初二數(shù)學寒假講義 第6講.一次函數(shù)初步 教師版

1、6一次函數(shù)初步滿分晉級階梯函數(shù)5級一次函數(shù)解析式與圖象函數(shù)4級一次函數(shù)初步函數(shù)3級函數(shù)初步秋季班 第十二講寒假班 第六講春季班 第一講漫畫釋義 發(fā)考試成績啦知識互聯(lián)網(wǎng)題型切片題型切片（兩個）對應題目題型目標正比例函數(shù)例1；練習1；例2；例3；練習2；一次函數(shù)例4；例5；練習3；例6；練習4；練習5；例7編寫思路本講內(nèi)容主要分為兩個模塊，模塊一主要講解正比例函數(shù)，它的特點是，從解析式角度，常數(shù)項為0，從圖象角度，直線過原點；另外直線的上升/下降趨勢取決于k>0/k<0，該版塊內(nèi)容比較基礎，例1至例3進行了一些基本題目的練習；模塊二介紹一次函數(shù)的相關內(nèi)容，重點練習了函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限

2、與一次函數(shù)解析式各參數(shù)之間的關系，例4、例5進行了集中訓練；本模塊還介紹了求解一次函數(shù)解析式的重要方法待定系數(shù)法，例6進行了練習；本講的最后一部分是北京十二中2012-13年度初二期末的考試真題，主要練習了一次函數(shù)動點坐標與面積問題，總結了解題方法供老師參考模塊一 正比例函數(shù)知識導航定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中叫比例系數(shù).圖象：正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過原點的直線.函數(shù)也叫直線.示意圖（草圖）圖象位置變化趨勢性質(zhì)（增減性）經(jīng)過原點和第一、三象限從左向右上升隨的增大而增大隨的減小而減小經(jīng)過原點和第二、四象限從左向右下降隨的增大而減小隨的減小而增大夯實基礎【例1】 若函數(shù)是正比例函

3、數(shù)，則的值是_； 下列比例式中，變量與成正比例的是（ ）A. B. C. D. 若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，當時，若，則的取值范圍是_；若，則的取值范圍是_； 如果一個函數(shù)具有以下兩條性質(zhì)： 它的圖象是經(jīng)過原點的一條直線； 隨的減小而減小請寫出一個滿足上述兩個條件的函數(shù)解析式_（實驗中學期末試題）【解析】 且，所以. D.由比例的基本性質(zhì)，將四個等式化簡，符合的形式即為正比例函數(shù). ；. 條件說明該函數(shù)為正比例函數(shù)，條件說明比例系數(shù)，符合以上兩點即可.【例2】 下面哪個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限（ ）A B C（為常數(shù)） D 若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則隨的增大而_；（填“增大”或“減

4、小”） （西城區(qū)期末試題） 正比例函數(shù)圖象上有一點，點的橫坐標為，過作軸，垂足為，則； 在正比例函數(shù)圖象上有一點，點的橫坐標為，過作軸，垂足為，若，則【解析】 D； 減??； 2； ，注意分類討論.能力提升【例3】 一個函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線，并且這條直線經(jīng)過點與點，求這個函數(shù)解析式及的值，并畫出圖象； 已知與成正比例，且當時， 你能求出的表達式嗎？ 當時，的值是多少？【解析】 設解析式為，由過點可得當，代入得，解析式為再將代入中，解得.畫圖略，這里告訴學生，畫正比例函數(shù)的圖象可選取兩點：. 設，由，可得解析式為 當時，.模塊二 一次函數(shù)知識導航 定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做一次函數(shù).當時

5、，即為，所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù). 圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，我們稱它為直線，它可以看作直線平移個單位長度而得到（當時，向上平移；當時，向下平移） 圖象與軸交于點，與軸交于點示意圖（草圖）經(jīng)過的象限變化趨勢性質(zhì)（增減性）一、二、三從左向右上升隨的增大而增大，隨的減小而減小一、三、四一、二、四從左向右下降隨的增大而減小，隨的減小而增大二、三、四待定系數(shù)法求解析式：函數(shù)解析式滿足條件的兩點與一次函數(shù)的圖象直線夯實基礎【例4】 對于函數(shù)（為常數(shù)），當時，它是正比例函數(shù)；當時，函數(shù)表示一次函數(shù)，其表達式是 ； 一次函數(shù)的圖象是將正比例函數(shù)的圖象向_平移_個單位長度得到的，經(jīng)過第_象限；將直

6、線向下平移2個單位會得到直線_，直線不經(jīng)過第_象限；由以上平移可判斷直線與的位置關系是_，直線與的位置關系為_；如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限，且與軸負半軸相交， 那么（ ）A，B，C，D，（實驗中學練習題）已知一次函數(shù)，其中，則所有符合條件的一次函數(shù)的圖象一定都經(jīng)過（ ）（西城期末）A第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限【解析】 ； ； 上，1，一、二、四； ， 二 ；平行，平行; B； B.【例5】 下列圖象中，不可能是關于的一次函數(shù)的圖象的是（ ） A B C D如下圖，在同一直角坐標系中，直線和直線的圖象可能是（ ） A B C D 如圖所示，直線和在同一坐標系中的圖

7、象大致是（ ） A B C D【解析】 D；由題意得不可能有，那么圖像不可能是D； B；首先觀察一次函數(shù)過第一、三象限，排除A、D，又因為一次函數(shù)與軸的交點是，當交點在軸上方，正比例函數(shù)過第二、四象限，故B正確；當交點在軸下方，此時正比例函數(shù)過第一、三象限，C不正確；C；觀察發(fā)現(xiàn)四個選項中的直線都是經(jīng)過第一、二、三象限，即；所以經(jīng)過第一、三、四象限，故選C.能力提升【例6】 已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點和 求這個一次函數(shù)的解析式； 求這條直線和坐標軸的交點坐標【解析】 設一次函數(shù)解析式為，將和代入解析式得解得，即一次函數(shù)解析式為； 與軸、軸的交點坐標分別為.真題賞析【例7】 如圖，直線分別與軸、軸交

8、于點、，且點的坐標為，點的坐標為若點是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點 在點的運動過程中，試寫出的面積S與的函數(shù)關系式，并寫出自變量 的取值范圍； 當?shù)拿娣e為時，求出點的坐標(2013北京十二中期末)【解析】 將E代入得設點SOPA=當時，變成一條直線若S=，則，此時點P的位置【分析】此題目的易錯點為自變量的取值范圍，由于題目中規(guī)定“點是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點”，故點P不在坐標軸上，且三角形三邊不能在同一直線上【探究對象】一次函數(shù)動點坐標與面積問題【思路分析】此類題目的一般過程是：在計算面積的過程當中需要用動點坐標表示線段長度，進而表示面積，故需設出動點坐標；因動點在所給圖形上運動，故點的坐

9、標應滿足此圖形所對應的函數(shù)解析式，即找到了y與x之間的關系，代入面積公式即可求得S與x之間的關系；最后，需注意自變量的取值范圍；在一些較難題目中，如果動點在多邊形的邊上運動時，注意應為分段函數(shù)【備注】一次函數(shù)動點問題之面積S與運動t之間的關系將在春季班進行總結講解學有余力的班級，老師們可以帶著學生進行以下專題的探究：【探究對象】利用函數(shù)圖象法求解一次函數(shù)相關問題【探究目的】通過函數(shù)圖象整合出信息，有直觀、清晰、簡明的特點，是訓練學生利用數(shù)形結合的思路解題的重要途徑【探究1】柳卡問題數(shù)學家們咋了？ 據(jù)說，在近代科學史上曾發(fā)生過一件有趣的事：19世紀的一次世界科學會議上，來自世界各國的許多名數(shù)學家

10、共進早餐，法國數(shù)學家柳卡突然向在場的人們提出一個被他稱為“最困難”的問題： 某輪船公司每天中午都有一艘輪船從巴黎的外港勒阿佛爾開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往勒阿佛爾。航行時間都是7晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上，問今天中午從勒阿佛爾開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來？（包括在兩港口相遇）問題提出后，一時竟真的難住了數(shù)學家們，盡管為此進行過探討和爭論，但得到的答案莫衷一是，就是說，這次會議竟還沒有人真正解決這個問題。時隔許久，才有一位數(shù)學家實驗性地畫出了一個簡單到幾乎連小學生都能看懂的圖形，從而宣告問題的徹底解決。這個例子說明用函數(shù)

11、圖象求解問題，體現(xiàn)出了數(shù)形結合的強大威力，圖解如下：【探究2】已知：如圖1，點G是BC的中點，點H在AF上，動點P以每秒2 cm的速度沿圖1的邊線運動，運動路徑為：GCDEFH ，相應的ABP的面積y（cm2）關于運動時間t（s）的函數(shù)圖像如圖2，若AB=6 cm，則下列四個結論中正確的個數(shù)有（ D ）   圖1中的BC長是8cm     圖2中的M點表示第4秒時y的值為24 cm2  圖1中的CD長是4cm     圖2中的N點表示第12秒時y的值為18 cm2  A1個&

12、#160;    B2個      C3個     D4個 （常州市中考題）分析：根據(jù)函數(shù)圖象可以知：從0到2，y隨t的增大而增大，經(jīng)過了2秒，由動點P以每秒2cm的速度運動得，P運動了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段時，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知，從而CD=4cm，面積24cm2，即圖2中的M點表示第4秒時y的值為24 cm2；圖2中的N點表示第12秒時，表示點P到達H點，ABP的面積是18 cm2。四個結論都正確。故選D。教師備注：本題是訓練數(shù)

13、形結合思路的典范，老師應引導學生逐步善于通過圖象獲取信息來分析問題，這是解相關問題的關鍵?！咎骄?】A、B兩地相距45千米，圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時間x的函數(shù)關系有一輛客車9點從B地出發(fā)，以45千米/時的速度勻速行駛，并往返于A、B兩地之間（乘客上、下車停留時間忽略不計）（1）從折線圖可以看出，騎車人一共休息 次，共休息 小時；（2）請在圖中畫出9點至15點之間客車與A地距離y隨時間x變化的函數(shù)圖象；（3）通過計算說明，何時騎車人與客車第二次相遇 （吉林省中考題）分析：（1）看圖可知，折線圖中有兩段水平的線，故休息了兩次，時間是兩次之和（看橫軸），為兩小時； （2）由于客車9點從

14、B地出發(fā)，以45千米/時的速度勻速行駛，由此可以確定它到A、B兩站的時刻，根據(jù)時刻和速度即可畫出圖象；（如上右圖） （3）根據(jù)題意，客車一小時行駛45千米，故它的圖象是兩小時一個來回從左向右看，兩條折線的第二個交點就是它們第二次相遇求出EF的函數(shù)解析式就可以了，找到特殊點（10，0）和（11，45）用待定系數(shù)法可求出，直線EF所表示的函數(shù)解析式為y =45x450 把y=30代入y=45x450，得45x450=30， x= 答：10點40分騎車人與客車第二次相遇思維拓展訓練（選講）訓練1. 已知：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限內(nèi)的兩點及 求、兩點的坐標及這個正比例函數(shù)的解析式； 畫出這個函數(shù)的

15、圖象； 根據(jù)圖象回答，當從2逐漸減小到時，的值是如何變化的？【解析】 將兩點坐標代入中，得 解得，點在第四象限，解析式為，； 畫圖略； 當時，當時， 的值從增大到9.訓練2. 如果直線經(jīng)過一、三、四象限，那么直線經(jīng)過第_象限；直線經(jīng)過第_象限 一次函數(shù)的圖象不過第一象限，則整數(shù) 【解析】 一、二、三；二、四； 依題意得 解得，所以的整數(shù)值為4，5.訓練3. 函數(shù)與的圖象在同一坐標系內(nèi)的大致位置正確的是（ ）A B C D【解析】 C.訓練4. 已知直線經(jīng)過原點和點，直線經(jīng)過點和點 求及的函數(shù)關系式，并畫出圖象 若兩直線相交于點，觀察圖象直接寫出點坐標【解析】 由待定系數(shù)法可得畫圖略； .實戰(zhàn)演

16、練知識模塊一 正比例函數(shù) 課后演練【演練1】 如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的值為_【解析】 由且得.【演練2】 一個函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線，并且這條直線經(jīng)過第四象限及點與點，求這個函數(shù)解析式及的值.【解析】 設解析式為，由過點與點可得 解得直線過第四象限 解析式為將點代入得.知識模塊二 一次函數(shù) 課后演練【演練3】 若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則的取值范圍 為 已知一次函數(shù)，若隨的減小而減小，則該函數(shù)的圖像經(jīng)過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限 如圖，一次函數(shù)的圖像大致是（ ）A B C D若將直線的圖象向上平移3個單位長度后經(jīng)過點，則平移后直線的解

17、析式為（ ）A BC D（西城期末）【解析】 ； A ； B ； A.【演練4】 老師給出一個函數(shù)，甲、乙、丙各正確指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì)： 甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過了第二象限；乙：函數(shù)的圖象也經(jīng)過了第三象限；丙：在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小請你寫出一個滿足這三個條件的函數(shù) （實驗中學月考） 已知：一次函數(shù)的圖象與軸的交點到原點的距離為3，且過點，求它的解析式. （人大附期中）【解析】 根據(jù)丙的說法可肯定，根據(jù)乙的說法可知，例如等符合要求的即可. 依題意得，再將點代入即可求出解析式為或【演練5】 一輛汽車在行駛過程中，路程（千米）與時間（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示，當，關于的函數(shù)解析式為，那么當

18、 時，關于的函數(shù)解析式為 _. 正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點，兩圖象與軸圍成的三角形的面積為，求這兩個函數(shù)的解析式.【解析】 由，當，當，圖象經(jīng)過，兩點，解析式為： 正比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為或.一飯千金幫助漢高祖打平天下的大將韓信，在未得志時，境況很是困苦。那時候，他時常往城下釣魚，希望碰著好運氣，便可以解決生活。但是，這究竟不是可靠的辦法，因此，時常要餓著肚子。幸而在他時常釣魚的地方，有很多漂母（清洗絲棉絮或舊衣布的老婆婆）在河邊作工的，其中有一個漂母，很同情韓信的遭遇，便不斷的救濟他，給他飯吃。韓信在艱難困苦中，得到那位以勤勞克苦僅能以雙手勉強糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便對她說，將來必定要重重的報答她。那漂母聽了韓信的話，很是不高興，表示并不希望韓信將來報答她的。后來，韓信替漢王立了不少功勞，被封為楚王，他想起從前曾受過漂母的恩惠，