旋轉(zhuǎn)幾何證明知識講解

1、旋轉(zhuǎn)幾何證明精品文檔巧用旋轉(zhuǎn)解題溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉(zhuǎn)的例子，尤其是正方形和等腰三 角形中。因此旋轉(zhuǎn)的方法是幾何學(xué)習(xí)中必備的技巧，本文將介 紹旋轉(zhuǎn)方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學(xué)習(xí)、交流。1 .利用旋轉(zhuǎn)求角度的大小 例1:在等腰直角中,/90° , P是內(nèi)一點(diǎn)，滿足76、2、1 求/的度數(shù).分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，味三簧 線段的' p .y '長度是已知的，但是這三條線段不是三角形A勺言星r/4B要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉(zhuǎn)來分析問題，因?yàn)?，這就給我們利用旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將 APC繞點(diǎn)C逆時針

2、旋轉(zhuǎn)900 ,得BPC,連接PP ,通過三角形的邊與角的關(guān)系分別求得CPP和 PPB,就可得到 BPC的大小。解：由已知，將 APC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得BPC,連接PP ；由旋轉(zhuǎn)可知： PCB ACP, CP CP , AP BP ；P CB PCB ACB 90° ,PCP是等腰直角三角形，CPP CP P 45°且PP 2在 PPB 中，= PB2 PP 2 22 （加）2 6 （眄? ap2 BP2,二 PPB是直角三角形，且 P PB 900 , BPC CPP P PB 450 9001350 .例2:如圖所示，正方形的邊長為1, P、Q分別為邊、

3、上的 點(diǎn)，APQ的周長為2,求 PCQ的大小.分析：本題在已知三角形的周長和正方形的邊長的條件下求角度的大小是比較困難的，因?yàn)檎叫蔚倪呴L ,所以可以考慮 將PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90° ,易證E、D Q三點(diǎn)共線，通過 證明ECQ和PCQ全等即可求得 PCQ的大小.90 得 EDCPCB , EDDCQ PCQ解：; ，將PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)EDCCBP 900 ,ECDCE CP ;ECDDCQPCQPCB且 EDC CDA 1800 , E、DX Q三點(diǎn)共線,APQ的周長為2,即AQ AP PQ 2,又 AQ AP PB QD AB AD 2 ,PQ PB DQ ED DQ E

4、Q ,CE CP在 ECQ 和 PCQ 中： EQ PQ ,ECQ PCQ ；CQ CQPCQ ECQ 450 .練習(xí)1: P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且123,求/的大小.2 .利用旋轉(zhuǎn)求線段的長度 例3:如圖，P是等邊內(nèi)一點(diǎn)，2, PB 243, 4,求的長。分析：本題雖然和、同處一個三角形，但是要求其長還缺角度，因此直接從已知條件入手是比較困難的，但是整當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的'p方法，就可以是問題簡單化；因?yàn)楸绢}的是等&三A角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將內(nèi)部的 某個三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較容易的；解： 是等邊三角形，.將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60° ,則與重合， ABP EBC 且

5、，連接；0ABP CBP EBC CBP 60 ,二.EBP是等邊三角形，二 EP PB 2,3; 在 ECP 中：EP2 EC2(2<3)2 22 16 CP2 ;0 CEP 900 ,: EC -PC,. EPC 30°,20 BPC 90 ,二 BC "PC2 PB2 V42 (2v13)2 J28 2電例4:如圖，在梯形中，(>),/ 90,12, / 45°，若 10。求的長度。分析：仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)本題所給的條件不易 _尸直接求得的長度，還需要做一些變化，經(jīng))E容易發(fā)現(xiàn)把把繞點(diǎn) B順時針旋轉(zhuǎn)90°可構(gòu)成一個正方形，然后通過三角形全

6、笨就找出解：把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°彳導(dǎo)BGF,連接AG ,易證邊之間的關(guān)系。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除三點(diǎn)一線，且易知四邊形為正方形.由旋轉(zhuǎn)可得：CBE GBF, BE BF ,ABE 450 ,ABF ABG GBFABGCBE 450.在BE BF ABE 和 ABF 中： ABE ABF,AB AB.在ABE ABF,二 AE AF設(shè)CEx,貝 U AG 10x，AD DGAG12(10DE DC CE 12 x ;在 RtADE, AE2 AD2DE2 ,即 102(x2)2(12x)2 ；x2 10x 24 0 ,解之得:X14,X26；的長為4或6.練習(xí)2:如

7、圖四邊形中，/ 90° ,其面積為16,求A到的距離.3.利用旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系 例5:如圖，在凸四邊形中，/ 30° , / 60° ,求證：BD2 AB2 BC2.分析：由本題的結(jié)論不難想到在直角三角形中應(yīng)用勾股定理可以證得含有平方關(guān)系的線段之間的關(guān)系,尹立、 我們就需要將結(jié)論中的這三條線段放到同一個直版ra>bC由于，所以可以考慮將 ADB繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn) '600 / 弋/使和重合，這樣就可以得到Rt BCE,然后通過證明EDBE是等邊三角形就可以得到結(jié)論中線段之間的關(guān)系.解：將ADB繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)60° ,使和重合，

8、得DCE弁連接EB ,由旋轉(zhuǎn)可得：ADBCDE , DCE DAB, DB DE ；0BDEBDCCDE BDC ADE ADC 60 ,二.DBE是等邊三角形，DB BE ,0DCB DCE DCB DAB 270 BCE 90°, /. RtBCE 中：BE2 CE2 BC2 , 2222 BD BE CE BC .例6:如圖，在中，/ 90° , , D E在上，/ 45° ,求證：CD 2 BE2 DE2 .分析：由本題的結(jié)論我們可以聯(lián)想到直角三角形中勾股定 理的結(jié)論，因此我們就需要將結(jié)論中的三條線段放在同一個直 角三角形中，再由,a我們不難想到將 ADC

9、繞點(diǎn)A延順時針方向旋多;9夕 這樣我們就將DC、BE放到了同一個三角形甲，E D 同時我們也不難證明FBE 900 ,然后我們只要設(shè)法證明AFE AED ,則結(jié)論可得.解：: ，將ADC繞點(diǎn)A延順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得AFB, 連接EF ,由旋轉(zhuǎn)可得：FAB CAD , FBA ACD 450 , FB DC,AF AD ;:EAD 45°,BAE CAD BAE FAB FAE 45° ,AF AD在 AFE 和 AED 中： EAD FAE,. AFE AED； AE AEEF ED ,0 FBE FBA ABC ACD ABC 90二 FBE 是 Rt , 二

10、 BF2 BE2 EF2 ED2.練習(xí)3:如圖、，是正三角形，是頂角/=1200 的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個600角，角的兩邊分別交、 邊于M N兩點(diǎn)，連接.探究：線段、之間的關(guān)系，弁加以證明.4.利用旋轉(zhuǎn)求面積的大小30° , / 15° ,求的面積.FC例7:如圖正方形中，ab J3,點(diǎn)E、F分別在、上，且/分析：本題由已知條件直接去求結(jié)論是比較疝 由于該題中含15° , 30°等特殊角度，因此通過 可構(gòu)作出45°角，構(gòu)造三角形全等，通過等儂打帕 問題是比較容易的解：將繞A點(diǎn)延順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得4,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AG

11、AF , BAG FAD 15°,ABG FDA 900 ,: ABG ABC 180°,點(diǎn) G B、E 三點(diǎn)共線，又:GAE GAB BAE 450 , EAF 900(150300)450 ,AG AF在 AFE 和 AGE 中： GAE FAE ,. AFE AGE；AE AE EF EG,又 AEF AEG 600 ,RtABE 中：AB 73 , / 30° , BE 1,在中FEC 1800 (600 600) 600 ,/. EC BC BE、/31 ,/.EF 2EC2(/31),EF EG 2(73 1),S AEG - EGAB1 2(731)

12、 33 3V3 ,22 S AEF S AEG 3- 3例8:如圖A B、C、D是圓周上的四個點(diǎn)，Ab Cd Ac ?d .且弦8,弦6,則圖中兩個弓形(陰影)的面 積和是多少？分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知 條件Ab Cd Ac ?d ,容易發(fā)現(xiàn)Ab Cd正好是整個圓弧的一 半，因此通過將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會很容易.解：由于Ab Cd Ac Bd ,知Ab Cd的長正好是整個圓弧的 一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) D與點(diǎn)B重合（如圖2）:則 Abc恰好為半圓弧，為 e O的直徑， ./90° ,由勾股定理

13、可求得 AC 10,215-68 12.521S陰影梟圓SRt ABC 二2練習(xí)4:如圖是等腰直角三角形，D為的中點(diǎn)，2,扇形和分別是以、為半徑的圓的4,求陰影部分面積.A.參考答案:練習(xí)1 ：1350 ,提示：如圖將 BPC逆時針旋轉(zhuǎn)900得AEB,連接PE,分別求得 APE和 BPE .練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)3 練習(xí)練習(xí)2:距離為4,如圖通過旋轉(zhuǎn)變換得正方形.練習(xí)3： MN NC BM ,把繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到CDM ,易證 DMN CDM .練習(xí)4:， 1),將扇形和繞D點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180° .觀察巧旋轉(zhuǎn)妙解題沈岳夫旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動中的重要變換，隨著課程改革的進(jìn)一

14、步 深入，利用旋轉(zhuǎn)知識進(jìn)行有關(guān)計算或證明的題目很多，尤其是 題目中沒有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字，使不少學(xué)生在解答時無從著 手，找不到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通 過旋轉(zhuǎn)，找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現(xiàn)采擷部 分試題加以歸納，供參考。一.通過旋轉(zhuǎn)，解答角度問題例1.如圖1, P是正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且 6, 8, 10。求/ 的度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個三角形中，再研究這個三角形與所求的關(guān)系。將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到,連接（如圖 2）, 則 10, 6, / 60° 。是等邊三角形，6。在中，-L 1-/ 90°/ 60

15、76; +90° =150°圖2通過旋轉(zhuǎn)，計算線段長度問題例2.如圖3, P是正內(nèi)一點(diǎn)，2, PB=2g, 4,求的長。解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法來 解題，就顯得十分容易。將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60° ,則與重合（如圖4）,連 接。則是正三角形，即MP=2PC=4,MC = 2 ,由廣，. 故/ 90 ° ,MC= - PC 因?yàn)?2,例3.如圖5, 10。求的長度。在梯形中，（）,/ 90° , 12, /45° ,若DC解析：經(jīng)觀察,圖5把繞點(diǎn) B順時針旋轉(zhuǎn)90° ,可構(gòu)成一個所以/ 30°

16、 , 又因?yàn)? 60° , 故/ 90 ° , 得"一正方形，然后通過三角形全等，找出邊之間的關(guān)系。延長，把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90° ,與的延長線分別交于 點(diǎn)G,點(diǎn)M （如圖6）,易知四邊形為正方形。又/應(yīng)./ 45°應(yīng).10設(shè)，則:1'I1.匚 1 - 11 一在中，AE，= AD、DE即.二一一二 I一所以的長為D圖6三.通過旋轉(zhuǎn)，巧算面積問題例4.如圖7,正方形中，AB=g，點(diǎn)E、F分別在、上，且 /30° , / 15° ,求的面積。圖7解析：由于該題中含15。，30。等特殊角度，通過旋轉(zhuǎn)4, 可構(gòu)作出45&#

17、176;角，構(gòu)造三角形全等，通過等積變形而獲解。將繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（如圖8）,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，/ 15° ,故/ 15° +30° =45° 。./90。-。5。+ 3嗎=45。 / /又丁應(yīng)（）./ 60°在中，AB=g , / 30°，貝U 1,在中，/ 1即。-6口、印呢皿口，L1- -1-EF= NEC =23-1)即 EG = EF = 21君-1)SiAE(i = |x EG xAB= 1x2(75- 1) .幣=3-4AAEF = $iAEG =3一 出圖8例5.如圖9, A B、C、D是圓周上

18、的四個點(diǎn)，AB+cb=AC+BDo且弦8,弦4,則圖中兩個弓形（陰影）的面 積和是多少？（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）圖9解析：要直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，運(yùn) 用整體思維可簡易求得。由于值無=:6而，知盤十心長等于圓的周長的一半，將弓 形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合（如圖10）,則也玩恰好為半圓弧，此時為圓 。的直徑，從而/ 90° ,由勾股定理可求得ac = 4萬，國第=M卓國-Seuiabc =彳 X 3 -14 父（2石）Q 一 乂苫 m 4 fs 15一4 故其面積和為15.4。圖10四.通過分割、旋轉(zhuǎn)、拼接平行四邊形例6.如圖11,已知四邊形紙片，現(xiàn)需將該紙片剪成

19、一個與 它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條， 能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，請確 定裁剪線的位置，弁說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說 明理由。解析：解此題的關(guān)鍵是把大四邊形分割成四個小四邊形，然 后通過分割旋轉(zhuǎn)達(dá)到目的，簡答如下：能，如圖12,取四邊形各邊的中點(diǎn) E、G F、H,連接、， 則、為裁剪線，、將四邊形分成 1、2、3、4四個部分，拼接 時，圖中的1不動，將2、4分別繞點(diǎn)H F各旋轉(zhuǎn)180° , 3平 移，拼成的四邊形滿足條件（如圖 13）。圖12B G C圖13五.通過旋轉(zhuǎn)巧證三點(diǎn)一直線例7.已知，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，連接、。（

20、1）將繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°到p1cb的位置（如圖14）設(shè)的長為a,的長為b （b<a）。求旋轉(zhuǎn)到 p1®的過程 中邊所掃過區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。若2, 4, / 135° ,求的長。圖14（2）如圖15,若PAn+PcLNPE ,請說明點(diǎn)P必在對角線 上。解析：要說明點(diǎn)P必在對角線上（即點(diǎn) A、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn) 成一直線）關(guān)鍵是弄懂第（1）小題的問題，實(shí)質(zhì)第（1）小題 的解答過程為第（2）問埋下伏筆，讓學(xué)生從中受到啟發(fā)，運(yùn)用 類比方法就易解答該題，簡答如下：（1）一圖15如圖16,連接pp,將繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°到p,cb 的位置，則 bp=bpo cp: /bpp,.pep為等腰直角三角形，.pp-aPBJ嵬 /四七=克產(chǎn)。） Z-U6圖16(2)將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到P,1的位置(如圖17)貝庫六：5目母=1：卜/ZBPP,連接PP,貝fPP、2PB30PA2 + PC2 =2PB;.PC1 + PCa =2PBa/. PC1 + PC2 =Fpn：.ZPCP- 90°- ZBPC + ZBPC=1SO.ZAPB +ZBPC = 1SO即點(diǎn)P必在對角線上。圖17六.通過旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例8.如圖18, E是正方形的邊上的一點(diǎn)，平分/交于點(diǎn) F。求證：。圖18解析：解此題的關(guān)鍵是如何把分散的