線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、§3.6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) （1）1解的性質(zhì)性質(zhì)1 方程組（1）的兩個解的和還是（1）的解.證明 設(shè)與是方程組的兩個解.則 兩個解的和為 (2)代入方程組，得 即是方程組的解. 證畢性質(zhì)2 方程組（1）的一個解的倍數(shù)還是（1）的解；證明 設(shè)是的一個解，因為 所以還是方程組的解. 證畢由性質(zhì)1和性質(zhì)2得：性質(zhì)3 方程組（1）的解的任一線性組合還是（1）的解 2基礎(chǔ)解系定義 齊次線性方程組（1）的一組解，若滿足1) 線性無關(guān)；2)（1）的任一解可由線性表出則稱為（1）的一個基礎(chǔ)解系3 基礎(chǔ)解系的存在性定理1 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且

2、基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于，其中證：若，不防設(shè) ，則方程組（1）與方程組 （2）同解,用組數(shù) (1,0,0), (0,1,0), , (0,0,1)代入自由未知量，就得到（2）的解，也就是（1）的個解則為方程組(1)的一個基礎(chǔ)解系.) 線性無關(guān)事實上，若 ，即比較最后nr個分量，得 .因此, 線性無關(guān).) 任取方程組（1）的一個解，可由線性表出事實上，由是方程組（1）的解知： 也為（1）的解，又 =（）它與的最后個分量相同，即自由未知量的值相同，所以它們?yōu)橥粋€解，即由) )知，為（1）的一個基礎(chǔ)解系 證畢推論 任一與方程組（1）的某一基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組都是方程組（1）的基礎(chǔ)解系

3、證明：為（1）的一個基礎(chǔ)解系，線性無關(guān)，且與等價，則，且可由線性表出，即也為（）的解向量 任取方程組（）的一個解向量，則可由線性表出，從而可由線性表出 又線性無關(guān)，所以也是基礎(chǔ)解系證畢4 .基礎(chǔ)解系的求法我們只要找到齊次線性方程組的個自由未知量，就可以獲得它的基礎(chǔ)解系.具體地說，我們先通過初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數(shù)就是系數(shù)矩陣的秩.把每一個非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其余個未知量移到等式右端，再令右端個未知量其中的一個為1，其余為零，這樣可以得到個解向量，這個解向量構(gòu)成了方程組的基礎(chǔ)解系. 方程組（1）的任一解即通解可表為 例1 求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)

4、解系。解 用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形：，于是r，基礎(chǔ)解系中有 r=5-3=2個向量。階梯形矩陣所對應(yīng)的方程組為移項，得取，得一個解向量 ；取得另一解向量 .即為方程組的一個基礎(chǔ)解系，方程組的全部解可表示為二、 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對于非齊次線性方程組解 （3）令,得 （4）稱（4）為（3）的導(dǎo)出組解的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)、為方程組（3）的兩個解，則為其導(dǎo)出組（4）的解證明 = =是方程組（3）的兩個解，即 它們的差是 -=顯然有 .即-=是導(dǎo)出組(4)的一個解. 證畢性質(zhì)2 設(shè)為方程組（3）的一個解，為其導(dǎo)出組（4）的解，則仍為方程組（3）的解證明 設(shè)=是方程組(3)的一個解，即又設(shè)=是導(dǎo)

5、出組(4)的一個解, 即顯然 證畢 、解的結(jié)構(gòu)定理 若為（3）的一個特解，則方程組（3）的任一解皆可表成，其中為其導(dǎo)出組（4）的一個解.從而有：方程組（3）的一般解為其中為（3）的一個特解， 為導(dǎo)出組（4）的一個基礎(chǔ)解系證明顯然有性質(zhì)知，是導(dǎo)出組(4)的一個解，令=則 . 證畢推論 方程組（3）在有解的條件下，有唯一解（3）的導(dǎo)出組（4）只有零解求非齊次線性方程組（3）的一般解的步驟：1）求出其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；2）求出其一個特解；3）方程組（3）的一般解為例求解方程組解：可見，方程組有解，并有取，則 ，即得原方程組的一個特解下面求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：導(dǎo)出組與 同解取，得；取，得于是原方程組的通

6、解為三、典型例題例1（高數(shù)二） 取何值時,方程組無解,有唯一解或有無窮多解？并在有無窮多解時寫出方程組的通解解 對方程組的增廣矩陣作初等行變換于是,當時,原方程組無解.當且時,原方程組有唯一解.當時,原方程組有無窮多解,其通解為為任意實數(shù).例2（廈門大學(xué)） 問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式解 對方程組的增廣矩陣進行初等變換 當即時,方程組有解,這時方程組為而為其同解方程組,解之得其中k為任意常數(shù)例3 （高數(shù)三）已知線性方程組問方程組什么時候有解？什么時候無解？有解時,求出相應(yīng)解.解 方程組系數(shù)矩陣的行列式為可見（1） 當且方程組有唯一解,其唯一解由克萊姆法則求出,為（2） 當時,

7、原方程組的增廣矩陣為可見 當時,秩（）=2秩=3,方程組無解.當時,原方程組等價通解為 其中為任意常數(shù)例4（高數(shù)四） 討論線性方程組當取何值時,方程組無解？有唯一解？有無窮多組解？在方程組有無窮多組解的情況下,求出一般解.解 對增廣矩陣作初等行變換,有（1）當時,秩（）=秩=4,方程組有唯一解.（2）當時,有若,則秩（）=3秩=4,方程組無解.若則秩（）=秩=3,方程組有無窮多解,且, 其同解方程組為故一般解為其中為任意常數(shù).例5 （高數(shù)三）已知及（1）為何值時,有的唯一線性表示式？并寫出該表示式.（2）為何值時,不能表示成的線性組合？解 設(shè)則化其增廣矩陣為階梯形當和4時,有可見方程組有唯一解

8、此時可由唯一線性表示為當時,秩（）=2秩=3,方程組無解,此時不能線性表示.例6 （高數(shù)四）設(shè)有三維列向量問取何值時,（1）可由線性表示,且表達式唯一？（2）可由線性表示,但表達式不唯一？（3）不能由線性表示？解 設(shè)則化其增廣矩陣為階梯形可見,(1)若且,方程組有唯一解, 可由惟一線性表示;(2)若,則方程組無窮多解, 可由線性表示,但表示式不惟一;(3)若,則系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相同,方程組無解,故不能由 線性表示例7 （高數(shù)二）設(shè)有四元線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3,又已知為的三個解,且求的通解解 因為是的解,故為的解,又秩（）=4,且所以是的基礎(chǔ)解系,故的通解為其中k為任意實數(shù).例8 （

9、高數(shù)二）已知四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣之秩為3,又是它的三個解向量,其中試求該非齊次線性方程組的通解.解 因為四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3,故對應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系只包含有一個線性無關(guān)的解向量,且由解的性質(zhì)知即是導(dǎo)出組的非零解向量,可以當作基礎(chǔ)解系,又是非齊次組的特解,故非齊次線性方程組的通解為其中為任意常數(shù)例9 （高數(shù)二）設(shè)四元線性方程組（）為又已知齊次線性方程組（）的通解為（1）試求出方程組（）的基礎(chǔ)解系；（2）問線性方程組（）和（）是否有非零的公共解？若有,則求出所有非零的公共解.若沒有,則說明理由.解（1）方程組（）的系數(shù)矩陣為故（）基礎(chǔ)解系為（2）將（）的通解代如方程組（）

10、,則有解得,則向量是方程組（）和（）的公共解,當有,故方程組（）（）的所有非零公共解是其中是任意非零常數(shù)例10（高數(shù)三） 已知下列非齊次線性方程組（）（）（1） 求解方程組（）,用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解（2） 當程組（）中的參數(shù)為何值時,方程組（）和（）同解.解（1）將方程（）的增廣矩陣作初等行變換化成標準階階梯形矩陣其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為,非齊次方程的一個特解是,故方程組（）的通解為 （2）因為題設(shè)（）（）同解,故（）的通解應(yīng)是（）的解.將（）的通解代入（）的三個方程,可分別求得參數(shù)將代入（）的第一個方程,得整理得其中為任意常數(shù),故解得將代入（）的第二個方程,得整理得,其中為任意常數(shù),故解

11、得將代入（）的第三個方程,得故解得由此可知,當方程組（）中參數(shù)取時,方程組（）的全部解都是方程組（）的解.當時,第（）個方程可表為（）利用初等行變換,將（）的增廣矩陣化為標準階梯形由于方程組（）（）的標準階梯形矩陣完全相同,故方程組（）（）當時同解.例11（高數(shù)四） 要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為：例12（高數(shù)二） 已知方陣三階方陣滿足,試求的值.解 設(shè),則等價于而知有非零解,故必有從而,由此解得例13（高數(shù)三） 設(shè),且方程組的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量,求的通解解要使必有=0,即此時同解方程組為通解為其中為任意常數(shù).例14（高數(shù)四） 設(shè)如果是是的一個解,試求的通解把代入方程得即

12、有化增廣矩陣為階梯形,當時,可見方程有無窮多解其中為任意常數(shù).當時,可見,方程方程有無窮多解其中為任意常數(shù)例15（高數(shù)四） 設(shè)方程組系數(shù)行列式,而中某元素的代數(shù)余子式,試證是方程組的一個基礎(chǔ)解系.解將按列分塊其中則即說明是齊次方程組的解.又因為即存在一個階的非零子式,所以秩.故方程組的基礎(chǔ)解系只包含有個解向量,任意一個非零向量都可以作為的基礎(chǔ)解系.由知因此是的一個基礎(chǔ)解系.例16（高數(shù)二）設(shè)為的個線性無關(guān)的維解向量,的秩為,證明：是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.解 要證基礎(chǔ)解系有個向量,如能證明它們均是的解向量,且線行無關(guān),則它們?yōu)榈幕A(chǔ)解系.因 故,即為的解向量,下證它們線性無關(guān).設(shè)因線性無關(guān),故即,線性無關(guān),從而為的一個基礎(chǔ)解系.例17（高數(shù)三） 若矩陣的秩為,其個列向量為某一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,為階非奇異矩陣（可逆矩陣）,證明：的列向量也是該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.解 令為矩陣.它的列向量記為列向量記為則可見能由線行表出,若為某一齊次線性方程組的解,則也是該齊次線性方程組的解.又因可逆,故由可得=,由此可見與等價,而為某一齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,線性無關(guān),故也線性無關(guān),且每個解向量可由它線性表示,從而為該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.例18（高數(shù)三） 設(shè)是非齊次方程組的一個解,