(gè)積分和 , 所以 Jx2arctan x 00 14()()xx( )( ) . 于是f txt dt xf t dttf t dtaaxxF(x)( )dt xf()xf()( ) ,()f( )f txxf t dt Fxx.aa49. 以平面 xx0 ( x0a)截橢球面 , 得一橢圓y2x02z2x021 . 所以截面積22b1a2c1a2函數(shù)為x2ax24bc 1, x a, a . 于是橢球面的體積 Vbc 1dxabc .a2aa2350. 化橢圓為參數(shù)方程 :xacost ,y bsin t , t0,2 . 于是橢圓所圍的面積為A2b sin ta costdtab2sin 2 tdtab .0051