追及與相遇問題

1、追及與相遇問題 三維目標(biāo)：1、 掌握勻變速直線運動的速度、位移公式以及速度位移公式；2、 能靈活選用合適的公式解決實際問題；3、 通過解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生運用物理規(guī)律對實際生活中進(jìn)行合理分析、解決問題的能力；4、 通過教學(xué)活動使學(xué)生獲得成功的愉悅，培養(yǎng)學(xué)生參與物理學(xué)習(xí)活動的興趣，提高學(xué)習(xí)自信心。教學(xué)重點：靈活選用合適的公式解決實際問題；教學(xué)難點：靈活選用合適的公式解決實際問題。教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式。教學(xué)過程兩物體在同一直線上追及、相遇或避免碰撞問題中的條件是：兩物體能否同時到達(dá)空間某位置。因此應(yīng)分別對兩物體進(jìn)行研究，列出位移方程，然后利用時間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系求解。一、 追及問題1

2、、追及問題的特征及處理方法：“追及”主要條件是：兩個物體在追趕過程中處在同一位置，常見的情形有三種： 初速度比較?。ò榱悖┑膭蚣铀龠\動的物體甲追趕同方向的勻速運動的物體乙，一定能追上。a、追上前，當(dāng)兩者速度相等時有最大距離；b、當(dāng)兩者位移相等時，即后者追上前者。 勻減速運動的物體追趕同向的勻速運動的物體時，存在一個能否追上的問題。判斷方法是：假定速度相等，從位置關(guān)系判斷。解決問題時要注意二者是否同時出發(fā)，是否從同一地點出發(fā)。 a、當(dāng)兩者速度相等時，若追者位移仍小于被追者，則永遠(yuǎn)追不上，此時兩者間有最小距離； b、若兩者速度相等時，兩者的位移也相等，則恰能追上，也是兩者避免碰撞的臨界條件；c

3、、若兩者速度相等時，追者位移大于被追者，說明在兩者速度相等前就已經(jīng)追上；在計算追上的時間時，設(shè)其位移相等來計算，計算的結(jié)果為兩個值，這兩個值都有意義。 即兩者位移相等時，追者速度仍大于被追者的速度，被追者還有一次追上追者的機(jī)會，其間速度相等時兩者間距離有一個較大值。 勻速運動的物體甲追趕同向勻加速運動的物體乙，情形跟類似。 勻速運動的物體甲追趕同向勻減速運動的物體乙，情形跟類似；被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。2、分析追及問題的注意點： 要抓住一個條件，兩個關(guān)系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。兩個關(guān)系是時

4、間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。 若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。 仔細(xì)審題，充分挖掘題目中的隱含條件，同時注意圖象的應(yīng)用。二、相遇 同向運動的兩物體的相遇問題即追及問題，分析同上。 相向運動的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移絕對值的和等于開始時兩物體間的距離時即相遇?！镜湫屠}】【例1】 在十字路口，汽車以0.5m/s2的加速度從停車線啟動做勻加速運動，恰好有一輛自行車以5m/s的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：（1） 汽車追上自行車之前，什么時候它們相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？（2） 在什么地方汽車追上自行車？追到時汽車的速度是

5、多大？解：汽車追上自行車之前，兩車速度相等時相距最遠(yuǎn)，設(shè)所用時間為t v汽atv自 t10s 最遠(yuǎn)距離xx自x汽v自tat225m設(shè)汽車追上自行車所用時間為t 此時x自x汽 v自ta t2 t20s 此時距停車線距離 xv自t100m 此時汽車速度 v汽a t10m/s【例2】 客車以30m/s的速度行駛,突然發(fā)現(xiàn)前方72 m處有一自行車正以6m/s的速度同向勻速行駛,于是客車緊急剎車,若以3m/s2的加速度勻減速前進(jìn),問：（1） 客車是否會撞上自行車?若會撞上自行車，將會在勻減速前進(jìn)多久時撞上？（2） 若要保證客車不會撞上自行車，客車剎車時距離自行車至少多遠(yuǎn)？（3） 若要保證客車不會撞上自行

6、車，客車剎車時的加速度至少多大？【例3】 在一條平直的公路上，乙車以10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面作初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使：（1）兩車不相遇；（2）兩車只相遇一次；（3）兩車能相遇兩次（設(shè)兩車相遇時互不影響各自的運動）。ABSV1V2【例4】 如圖,A、B兩物體相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做勻速直線運動,而物體B此時速度V2=10米/秒,方向向右,做勻減速直線運動(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,從圖示位置開始計時,經(jīng)多少時間A追上B.解: 物體B的運動時間為 秒 在此時間內(nèi)B前進(jìn)了 米

7、 這時A前進(jìn)了 米可見在此時間內(nèi)A沒有追上B,必須在B停止后,A才能追上B.故A追上B的時間為: 秒【例5】 一輛摩托車行駛的最大速度為30m/s?，F(xiàn)讓該摩托車從靜止出發(fā)，要在4分鐘內(nèi)追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行駛的汽車，則該摩托車行駛時，至少應(yīng)具有多大的加速度？解：假設(shè)摩托車一直勻加速追趕汽車。則：V0t+S0 （1）a =（m/s2） （2）摩托車追上汽車時的速度： V = at = 0.24´240 = 58 (m/s) （3）因為摩托車的最大速度為30m/s，所以摩托車不能一直勻加速追趕汽車。應(yīng)先勻加速到最大速度再勻速追趕。 （4） Vm at1

8、（5）由（4）（5）得：t1=40/3（秒） a=2.25 (m/s)【例6】汽車以1m/s2的加速度起動，同時車后60m遠(yuǎn)處有一人以一定速度V0勻速追趕要車停下已知人在離車小于20m，且持續(xù)時間為2s喊停車，方能把停車信息傳達(dá)給司機(jī)，問V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追車，人車距離最小值應(yīng)為多少？解：方法一、 設(shè)經(jīng)過時間T人和車相距20m，則根據(jù)位移關(guān)系可得 60 m1/2aT²V0T20m將a1m/ s2代入上式并整理得 T 22V0T800設(shè)為該方程的兩個根，由韋達(dá)定理有 T1T22V0 T1·T280 又因為人車相距20m以內(nèi)的時間至少持續(xù)2s，所以有

9、T1T22 解可得的最小速度為9m/s。當(dāng)V010m/s時經(jīng)過一段時間t后人車之間距離為d1/2aT 260V0T1/2T 210T601/2(T10) 210當(dāng)T10s時,d取得最小，即人與車的最小距離為10m。點評 本題可以有多種解法，相比較而言用韋達(dá)定理和配方法求解更為簡便一些，這種簡便不僅體現(xiàn)在求解運算上，更體現(xiàn)在解題思路上。方法二、已知人在離車小于20m，且保持時間為2s喊停車方能把停車信息轉(zhuǎn)達(dá)到司機(jī)，那么題意就是當(dāng)距離為20m后，再經(jīng)過2s，距離仍然不超過這個范圍。相當(dāng)于人追趕了車40m.所以有，vt-1/2at2=40 同時v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 -得 t=v

10、/a+1 將代入得最小速度v = 9m/s.如果10m/s，當(dāng)然是車的速度也是10m/s的時候，距離最小。所以最小距離=60-10*10-1/2*102=10m 方法三、因為人在離車距離小于20m.持續(xù)時間為2s喊停車.才能把信息傳給司機(jī).經(jīng)過時間t后人與車相距為20m 即 1/2at2+60-vot=20 此時車速為at ，接下來2s內(nèi)保持20m距離即 2vo=at2+1/2a22. 解得 t=8s. vo=9m/s方法四、 根據(jù)題意，要在汽車的速度達(dá)到V之前，人與車的距離小于20m，因為如果在汽車速度達(dá)到V的時候人車的距離還大于20m，那汽車在加速，速度變得比人快，人車的距離就在

11、變大了，永遠(yuǎn)超都追不上了，同時也不能等于，因為人在叫的時候要2秒，那會兒，汽車還在行進(jìn)，我們的目標(biāo)是要使人在叫的過程中人車的距離都要小于20m,既然這樣那就分析當(dāng)人叫完兩秒的時候的情況。人距車的距離關(guān)于t=v/a對稱，也就是說t=v/a+1也就是t=v+1（因為a=1）時，人距車必須小于20米，有60+1/2*(v+1)2-v*(v+1)<=20,解出v就o了方法五、根據(jù)判別式等于零來求解。教學(xué)反思：作業(yè)：1一輛值勤的警車停在公路邊。當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以v=8ms的速度勻速行駛的貨車有違章行為時，決定前去追趕。經(jīng)2.5s，警車發(fā)動起來，以加速度a=2ms2做勻加速運動，試問：（1）警車要

12、多長時間才能追上違章的貨車?（2）在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離是多大?解析：方法1、利用速度相等這一臨界條件求解，警車和貨車速度相等時相距最遠(yuǎn)。v警=at，v貨=v0，由v警=v貨得at1=v0即相距最遠(yuǎn)時警車所用的時間為t1=4s此時貨車和警車前進(jìn)的距離分別為 x貨=v0（t0+t1）=8ms×（2.5s+4s）=52ms警=×2ms2×（4s）2=16m兩車的最大距離為xmax=x貨x警=52m16m=36m兩車的位移分別為x警=，x貨=v0（t+t0）追上時兩車位移相等x警=x貨，即= v0（t+t0）解得追上時所用時間t2=10s。方法2、利用二次

13、函數(shù)的知識求解。貨車和警車的位移分別為x警= ，x貨=v0（t+t0），兩車的位移之差為x=x貨x警=v0（t+t0）=t2+8t+20=（t4）2+36當(dāng)t=4s時，x有最大值36m，即追上之前相距最大為36m。當(dāng)t=l0s時，x=0，即相遇。2客車以20m/s的速度行駛,突然發(fā)現(xiàn)同軌道前方120處有一貨車正以5m/s的速度同向勻速行駛,于是客車緊急剎車,若以0.9m/s2的加速度勻減速前進(jìn), 問：（1） 客車是否會撞上貨車?若會撞上貨車，將會在勻減速前進(jìn)多久時撞上？（2） 若要保證客車不會撞上貨車，客車剎車時距離貨車至少多遠(yuǎn)？（3） 若要保證客車不會撞上貨車，客車剎車時的加速度至少多大？3

14、甲、乙兩車在同一條平直公路上行駛，甲車以v1=10m/s的速度做勻速運動，經(jīng)過車站A時關(guān)閉油門以a1=4m/s2的加速度勻減速前進(jìn)。2s后乙車與甲車同方向以a2=1m/s2的加速度從同一車站A出發(fā)，由靜止開始做勻加速直線運動。問乙車出發(fā)后經(jīng)多長時間追上甲車？解析： 解法一（公式法）：甲、乙兩車自同一地點于不同時刻開始運動，乙車出發(fā)時甲車具有的速度為m/sm/s=2 m/s，此時離甲車停止運動的時間 s=0.5s。根據(jù)題設(shè)條件，乙車在0.5s內(nèi)追不上甲車，也就是說乙車追上甲車時，甲車已經(jīng)停止了運動。甲車停止時離車站A的距離m=12.5m，設(shè)乙走完這段路程所需的時間為t，由得s=5s。故乙車出發(fā)后

15、經(jīng)過5s追上甲車。聯(lián)想 求解本題最易犯的錯誤是：根據(jù)追上的條件 ，有 ，MMMM圖237sxAxBvAvB代入數(shù)據(jù)可得t=2.6s。錯誤的原因在于對汽車等運輸工具做減速運動的實際規(guī)律理解不深。本題中甲車在被乙車追上前已停止運動。上述計算的實質(zhì)是認(rèn)為甲車速度減為0后又反向加速運動，所以計算出與乙車相遇的時間就短了。4在水平直軌道上有兩列火車A和B相距s。A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動；而B車同時做初速度為0、加速度大小為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件。解析： 要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度最多只能與B車速度相

16、等。設(shè)A、B兩從相距s到A車追上B車時，A車的位移為xA，末速度為vA，所用時間為t；B車的位移為xB，末速度為vB，運動過程如圖237所示。 現(xiàn)用四種方法求解。解法一（利用位移公式和速度公式求解）：對A車有 ，。對B車有 ，。兩車有 ，追上時，兩車剛好不相撞的條件是 ，由以上各式聯(lián)立解得 。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。解法二（利用速度公式和速度位移關(guān)系式求解）：兩車剛好不相撞的臨界條件是：即將追上時兩車速度相等。設(shè)此速度為v，A車追上B車前，A車運動的時間為 ，B車運動的時間為 , 因為，所以 ，即 A車的位移 ， B車的位移 ，因為，所以 。 即 兩式聯(lián)立解得

17、。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。解法三（利用判別式解）：由解法一可知，即 ，整理得  。這是一個關(guān)于時間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式0時，t無實數(shù)解，即兩車不相撞。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。解法四（用速度圖象解）：如圖238所示，先作A、B兩車的速度圖象。設(shè)經(jīng)過時間t兩車剛好不相撞，則圖238Ottvvv0AB對A車有 ，對B車有 ，由以上兩式聯(lián)立解得 。經(jīng)時間t兩車的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用速度圖象中陰影部分的面積表示，由速度圖象可知 。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。聯(lián)想 分析解決兩

18、物體的追及、相遇類問題，應(yīng)首先在理解題意的基礎(chǔ)上，認(rèn)清兩物體在位移、速度、時間等方面的關(guān)聯(lián)，必要時須畫出運動關(guān)聯(lián)的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯(lián)系。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關(guān)的臨界條件方程或用數(shù)學(xué)方法找出相關(guān)的臨界值，是解決這類問題的關(guān)鍵和突破口。5甲、乙兩車相距為s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。解析 解法一（物理方法）：由于兩車同時同向運動，故有  v甲= v0+ a2t，v乙= a1t。

19、    （1）當(dāng)a1<a2時，a1t< a2t，可得兩車在運動過程中始終有v甲> v乙.。由于原來甲車在后，乙車在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然追上乙車。由于甲車追上乙車時v甲> v乙，所以甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。（2）當(dāng)a1= a2時，a1t= a2t，v甲> v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。     （3）當(dāng)a1>a2時，a1t>a2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運動時間的增大而發(fā)生變化.。剛開始a1t和a2t

20、相差不大且甲有初速度v0，所以v甲> v乙.。隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大，當(dāng)a1t-a2t= v0時，v甲= v乙，接下來a1t-a2t> v0，則有v甲<v乙。若在v甲= v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲<v乙，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲= v乙時，兩車剛好相遇，隨后由于v甲<v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲= v乙之前，甲車已超過乙車，即已相遇一次，隨后由于v甲<v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。方法二(數(shù)學(xué)方法）： 設(shè)經(jīng)過時間t兩車能夠相遇，由于

21、 ， ，相遇時有，則 ，所以 。  （1）當(dāng)a1<a2時，t只有一個解，則相遇一次。  （2）當(dāng)a1= a2時，所以.。t只有一個解，則相遇一次。  （3）當(dāng)a1>a2時，若，t無解，即不相遇；若，t只有一個解，即相遇一次；若，t有兩個正解，即相遇兩次。聯(lián)想 以上兩種解法，正好體現(xiàn)了解答物理問題的兩種典型思路。方法一從比較兩車的速度關(guān)系和位移關(guān)系出發(fā)，經(jīng)過仔細(xì)而嚴(yán)密的邏輯推理，得出了不同條件下的不同結(jié)果。這種解法注重物理過程的分析，物理情景比較清楚。方法二先假設(shè)兩車相遇，由兩車位移之間的關(guān)系列出求解相遇時間的方程，然后再對

22、方程解的個數(shù)展開討論。這種解法的特點是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，充分運用數(shù)學(xué)規(guī)律和技巧使問題得以解決，論述簡潔明了。6 羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過s1=50m的距離能加速到最大速度v1=25m/s，并能維持一段較長的時間。獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)過s2=60m的距離能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能維持這個速度4.0s。設(shè)獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0s開始奔跑，假設(shè)羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑，問：(1) 獵豹要在達(dá)最大速度且未減速前追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？ (2) 獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？解析： (1) 獵豹

23、在達(dá)最大速度且尚未減速前追到羚羊，即獵豹的運動只能是先勻加速運動后勻速運動。設(shè)獵豹在維持最大速度的時間t內(nèi)追到羚羊，由題意知t4.0s?，F(xiàn)在我們首先探索的問題是：當(dāng)獵豹追上羚羊時，羚羊的運動情況如何？為此，我們可先分別求出羚羊和獵豹做加速運動的加速度和時間。羚羊做加速運動的加速度為  m/s2=6.25m/s2，羚羊做加速運動的時間為  s=4.0s；而獵豹做加速運動的加速度為 m/s2=7.5m/s2，獵豹做加速運動的時間為 s=4.0s。若獵豹剛達(dá)到最大速度時追上羚羊，則羚羊只加速了t=3s，有 mm=32m；若獵豹剛要減速時追上羚羊，則有 mmm=55m。由此可知，獵

24、豹要在達(dá)最大速度且未減速前追到羚羊，x值應(yīng)為 32mx55m。(2) 羚羊剛要開始奔跑時，獵豹已前進(jìn)的距離m=3.75m。由此可知。獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應(yīng)為  3.75mx32m。聯(lián)想： 本題的求解告訴我們，研究物體的運動，首先要分析清楚物體的運動過程。特別是當(dāng)物體有多個運動階段時，必須明確問題所研究的是運動的哪一個階段。當(dāng)問題涉及多個物體的運動時，應(yīng)先分別獨立研究各個物體的運動，然后找出它們之間的聯(lián)系。7甲乙兩車同時同向從同一地點出發(fā)，甲車以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作勻減速直線運動，乙車以v2=4ms的速度，a2=1ms2的加速度作勻加速直線運動，求兩車再次相遇前兩車相距最大距離和再次相遇時兩車運動的時間。解法一：兩車