債券的定價(jià)教材

1、固定收益證券李磊寧李磊寧中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系第五講第五講: :債券的定價(jià)債券的定價(jià)主講教師：李磊寧v 單位：中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系v 主講課程：金融工程學(xué)/固定收益證券v 聯(lián)系方式： 電子郵件：內(nèi)容提要收益率曲線與利率期限結(jié)構(gòu)收益率曲線與利率期限結(jié)構(gòu) 1 債券價(jià)格的連續(xù)形式債券價(jià)格的連續(xù)形式2利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量3收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v基本概念 收益率曲線 利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 預(yù)期理論 流動(dòng)性偏好理論 市場(chǎng)分割理論收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v基本概念 收益率曲線在由

2、時(shí)間（橫軸）和到期收益率（縱軸）構(gòu)成的坐標(biāo)系中，把觀察到的品質(zhì)相同、剩余時(shí)間不同的債券的到期收益率的點(diǎn)連成一條曲線收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v基本概念 收益率曲線（移動(dòng)方式）平行移動(dòng)斜向移動(dòng)正碟式移動(dòng)負(fù)碟式移動(dòng)到期時(shí)間 到期時(shí)間 收益率 到期時(shí)間 原曲線 新曲線 收益率 原曲線 新曲線 收益率 新曲線 原曲線 斜向移動(dòng) 正 碟 式 移 動(dòng)動(dòng) 負(fù) 碟 式 移 動(dòng)動(dòng) 新曲線原曲線平行移動(dòng) 收益率 到期時(shí)間 收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v基本概念 利率期限結(jié)構(gòu)零息國(guó)債收益率曲線被稱為利率期限結(jié)構(gòu)，構(gòu)成資本市場(chǎng)利率水平和結(jié)構(gòu)的基石 收益

3、率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造 STEP 1:利用“息票剝離法”構(gòu)造“主干點(diǎn)”剩余期限票息率到期收益率債券價(jià)格A15%4.05% 100.91B26%4.39% 103.02C37.5%4.745% 107.54D45.25%4.92% 101.18E58%5.06% 112.72債券的信息 5544332214433221332212211)1 (108)1 (8)1 (8)1 (81872.112)1 (25.105)1 (25. 5)1 (25. 5125. 518.101)1 (5 .107)1 (5 . 715 . 752.107)1 (1061602.103110591.

4、100RRRRRRRRRRRRRRR設(shè)定為Ri（i=1,2,3,4,5），Ri表示第i期的現(xiàn)金流所對(duì)應(yīng)的利率，并構(gòu)造下列方程組 收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)如何利用債券的信息“剝離”出利率期限結(jié)構(gòu)？ R1=4.05%，R2=4.40%，R3=4.78%，R4=4.95%，R5=5.12%收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造 STEP 2:運(yùn)用各類“插值法”將主干點(diǎn)之間的空隙“填充”，形成完整的利率期限結(jié)構(gòu)所謂“曲線插值”，就是已知一批數(shù)據(jù)點(diǎn)（比如利率期限結(jié)構(gòu)）是準(zhǔn)確的，而這些數(shù)據(jù)點(diǎn)所表現(xiàn)出來(lái)的函數(shù)關(guān)系是未知的。人們?cè)谶@種情況下要構(gòu)造一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系，使得觀察到的每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都在這個(gè)近似的

5、函數(shù)關(guān)系所表現(xiàn)的曲線上。收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造“曲線擬合”，就是認(rèn)為觀察到的數(shù)據(jù)點(diǎn)可能并不準(zhǔn)確（債券收益率常常出現(xiàn)的異常值就是例子），人們?cè)谶@種情況下要構(gòu)造一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)關(guān)系能夠“宏觀地”反應(yīng)出這些數(shù)據(jù)點(diǎn)背后所隱含的數(shù)量變化規(guī)律 11.522.533.544.550.040.0420.0440.0460.0480.050.0520.054 data 1 cubicnnnnnniBcicicicB)1 ()1 ()1 (1, 00,11, 022, 01 , 0, 01)1 (/1111, 0, 00, 0nnjjnnnicBBci設(shè)某一期限的即期利率為i0,n

6、，剩余期限為n的債券價(jià)格為B0,n，該債券的面值為Bn,0，則可以由v收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)有什么不同?v 設(shè)想有一只債券B*正在發(fā)行，該債券期限為2年，票息率為12%，發(fā)行價(jià)格為114.29，到期收益率為4.38%。簡(jiǎn)單比較一下B與B*，人們起初會(huì)認(rèn)為B*比B價(jià)格“昂貴”（yB YB*） 收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)有什么不同?v 但是,運(yùn)用利率期限結(jié)構(gòu)為B*定價(jià)的結(jié)果表明債券B*的市場(chǎng)價(jià)格符合當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)。收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)29.114)044. 01 (112)0405. 01 (122*B推論:其他方面相同，票息率不同的債券的到期收益率可以有所不同。

7、v貼現(xiàn)因子、債券現(xiàn)金流、債券價(jià)格v 假設(shè)手中有n只期限不同的債券，期限分別為T=1，2，n，B(t)代表剩余期限為t期的債券價(jià)格，用c1(t), c2(t), ct(t)分別代表t期債券的第1，第2，第t期的現(xiàn)金流，dt代表第t期的貼現(xiàn)因子，我們可以構(gòu)造包含n個(gè)未知數(shù)的n元方程組收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)iiiRd)1 (nnnnnndcdcdcBdcdcdcBdcdcBdcB)(2)(21)(1)(3)3(32)3(21)3(1)3(2)2(21)2(1)2(1)1(1)1( B= C d d= C-1 B B債券價(jià)格矩陣，C債券現(xiàn)金流矩陣，d貼現(xiàn)因子矩陣 債券剩余期限票息率(%)債券價(jià)格A1

8、1099B21097.5C310967178. 08045. 09 . 0965 .979911010100110100011011BCd%7 .11%5 .11%1 .113 , 02, 01 , 0iii收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 預(yù)期理論(The expectation theory)預(yù)期理論認(rèn)為利率期限結(jié)構(gòu)完全取決于市場(chǎng)對(duì)未來(lái)利率的預(yù)期 “上升”的利率期限結(jié)構(gòu)表明市場(chǎng)預(yù)期短期利率在未來(lái)會(huì)上升；“平坦”的期限結(jié)構(gòu)表明市場(chǎng)預(yù)期短期利率將不變“下降”的期限結(jié)構(gòu)則表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)的短期利率將下降。預(yù)期理論認(rèn)為長(zhǎng)期債券是短期債券的理想替代物，長(zhǎng)短期債券取得相同

9、的收益率 收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 預(yù)期理論(The expectation theory)如果以2年期和1年期利率分別代表長(zhǎng)期利率與短期利率，它們之間應(yīng)該存在如下關(guān)系：)(11 1 1 , 11 , 022, 0iEii收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 預(yù)期理論(The expectation theory)假如當(dāng)前1年期利率為6%，市場(chǎng)普遍預(yù)期1年后的利率為7%，那么，2年期的即期利率應(yīng)該是（1+6%）（1+7%）1/2-16.5%。如果2年期市場(chǎng)利率低于這一水平，比如6.2%，即 （1+6%）（1+7%）1/2-16.2

10、%2年期借款利率便宜，1年期借款利率昂貴，借款者勢(shì)必放棄1年期借款而轉(zhuǎn)向2年期借款，而貸款者則愿意放棄2年期貸款轉(zhuǎn)向1年期貸款，結(jié)果是1年期貸款利率下降，2年期貸款利率上升，最后市場(chǎng)重新回到均衡。收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 流動(dòng)性偏好理論（liquidity preference theory）流動(dòng)性偏好理論認(rèn)為短期債券的流動(dòng)性比長(zhǎng)期債券要高，因?yàn)榈狡谄谙拊介L(zhǎng)，利率變動(dòng)的可能性越大，利率風(fēng)險(xiǎn)就越大，投資者為了減少風(fēng)險(xiǎn)，偏好于流動(dòng)性較好的短期國(guó)債。而對(duì)于流動(dòng)性相對(duì)較差的長(zhǎng)期國(guó)債，投資者要求給予流動(dòng)性報(bào)酬(或稱風(fēng)除酬金)。 流動(dòng)性偏好理論在預(yù)期理論的基礎(chǔ)上為預(yù)期

11、遠(yuǎn)期收益率加上了流動(dòng)性溢價(jià)，以改進(jìn)預(yù)期理論忽視人們對(duì)不同期限產(chǎn)品流動(dòng)性偏好的紕漏收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 流動(dòng)性偏好理論（liquidity preference theory）以1年期代表短期，2年期代表長(zhǎng)期，兩者的關(guān)系應(yīng)該是)(11 1 1 , 11 , 022, 0LiEiiL代表流動(dòng)性溢價(jià)收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 流動(dòng)性偏好理論（liquidity preference theory）長(zhǎng)期債券投資的資本利得或者損失滾動(dòng)的短期債券投資的資本利得或者損失時(shí)間圖中橫軸代表時(shí)間，縱軸代表債券價(jià)格，虛線表示投資長(zhǎng)期債券收

12、益，實(shí)線表示投資短期債券收益收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 市場(chǎng)分割理論（market segmentation theory）市場(chǎng)分割理論認(rèn)為債券市場(chǎng)由具有不同投資要求的投資者所組成的 。每類投資者都習(xí)慣于使其資產(chǎn)壽命和債務(wù)壽命相匹配的投資活動(dòng)，因而每類投資者固定偏好于收益率曲線的特定部分，所以收益率曲線所代表的各個(gè)期限的利率之間沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián)系，各種利率都具有相對(duì)的獨(dú)立性。 長(zhǎng)期利率只取決于長(zhǎng)期資金的供求，短期利率只取決于短期資金的供求。利率期限結(jié)構(gòu)則取決于短期資金市場(chǎng)供求狀況與長(zhǎng)期市場(chǎng)供求狀況的比較，或者說(shuō)取決于各類資金供求曲線交叉點(diǎn)利率之間的對(duì)比。 收益率

13、曲線和利率期限結(jié)構(gòu)v利率期限結(jié)構(gòu)形狀及變化的幾種理論解釋 市場(chǎng)分割理論（market segmentation theory）如果長(zhǎng)期資金供求曲線交叉點(diǎn)利率中期資金供求曲線交叉點(diǎn)利率短期資金供求曲線交叉點(diǎn)利率，期限結(jié)構(gòu)呈上升趨勢(shì)；反之，則呈下降趨勢(shì)；如果三者相等，則呈現(xiàn)平行形狀。 收益率收益率剩余期限剩余期限債券價(jià)格的連續(xù)形式 零息債券從遠(yuǎn)期利率的觀點(diǎn)：從即期利率的觀點(diǎn)： 附息債券附息債券的價(jià)格是未來(lái)債券各次現(xiàn)金流按照各自的貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)后加計(jì)的總和 TtduutfeTtB),(),()(,(),(tTTtReTtBdtetciBttiT), 0(0)()(浮息債券與逆浮息債券v票面利率隨著基準(zhǔn)

14、利率的變動(dòng)而正向變動(dòng)的債券叫做浮息債券。v票面利率=基準(zhǔn)利率+利差，假設(shè)三者的符號(hào)分別是yt、it、s，則yt=it+s。vyt就是各期市場(chǎng)要求的貼現(xiàn)率，因?yàn)楦∠钠泵胬实脑O(shè)定要求就是使得票面利率與市場(chǎng)要求的貼現(xiàn)率相等，該貼現(xiàn)率由基準(zhǔn)利率與市場(chǎng)要求的利差組成。 浮息債券與逆浮息債券v 假設(shè)浮息債券有n期，令Bft代表在第t期時(shí)浮息債券的價(jià)格(t=1,2,n-1,n)，那么剛剛發(fā)行時(shí)債券價(jià)格的表達(dá)式為 浮息債券的現(xiàn)金流 t0t1t2t3tn-1tnnnnnnnfyyyyyyyyB)1 (100100)1 (100)1 (100)1 (100111222110浮息債券與逆浮息債券v 在第n期

15、期末，也就是浮息債券的期滿日，債券價(jià)格（包含累計(jì)票息）就是面值加上最后一次票面利息，即)1 (10010010011nnnfyyBv 在第n-1期期末，債券價(jià)格（扣除累計(jì)票息后）等于100)1/()1 (100221nnnfyyB 其全價(jià)格等于)1 (1002nyv 在第1期期末，債券價(jià)格（扣除累計(jì)票息后）等于100)1/()1 (100001yyBf 其全價(jià)格等于)1 (1000y浮息債券與逆浮息債券v 在第0期，債券價(jià)格等于 票息日浮息債券價(jià)格的決定 在所有的票息日（包括初始日和期滿日，以及中間的利率重設(shè)日），浮息債券的凈價(jià)格等于其面值，全價(jià)格等于面值加上本期的累計(jì)票息。 100)1/()

16、1 (100000yyBf浮息債券與逆浮息債券v 任意兩個(gè)票息日（t,t+1）之間的任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)s處（ tst+1 ）的價(jià)格自然由下式確定sttstsfyyB11)1/()1 (100tst+1Bfs100(1+yt)Syt+1 任意兩個(gè)票息日之間的浮息債券價(jià)格浮息債券與逆浮息債券v 可以把浮息債券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)看作是周而復(fù)始的零息債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)。每當(dāng)一個(gè)票息日來(lái)臨，都可看作是前一個(gè)零息債券即將結(jié)束，而另一個(gè)新的零息債券即將誕生。v 浮息債券的久期完全失去了久期的第二種含義，因?yàn)槠毕⒙孰S著市場(chǎng)利率而變動(dòng)的浮息債券并不存在利率風(fēng)險(xiǎn)。v 浮息債券的久期只是目前到下一個(gè)票息日的期限，其久期的最大值就是

17、兩個(gè)票息日之間的時(shí)間距離。比如，浮息債券的利率重設(shè)日為一年一次，那么久期最大值就是1年；如半年一次，浮息債券的久期就是0.5年。 浮息債券與逆浮息債券v 逆浮息債券是票面利息隨著基準(zhǔn)利率的變動(dòng)而反向變動(dòng)的債券。逆浮息債券的票面利率=約定的固定利率-基準(zhǔn)利率。 v 假設(shè)一只期限為3年的逆浮息債券，約定的固定利率為10%，選擇sibor利率為其基準(zhǔn)利率，一年利率重設(shè)一次。如果第一年年初sibor=4.7%，那么第一年逆浮息債券的票面利率=10%-4.7%=5.3%；如果第二年年初確定sibor=5.4%，那么第二年逆浮息債券的票面利率=10%-5.4%=4.6%，等等。v 逆浮息債券的票面利率一般

18、都有上限和下限。本例中，其上限就是10%，此時(shí)基準(zhǔn)利率達(dá)到最小值（名義最小值為零，不可能為負(fù)數(shù)）；下限為零。 浮息債券與逆浮息債券v逆浮息債券和浮息債券合在一起，可以構(gòu)成一只固定利率的普通債券。 v假設(shè)前例中的逆浮息債券的面值為50元，我們另外找到一只面值50元的浮息債券，該浮息債券期限同樣是3年，票面利率=基準(zhǔn)利率（sibor）+2%v那么這兩只債券加在一起的票面利率=（約定的固定利率-基準(zhǔn)利率+基準(zhǔn)利率+2%=10%-基準(zhǔn)利率+基準(zhǔn)利率+2%）/2=12%/2=6%。 浮息債券與逆浮息債券v我們用一只面值50元的浮息債券和一只面值50元的逆浮息債券“合成”了一只票面利率為6%，為期3年的固

19、定利率普通債券。v如果例中那個(gè)固定利率債券的市場(chǎng)價(jià)格當(dāng)前是106元，而當(dāng)前正好是例中浮息債券的票息日（前面提到過(guò)這一天其價(jià)格等于面值），那么今天面值為50元的逆浮息債券的價(jià)格就是106-50=56元，折算成面值為100元的逆浮息債券的價(jià)格就是256=112（元）。 浮息債券與逆浮息債券v 如果今天就是浮息債券的票息日，意味著此時(shí)其久期等于1，而市場(chǎng)上價(jià)格為106元，剩余期限為3年，票息率為6%的債券久期大約為2.8，用Dif代表逆浮息債券的久期，那么根據(jù)組合久期的算法，逆浮息債券的久期由下式確定41. 4106561106508 . 2ififDD浮息債券與逆浮息債券v利率變化通過(guò)兩個(gè)渠道強(qiáng)化

20、了逆浮息債券的價(jià)格波動(dòng)效應(yīng) 當(dāng)利率上漲時(shí)，逆浮息債券的票面利率減少，減少了現(xiàn)金流的數(shù)量；另一方面隨著貼現(xiàn)率提高，現(xiàn)金流的數(shù)量進(jìn)一步減少。 當(dāng)利率下降時(shí)，一方面逆浮息債券的票面利率增加，進(jìn)而增加了現(xiàn)金流的數(shù)量，另一方面隨著貼現(xiàn)率的下降，現(xiàn)金流的數(shù)量會(huì)有增加。 浮息債券與逆浮息債券v 逆浮息債券的久期已經(jīng)失去久期的第一種含義（債券現(xiàn)金流發(fā)生的加權(quán)平均時(shí)間），而只能用久期的第二種含義解釋。 v 逆浮息債券的久期不僅大于浮息債券的久期，而且大于合成的固定利率債券的久期。 久期理論的局限久期理論建立在扁平期限結(jié)構(gòu)和其平行移動(dòng)的基礎(chǔ)上 剩余期限利率原來(lái)的期限結(jié)構(gòu)新的期限結(jié)構(gòu)利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的

21、測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v關(guān)鍵利率基點(diǎn)值與關(guān)鍵利率久期 關(guān)鍵利率（key rate）在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上，利率期限結(jié)構(gòu)某些重要期限的利率品種對(duì)其他的利率品種有重要影響，這些利率品種被稱為“關(guān)鍵利率” 。利率剩余期限年年年年利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v關(guān)鍵利率基點(diǎn)值與關(guān)鍵利率久期 關(guān)鍵利率的變動(dòng)（key rateshift）一個(gè)關(guān)鍵利率的變動(dòng)以均勻遞減的方式影響相鄰的兩個(gè)關(guān)鍵利率點(diǎn)0510152025302y5y10y30y2利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v關(guān)鍵利率基點(diǎn)值與關(guān)鍵利率久期 關(guān)鍵利率基點(diǎn)值

22、：一個(gè)關(guān)鍵利率變動(dòng)時(shí)百萬(wàn)面值（或者百元面值）債券的價(jià)格變動(dòng)量。 Key rate 01s:the key rate equivalent of DV01 關(guān)鍵利率久期：一個(gè)關(guān)鍵利率變動(dòng)時(shí)債券價(jià)格的變動(dòng)率。 key rate duration: the key rate equivalent of duration 關(guān)鍵利率風(fēng)險(xiǎn)暴露：債券所面臨的主要的利率風(fēng)險(xiǎn)。Key rate exposure例子: 年抵押貸款的關(guān)鍵利率暴露（萬(wàn)）$Key rate 01sKey rate dur%of total貸款初始價(jià)值100453.13After 2-shift100452.150.980.100.9%

23、After 5-shift100449.363.770.383.3%After10-shift100410.7742.374.2237.0%After30-shift100385.8867.266.7058.8%Total114.3811.39當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)水平形狀，。每個(gè)月支付元,利率上漲一個(gè)基點(diǎn)時(shí)債券價(jià)格的變動(dòng)。dyMDPdPdydPPVBPPPVBPMD 基點(diǎn)價(jià)值與（修正）久期的關(guān)系Example: key rate exposure of 30y-nonpre.mortgage5-key rate 01 is -(100449.36-100453.13)=3.775-key rate

24、 duration is10*3.77/100.45313=0.38Key rate exposures decompose a sensitivity measure in to component sensitivities.關(guān)鍵利率風(fēng)險(xiǎn)暴露把總的利率敏感度分解到各個(gè)關(guān)鍵利率品種身上。 費(fèi)雪威爾久期（Fisher and Weil Duration） 期限原有的利率期限結(jié)構(gòu)平移后的利率期限結(jié)構(gòu)v 考慮到各個(gè)期限的利率不同，我們需要對(duì)麥考利久期進(jìn)行適當(dāng)變形。費(fèi)雪威爾久期（用DFW代表）考慮到這種情況，其表達(dá)式為v 式中B代表債券價(jià)格，i(0,t)代表一個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)，t=1,2,n。n是債券

25、剩余期限。Cn代表第n期的現(xiàn)金流。 ntttnnFWtiCtBBniCniCiCiCD133221), 0 (1 11), 0 (1 )3 , 0 (1 3)2 , 0 (1 2)1 , 0 (1 1 費(fèi)雪威爾久期（Fisher and Weil Duration） v 當(dāng)利率期限結(jié)構(gòu)發(fā)生平行移動(dòng)時(shí)，債券價(jià)格的變動(dòng)率為), 0(1), 0(1 titidDBdBFW期限即 期 利率原有的期限結(jié)構(gòu)新的期限結(jié)構(gòu)比如：如何在費(fèi)雪威爾久期中反映類似這樣變動(dòng)呢？v 常見(jiàn)的辦法是用利率相對(duì)變化率這一變量來(lái)體現(xiàn)期限結(jié)構(gòu)的這種變動(dòng)。如果用K（t）代表利率相對(duì)變化率，它反映了第t期的利率相對(duì)于第1期的利率變化的

26、比例。比如，如果第1期利率上漲了10個(gè)基點(diǎn)，而第3期利率僅上漲了6個(gè)基點(diǎn)，則此時(shí)K（3）=0.6。由于第1期的K等于1，所以我們用Kt-1來(lái)代表第t期的K，即K（t）=Kt-1。K（t）可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，可以大于1，也可以小于1。這樣以來(lái)，當(dāng)期限結(jié)構(gòu)發(fā)生非平行移動(dòng)時(shí)，費(fèi)雪威爾久期的形式為nttttFWtiCKtBD11), 0(1 1利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v趨勢(shì)久期（ Directional duration ） 考慮了不同期限的利率的不同變動(dòng)趨勢(shì)的久期。 趨勢(shì)久期是債券現(xiàn)金流發(fā)生時(shí)間的加權(quán)和，權(quán)數(shù)是各期現(xiàn)金流的趨勢(shì)權(quán)重。 將利率結(jié)構(gòu)的變化可以

27、理解為由兩個(gè)部分組成：一是常態(tài)化的變化，二是趨勢(shì)性的變化 。Ttdadrtt, 1,0, 0這里d可以代表一個(gè)微小的常態(tài)化增量，at作為主觀預(yù)測(cè)的量（可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或者是零）構(gòu)成一個(gè)n維向量，即aa1,a2,aT,利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v趨勢(shì)久期 趨勢(shì)久期公式Btrcwttt/ )exp(0, 0aTtattTtttawttwBtrxpectaD1000,01/ )(ttatwaw 利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v趨勢(shì)久期 債券價(jià)格變動(dòng)率公式dDBdBa00利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量

28、利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量v 2006年為例，如果年初某機(jī)構(gòu)持有10年期長(zhǎng)期國(guó)債并且預(yù)計(jì)到國(guó)債收益率曲線的上述變化（1年期以下品種上移33個(gè)基點(diǎn)，7年期以下品種收益率平均上移20個(gè)基點(diǎn)，10年期以上品種收益率則平均下移10個(gè)基點(diǎn)），該機(jī)構(gòu)在計(jì)算矢量久期時(shí)，不妨可以將趨勢(shì)向量設(shè)定為aa1,a2,aT=1,0.52, 0.52, 0.52, 0.52, 0.52,0.2,0,0.05,-0.33 v 把上述趨勢(shì)系數(shù)加入到久期計(jì)算式子中后，會(huì)大大縮小久期各個(gè)計(jì)算因子的代數(shù)和，結(jié)果計(jì)算出來(lái)的矢量久期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于麥考雷久期。這表明盡管短期利率上升劇烈，但由于收益率曲線屬于扁平化的變化，長(zhǎng)期利率上漲

29、溫和，甚至有些區(qū)間還下降，所以持有長(zhǎng)期債券有一定的風(fēng)險(xiǎn)，但風(fēng)險(xiǎn)程度不如按照一般久期理論計(jì)算出來(lái)的那樣大。利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量利率期限結(jié)構(gòu)變動(dòng)下債券價(jià)格波動(dòng)的測(cè)量修正久期、威爾久期和矢量久期 的比較案例v 本例所選取的評(píng)估日為2006年2月28日。通過(guò)Wind資訊或中國(guó)債券網(wǎng)等數(shù)據(jù)庫(kù)獲取當(dāng)日的利率期限結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，當(dāng)日的利率期限結(jié)構(gòu)如圖所示。評(píng)估基準(zhǔn)日（2006-2-28）的利率期限結(jié)構(gòu)v （1）根據(jù)傳統(tǒng)久期進(jìn)行債券價(jià)格的利率敏感性分析v 假設(shè)評(píng)估日的即期利率為各期即期利率的平均值2.4933%。預(yù)測(cè)利率期限結(jié)構(gòu)將向上平移10個(gè)基點(diǎn)，如圖所示。 0000,1(1)115.7437TttttBci010(1)7.6411tTttciDtB*00,7.64117.54711/1 0.0249/2MtDDim根據(jù)利率期限結(jié)構(gòu)貼現(xiàn)未來(lái)的現(xiàn)金流，加總后得到債券價(jià)值根據(jù)連續(xù)復(fù)利形式的麥考利久期計(jì)算公式，有則修正久期為即期利率變動(dòng)后重新計(jì)算債券的價(jià)值為10114.8848B 本例采用計(jì)算相對(duì)誤差的方法衡量久期測(cè)度的準(zhǔn)確性。 100000114.8848 115.74370.7421%115.7437BBBBB 本例采用