構(gòu)建概率的知識(shí)體系

1、構(gòu)建概率的知識(shí)體系平山縣外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 王麗濤一、教材分析1、本單元在教材中的地位和作用 本章是初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的最后一章，至此，學(xué)生已經(jīng)較為系統(tǒng)的學(xué) 習(xí)了簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性（概率） ，具備了一定的隨機(jī)觀念，并能對(duì)一些隨機(jī) 現(xiàn)象作出合理的解釋， 對(duì)一些游戲活動(dòng)的公平性做出判斷。 本單元復(fù)習(xí)旨在突出 研究理論概率與試驗(yàn)頻率之間的關(guān)系， 并通過幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活模型介紹了隨機(jī)事件 的概率的試驗(yàn)估算方法和涉及兩步及兩步以上試驗(yàn)的隨機(jī)事件理論概率計(jì)算的 兩種方法：樹狀圖和列表法 . 為進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用頻率與概率的知識(shí)解決實(shí)際問題 奠定基礎(chǔ)。2、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)： （1）理解事件發(fā)生的頻率與概率之間的辯證關(guān)系

2、，加深對(duì)概率的理解，進(jìn)一步 體會(huì)概率在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用 .（2）利用列表法或樹狀圖法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率，能用試驗(yàn)或模擬試驗(yàn)的 方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率 .難點(diǎn)：用試驗(yàn)或模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率 .成因及策略：有些隨機(jī)事件的概率只能通過試驗(yàn)?zāi)M獲得其估計(jì)值， 有些隨機(jī)事件雖存在 理論概率，但其理論計(jì)算超出了本學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平也只能通過模擬試驗(yàn)獲得 估計(jì)值。缺少試驗(yàn)研究工具和統(tǒng)計(jì)過程的復(fù)雜性自然形成學(xué)生認(rèn)識(shí)上的難點(diǎn)。 所 以在復(fù)習(xí)課上先鞏固試驗(yàn)頻率與理論概率關(guān)系，再通過Z+Z設(shè)計(jì)相應(yīng)的試驗(yàn)，通過大量重復(fù)試驗(yàn)用試驗(yàn)頻率得到概率的估計(jì)值。 使學(xué)生在能方便試驗(yàn)

3、、 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 的前提條件下，利用概率理論求一些隨機(jī)事件概率的估計(jì)值。3、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了樹狀圖和列表法求概率的方法，但對(duì)于通過模擬試驗(yàn)獲得概率估計(jì)值的研究方法不夠熟悉。二、復(fù)習(xí)目標(biāo)1、 結(jié)合具體模擬試驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系2、 能運(yùn)用樹狀圖和列表法計(jì)算涉及兩步或兩步以上試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.3、能用試驗(yàn)或模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)一些復(fù)雜的隨機(jī)事件發(fā)生的概率三、復(fù)習(xí)思路結(jié)合復(fù)習(xí)的內(nèi)容和學(xué)生的具體學(xué)情，按理論一方法一應(yīng)用的認(rèn)識(shí)方式設(shè)計(jì)復(fù) 習(xí)內(nèi)容與過程。借助z+z智能教育平臺(tái)，從三個(gè)小環(huán)節(jié)來設(shè)計(jì)的：首先是試驗(yàn)回 顧，通過幾個(gè)傳統(tǒng)概率模型的試驗(yàn)?zāi)M， 帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步深刻理解試驗(yàn)頻率與理

4、 論概率之間的辯證關(guān)系；第二個(gè)環(huán)節(jié)是概率計(jì)算，選擇幾個(gè)有代表性的試題，讓 學(xué)生由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地復(fù)習(xí)概率的計(jì)算方法； 第三環(huán)節(jié)是簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓 學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、實(shí)踐能 力的培養(yǎng)。四、復(fù)習(xí)過程1、知識(shí)梳理及要點(diǎn)歸納知識(shí)梳理：要點(diǎn)歸納:在知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，可以明顯看出復(fù)習(xí)的主體思路： 理論一方法一應(yīng)用，即在 實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上探究出試驗(yàn)頻率與理論概率的關(guān)系；由此得到理論概率的計(jì)算方法， 再根據(jù)隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)分為理論計(jì)算和試驗(yàn)估算兩種概率計(jì)算方法；利用概率計(jì)算解決實(shí)際問題。其中計(jì)算的重點(diǎn)在理論計(jì)算，難點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)估算。2、活動(dòng)單元設(shè)計(jì)活動(dòng)單元一：試驗(yàn)回顧內(nèi)容：

5、利用Z+Z平臺(tái)設(shè)計(jì)的拋幣實(shí)驗(yàn)、擲骰子實(shí)驗(yàn)、摸牌實(shí)驗(yàn)拋幣實(shí)驗(yàn)：拋出一枚硬幣，它在空中隨機(jī)翻轉(zhuǎn)后，落在地上。會(huì)出現(xiàn)正面朝上 或反面朝上兩種事件。我們以30次實(shí)驗(yàn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)組，統(tǒng)計(jì)兩個(gè)隨機(jī)事件的 試驗(yàn)頻率。擲骰子實(shí)驗(yàn)：擲出一枚均勻的骰子，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)并計(jì)算出試驗(yàn)頻 率。摸牌實(shí)驗(yàn)：每組兩張牌，兩張牌的牌面數(shù)字分別是 1和2。而從每組牌 中各摸出一張，成為一次實(shí)驗(yàn)。點(diǎn)擊“實(shí)驗(yàn)1”按鈕開始30次實(shí)驗(yàn)。! 4Ho 0634収 JIH2 2ft. 3 *:* if操作：由學(xué)生操作在課件中可以統(tǒng)計(jì)隨機(jī)試驗(yàn)的總次數(shù)和相應(yīng)事件發(fā)生的次數(shù) 和頻率；啟發(fā)學(xué)生結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)回憶試驗(yàn)所體現(xiàn)的頻率與概率的關(guān)系。點(diǎn)撥：（

6、1）試驗(yàn)結(jié)論：試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，某一隨機(jī)事件發(fā)生的試驗(yàn)頻率趨近于這一事 件發(fā)生的理論概率。（2）引導(dǎo)學(xué)生分析以上三個(gè)試驗(yàn)中，每一種事件發(fā)生的可能性是否相同（等可 能性），各占總事件發(fā)生數(shù)的幾分之幾。意圖：這一設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生用 Z+Z快速的經(jīng)歷、再現(xiàn)頻率與概率關(guān)系理 論的發(fā)現(xiàn)過程，并結(jié)合問題理解以上試驗(yàn)中各事件發(fā)生的等可能性，為下面復(fù) 習(xí)計(jì)算作好鋪墊?；顒?dòng)單元二：試驗(yàn)反饋1、討論題：請(qǐng)你說說對(duì)下面兩種說法的看法：（1）一個(gè)口袋里裝有大小、形狀完全相同的紅豆和綠豆，那么隨手從袋里摸出 一顆紅豆11的機(jī)會(huì)是丄，隨手摸出一顆綠豆的機(jī)會(huì)也是丄。22（2） 有一位同學(xué)把一枚質(zhì)量分布均勻的硬幣連續(xù)拋了100

7、次，其中有80次都 得到正面，而只有20次得到反面，所以他認(rèn)為正面朝上的機(jī)會(huì)根本無(wú)法確定， 全憑運(yùn)氣。點(diǎn)撥：通過以上兩個(gè)討論題，可以讓學(xué)生體會(huì)一次試驗(yàn)中，某一事件理論概 率的形成條件。（1）突出等可能性的大小的依據(jù)；（2）突出試驗(yàn)次數(shù)足夠大是理 論概率計(jì)算的前提條件；2、填空題：涉及一步實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算（1） 任寫一個(gè)英文字母，此字母是元音字母的概率是 ，是輔音字母的概率 是，這兩個(gè)概率的關(guān)系是 。（2） 有一枚均勻的正四面體骰子，各面上的數(shù)字分別是1、2、3、4，當(dāng)擲的次數(shù)很多時(shí)，朝下的一面上的數(shù)字是偶數(shù)的頻率在 左右波動(dòng)。3、設(shè)計(jì)題：如圖，是一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，平均分為8個(gè)相同區(qū)域，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)

8、盤后使指1針指向紅色區(qū)域的概率為-，指向黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的概率相同。請(qǐng)你用紅、4黃、藍(lán)三種顏色來填充這個(gè)轉(zhuǎn)盤，并說明理由。點(diǎn)撥：在理論上一次試驗(yàn)中各事件發(fā)生的可能性是相等的。意圖：以上設(shè)計(jì)是應(yīng)用活動(dòng)單元一試驗(yàn)結(jié)論解決實(shí)際問題，復(fù)習(xí)利用這一結(jié)論解決問題的一般方法，為兩步試驗(yàn)概率計(jì)算的方法探究提供依據(jù)?；顒?dòng)單元三：樹狀圖法和列表法求概率1 學(xué)生獨(dú)立練習(xí)：(1)連擲兩枚骰子，它們點(diǎn)數(shù)相同的概率是要求用列表法和樹狀圖法兩種方法分析計(jì)算過意圖：本題讓學(xué)生獨(dú)立操作并講解，目的是上學(xué)生回憶這兩種涉及兩步試驗(yàn)概率計(jì)算的基本方法。并從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，并以此 調(diào)節(jié)教學(xué)策略和復(fù)習(xí)的速度(2)填空并討論：填空

9、： 轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，兩次所得顏色相同的概率是 某口袋里放有編號(hào)1 - 6的6個(gè)球，先從中摸索出一球，將它放回口袋中后,再摸一次，兩次摸到的球相同的概率是 。 利用計(jì)算器產(chǎn)生16的隨機(jī)數(shù)（整數(shù)），連續(xù)兩次隨機(jī)數(shù)相同的概率討論：以上三個(gè)填空與第1題“連擲兩枚骰子”問題在研究方法上有何相同之點(diǎn)撥：以上四個(gè)問題情境，可以化歸成一個(gè)問題“利用計(jì)算器產(chǎn)生16的隨機(jī)數(shù)（整數(shù)），連續(xù)兩次隨機(jī)數(shù)相同的概率是多少？” 。這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè) 建模的過程，即將另外幾個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)字化、字母化。當(dāng)然這其中也包含 著數(shù)形結(jié)合的思想。2 解法辨析：用下圖中的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲:小明制作了下面的樹狀圖，并根據(jù)

10、它求出游戲者獲勝的概率為12，請(qǐng)你分析他的作法是否正確紅（紅紅）藍(lán)（紅藍(lán)）紅（藍(lán)紅）藍(lán)（藍(lán)藍(lán)）操作方式：學(xué)生討論、辨析并畫出正確的樹狀圖。意圖：突出用列表法和樹狀圖求概率時(shí)，應(yīng)注意各種結(jié)果出現(xiàn)的等可能性3 反饋練習(xí)：1（1） 設(shè)計(jì)一次摸球游戲，每摸一次，摸到擺球的概率為-，摸到紅球的概率為3-，摸到黃球的概率為-，則完成這個(gè)游戲所需求的個(gè)數(shù)最少為（）4 6A. 6 B. -2 C. 24 D. 36（2）小華作摸球試驗(yàn)：盒子中有-0個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中有4個(gè) 黑球。 小華摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回盒子中，并混合均勻，繼續(xù)試驗(yàn)，那么他 摸出黑球的概率是。 小華摸出一個(gè)球，記錄顏色后不

11、再放回盒子中，若他前兩次摸到一個(gè)黑球和一個(gè)白球，則他下一次摸出黑球的概率為 。意圖：以上反饋練習(xí)對(duì)列表法和樹狀圖法的進(jìn)一步落實(shí)。兩題分別涉及了概率 中的兩種抽取模型，有放回抽?。▋刹皆囼?yàn)前提條件相同）和無(wú)放回抽取（第 二步試驗(yàn)前提條件改變）。第一題注意強(qiáng)調(diào)逆向思維過程?；顒?dòng)單元四 復(fù)雜事件的概率計(jì)算用試驗(yàn)的方法估計(jì)復(fù)雜隨機(jī)事件的發(fā)生概率投針試驗(yàn)再現(xiàn)：投針試驗(yàn)一1777年，法國(guó) 數(shù)學(xué)家布豐設(shè)計(jì)的投針試驗(yàn)所得針與平行線相 交的概率與圓周率有關(guān)，于是人們就將投針實(shí)驗(yàn)作為計(jì)算圓周率的概率模型。 隨著信息技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家逐步開始將要研究的問題與概率聯(lián)系，通過計(jì)算 機(jī)模擬抽樣，以獲得問題得近似解，這種方

12、法被稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法，又稱孟特卡 羅方法。1、隨便說出3個(gè)正數(shù)，以這3個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)一定能圍成一個(gè)三角形嗎？ 一定能圍 成一個(gè)鈍角三角形（其中最大邊的平方大于另兩邊的平方和）嗎？（1）利用計(jì)算機(jī)演示試驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們觀察試驗(yàn)概率，并估計(jì)理論概率。（2）我們能否用建模的方法研究出現(xiàn)鈍角三角形的理論概率？在利用實(shí)驗(yàn)方法估算“任意三條線段能組成鈍角三角形的概率”時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生 依次分析任意三條線段一一組成三角形一一組成鈍角三角形的條件，然后通過 Z+Z的條件判斷函數(shù)和隨機(jī)函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以在短時(shí)間內(nèi)利用幾臺(tái) 電腦分別作實(shí)驗(yàn)，并獲得大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過試驗(yàn)頻率的統(tǒng)計(jì)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，試驗(yàn)頻率逐步

13、趨于穩(wěn)定，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)估計(jì)出任意三條線段能組成 鈍角三角形的概率，并在變化過程中深刻理解了頻率與概率的關(guān)系。三條線段組或饋曲三柏F怕在1tt住-s>.配 t.V. 0玄"個(gè)乍崗制慘tMi thiiiii-呷it前 5思涪<«it - 0.04b - 0.61c - 4,17"尸也欣h'+t1- t.y* « |Q*»> °厲K版的戰(zhàn)敢1 1 總冷故點(diǎn)撥：先分析三線段組成鈍角三角形的條件，依次為：能組成三角形、最大 邊的平方大于另兩邊的平方和；再組織學(xué)生說出三個(gè)長(zhǎng)度數(shù)值，判斷能否組成鈍 角三角形；當(dāng)學(xué)生有一定的

14、感性認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)后，利用設(shè)計(jì)好的Z+Z課件作隨機(jī)試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)來自各臺(tái)計(jì)算機(jī)上的試驗(yàn)數(shù)據(jù)， 與學(xué)生共同探討、估計(jì)出得到鈍角三 角形的理論概率。因?yàn)樵诠烙?jì)過程中，數(shù)據(jù)的結(jié)果往往不同，學(xué)生的看法不一， 在整個(gè)過程中注意時(shí)時(shí)給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)， 突出估計(jì)的方法與科學(xué)性，并指明試驗(yàn) 本身由于條件所限而表現(xiàn)出來的局限性。意圖：本題設(shè)計(jì)旨在帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用試驗(yàn)法估計(jì)理論概率的過程，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)感受。增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于用多次試驗(yàn)的頻率估計(jì)理論概率方法的認(rèn)識(shí)，理解試 驗(yàn)估算法的科學(xué)性。活動(dòng)單元五復(fù)雜事件的概率計(jì)算1、如圖，小明和小紅在玩一個(gè)游戲時(shí)，先擲骰子，骰子朝上的數(shù)字是幾，就將棋子前進(jìn)幾步，并獲得格子中相應(yīng)的物品，現(xiàn)在輪

15、到小明擲骰子，棋子在標(biāo)有“T的那一格，小明能擲一次就得到汽車嗎？他擲下一次得到汽車的概率是多少？OOO1®13點(diǎn)撥：通過分析只要兩次所擲出的點(diǎn)數(shù)之和為 7，便可得到小汽車，而每次 擲出的點(diǎn)數(shù)可能情況都為1 6?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生用列表法求解，在列表過程中啟 發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律，根據(jù)要求找到符合題意的“ 7”在表格中的分布規(guī)律得到下列簡(jiǎn) 易表格。從中直觀的讀出所有可能情況的總次數(shù)和得到“ 7”的次數(shù)。意圖：本題設(shè)計(jì)旨在啟發(fā)學(xué)生在使 法求概率時(shí)要善于思考、總結(jié)規(guī)律，畫 簡(jiǎn)易、更能突出特點(diǎn)的表格。123456172737475767用列表 出更為2、桌上放著6張撲克牌，全部正面朝下，其中恰有 2張老

16、K”，兩人作游戲，游 戲規(guī)則是：隨機(jī)抽取兩張牌，并把它們翻開，若兩張中有老“K”，則紅方勝，否則 藍(lán)方勝。請(qǐng)你用學(xué)過的概率知識(shí)分析游戲是否公平？點(diǎn)撥：學(xué)生在思考時(shí)，有的用列表法，有的用樹狀圖法，發(fā)動(dòng)學(xué)生資助探究。之后教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思考問題的角度，去考慮沒有老“ K”的情況有多少種? 意圖：本題設(shè)計(jì)旨在培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想方法， 學(xué)會(huì)從多個(gè)角度看待和分析 問題。3、某人寫了 3封信給3個(gè)不同的人，并在三個(gè)信封上寫好了收信人的地址。但 在裝信的時(shí)候，他忽略了信與信封的對(duì)應(yīng)，請(qǐng)你分析一下在這三封信中，至少有 一封信裝對(duì)信封的概率是多少？點(diǎn)撥：首先教師帶領(lǐng)學(xué)生分析有多少種可能性， 其間注意捕捉學(xué)生

17、的思維亮 點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分類中把握較好的例子，由學(xué)生進(jìn)行探討，教師予以適當(dāng)評(píng)價(jià)。 分別考慮裝對(duì)3封、2封、1封、0封各有幾種情況。意圖：本題旨在訓(xùn)練學(xué)生分類的數(shù)學(xué)思想方法， 學(xué)會(huì)把復(fù)雜的問題有一種分類 標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行整合、分析。14、一個(gè)人從A點(diǎn)走向C點(diǎn)。在每個(gè)路口，向東或向南的概率各為，但是走到2DC邊上就始終朝南走；走到BC邊上就始終朝東走。請(qǐng)你分析此人行走的各種 方式，求他經(jīng)過點(diǎn)E到C點(diǎn)的概率是多少？A鶴£DEB點(diǎn)撥：本題看似比較復(fù)雜，但如果把問題中的圖形旋轉(zhuǎn)一定角度得到下圖,就可以形象的列舉出到達(dá)每個(gè)拐點(diǎn)的可能情況有多少種。從而得到，共有10種走法，其中有4種通過E點(diǎn)。意圖：本題旨在啟發(fā)學(xué)生的思維,學(xué)會(huì)用揭示圖形中的規(guī)律,并能數(shù)形結(jié)合的分析問題五、反思與自評(píng)本節(jié)課通過四個(gè)遞進(jìn)的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，既對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)，又使學(xué)生掌握 了基本技能，進(jìn)一步研究了理論概率與試驗(yàn)頻率之間的關(guān)系， 通過幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活 模型感受到概率在生活中的應(yīng)用.在豐富的實(shí)際問題中認(rèn)識(shí)到試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)， 用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)之一事件發(fā)生的概率， 掌握了一些計(jì)算概率的方法, 并能通過計(jì)算概率