雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)兩種方法

1、雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)y·O·xdd22如圖建立直角坐標(biāo)系，其x 軸上橫坐標(biāo)為d 的點(diǎn)與 d 的點(diǎn)為兩波源。這兩個(gè)波源的振動情況完全相同，則這兩個(gè)波源發(fā)生干涉時(shí)的加強(qiáng)區(qū)為到兩個(gè)波源的距離22差為波長整數(shù)倍n（零除外）的雙曲線簇。其中d,0 、d ,0 為所有雙曲線的公共焦點(diǎn)。這個(gè)雙曲線簇的方程為：22x 2y 212d22nn222y··dOdx22用直線 yl 去截這簇雙曲線，直線與雙曲線的交點(diǎn)為加強(qiáng)的點(diǎn)。將yl 代入雙曲線簇的方程，有：x 2l 21222ndn222解得：xn4l 22n22d上式中， d 的數(shù)量級為1

2、0 4 m ，為 10 7 m 。故 d 2n 22d 2 ， x 的表達(dá)式簡化為：xnl242d其中 l的數(shù)量級為 10 0 m ， d 的數(shù)量級為 10 4 m 。故 l 2104 ， x 的表達(dá)式簡化為：d 2xnl 2nld 2d可見，交點(diǎn)橫坐標(biāo)成一等差數(shù)列，公差為l，這說明：d（ 1）條紋是等間距的；（ 2）相鄰兩條紋的間距為 l 。dl至此，證明了條紋間距公式：x。d楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的海軍航空工程學(xué)院李磊 梁吉峰 選自物理教師2008 年第 11 期在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋（或者暗紋）中心間距為：x L/d ，其中 L 為雙縫與

3、屏的間距，d 為雙縫間距，對單色光而言，其波長 為定值，所以我們得出的結(jié)論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的，但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底出在哪里呢首先我們來看現(xiàn)行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋，如圖2。設(shè)定雙縫 S1、 S2 的間距為d，雙縫所在平面與光屏P 平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L，我們在屏上任取一點(diǎn)P1，設(shè)定點(diǎn) P1 與雙縫 S1、 S2 的距離分別為 r1 和 r2，O 為雙縫 S 、 S 的中點(diǎn)，雙縫S 、S 的

4、連線的中垂線與屏的交點(diǎn)為P，設(shè) P 與P 的距離為x，為了獲得明顯的干涉條紋，在通常情況下L>>d，在這種情況下由雙縫S 、12120101S2 發(fā)出的光到達(dá)屏上 P1 點(diǎn)的光程差r 為S M r r dsin，（1）221其中 也是 OP0 與 OP1 所成的角。因?yàn)?d<<L，很小，所以xsin tan L（2）x因此r dsin dL當(dāng) r dxk0， 1， 2， ，（3）L ± k時(shí)，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中x1當(dāng)r dL ±（ k 2） 時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中是k 0，1， 2， 。（ 3）我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。L當(dāng)

5、 x± kd時(shí)，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0， 1， 2， 。（ 4）1L當(dāng) x±（ k2） d 時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k 0， 1，2， 。（ 4）我們還可以算出相鄰明條紋（或者暗條紋）中心問的距離為x xL（5） x d 。k1k至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問題就在于以上的推導(dǎo)過程中，我們用過兩次近似，第1 次是在運(yùn)用公式r r2 r1 dsin的時(shí)候，此式近似成立的條件是S1P1S2 很小，因此有S1M S2P1， S1M OP101211 1 2很小，只要滿足d<<L 即可，因此r dsin是滿足的。，因此 P OP S S M，如果

6、要保證S P S第 2次近似是因?yàn)?d<<L， 很小，所以 sin tan。下面我們通過表 1 來比較 sin與 tan 的數(shù)值。表 11°2°3°4°5°6°7°sin tan8°9°10°11°sin tan從表 1 中我們可以看出當(dāng) 6°時(shí)， tan sin %。因此當(dāng) 6°時(shí)，相對誤差就超過了 %，因此我們通常說 sintan成立的條件是 5°，當(dāng) 5°時(shí)， sinsintan 就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，很小所對應(yīng)的

7、條件應(yīng)該是x<<L，這應(yīng)該對應(yīng)于光屏上靠近P0 的點(diǎn)，在此種情況下上述的推導(dǎo)過程是成立的，干涉條紋是等間距的。而當(dāng) x 較大時(shí)，也就是光屏上離P0 較遠(yuǎn)的點(diǎn)所對應(yīng)的角也較大，當(dāng) 5°時(shí)， sin tan就不再成立，上述推導(dǎo)過程也就不完全成立了，（ 2）式就不能再用了。此時(shí) sinxL2x2所以， r dsindx± k，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0， 1， 2， ，L2x2r dsindx±（ k1k 0，1， 2， 。2x22 ） ，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中L因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x±Lk，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k 0， 1， 2， ，d 2k 221)L (kx±2，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k 0， 1， 2， 。1)2 2d 2( k2則相鄰的明條紋中心問距為x 明 xk1 明一 xk 明 L(k1)Lkd 2(k 1) 2 2k 2 2d 2鄰暗條紋中心間距為x 暗 xk1 暗一 xk 暗 L (k 11 )L (k1 )22d 2(k 11)2 2d 2(k1)2 222由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。下面我們通過一個(gè)實(shí)例來定量計(jì)算等間距條紋的條數(shù)。例 1：用氦氖激