常微分方程奇解與包絡(luò)實(shí)用教案

1、 奇解奇解包絡(luò)包絡(luò)(bo lu)(bo lu)和奇解和奇解克萊羅方程克萊羅方程(fngchng)(fngchng)（Clairant EquationClairant Equation）本節(jié)要求本節(jié)要求(yoqi)：1 了解奇解的意義；了解奇解的意義；2 掌握求奇解的方法。掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容主要內(nèi)容第1頁/共33頁第一頁，共34頁。2(0)0dyydxycxcxycxydxydy,)(22xy120cxcxcxy,)(, 020c 第2頁/共33頁第二頁，共34頁。21d yyd x例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。sin()yxc解：該方程有通解此外還有兩個(gè)特解y=1和y=-1

2、第3頁/共33頁第三頁，共34頁。xy第4頁/共33頁第四頁，共34頁。定義 如果方程存在(cnzi)某一解，在它所對(duì)應(yīng)的積分曲線上每點(diǎn)處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的奇解。奇解對(duì)應(yīng)的積分曲線稱為奇積分曲線 第5頁/共33頁第五頁，共34頁。一一 包絡(luò)包絡(luò)(bo lu)(bo lu)和奇解和奇解的定義的定義曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身(bnshn)并不并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解：在有些微分方程中，存在一條特

3、殊的積分曲線，奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。程的奇解。 注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。第6頁/共33頁第六頁，共34頁。第7頁/共33頁第七頁，共34頁。例 單參數(shù)(cnsh)曲線族222Rycx )(R是常數(shù)(chngsh)，c是參數(shù)。

4、xyo顯然(xinrn)，Ry是曲線族 的包絡(luò)。 222Rycx )(一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡(luò)的。第8頁/共33頁第八頁，共34頁。注:并不是每個(gè)曲線(qxin)族都有包絡(luò).例如: 單參數(shù)(cnsh)曲線族:222cyx(其中(qzhng)c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡(luò).第9頁/共33頁第九頁，共34頁。 二、不存在二、不存在(cnzi)(cnzi)奇解的判別奇解的判別法法假設(shè)方程(fngchng)(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域(qy)上有定義，如果在D D上連續(xù)且在D D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理，方程的任一解是唯一的，

5、從而在D D內(nèi)一定不存在奇解。有定義的區(qū)域D D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域上.進(jìn)一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。 如果存在唯一性定理?xiàng)l件不是在整個(gè)第10頁/共33頁第十頁，共34頁。222()()2d yaxyd xd ybyxd x例：判斷下列方程是否存在奇解第11頁/共33頁第十一頁，共34頁。定理2.6 方程(fngchng)(1.9)的積分曲線族(C)的包絡(luò)線L是(1.9)的奇積分曲線。( ,),(1.9)dyfx ydx證明： 應(yīng)用定理(dngl)積分曲線與線素場的關(guān)系的充要條件第12頁/共33頁第十二頁

6、，共34頁。三三 求奇解（包絡(luò)線）的方法求奇解（包絡(luò)線）的方法(fngf)(fngf)l C-判別判別(pnbi)曲線法曲線法l P-判別判別(pnbi)曲曲線法線法設(shè)一階方程(fngchng)0),(yyxF的通積分為。0),(Cyx1 C-判別曲線法判別曲線法結(jié)論結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲線中。第13頁/共33頁第十三頁，共34頁。00),(),(CyxCyxC設(shè)由能確定(qudng)出曲線為)(),(:CyyCxxL 則0),(),(CCyCx對(duì)參數(shù)(cnsh) C 求導(dǎo)數(shù)0),(),()(),(),()(),

7、(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx從而(cng r)得到恒等式0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx第14頁/共33頁第十四頁，共34頁。0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx當(dāng)),(),(CyxCyxyx至少有一個(gè)(y )不為零時(shí)有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy這表明曲線(qxin) L 在其上每一點(diǎn) (x(C), y(C) ) 處均與曲線(qxin)族中對(duì)應(yīng)于C的曲線(qxin) 相切。0),(Cyx注意：注意：

8、C-判別判別(pnbi)曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。尚需檢驗(yàn)。第15頁/共33頁第十五頁，共34頁。例例1 求直線求直線(zhxin)族族0pyxsincos的包絡(luò)，這里 是參數(shù)(cnsh)，p 是常數(shù)。解：解：對(duì)參數(shù)(cnsh) 求導(dǎo)數(shù)0cossinyx聯(lián)立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，經(jīng)檢驗(yàn)，其是所求包絡(luò)線。xyop第16頁/共33頁第十六頁，共34頁。例例2 求直線求直線(zhxin)族族03232)()(cxcy的包絡(luò)，這

9、里(zhl) c 是參數(shù)。解：解：對(duì)參數(shù)(cnsh) c 求導(dǎo)數(shù)02)(cxcy聯(lián)立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx從 得到0cxxy 從 得到92 xy032 )(cx因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗(yàn)， 是所求包絡(luò)線。92 xy第17頁/共33頁第十七頁，共34頁。xyoxy 92 xy第18頁/共33頁第十八頁，共34頁。2 p-判別判別(pnbi)曲線曲線結(jié)論：方程結(jié)論：方程 的奇解包含的奇解包含(bohn)在下列方在下列方程組程組00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去 p 而得到(d do)的曲線中。注意：注意： p-判別

10、曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。驗(yàn)。第19頁/共33頁第十九頁，共34頁。例例3 求方程求方程(fngchng)0122ydxdy的奇解。解：解： 從消去 p，得到(d do) p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)(jinyn)，它們是方程的奇解。020122pyp1y因?yàn)橐浊蟮迷匠痰耐ń鉃?sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包絡(luò)。1y第20頁/共33頁第二十頁，共34頁。例例4 求方程求方程(fngchng)22dxdydxdyxy的奇解。解：解： 從消去 p，得到 p-判別(pnbi)曲線經(jīng)檢驗(yàn)， 不是方程(fngchng)的解，故此方程(fn

11、gchng)沒有奇解。02222pxpxpy2xy 注意：注意： 以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得p-判判別曲線和別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進(jìn)行檢驗(yàn)。判別曲線是不是奇解，必需進(jìn)行檢驗(yàn)。第21頁/共33頁第二十一頁，共34頁。 3 克萊羅方程克萊羅方程(fngchng)形式(xngsh)(pfxpy其中(qzhng)(,pfdxdyp 是 p 的連續(xù)函數(shù)。解法解法ppfpxpp)(0ppfx)(0 pcp )(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解第22頁/共33頁第二十二頁，共34頁。結(jié)果結(jié)果(ji gu):Clairaut方程(f

12、ngchng)dxdyfdxdyxy的通解(tngji)(cfcxy是一直線族,此直線族的包絡(luò))(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對(duì)應(yīng)的解是奇解.第23頁/共33頁第二十三頁，共34頁。例例5 求解求解(qi ji)方程方程pxpy1解：解：這是克萊羅方程，因而(yn r)其通解為消去 c，得到(d do)奇解xy42cxcy1cxcycx1012從第24頁/共33頁第二十四頁，共34頁。xyOxy42.42xy 如圖:此方程的通解(tngji)是直線族:,1ccxy而奇解是通解(tngji)的包絡(luò):第25頁/共33頁第二十五頁，共

13、34頁。例例6 求一曲線，使在其上每一點(diǎn)求一曲線，使在其上每一點(diǎn)(y din)的切線截割坐標(biāo)的切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積都等于軸而成的直角三角形的面積都等于2。解解 設(shè)要求設(shè)要求(yoqi)的曲線為的曲線為)(xyy 過曲線任上一點(diǎn) 的切線(qixin)方程為),(yxyxXxyY)(其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為),(yyxxyy 切線截割坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積為2 21)(yyxxyy第26頁/共33頁第二十六頁，共34頁。2 21)(yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2這是克萊羅方程(fngchng)，因而其通解為112cxcyxcc22 消去 c，得到(d do)奇解1

14、xy從02222cxxccy這是等腰雙曲線，顯然它就是(jish)滿足要求的曲線。第27頁/共33頁第二十七頁，共34頁。直線(zhxin)族及其包絡(luò)線第28頁/共33頁第二十八頁，共34頁。2222( )2 909,22190,221903,3229,22x yyyxxxpyp ypdppxpdxpyxpdppcxpcxydxxc 例7 求方程 的解.解 令 求導(dǎo)后整理得由得由得即第29頁/共33頁第二十九頁，共34頁。利用Maple可以得到這個(gè)方程的解曲線如下:注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解,其它(qt)解與這兩條直線相切.restart: with(plots): for j

15、from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);第30頁/共33頁第三十頁，共34頁。本節(jié)要點(diǎn)：1.奇解的定義。2.不存在奇解的判別(pnbi)方法。（1）全平面上解唯一（2）不滿足(mnz)解唯一的區(qū)域上沒有方程的解3.求奇解的包絡(luò)線求法。滿足C判別式。在非蛻化(tuhu)條件下，從C 判別式解出的曲線第31頁/共33頁第三十一頁，共34頁。課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1 求一曲線(qxin)，使在其上每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸的兩截距之和等于常數(shù) a 。2 求解(qi ji)方程，并劃出積分曲線圖。21 1)()(dxdydxdyxy0 22ydxdyxdxdy)()(作業(yè)作業(yè)(zuy)：P10