主成分分析法及其在SPSS中的操作

1、、主成分分析基本原理時(shí)間：2021.03.02創(chuàng)作：歐陽數(shù)概念：主成分分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜 合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種 降維處理技術(shù)。思路：一個(gè)研究對(duì)彖，往往是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。變量太 多無疑會(huì)增加分析問題的難度和復(fù)雜性，利用原變量之間 的相關(guān)關(guān)系，用較少的新變量代替原來較多的變量，并使 這些少數(shù)變量盡可能多的保留原來較多的變量所反應(yīng)的信 息，這樣問題就簡(jiǎn)單化了。原理：假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu) 成一個(gè)nXp階的數(shù)據(jù)矩陣，記原變量指標(biāo)為x” x2,，xp,設(shè)它們降維處理后的 綜合指標(biāo)，即新變量為Zi, S z3,，Zm(mWp),貝 系數(shù)U的

2、確定原則： Zi與Zj (iHj； i, j二1, 2,，m)相互無關(guān)； Zi是Xi, X2,，Xp的一-切線性組合中方差最大者,Z2是與Zi不相關(guān)的X1, X2,，Xp的所有線性組合屮方差最大 者； Zh是與Zi , Z? , , 1都不相關(guān)的Xi ,x2,Xp,的所有線性組合中方差最大者。新變量指標(biāo)Z1, Z2,，Zh分別稱為原變量指標(biāo)X】， X"，Xp的第1,第2,，第m主成分。從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定 原來變量Xj （j二1, 2 ,，p）在諸主成分Zi （i二1, 2 ,，m）上的荷載1門（i二1, 2,，m； j二1 , 2,，p） o從數(shù)學(xué)上可以證

3、明，它們分別是相關(guān)矩陣m個(gè)較大的特征 值所對(duì)應(yīng)的特征向量。二、主成分分析的計(jì)算步驟1、計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣數(shù)，”,其計(jì)算姿込）®_叩口G （ 2,戶1, 2,，P）為原變量乙與A）的相關(guān)系-耳）2,常期雅可比法（Jacobi）求出特2、計(jì)算特征值與解特征方褂A>A.>->Ap>0征值，并使其按大小順序排列；分別求岀對(duì)應(yīng)于特卷值的特征倚實(shí)W,L,P） 二1,即其中表示I苛量的第丿個(gè)分量。3、計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率貢獻(xiàn)率:累計(jì)貢獻(xiàn)率:般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85%冷能，時(shí)特征值, 所對(duì)應(yīng)的第1、第2、第m 5Wp）個(gè)主成分。4、計(jì)算主成分載荷5、各主成分得分三、主成分分

4、析法在SPSS中的操作1、指標(biāo)數(shù)據(jù)選取、收集與錄入（表1）2 Analyze -Data Reduction Factor Analysis, 彈出 Factor Analysis 對(duì)話框：3 > 把指標(biāo)數(shù)據(jù)選入 Variables 框，Descriptives: Correlation Matrix 框組中選中 Coefficients,然后點(diǎn)擊 Continue,返回 Factor Analysis 對(duì)話框，單擊 OK。注意：SPSS在調(diào)用Factor Analyze過程進(jìn)行分析時(shí)， SPSS會(huì)自動(dòng)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，所以在得到計(jì)算 結(jié)果后的變量都是指經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的變量，但

5、SPSS并 不直接給出標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，如需要得到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，則 需調(diào)用Descriptives過程進(jìn)行計(jì)算。從表3可知GDP與工業(yè)增加值，第三產(chǎn)業(yè)增加值、固 定資產(chǎn)投資、基本建設(shè)投資、社會(huì)消費(fèi)品零售總額、地方 財(cái)政收入這幾個(gè)指標(biāo)存在著極其顯著的關(guān)系，與海關(guān)岀口 總額存在著顯著關(guān)系。可見許多變量Z間直接的相關(guān)性比 較強(qiáng)，證明他們存在信息上的重疊。主成分個(gè)數(shù)提取原則為主成分對(duì)應(yīng)的特征值大于1的前 m個(gè)主成分。特征值在某種程度上可以被看成是表示主成分 影響力度大小的指標(biāo)，如果特征值小于1,說明該主成分的 解釋力度還不如直接引入一個(gè)原變量的平均解釋力度大， 因此一般可以用特征值大于1作為納入標(biāo)準(zhǔn)。通過

6、表4（方 差分解主成分提取分析）可知，提取2個(gè)主成分，即m二2, 從表5（初始因子載荷矩陣）可知GDP、工業(yè)增加值、第三 產(chǎn)業(yè)增加值、固定資產(chǎn)投資、基本建設(shè)投資、社會(huì)消費(fèi)品 零售總額、海關(guān)出口總額、地方財(cái)政收入在第一主成分上 有較高載荷，說明第一主成分基本反映了這些指標(biāo)的信息; 人均GDP和農(nóng)業(yè)增加值指標(biāo)在第二主成分上有較高載荷， 說明第二主成分基本反映了人均GDP和農(nóng)業(yè)增加值兩個(gè)指 標(biāo)的信息。所以提取兩個(gè)主成分是可以基本反映全部指標(biāo) 的信息，所以決定用兩個(gè)新變量來代替原來的十個(gè)變量。 但這兩個(gè)新變量的表達(dá)還不能從輸出窗口中直接得到，因 為"Component Matrix是指初始因

7、了載荷矩陣，每一個(gè) 載荷量表示主成分與對(duì)應(yīng)變量的相關(guān)系數(shù)。用表5（主成分載荷矩陣）中的數(shù)據(jù)除以主成分相對(duì)應(yīng) 的特征值開平方根便得到兩個(gè)主成分中每個(gè)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的 系數(shù)。將初始因子載荷矩陣屮的兩列數(shù)據(jù)輸入（可用復(fù)制 粘貼的方法）到數(shù)據(jù)編輯窗口（為變量Bl、B2）,然后利 用 "TransformCompute Variablen , 在Compute Variable對(duì)話框中輸入“Al二B1/SQR（7. 22） ” 注:第二主 成分SQR后的括號(hào)屮填1. 235,即可得到特征向量?jī)海ㄒ姳?6)o同理，可得到特征向量侵。將得到的特征向量與標(biāo)準(zhǔn) 化后的數(shù)據(jù)相乘，然后就可以得出主成分表達(dá)式注

8、：因本 例只是為了說明如何在SPSS進(jìn)行主成分分析，故在此不對(duì) 提取的主成分進(jìn)行命名，有興趣的讀者可自行命名。標(biāo)準(zhǔn)化： 通過AnalyzeDescriptive Statistics Descriptives對(duì)話框來實(shí)現(xiàn)：彈出Descriptives對(duì)話框 后，把XiXio選入Variables 框，在Save standardized values as variables前的方框打上鉤,點(diǎn)擊"OK” ,經(jīng) 標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)會(huì)自動(dòng)填入數(shù)據(jù)窗口屮，并以Z開頭命名。以每個(gè)主成分所對(duì)應(yīng)的特征值占所提取主成分總的特 征值之和的比例作為權(quán)重計(jì)算主成分綜合模型，即用第一 主成分F1中每個(gè)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)乘上第一主成分F1所 對(duì)應(yīng)的貢獻(xiàn)率再除以所提取兩個(gè)主成分的兩個(gè)貢獻(xiàn)率之和, 然后加上第二主成分F2中每個(gè)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)乘上第二 主成分F2