最新1995考研數(shù)二真題及解析

1、學(xué)習(xí)-好資料1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)1(1) 設(shè) y=cos(x(D) o x(x -1)(2 -x)dx 設(shè)f (x)在(二)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意x1,x2 ,當(dāng)x1x2時(shí)，都有f (xj f (x2),則()(A)對(duì)任意x, f (x)0(B)對(duì)任意x, f ( -x)乞0(C)函數(shù)f ( -x)單調(diào)增加(D)函數(shù)- f (-x)單調(diào)增加(4)設(shè)函數(shù) f(x)在0,1上 f (x)0,則 f (1) f (0)、f(1)-f(0)或 f(0)-f(1)的大小)sin2 ,貝U y" = .

2、x 微分方程y ' y - -2x的通解為 .lx =1 t2曲線3 在t=2處的切線方程為 .y =t lim(, L)= .Yn2+n+1 n2+n+2 n2+n+n2 2 曲線y二x2e丄的漸近線方程為 .二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符 合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)f(x)和(x)在(：，：)內(nèi)有定義,f(x)為連續(xù)函數(shù),且f(x) = O(x)有間斷點(diǎn)則()(A)f(x)必有間斷點(diǎn)(B)(x)2必有間斷點(diǎn)(C)f (x)必有間斷點(diǎn)(D)Z ( x)(x)必有間斷點(diǎn)f(x) 曲線y =x(x -1)

3、(2 - x)與x軸所圍圖形的面積可表示為()2(A) - 0 x(x -1)(2 -x)dx1 2(B) ox(x -1)(2 -x)dx - ” x(x -1)(2 -x)dx1 2(C) - ox(x -1)(2 -x)dx 十 x(x -1)(2 -x)dx順序是()(A) f (1) . f (0) . f(1)_ f(0)(B)f (1) . f(1)_ f(0) . f (0)(C) f(1) f(0) f (1) f (0)(D)f (1) f(0) 一 f(1) f (0)(5)設(shè) f (x)可導(dǎo),F(x)二 f (x)(1 |sinx|),若使 F(x)在 x=0處可導(dǎo),則

4、必有 ()(A) f (0) =0(B)f (0) = 0(C)f(0)f(0)=0(D)f(0) f(0)=0三、(本題共6小題,每小題5分，滿分30分.)(1)求 lim 1"Sxx)0 x(1 - cos ., x) 設(shè)函數(shù)y =y(x)由方程xef(y) =ey確定,其中f具有二階導(dǎo)數(shù),且f "工1,求d-2dx2 設(shè) f(x2-1)=l,且 f (x)lnx,求 (x)dx.x2 2設(shè)f(x) = xarctarx",試討論f在 x = 0處的連續(xù)性.I 0, x = 0,!x = 1 - cost(5) 求擺線一拱(0乞t乞2 )的弧長(zhǎng).=t si n

5、t(6) 設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度Vt=0 =V0,已知阻力與速度成正比(比例常數(shù)為1),問t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為 y ?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程3四、(本題滿分8分)x2t求函數(shù)f(x) (2-t)e dt的最大值和最小值五、(本題滿分8分)設(shè)y二ex是微分方程x/ p(x)y二x的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件 y %出2二0的特六、(本題滿分8分)如圖，設(shè)曲線L的方程為y二f (x),且y “ . 0 ,又MT ,MP分別為該曲線在點(diǎn)3(1 + v"2)2M (Xo, Vo)處的切線和法線，已知線段MP的長(zhǎng)度為(其中Vo二V (xo),VVy(xo),試推導(dǎo)

6、出點(diǎn)P(,)的坐標(biāo)表達(dá)式.七、(本題滿分8分)設(shè) f (X)=x sinto蔥_tdt,計(jì)算 o f (x)dx .八、(本題滿分8分)-_- = 1,且 f (x) O ,證明更多精品文檔1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)1cos(x2) sin (1)【答案】2xsin(x2) sin22xxx【解析】該函數(shù)是由兩個(gè)復(fù)合函數(shù)的乘積構(gòu)成，滿足復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 22 122y = cos(x ) I sin + cos(x ) is in- - x2 21 2 1 1 1-sin(x2) 2x sin2cos(x2) 2sin

7、cos (-1)二xx x x1cos(x2) sin2-2xsin(x2) sin22x .xx【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：y二(f (x)的導(dǎo)數(shù)為、二(f (x) f (x).(2)【答案】y = g cosx c? sin x - 2x【解析】微分方程 y ： y二-2x對(duì)應(yīng)的齊次方程y ： y = 0的特征方程為r2 1 = 0 ,特征根為R2 =±i,故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為C1 cosx + C2sin x .設(shè)非齊次方程的特解 丫二ax 5,則YJa,Y' = 0,代入微分方程y； y - -2x,得0 ax b = -2x,比較系數(shù)得a =2,b = 0,故

8、Y = -2x .所以通解為y = G cos x C2 sin x - 2x .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)y*(x)是二階線性非齊次方程y ' P(x)y Q(x)y = f (x)的一個(gè)特解.Y(x)是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程y P(x)/ Q(x)0的通解，則y二丫(x) y*(x)是非齊次方程的通解.2.二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y ' P(x)y、Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常數(shù)，方程變?yōu)? py ' qy =0.其特征方程寫為r pr 0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解

9、出兩個(gè)特征根口，鳥；分三種情況：(1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r1,r2,則通解為y二Ge【答案】丄 C2erg(2) 兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根r r2,則通解為y = G C2x erXl;(3) 對(duì)共軛復(fù)根 ri,2 = i -,則通解為 y = ex Ci cos 1 x C2 sin 一： x .其中 G, C2 為常數(shù)3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程y ' P(x) y： Q(x) y二f (x)的一個(gè)特解y* (x),可用待定系數(shù)法，有結(jié)論如下：*k如果f (x) = Pm(X)e九,則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如y(X)= X Qm(x)*的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數(shù)

10、的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根、是特征方 程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =e/xP|(x)cos豹X +Pn(x)sin cox,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y p(x)y ' q(x)y二f (x)的特解可設(shè)為y = xke'x Rx)cosco x + 瓷)(x)sinx,其中Rm)(x)與R)(x)是 m次多項(xiàng)式，m = maxl,n,而k按X + i灼(或九i時(shí))不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.【答案】y -3x 7 =0【解析】切線的斜率為dydx= _dt3t1 呂7 dx2tt =22=3.t=2dt當(dāng)t =

11、2時(shí)，x =5, y =8.故所求切線方程為y-8 =3(x-5).化簡(jiǎn)得 y-3x 7 = 0.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法:如果"'(t)則魚=也y= (t) dx (t)ann2 n 1- 2 -n n 2 n n nnn2 n n1>2n n n n2 n n+川+學(xué)習(xí)-好資料1所以an2n nn 1ann 21 n 1n2 2nn 1n2 2n2n n1,2=-:lim ann l :+lll +n2 nn2 n(n 利)1n2 n:：:lim 1 = 1n. 2 2lim n2 n 22一 1由夾逼準(zhǔn)則，得lim an.即2lim( 2 1廠j

12、n n 1 n n 2)=1【答案】y =0【解析】函數(shù)y2_x=x e的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)2lim y = lim x exx L :去=0,所以曲線只有一條水平漸近線y =0.f (x),則【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù) y = f(X)在其間斷點(diǎn)X =x0處有l(wèi)imX >x。x = X。是函數(shù)的一條鉛直漸近線;水平漸近線：當(dāng)lim f (x)二a( a為常數(shù)),則y = a為函數(shù)的水平漸近線.x L :二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反證法，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，即有限多個(gè)在同一點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)之乘 積,仍然在該點(diǎn)處連續(xù).申()9

13、()設(shè)函數(shù)一兇無間斷點(diǎn)，因?yàn)閒 (x)是連續(xù)函數(shù)，則(x) 兇 f(x)必?zé)o間斷點(diǎn)，這與 f(x)f (x)(x)有間斷點(diǎn)矛盾，故應(yīng)選擇(D).方法二：排除法，舉出反例排除f(xr1,(x:x ： 0,X -0,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料則f(X)三1,f “X)三1, ：(x)2三1都處處連續(xù),排除(A),(B),(C).故應(yīng)選擇(D).【答案】(C)【解析】方法一：利用定積分的求面積公式有D22 2j0 X(x1)(2x) dx = Lx(x1)(2x)dx1 2 =j0x(x-1)(2-x)dx /(x-ld-xldx 應(yīng)選擇(C).方法二：畫出曲線y =x(x -1)(2 -x)的草圖，

14、所求面積為圖中兩面積之和1 2-.0x(x-1)(2-x)dx 彳 x(x-1)(2-x)dx,故應(yīng)選(C).(3)【答案】(D)【解析】因?yàn)閷?duì)任意x(, x2 ,當(dāng)x-1x2時(shí)，-論：必，則函數(shù)f (-xj:： f(-x2),即-f ( Xj $ f ('X?),故f (-x)是單調(diào)增加的.應(yīng)選擇(D).對(duì)于(A)(B)(C)可令 f(x)=x3,則對(duì)任意 X1, X2 ,當(dāng) X1 X2 時(shí)，都有 f(X1) f(X2), 但f(0)=3x2L=0,2f(-x)=3(-x) -0,f (x) = -X,在其定義域內(nèi)單調(diào)減少故排除(A)(B)(C).【答案】(B)【解析】由f (x)

15、.0可知f (x)在區(qū)間0,1上為嚴(yán)格的單調(diào)遞增函數(shù)，故f (1) f (x) f (0) ,(0 ： x ：1)由微分中值定理，f(1)-f(0) = f),(0：1).所以f (1) f 一 f (0) = f ( ) f (0), (0 :：:： 1)應(yīng)選擇(B).【答案】(A)【解析】函數(shù)f (X)在X二X。處可導(dǎo)的充分必要條件是fX0)與f .(X0)存在且相等由于F(xH f (X) f (X)|sinx|,而f (x)可導(dǎo)，所以F(x)在x = 0處可導(dǎo)等價(jià)于f (x) |sin x|在 x = 0可導(dǎo).令(x)二f(x)|si nx|,則(0) = lim 竺沁 彳T+ x(0

16、) -lim f(x)lsinx|I. _ T 一 xf (x)sin x=1叫f (0),.f (x)sin x -limf (0),x)0x于是要使F(x)在x=0處可導(dǎo),當(dāng)且僅當(dāng)-f(O)=f(O),即f(0)=0.故選擇(A).三、(本題共6小題，每小題5 分,滿分30分.)(1)【解析】利用等價(jià)無窮小計(jì)算，即當(dāng)x > 0時(shí)，sinx_ x.2i 2 X 原于1 -cosx11 2sin 2原式=limlim 一xx(1 _cosVx ) 1 + Jcosx 2 7 2xsi£ Jxx i 22廠 =-lim22K2x【解析】這是一個(gè)由復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)所確定的函數(shù) 方法

17、一：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f (y)-xef(y)f (y) y =eyf(y)ey -xf (y)ef(y)將xef(y) =ey代入并化簡(jiǎn)，得 y1x(1-f (y)更多精品文檔兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得-0-x(1-f (y)l -(1-f (y) x(-f (y) y)ly-R(1 f (y)fx(1_f(y)f_1+ yf"(y)xx2(1-f (y) x2(1-f (y)3方法二：方程兩邊先取對(duì)數(shù)再對(duì)x求導(dǎo).(1-f (y) x(1-f (y)廠1x(1-f (y)代入并化簡(jiǎn)得求導(dǎo)得因?yàn)閒 21,所以八x(1-f (y)以下同方法【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：討仝* f (x)

18、的導(dǎo)數(shù)為y''hF:,：( f (x) f (x). 【解析】首先應(yīng)求出(X)的表達(dá)式由22Xf (x-1) = ln r lnx -2x2 -11x2 -1 -1令 x2 -1 =t,得 f (t) =1 n1.又t -1護(hù)(x) + 1 f"lnih(x) 1則1(x) -1X +1=X.解得(x-因此X1x +12厚(x)dx= Jdx=心+)dx = x + 2ln x 1 X _1X_1(4)【解析】函數(shù)f (X)在X二X。處的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的充分必要條件是f_(X。)與(X。)存在且必與f(X。)相等.1當(dāng) x = 0 時(shí)，f (x)二 arctan 飛 x空

19、4,由于1 X412x2lim f (x) = lim f (x lim f (x) = lim arcta1 X4f (x)1 二limarcta n 2 xoxx x)ox 2所以iim f(X)二m f(X)二 f (0).f (0limf()砂=limxT x-0T故f (x)在x = 0處連續(xù).(5)【解析】由弧微分公式得所以jiji=-0 -22ds = ,x(t)丨ly (t) f dt 二.sin21 (1 -cost)2dt2(1 -cost)dt,乙' 2s= o ；2(1-cost)dt 二 0sin 2tdt = 2Jr2 sindt11=4 cos4(-1-1

20、) = 8.12 一。'丿(6)【解析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為v(t),由題設(shè)，阻力為v(t),按牛頓第二定律有其中質(zhì)量m =1,即二-v(t).dt這是簡(jiǎn)單變量可分離的微分方程，解之得v(t)二Ce.另有初始條件v(0) = v0,得v(t)二voe'.當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)的速度為 v°時(shí),有也二we"1,得t = ln3 .33到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為In3-屮3(1 2S = J0v0edt =-v0e0=v03 j 丿=§v0.四、(本題滿分8分)x2t【解析】對(duì)函數(shù)f (x)(2 -t)e dt兩邊求導(dǎo)并令f(X)= 0,得2x2f (x) =2x(

21、2 -X2)e=0,解得駐點(diǎn)X=0,Xht柩.由于(x)>0,(x)c0,(x)>0, f(x)7：x _ 、2, -、2 x 0, 0 x ： 、2, . 2 x ：,f(x)嚴(yán)格單調(diào)增, f(x)嚴(yán)格單調(diào)減, f (x)嚴(yán)格單調(diào)增, f(x)嚴(yán)格單調(diào)減,所以f(i、2), f('、2)為函數(shù)f (x)的極大值點(diǎn)，f(0)為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，且f (土臨=f (2 -t)edt =-(2 -t)e2 - fe'dtR+e',0丄f(0H 0(2-t)e dt =0,又f(x)=!i_mf(x)=譏(2 -t)edt = -(2-t)e'：-廣

22、e'dt =1,所以 f(-2) =1 e為函數(shù)f(x)最大值，f(0)=0為函數(shù)f(x)的最小值.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式：舟：f tdt" x ： x f ： x ： x 五、（本題滿分8分）【解析】把y二ex和y丄ex代入所給的一階線性微分方程，得xex p(x)ex = x,解得 p（x） = xe-x .線性方程被確定為xy ' （xe-x） y = x,即y （e-1）y "這是一階線性非齊次微分方程，通解為_ (e 丄 J)dx =e(f |(e4)dx ! edx Cx_x r_e .xe xdx +C )=e_edx Cee-1

23、如 =eii e-dx C再由= e"x(e" C) =ex Ce"xy x=ln21 ln2e n22=0得 eCe =0,即 C=-e2故所求的特解為y二ex -e"近【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程¥ p（x）y二q（x）的通解公式為：P(x)dxy = e (. q(x)ep(x)dxJ dx+C),其中C為常數(shù).六、（本題滿分8分）【解析】要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，也就是說，要用x0, y0,y0, y0,表示出,.由 MP =(1+y02/yo：有-Xo）2 （ y。）丄綸y。又由法線的斜率與切線斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系 ，知- X。-yo把式,即一 X。）- - y°（ - y。）代入消去,得到2 2 2 2(-yo) =(1 yo) /y。,由y".o,知曲線是向上凹的，容易看出 .y0,所以可化為yo于是得E =Xo £(1 + yo2), !y;二 yo .(1 y。2). yo七、（本題滿分8分）【解析】方法一：這是一