高中數(shù)學(xué)：第二章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(新課標(biāo)人教A版選修2-1)

1、 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知,情境引入情境引入自主展示自主展示: (1) (2) 24,yx24 .yx拋物線與我們的日常生活有哪些關(guān)系呢？拋物線與我們的日常生活有哪些關(guān)系呢？趙州橋：距今1400多年，經(jīng)歷七次水災(zāi)，8次戰(zhàn)亂和多次地震.夜色下美麗的噴泉夜色下美麗的噴泉雨過(guò)天晴后美麗的彩虹 那么滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線呢? 觀察圖形發(fā)現(xiàn)觀察圖形發(fā)現(xiàn)拋物線是一種圓錐拋物線是一種圓錐曲線曲線, ,那么能不能用那么能不能用圓錐曲線的統(tǒng)一定圓錐曲線的統(tǒng)一定義來(lái)定義它呢義來(lái)定義它呢? ?思考思考:MFl0e 1lFMe1回憶回憶: :1.1.圓錐曲線中橢圓定義是什么圓錐曲線

2、中橢圓定義是什么? ?2.2.圓錐曲線中雙曲線定義是什么圓錐曲線中雙曲線定義是什么? ? 到一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F F 的距離和它的距離和它到一條定直線到一條定直線 的距離的比是的距離的比是常數(shù)常數(shù) e (e (0e 1) ) 的動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)M M 的軌跡的軌跡. .l 到一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F F 的距離和的距離和它到一條定直線它到一條定直線 的距離的的距離的比是常數(shù)比是常數(shù)e (ee (e1 1) ) 的動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)M M 的軌跡的軌跡. .l當(dāng)當(dāng)e e=1=1時(shí)，即時(shí)，即| |MFMF|=|=|MNMN| | ，點(diǎn)，點(diǎn)M M的軌跡是什么？的軌跡是什么？. FlNM思考思考:合作體驗(yàn)合作體驗(yàn): 如

3、圖如圖取一條長(zhǎng)為取一條長(zhǎng)為ACAC的繩子的繩子, ,一端點(diǎn)固定一端點(diǎn)固定在點(diǎn)在點(diǎn)A A 上上, ,另一端點(diǎn)固定在定點(diǎn)另一端點(diǎn)固定在定點(diǎn)F F上上, ,把筆尖把筆尖放在放在P P點(diǎn)上點(diǎn)上, ,沿著直線沿著直線 上下移動(dòng)三角形作出上下移動(dòng)三角形作出點(diǎn)點(diǎn)P P 移動(dòng)的軌跡圖形移動(dòng)的軌跡圖形. .l拋物線的定義拋物線的定義lFKMH 平面內(nèi)與一個(gè)定平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)點(diǎn)F F和一條定直線和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做軌跡叫做拋物線拋物線. . 點(diǎn)點(diǎn)F F叫做拋物線的叫做拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，直線直線l叫做叫做拋物線的拋物線的準(zhǔn)線準(zhǔn)線. .注意注意: :定點(diǎn)定點(diǎn)F F不在直線不在直線l上

4、上. .()Fl溫馨提示溫馨提示: 此時(shí)退化為過(guò)此時(shí)退化為過(guò)F點(diǎn)且與直線點(diǎn)且與直線l垂直的垂直的一條直線一條直線. .：若定點(diǎn)F在直線l上，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡還是拋物線嗎？lF例例1 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P到直線到直線x40的距離和它到點(diǎn)的距離和它到點(diǎn)M(4,0)的距離相等，則點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是的軌跡是()A.直線直線 B.橢圓橢圓 C.雙曲線雙曲線 D.拋物線拋物線D跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí)1:動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P到直線到直線y10的距離和它到點(diǎn)的距離和它到點(diǎn)A(0,1)的距離相等，則點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是的軌跡是()A.直線直線 B.橢圓橢圓 C.雙曲線雙曲線 D.拋物線拋物線溫馨提示溫馨提示: 拋物線定義

5、中拋物線定義中 是問(wèn)題的焦點(diǎn)所在是問(wèn)題的焦點(diǎn)所在.FlA拋物線定義的應(yīng)用拋物線定義的應(yīng)用想一想？想一想？建建設(shè)設(shè)限限代代化化(現(xiàn)現(xiàn))2、求曲線、求曲線( 橢圓、雙曲線橢圓、雙曲線)方程的基本步方程的基本步驟是怎樣的？驟是怎樣的？1、如何確定拋物線的方程呢？、如何確定拋物線的方程呢？想一想？lFKMH設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為常數(shù)離為常數(shù) . .如何建立平面直角如何建立平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系, ,求出拋物求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？化化 限、代限、代設(shè)設(shè) 建建 解：以過(guò)解：以過(guò)F F且垂直于直線且垂直于直線 l 的直的直線為線為x軸軸, ,垂足為垂足為K. .以以FK的中點(diǎn)的中

6、點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.兩邊平方兩邊平方, ,整理得整理得xKyOF .PM MFd Ml（x,y）Hd由拋物線的定義知由拋物線的定義知,拋物線就是點(diǎn)的集合拋物線就是點(diǎn)的集合220(ypx p ）設(shè)設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)M到到l的距離為的距離為d,(0),FKp p.22ppFx則 焦 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 ( ,0),準(zhǔn) 線 方 程 為22022()()ppxyx 所以所以 方方程程 叫做拋叫做拋物線的物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程. . 它表示的拋物線焦點(diǎn)在它表示的拋物線焦點(diǎn)在x x軸軸的正半軸上的正半軸上, ,焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是 , ,它

7、的準(zhǔn)線方程是它的準(zhǔn)線方程是 其中其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是為正常數(shù)，它的幾何意義是: : 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，簡(jiǎn)稱為焦準(zhǔn)距焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，簡(jiǎn)稱為焦準(zhǔn)距. .(,0)2p.2px拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程)0(22ppxylFKMHyxOpxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 如何確定拋物線焦如何確定拋物線焦點(diǎn)位置及開(kāi)口方向點(diǎn)位置及開(kāi)口方向?一次變量一次變量定定焦點(diǎn)焦點(diǎn)開(kāi)口方向開(kāi)口方向看看正負(fù)正負(fù)xHFOMlyxyHFOMlxyHFOMlxyHFOMl(1) 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

8、 ，求，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程它的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.解解:由由 知焦點(diǎn)在知焦點(diǎn)在 軸正半軸上軸正半軸上,且且所以所以 準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是 .故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(2)(2)拋物線拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別是的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別是什么？什么？24yx溫馨提示：溫馨提示：求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程一定要先方程一定要先把拋物線化為把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式故焦點(diǎn)故焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用知焦點(diǎn)在知焦點(diǎn)在 軸正半軸上軸正半軸上,所以所以 2214,4yxxy解解:且且(3)(3)拋物線拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)

9、和準(zhǔn)線方程分別的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別是什么？是什么？24yx故焦點(diǎn)故焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用知焦點(diǎn)在知焦點(diǎn)在 軸負(fù)半軸上軸負(fù)半軸上,所以所以 2214,4yxxy解：解：且且跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí)2：P67第第2題題 例例3 3 若點(diǎn)若點(diǎn)M M到點(diǎn)到點(diǎn)F F（4 4，0 0）的距離比它到直線）的距離比它到直線l:x:x5 50 0的距離少的距離少1 1，求點(diǎn)，求點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程. . x xlF FO Oy yM M實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2m2m時(shí)測(cè)時(shí)測(cè)量水面寬為量水面寬為8m8m當(dāng)水面升高當(dāng)水面升高1m1m后水

10、面寬度后水面寬度為多少為多少? ?解解:如圖如圖:建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為2221622482242xpyppxyxm 則當(dāng) y=-1時(shí) ,所 求 水 面 寬 為xyO8l解解: 因?yàn)榻裹c(diǎn)在因?yàn)榻裹c(diǎn)在 軸的軸的負(fù)半軸上，負(fù)半軸上，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1) 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ,求求它的標(biāo)準(zhǔn)方程它的標(biāo)準(zhǔn)方程.即即則則故設(shè)拋物線故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(2)已知拋物線的準(zhǔn)線方程為已知拋物線的準(zhǔn)線方程為 ,求它的求它的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程.l解解: 由準(zhǔn)線方程為由準(zhǔn)線方程為 知，知，焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸的負(fù)半軸上，軸的負(fù)半軸上，即即故設(shè)拋物線故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為為則則方法歸納方法歸納 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程拋物線的焦點(diǎn)