數(shù)學(xué)必修一集合與函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)梳理

1、.高中數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念 1.1 集合【 】集合的含義與表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（ 2）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，N或 N表示正整數(shù)集，Z 表示整數(shù)集，Q 表示有理數(shù)集，R 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（ 5）集合的分類含有有限個(gè)元素

2、的集合叫做有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集().【】集合間的基本關(guān)系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖AB子集（或A 中的任一元素都屬于 BBA)ABA B，且 B中至真子集少有一元素不屬于（或 BA） A集合A 中的任一元素都AB屬于 B，B 中的任一相等元素都屬于A(1)AA(2)AA(B)BA(3)若 AB 且 BC，則 AC(4)若 AB 且 BA，則 AB或（ 1）A （ A 為非空子集）BA(2) 若A B且B C，則A C(1)ABA(B)(2)BA（ 7）已知集合 A 有 n( n1) 個(gè)元素，則它有2n 個(gè)子集，它有

3、2n1個(gè)真子集，它有2n1個(gè)非空子集，它有 2n2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本運(yùn)算（ 8）交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖;.交集并集補(bǔ)集. x | xA, 且（1） AAA（2） AABAB（3） ABAxBABB x | xA, 或（1） AAA（2） AAABAB（3） ABAxBABB1A(e A)且痧U(A B) (U A) (?U B)UU x | x U ,xe AA痧U(A B)(U(e A)UUA)(? B) 2AU【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對(duì)值的不等式的解法不等式解集| x |a( a0)| x |a(a0)| ax

4、b |c,| axb |c(c0)（ 2）一元二次不等式的解法判別式b24ac0二次函數(shù) x |axax | xa 或 xa把 axb 看成 一 個(gè) 整 體 ， 化 成 | x | a ，| x |a(a0) 型不等式來(lái)求解00yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程bb24ac2x1,22abaxbxc0(a0)x1 x2無(wú)實(shí)根2a（其中 x1 x2 )的根ax2bxc0( a0) x | xb R x | x x1 或 x x2的解集2aax2bxc0(a0)xx2 x | x1的解集;. 1.2 函數(shù)及其表示【 】函數(shù)的概念（ 1）函數(shù)的概念設(shè) A 、B 是兩個(gè)非空的數(shù)集， 如果按照某

5、種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)數(shù)x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A ， B 以及A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f ）叫做集合A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設(shè) a,b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 ab ，滿足 axb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間， 記做 a, b ；滿足 a xb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，記做( a, b) ；滿足 axb ，或 ax b的 實(shí) 數(shù) x 的 集 合 叫 做 半 開 半 閉 區(qū) 間 ， 分

6、 別 記 做 a, b)， ( a, b ； 滿 足x a, x,ax , bx的實(shí)b數(shù) x 的集合分別記做 a, ),( a,),(, b,(, b) 注意：對(duì)于集合 x | ax b 與區(qū)間 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必須a b （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f ( x) 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于 1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負(fù)

7、）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若 f (x) 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知f (x) 的定義域?yàn)?a, b ，其復(fù)合函數(shù) f g (x) 的定義域應(yīng)由不等式ag ( x)b 解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域， 根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義;.（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與

8、值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)yf (x) 可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)0 ，則在 a( y)0 時(shí)，由于 x, y 為實(shí)數(shù)，故必須有b2 ( y)4a( y) c( y)0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化

9、為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法： 利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【】函數(shù)的表示法（ 5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念設(shè) A 、 B 是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合A 中任何一個(gè)元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f

10、）叫做集合A 到 B 的映射，記作f : AB 給定一個(gè)集合A 到集合 B 的映射，且aA, bB 如果元素a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 】單調(diào)性與最大（?。┲担?1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的圖象判定方法定義性 質(zhì);.如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)（ 1）利用定義某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)yy=f(X)f(x2 )（ 2）利用已知函數(shù)自變量的值 x1 、x2, 當(dāng) x1<的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象x2 時(shí)，都有 f(x 1)<f(x2) ，f(x1 )（在某個(gè)區(qū)間圖那么就說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)ox

11、x象上升為增）間上是增函數(shù) 12x函數(shù)的（ 4）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I 內(nèi)（ 1）利用定義某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)yy=f(X)（ 2）利用已知函數(shù)自變量的值 x1、x2，當(dāng) x1<f(x 1)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象x2 時(shí)，都有 f(x 1)>f(x2) ，2f(x )（在某個(gè)區(qū)間圖那么就說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)ox1x 2x象下降為減）間上是減函數(shù) （ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf g( x) ，令 ug (x) ，若 yf (u) 為增，

12、 ug (x) 為增，則yf g( x)為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則 yf g( x) 為增；若 yf (u)為增， ug( x) 為減，則yf g( x) 為減；若yf (u) 為減， ug (x) 為增，則yf g( x)為減（ 2）打“”函數(shù) f ( x)xa (a0)的圖象與性質(zhì)xf (x) 分別在 (,a 、 a ,) 上為增函數(shù)，分別在a ,0) 、 (0,a 上為減函數(shù)（ 3）最大（?。┲刀x一般地， 設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) M滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI ，都有 f (x) M ；（ 2）存在 x0I ，使得f ( x

13、0 ) M 那么，我們稱 M 是函數(shù) f ( x) 的最大值，記作f max ( x)M yox一般地， 設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)镮 ，如果存在實(shí)數(shù)m 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI ，都有 f ( x)m ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 )m 那么，我們稱m 是函數(shù) f (x) 的最小值，記作fmax ( x)m ;.【 】奇偶性（ 4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性 質(zhì)如果對(duì)于函數(shù)f(x) 定義（ 1）利用定義（要域內(nèi)任意一個(gè)x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x), 那么函關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（ 2）利用圖象（圖數(shù) f(x) 叫做奇函數(shù) 象關(guān)于原

14、點(diǎn)對(duì)稱）函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x) 定義（ 1）利用定義（要域內(nèi)任意一個(gè)x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x) , 那么 函 數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（ 2）利用圖象（圖f(x) 叫做偶函數(shù) 象關(guān)于 y 軸對(duì)稱）若函數(shù) f (x) 為奇函數(shù)，且在 x 0 處有定義，則 f (0) 0 奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（ 1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義

15、域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yf ( x)yf ( x)伸縮變換h 0,左移 h個(gè)單位 h 0,右移 | h|個(gè)單位k 0,上移 k個(gè)單位 k 0,下移 | k|個(gè)單位y f (x h) y f (x) kyf ( x)01,伸1,縮yf ( x)0A 1,縮A 1,伸對(duì)稱變換y f ( x) y Af ( x);.yf ( x)y f ( x) y f ( x)yf ( x)x軸yf (x)yf()y軸f(x)xy原點(diǎn)f ( x)yf ( x)直線 y