勾股定理拼圖

1、 勾股定理有著悠久的歷史，是人類勾股定理有著悠久的歷史，是人類最偉大的數(shù)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。但由于學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。但由于教材的編寫遵循了簡約性原教材的編寫遵循了簡約性原則，則，在在學(xué)習(xí)勾股定理知識(shí)的過程中，學(xué)習(xí)勾股定理知識(shí)的過程中，沒能更深入沒能更深入地介紹它產(chǎn)生、發(fā)展的歷史背景、多樣的驗(yàn)證方地介紹它產(chǎn)生、發(fā)展的歷史背景、多樣的驗(yàn)證方法，以及在人類文化發(fā)展史上的貢獻(xiàn)。法，以及在人類文化發(fā)展史上的貢獻(xiàn)。 因此，在因此，在學(xué)生完成了學(xué)生完成了勾股定理勾股定理這章的學(xué)習(xí)這章的學(xué)習(xí)之后，設(shè)置了之后，設(shè)置了勾股定理的勾股定理的“無字證明無字證明”的課的課題學(xué)習(xí)，它屬于題學(xué)習(xí)，它屬于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

2、中所規(guī)定的中所規(guī)定的“實(shí)踐與綜合應(yīng)用實(shí)踐與綜合應(yīng)用”領(lǐng)域的內(nèi)容，是對課本知識(shí)進(jìn)領(lǐng)域的內(nèi)容，是對課本知識(shí)進(jìn)一步的延伸和拓展一步的延伸和拓展，讓學(xué)生更全面的認(rèn)識(shí)勾股定，讓學(xué)生更全面的認(rèn)識(shí)勾股定理，了解理，了解拼圖與定理證明拼圖與定理證明之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過經(jīng)歷綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程，領(lǐng)會(huì)其中的經(jīng)歷綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法，以開拓學(xué)生視野，激發(fā)他們的創(chuàng)數(shù)學(xué)思想方法，以開拓學(xué)生視野，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。新意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。勾股定理證明方法匯總勾股定理證明方法匯總 1 1課前自主探究活動(dòng)課前自主探究活動(dòng)探究報(bào)告探究報(bào)告 請各個(gè)學(xué)習(xí)小組

3、從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可請各個(gè)學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可能多的尋找和了解驗(yàn)證勾股定理的方法。能多的尋找和了解驗(yàn)證勾股定理的方法。 2 2 探探 究究 成成 果果 的的 交交 流流 與與 展展 示示三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽趙爽在為在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖勾股圓方圖”，也稱為，也稱為“弦圖弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證，這是我國對勾股定理最早的證明。明。 2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就

4、。，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就。 方法一方法一n趙爽趙爽n東漢東漢末至三末至三國時(shí)代吳國時(shí)代吳國國人人n為為周髀算周髀算經(jīng)經(jīng)作注，作注，并著并著有有勾股勾股圓方圖圓方圖說說。cb a22)(214ababc22222aabbabc222bac由面積計(jì)算得由面積計(jì)算得 展開得展開得化簡得化簡得用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來證明代用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 。趙爽的趙爽的“弦圖弦圖”證明一證明一ba(a + b)2=c2 + 4(ab)a2+2ab+b2=c2 +

5、 2ab a2 + b2= c2cn加菲加菲(James A. (James A. Garfield,1831 Garfield,1831 1881) 1881)n1881 1881 年成年成為美國為美國第第20 20 任任總統(tǒng)總統(tǒng). .n1876 1876 年提出有年提出有關(guān)證關(guān)證明明. .參考參考:.hk方法方法 二二 (a + b)(b + a) = c2 + 2(ab) a2 + ab + b2 = c2 + aba2 + b2= c2aabbcc方法方法 二二n兩個(gè)證明兩個(gè)證明基本上相同！基本上相同！ n兩個(gè)證明兩個(gè)證明基本上相同！基本上相同！ n

6、兩個(gè)證明都需要用到兩個(gè)恒等式：n(a b)2 = a2 2ab + b2 約公元約公元 263 年，三國時(shí)代魏國的年，三國時(shí)代魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍?dāng)?shù)學(xué)家劉徽為古籍九章算術(shù)九章算術(shù)作作注釋時(shí)，用注釋時(shí)，用“出入相補(bǔ)法出入相補(bǔ)法”證明了證明了勾股定理。勾股定理。 方法三方法三青出青出青朱朱出青入青入朱入a2b2證明證明c2 a2 + b2 = c2希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前，公元前330公公元前元前275）在巨著）在巨著幾何原本幾何原本給出一個(gè)公理化給出一個(gè)公理化的證明。的證明。 1955年希臘為了紀(jì)念二千五百年前古希臘在勾年希臘為了紀(jì)念二千五百年前古希臘在勾股

7、定理上的貢獻(xiàn)，發(fā)行了一張郵票，圖案是由股定理上的貢獻(xiàn)，發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。三個(gè)棋盤排列而成。 方法四方法四n歐幾里得歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約約 325 B.C. 約約 265 B.C.）n歐幾里得歐幾里得的的幾幾何原本何原本是用公理方法建立是用公理方法建立演繹數(shù)演繹數(shù)學(xué)體系學(xué)體系的最早的最早典范典范。n證法四證法四就是取材自就是取材自幾幾何原本何原本第一卷的第第一卷的第 47 命題命題。參考參考:.hkn達(dá)達(dá) 芬奇芬奇( (Leonardo Da Leonardo Da Vinci 1452-1519 )

8、.Vinci 1452-1519 ).n文藝復(fù)興時(shí)期卓越的代表人文藝復(fù)興時(shí)期卓越的代表人物物. .n他不僅是一位天才的畫家，他不僅是一位天才的畫家，并且是大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、并且是大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、力學(xué)家和工程師力學(xué)家和工程師. .n第一次在數(shù)學(xué)上使用加減第一次在數(shù)學(xué)上使用加減(+(+、-)-)符號(hào)符號(hào). . 方法五方法五abc方法五方法五證明證明abc證明證明abcbca證明證明 a2 + b2 = c2abcbcaabc下面據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理下面據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。時(shí)做出的證明。 將將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長為個(gè)全等的直角三角形拼成邊長為(ab)的

9、正方形的正方形ABCD，使中間留下，使中間留下邊長邊長c的一個(gè)正方形洞畫出正方形的一個(gè)正方形洞畫出正方形ABCD移動(dòng)三角形至圖移動(dòng)三角形至圖2所示的位所示的位置中，于是留下了邊長分別為置中，于是留下了邊長分別為a與與b的的兩個(gè)正方形洞則圖兩個(gè)正方形洞則圖1和圖和圖2中的白色中的白色部分面積必定相等，所以部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖圖1圖圖2abcabc5.嘗試拼圖，驗(yàn)證勾股定理嘗試拼圖，驗(yàn)證勾股定理青朱入出青朱入出圖圖c2a2b2 a2 + b2 = c2ac c2 = b2 + a2bIIIIII注意：注意：面面積積 I : 面面積積 II : 面面積積 III= a2 : b2

10、 : c2 IIIIII注意：注意：面面積積 I : 面面積積II : 面面積積 III= a2 : b2 : c2 以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，其中第一、二種類運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，其中第一、二種類型還與拼圖有著密切的關(guān)系型還與拼圖有著密切的關(guān)系。 4.勾股定理的文化價(jià)值勾股定理的文化價(jià)值(1) (1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本規(guī)律勾股定理反映了自然界基本規(guī)律, ,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人外星人”聯(lián)系的聯(lián)系的信號(hào)。信號(hào)。(3)(3)勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(4)(4)勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解題程序樹立勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。了一個(gè)范式。6.小結(jié)反思小結(jié)反思,課題拓展課題拓展我最大的收獲；我最大的收獲；我表現(xiàn)較好的方面；我表現(xiàn)較好的方面；我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)；我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)；我還