簡明大學物理第二版-復件-4-1-簡諧振動的基本概念和規(guī)律

1、4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/141 任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為任一物理量在某一定值附近往復變化均稱為振動振動. . 物體圍繞一固定位置往復運動，稱為物體圍繞一固定位置往復運動，稱為機械振動機械振動 。 其運動形式有直線、平面和空間振動其運動形式有直線、平面和空間振動. . 機械振動可分為機械振動可分為 周期和非周期振動周期和非周期振動 簡諧運動簡諧運動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .諧振子諧振子 作簡諧運動的物體作簡諧運動的物體. .簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合

2、成分解分解4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/142一、簡諧振動的動力學方程及其解一、簡諧振動的動力學方程及其解運動方程運動方程為說明簡諧振動的基本特征，先看兩個具體的例子。為說明簡諧振動的基本特征，先看兩個具體的例子。例例4-1 水平彈簧振子的運動。水平彈簧振子的運動。xxFmoFkx 把連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)把連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)稱為生形變的物體系統(tǒng)稱為彈簧振子彈簧振子。 設設x軸的原點與彈簧的平衡位置重合，振子在任意位置時軸的原點與彈簧的平衡位

3、置重合，振子在任意位置時所受合外力為所受合外力為4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/143mk2令令22ddxFkxmamt0dd222x tx動力學方程動力學方程 xxFmo由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得22d0dxkxtm4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/144例例4-2 單擺小角度擺動單擺小角度擺動 一根質(zhì)量可以忽略并且不會伸縮一根質(zhì)量可以忽略并且不會伸縮的細線長的細線長l l，上端固定，下端系一質(zhì)，上端固

4、定，下端系一質(zhì)量為量為m m可看作質(zhì)點的擺球，就構成一可看作質(zhì)點的擺球，就構成一個個單擺單擺?？梢钥醋鞫ㄝS轉(zhuǎn)動的剛體?？梢钥醋鞫ㄝS轉(zhuǎn)動的剛體。小角度擺動，重力矩可以寫成小角度擺動，重力矩可以寫成sinmglmgl負號表示力矩方向與角位移方向相反。負號表示力矩方向與角位移方向相反。根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有 222ddmglJmlt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/145222ddmglJmlt22d0dgtl2gl令令222d0dx xt動力學方程動力學方程 x4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡

5、諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/146簡諧振動的定義：簡諧振動的定義：222d0dx xt上述二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為：上述二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為： 如果質(zhì)點的動力學方程可以歸結(jié)為如果質(zhì)點的動力學方程可以歸結(jié)為 的形式，且其中的的形式，且其中的 決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則該質(zhì)點的運動稱為該質(zhì)點的運動稱為簡諧振動簡諧振動。 積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定cos()xAt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機

6、械波2021/8/147dsin()d =cos()2xAttAt v2222dcos()d cos()xaAttAtAx 簡諧振動物體的速度：簡諧振動物體的速度： 簡諧振動物體的加速度：簡諧振動物體的加速度： cos()xAt簡諧振動物體的運動方程：簡諧振動物體的運動方程： tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/148二、描述簡諧振動的特征量二、描述簡諧振動的特征量1 振幅振幅 作簡諧振動的物體離開作簡諧振動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值平

7、衡位置最大位移的絕對值A A，稱為振幅。，稱為振幅。在在SI中，振幅的單位是米，符號為中，振幅的單位是米，符號為m。 maxxA tx圖圖AAxT2Tto4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1492 相位與初相位相位與初相位sin()At vcos()xAt相位：相位： t 相位相位初相位初相位初相位：初相位： 當當t=0時，時， 稱為初相位稱為初相位, 1 1） 存在一一對應的關系存在一一對應的關系; ;( , )txv4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動

8、與機械波機械振動與機械波2021/8/14103 3）初）初相位相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始初始時刻的運動狀態(tài)時刻的運動狀態(tài). . (0)t2 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點內(nèi)變化，質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； 相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同. .（周期性）周期性）20) (2nn4）設兩個振動狀態(tài)所對應的相位分別為設兩個振動狀態(tài)所對應的相位分別為12和若若 ，稱振動狀態(tài)，稱振動狀態(tài)1超前于超前于振動狀態(tài)振動狀態(tài)2；12 若若 ，稱振動狀態(tài)，稱振動狀態(tài)1滯后于滯后于振動狀態(tài)振動狀態(tài)2；12 若若 ，稱振動狀態(tài)，稱振動狀態(tài)1與振動狀態(tài)與振動狀態(tài)2同步同步或或同

9、相同相。12 4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/141122020vxA00tanxv 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件0cosxA0sinA v 對給定振動系統(tǒng)，振幅和初相由初始條件決定對給定振動系統(tǒng)，振幅和初相由初始條件決定.sin()At vcos()xAt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/14123 3 周期和頻率周期和頻率（1 1）周期）周期 物體作一次完全振動所需的時間稱為

10、物體作一次完全振動所需的時間稱為周期周期，用，用T T 表示。表示。 cos()yAtcos ()cos(2 )AtTAt2T在在SI中，周期的單位是秒，符號為中，周期的單位是秒，符號為s。 周期僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關。周期僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關。彈簧振子彈簧振子2mTk單擺單擺2lTg4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1413 單位時間內(nèi)物體所作完全振動的次數(shù)，稱為頻單位時間內(nèi)物體所作完全振動的次數(shù)，稱為頻率，用率，用 表示。表示。 12 T在在SISI中，頻率的單位是赫茲，符號為中，頻

11、率的單位是赫茲，符號為HzHz。 (2)(2)頻率頻率T22(3) 圓頻率或角頻率圓頻率或角頻率與頻率與頻率 只相差常數(shù)只相差常數(shù) 倍倍,稱圓頻率或角頻率稱圓頻率或角頻率. 2周期和頻率僅與振動系統(tǒng)周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關，稱的物理性質(zhì)有關，稱固固有有周期、周期、固有固有頻率和頻率和固有固有圓頻率。圓頻率。4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1414例例4-3 原長為原長為0.50m的彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量的彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量為為0.1kg的砝碼。當砝碼靜止時，彈簧的長度為的

12、砝碼。當砝碼靜止時，彈簧的長度為0.60m，若將砝碼向上推，使彈簧回到原長，然后，若將砝碼向上推，使彈簧回到原長，然后放手，則砝碼做上下振動。放手，則砝碼做上下振動。（1）證明砝碼的運動為簡諧振動；）證明砝碼的運動為簡諧振動；（2）求此簡諧振動的振幅、角頻率和頻率；）求此簡諧振動的振幅、角頻率和頻率；（3）若從放手時開始計時，求此簡諧振動的振動方）若從放手時開始計時，求此簡諧振動的振動方程。程。解解（1）以振動物體的平衡位置為坐標原點，建立）以振動物體的平衡位置為坐標原點，建立如圖所示的如圖所示的Ox坐標系。設坐標系。設t時刻砝碼位于時刻砝碼位于x處，由處，由牛頓第二定律，得牛頓第二定律，得x

13、om0 xx0lmmg0()k xx202d()dxmgk xxmt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1415202d()dxmgk xxmtxom0 xx0lmmg0()k xx式中式中x0為砝碼處于平衡時彈簧的伸長量，有為砝碼處于平衡時彈簧的伸長量，有0mgkx式代入式，化簡，得式代入式，化簡，得 22d0dxkxtm因此，砝碼的運動為簡諧振動。因此，砝碼的運動為簡諧振動。 4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/14

14、16(2)砝碼振動的角頻率和頻率分別為砝碼振動的角頻率和頻率分別為-1-109.8rad s9.9 rad s0.1kgmx1.58 Hz2設砝碼的諧振動方程設砝碼的諧振動方程由初始條件，由初始條件，t=0時，時，x=-x0=-0.1m，v=0，得，得sin()At vcos()xAt0.1m, A則其速度公式為則其速度公式為(3)簡諧振動的振動方程為簡諧振動的振動方程為0.1cos(9.9) mxt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1417三、簡諧振動的幾何描述三、簡諧振動的幾何描述旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法

15、1.旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量1）旋轉(zhuǎn)矢量的模等于簡諧振動的振幅）旋轉(zhuǎn)矢量的模等于簡諧振動的振幅A 2）旋轉(zhuǎn)矢量繞旋轉(zhuǎn)矢量繞O點作逆時針方向勻點作逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，其角速度的大小等于簡諧速轉(zhuǎn)動，其角速度的大小等于簡諧振動的角頻率振動的角頻率 。3）在）在t = 0時，矢量時，矢量A和和x軸的軸的夾角為夾角為 ，矢量，矢量A的矢端在的矢端在x軸上的投影點的坐標為軸上的投影點的坐標為0cosxAxoA0 x 以以O O為原點的旋轉(zhuǎn)矢量為原點的旋轉(zhuǎn)矢量 的端點的端點在在OxOx軸上的軸上的投影點投影點的運動的運動為簡諧運動為簡諧運動. .A0cosxA0t 4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的

16、基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1418矢量矢量A的矢端在的矢端在x軸上的投影點的坐標為軸上的投影點的坐標為cosxAtt在任意時刻在任意時刻t ，旋轉(zhuǎn)矢量，旋轉(zhuǎn)矢量 與與x軸的夾角為軸的夾角為A 以以O O為原點的旋轉(zhuǎn)矢量為原點的旋轉(zhuǎn)矢量 的端點的端點在在OxOx軸上的軸上的投影點投影點的運動的運動為簡諧運動為簡諧運動. .Axo0t 0 xAtxcosxAtt4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1419tmvvx0Atnaa2.2.用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧運動的速用旋

17、轉(zhuǎn)矢量表示簡諧運動的速度和加速度度和加速度mAsin sinmtAt 在在x 軸上的投影軸上的投影2naA2cos cosnaatAt 4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/14203. 3. 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 如果畫一個圖表示出作勻速圓如果畫一個圖表示出作勻速圓周運動的質(zhì)點的初始徑矢的位置，周運動的質(zhì)點的初始徑矢的位置，并標以并標以，則相應的簡諧運動的，則相應的簡諧運動的三個特征量都表示出來了，因此三個特征量都表示出來了，因此可以用這樣一個圖表示一個確定可以用這樣一個圖表示一

18、個確定的簡諧運動的簡諧運動.簡諧運動的這種表簡諧運動的這種表示法叫做示法叫做旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法.cosxAtxOA0t 4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1421例例4-4 物體沿物體沿x軸作諧振動，其振幅為軸作諧振動，其振幅為A=10.0cm周期為周期為T=2.0 s，t=0時物體的位移為時物體的位移為x0=-5cm.且向且向x軸負方向運動軸負方向運動.試求試求 (1) t=0.5s時物體的位移；時物體的位移； (2) 何時物體第一次運動到何時物體第一次運動到x=5cm處處? (3) 再經(jīng)過多少時間物

19、體第二次運動到再經(jīng)過多少時間物體第二次運動到x=5cm處處?解解由已知條件，該諧振動在由已知條件，該諧振動在t=0時時刻的旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖所示刻的旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖所示.由由圖及初始條件可知圖及初始條件可知 23由于由于 22s, TT所以所以,該物體的振動方程為該物體的振動方程為20.1cos3xtx0t -5O4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2021/8/1422(1)將將t=0.5s代入振動方程，得質(zhì)點的位移為代入振動方程，得質(zhì)點的位移為 20.1cos0.50.087m3x (2) 當物體第一次運動到當物體第一次運動到x=5cm處時，旋處時，旋轉(zhuǎn)矢量從初始位置轉(zhuǎn)過的角度為轉(zhuǎn)矢量從初始位置轉(zhuǎn)過的角度為，如圖，如圖所示，所以有所示，所以有 1t即即 11s2Tt(3)當物體第二次運動到當物體第二次運動到x=5cm處時，旋轉(zhuǎn)矢量又轉(zhuǎn)過處時，旋轉(zhuǎn)矢量又轉(zhuǎn)過232123ttt 22s333Tt x0t 23-552t1t4-1 4-1 簡諧振動的基本概念和規(guī)律簡諧振動的基本概念和規(guī)律第四章第四章 機械振動與機械波機械振動與機械波2