勾股定理知識點梳理

1、勾股定理知識點梳理1直角三角型有哪些特殊的性質 ；角，直角三角型的兩銳角互余；邊，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，用符號表示：在Rt ABC中，a2 b2 c2 ；面積，兩種計算面積的方法。2. 如何判定一個三角形是直角三角形呢？兩個內角互余的三角形是直角三角形；如有一個內角為直角的三角形是直角三角形;果三角形的三邊長為a、b、c 滿足 a 6d，那么這個三角形是直角三角形這樣的兩個命題叫做互逆a2 b2 c2 中，a , b, c 為9,40,41 等6.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有

2、空隙，面積不會改變 根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理 常見方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，(ba)2c2，化簡可證.3 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理； 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4. 互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設, 命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5. 勾股數(shù)能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 正整數(shù)時，稱a , b , c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提

3、高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 , 8,15,17 ；baBbC方法 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 ab c2 2ab c22大正萬形面積為 S (a b) a 2ab b所以a2 b2 c2、 1 112、 方法三：S梯形(a b) (a b) , S梯形2S ade S abe 2 ab c，化簡得證2 2 2一.典型例題類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC中，/ C=90°已知 a=6, c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9，求

4、 c； (3)已知 c=25, b=15，求 a.思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾 股定理的變形使用。舉一反三【變式】類型二:2、如圖,:如圖/ B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,則 AB 的長是多少？勾股定理的構造應用BC的長.思路點撥 則有:由條件角的直角三角形，為此作已知：在中，一一打，一 ,圧-；求:C M A【變式2】已知：面積。/ A=60°, AB=4, CD=2。求：四邊形ABCD 的,-，再由勾股定理計算出 AD、DC的長，進而求出BC的長.舉一反三【變式1】如圖，已知：一-，；，rTnJL ,于

5、P.求證：.類型三：勾股定理的實際應用(一)用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東 60°方*£向走了：丄一到達b點，然后再沿北偏西30。方向走了 500m到達目的地C點。(1) 求A、C兩點之間的距離。(2) 確定目的地 C在營地A的什么方向。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點 D在離廠門中線0.8米處，且CDXAB, 與地面交于H

6、.(二)用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農村進行電網 改造，某地有四個村莊 A、B、C D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村 莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分.請你幫助計算一下， 哪種架設方案最省電線.思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短， 通過利用勾股定理計算線路長, 然后進行比較，得出結論.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm, BC是上底面的直徑只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.解:（提問：勾股定理） AC= I-丄 二一

7、=、廠一亠10.77（ cm）（勾股定理） 答：最短路程約為1 0.77 cm .類型四：利用勾股定理作長為而的線段5、作長為丿、/的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作丄。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示解析：可以把：看作是直角三角形的斜邊，-",為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù), 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1,以0C為半徑， 以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為：。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下

8、列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.（正確）思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（正確）總結升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7、如果 ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8

9、b+10c,判斷 ABC的形狀。，在證明中也常舉一反三【變式 1】四邊形 ABCD中，/ B=90°, AB=3, BC=4, CD=12,AD=13,求四邊總結升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關系來研究圖形的位置關系的 要用到。形ABCD的面積?！咀兪?】已知： ABC的三邊分別為 m2 n2,2mn,m 2+ n2（m,n為正整數(shù)， 且m > n）,判斷 ABC是否為直角三角形分析：本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明:（嵌一沖丫 + （如龍），=M 豐河4 +中心=胸* +加f += （wsa+wa）a所以 ABC是直角三角形【變式3】如圖正方

10、形 ABCD, E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF= ' AB。請問FE與DE是否垂直？請說明。經典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是 3: 4，斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設未知數(shù)，再根據勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組） 求解。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積?！咀兪?】直角三角形周長為 12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積?！咀兪?】若直角

11、三角形的三邊長分別是n+1, n+2, n+3,求n。思路點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3,然后利用勾股定理列方程求解?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8, 15, 17B、4, 5, 6C、5, 8, 10D、8,39,40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，【變式 5】四邊形 ABCD中，/ B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD 的面積。類型二：勾股定理的應用2、如圖，公路 MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30°，點A處 有一所中學，AP= 160m。假設拖拉機行駛時，

12、周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪18km/h，那么學校受影響的時間聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為為多少秒?思路點撥：(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A,實質上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。(2) 要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD= 100(m), BD= 60(m), CD= 12

13、0(m)。拖拉機行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120m 十 5m/s = 24s。答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響， 學校受影響的時間為24秒。，若圖形缺少直角條件，則可以通過作總結升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法 輔助垂線的方法，構造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園， 有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路(假設2步為1m),卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為 3+4= 7(m)設走“捷徑”的路長為 xm，則；八故少走的路長為 7 5 = 2(m)又因

14、為2步為1m，所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1) 直接寫出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多 少？(3) 求出圖中線段 AC的長(可作輔助線)類型三：數(shù)學思想方法（一）轉化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC, D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、 AC邊上的點，且 DE丄DF,若BE=12, CF=5.求線段 EF的長。思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在冋一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD.總結升華：此題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理等知識。通過此題，我們可 以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中