培優(yōu)提升立體幾何4

1、第五講 立體幾何【例 1】 如圖，用高都是米，底面半徑分別為米、米和米的個(gè)圓柱組成一個(gè)物體問(wèn)這個(gè)物體的表面積是多少平方米？(取) 【解析】 從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為(立方米)，側(cè)面積為(立方米)，所以該物體的表面積是(立方米)【例 2】 有一個(gè)圓柱體的零件，高厘米，底面直徑是厘米，零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是厘米，孔深厘米(見(jiàn)右圖)如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和，為(平方厘米)【例 3】 (第四屆希望杯2試試題)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，放平，是邊長(zhǎng)分別為10厘米和12厘米的長(zhǎng)方形

2、，那么這個(gè)圓柱體的體積是_立方厘米(結(jié)果用表示)【解析】 當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為(立方厘米)當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為(立方厘米)所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米【例 4】 如右圖，是一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油桶(接頭處忽略不計(jì))，求這個(gè)油桶的容積()【解析】 圓的直徑為：(米)，而油桶的高為2個(gè)直徑長(zhǎng)，即為：，故體積為立方米【鞏固】如圖，有一張長(zhǎng)方形鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長(zhǎng)方形，正好可以做成1個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱體的底面半徑為10厘米，那么原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積是多少平方厘米？()【解析】 做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長(zhǎng)方形卷成的，可見(jiàn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與旁

3、邊的圓的周長(zhǎng)相等，則剪下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，即圓柱體底面圓的周長(zhǎng)為：(厘米)，原來(lái)的長(zhǎng)方形的面積為：(平方厘米)【例 5】 把一個(gè)高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來(lái)的圓柱體表面積減少平方厘米原來(lái)的圓柱體的體積是多少立方厘米？【解析】 沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來(lái)的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2厘米圓柱體的側(cè)面積，所以原來(lái)圓柱體的底面周長(zhǎng)為厘米，底面半徑為厘米，所以原來(lái)的圓柱體的體積是(立方厘米)【例 6】 一個(gè)圓柱體的體積是立方厘米，底面半徑是2厘米將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后，再截開(kāi)拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體，表面積增加了多少平方厘米

4、？ () 【解析】 從圖中可以看出，拼成的長(zhǎng)方體的底面積與原來(lái)圓柱體的底面積相同，長(zhǎng)方體的前后兩個(gè)側(cè)面面積與原來(lái)圓柱體的側(cè)面面積相等，所以增加的表面積就是長(zhǎng)方體左右兩個(gè)側(cè)面的面積(法1)這兩個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)等于原來(lái)圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑可知，圓柱體的高為(厘米)，所以增加的表面積為(平方厘米)；(法2)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)增加的兩個(gè)面是長(zhǎng)方體的側(cè)面，側(cè)面面積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的乘積就是長(zhǎng)方體的體積由于長(zhǎng)方體的體積與圓柱體的體積相等，為立方厘米，而拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱體底面周長(zhǎng)的一半，為厘米，所以側(cè)面長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，所以增加的表面積為平方厘米【例 7】 (2008年”希

5、望杯”五年級(jí)第2試)一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水(如圖)，由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是_ 立方厘米(取)【解析】 由于瓶子倒立過(guò)來(lái)后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水構(gòu)成高為厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成高為厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容積為：(立方厘米)【鞏固】一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖已知它的容積為立方厘米當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米問(wèn)：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？【解析】 由題意，液體的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分

6、體積的倍所以酒精的體積為立方厘米，而立方厘米毫升升【鞏固】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為平方厘米，(如下圖所示)，請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是【解析】 由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為，從而水與空著的部分的比為，由圖1知水的體積為，所以總的容積為立方厘米【例 8】 一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米今將一個(gè)底面半徑為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中求這時(shí)容器的水深是多少厘米？【解析】 若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：(厘米)它比圓柱體的高度要大，

7、可見(jiàn)圓柱體可以完全浸入水中于是所求的水深便是厘米【例 9】 有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水甲杯中沉沒(méi)著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒(méi)于乙杯，且乙杯中的水未外溢問(wèn)：這時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 兩個(gè)圓柱直徑的比是，所以底面面積的比是鐵塊在兩個(gè)杯中排開(kāi)的水的體積相同，所以乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的，即(厘米)【例 10】 如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的，乙容器中水的高度是錐高的，比較甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？ 【解析】 設(shè)圓錐容器的底面半徑為，高

8、為，則甲、乙容器中水面半徑均為，則有，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍【例 11】 (2008年仁華考題)如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸，已知薄膜的厚度為厘米，則薄膜展開(kāi)后的面積是 平方米【解析】 纏繞在一起時(shí)塑料薄膜的體積為：(立方厘米)，薄膜展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方體，體積保持不變，而厚度為厘米，所以薄膜展開(kāi)后的面積為平方厘米平方米另解：也可以先求出展開(kāi)后薄膜的長(zhǎng)度，再求其面積由于展開(kāi)前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開(kāi)前為(平方厘米)，展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方形，寬為厘米，所以長(zhǎng)為厘米，所以展開(kāi)后薄膜的面積為平方厘米平方米【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中