對(duì)坐標(biāo)的曲面積分ppt課件

1、 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò)四、兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類曲面分類雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面單側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和曲面分上側(cè)和下側(cè)下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)外側(cè)曲面分左側(cè)和曲面分左側(cè)和右側(cè)右側(cè)(單側(cè)曲面的典型單側(cè)曲面的典型) 其方向用法向量指向其方向用法向量指向方向余弦方向余弦coscoscos 0 為前側(cè)為

2、前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè)設(shè) 為有向曲面為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, , 表示表示 :其面元其面元在在 xoy 面上的投影記為面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為的面積為那么規(guī)那么規(guī)定定,)(yx,)(yx,0時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos類似可規(guī)定類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)( 二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例：引例： 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可緊縮流體的速度場(chǎng)為設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可緊縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向

3、曲面求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面 的流量的流量 . S分析分析: 假設(shè)假設(shè) 是面積為是面積為S 的平的平面面, 那么流量那么流量法向量法向量: 流速為常向量流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv 對(duì)普通的有向曲面對(duì)普通的有向曲面 , ,用用“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限 ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可緊縮流體的對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)

4、的不可緊縮流體的速度場(chǎng)速度場(chǎng)),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進(jìn)展分析可得進(jìn)展分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 那么那么 設(shè)設(shè) 為光滑的有向曲面為光滑的有向曲面, 在在 上定義了一上定義了一個(gè)個(gè)意分割和在部分面元上恣意取點(diǎn)意分割和在部分面元上恣意取點(diǎn),0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分分,yxRxzQzyPdddddd記作記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù); 叫做積分曲面叫做積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分或第二類曲面積分.以下極限都存在以下極限都存在向量場(chǎng)向量場(chǎng)xdydzdPQR),(

5、),(),(zyxRzyxQzyxPA 假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì) 的任的任 那么稱此極限為向量場(chǎng)那么稱此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積積2. 2. 定義定義. . 3.物理意義：物理意義： 流過(guò)有向曲面流過(guò)有向曲面 的流體的流量為的流體的流量為zyPddxzQdd稱為稱為Q 在有向曲面在有向曲面 上對(duì)上對(duì) z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為稱為R 在有向曲面在有向曲面 上對(duì)上對(duì) x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為稱為P 在有向曲面在有向曲面 上對(duì)上對(duì) y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd假設(shè)記假設(shè)記 正側(cè)的單位法向量為正側(cè)的單位

6、法向量為令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 那么對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量方那么對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量方式式 4. 4. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 假假設(shè)設(shè),1kiiki 1之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn), 那那么么i且(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 那么那么 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理: 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè)取上側(cè),),

7、(zyxR是是 上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù), 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 假設(shè)假設(shè),),( , ),(:zyDzyzyxx那么有那么有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 假假設(shè)設(shè),),( , ),(:xzDxzxzyy那么那么有有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負(fù)前正后負(fù))(右正左負(fù)右正左負(fù))闡明闡明: 假設(shè)積分曲面假設(shè)積分曲面 取下側(cè)取下側(cè), 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 把把 分為上下兩部分分為上下兩部分2211:yxz例例1. 1.

8、計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dd yxxyzI其中其中 為球面為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分外側(cè)在第一和第五卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz1222 zyx dxdyxyzzxyyzxI333由于由于 1222 zyx解解: :所以所以 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr 思索根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性0ddyxxyz 下述解法能否正確下述解法

9、能否正確: 例例2. 2. 計(jì)算計(jì)算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中其中 是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為 2 的正立方的正立方體的整個(gè)外表的內(nèi)側(cè)體的整個(gè)外表的內(nèi)側(cè).解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性.原式原式 yxyxdd)(3 的頂部的頂部 ),(:11-11 zxx取前側(cè)取前側(cè) 的底部的底部 取后側(cè)取后側(cè) 13yxyxdd)( yxDyxydd)( 1-3 yxyx 2dd)( yxxyxD dd)( 1 yxDyxdd28 xzy)1, 1(1:2zxx 例例+. +. 設(shè)設(shè)S S 是球面是球面1222zyx的外側(cè) , 計(jì)算SxxzyI2cosdd2解解: 利

10、用輪換對(duì)稱性利用輪換對(duì)稱性, 有有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22 練習(xí)練習(xí). . 位于原點(diǎn)電量為位于原點(diǎn)電量為 q q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為解解: :Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求求E 經(jīng)過(guò)球面經(jīng)過(guò)球面 : r = R 外側(cè)的電通量外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3 四、

11、兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò)四、兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò)ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦描寫曲面的方向用法向量的方向余弦描寫 令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量方式向量方式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影) 例例3 3 計(jì)算計(jì)算dxd

12、ydxdzdydz0, 1222zzyx, , 其中其中為下半球面為下半球面的外側(cè)的外側(cè)解：由于解：由于 ： 221yxz取下側(cè)取下側(cè), , 而而在在xoyxoy面的投影為面的投影為1:22 yxDxy的定向法向量為的定向法向量為 ) 1,1,1(2222yxyyxxn，dxdyyxxdydz221 dxdyyxydxdz221 例例3 3續(xù)續(xù)那么那么dxdydxdzdydzdxdyyxyx1122xyDdxdyyxyx1122xyDdxdyxyDdxdyyxyx2211022201)sin(cosdrrrd yxz111例例4+. 4+. 設(shè)設(shè),1:22yxz是其外法線與是其外法線與 z 軸

13、正向軸正向夾成的銳角夾成的銳角, 計(jì)算計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n 221cosyxx練習(xí)練習(xí). . 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其中其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò)利用兩類曲面積分的聯(lián)絡(luò), 有有zyxzdd)(2yxddcoscosoyxz2 原式原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx )( xxyxD222)(41yx oyxz2原

14、式原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)絡(luò)兩類曲面積分及其聯(lián)絡(luò)xziiiiSQ),( 性質(zhì)性質(zhì): :yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò):yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思索思索:的方向有關(guān)的方向有關(guān), 上述聯(lián)絡(luò)公式能否矛盾上述聯(lián)絡(luò)公式能否矛盾 ?兩類

15、曲線積分的定義一個(gè)與兩類曲線積分的定義一個(gè)與 的方向無(wú)關(guān)的方向無(wú)關(guān), 一個(gè)與一個(gè)與 2. 2. 常用計(jì)算公式及方法常用計(jì)算公式及方法面積分面積分第一類第一類 (對(duì)面積對(duì)面積)第二類第二類 (對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo))二重積分二重積分(1) 一致積分變量一致積分變量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分方程不同時(shí)分片積分)(2) 積分元素投影積分元素投影第一類：第一類： 面積投影面積投影第二類：第二類： 有向投影有向投影(4) 確定積分域確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 當(dāng)當(dāng)yx

16、Dyxyxzz),( , ),(:時(shí)，時(shí)，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(上側(cè)取上側(cè)取“+, 下側(cè)取下側(cè)取“)類似可思索在類似可思索在 yoz 面及面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 . ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計(jì)算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦, 轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P167 P167 題題3(3). 3(3). 設(shè)設(shè)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121思