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1、第五講 立體幾何【例 1】 如圖,用高都是米,底面半徑分別為米、米和米的個(gè)圓柱組成一個(gè)物體問(wèn)這個(gè)物體的表面積是多少平方米?(取) 【解析】 從上面看到圖形是右上圖,所以上下底面積和為(立方米),側(cè)面積為(立方米),所以該物體的表面積是(立方米)【例 2】 有一個(gè)圓柱體的零件,高厘米,底面直徑是厘米,零件的一端有一個(gè)圓柱形的圓孔,圓孔的直徑是厘米,孔深厘米(見(jiàn)右圖)如果將這個(gè)零件接觸空氣的部分涂上防銹漆,那么一共要涂多少平方厘米?【解析】 涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和,為(平方厘米)【例 3】 (第四屆希望杯2試試題)圓柱體的側(cè)面展開(kāi),放平,是邊長(zhǎng)分別為10厘米和12厘米的長(zhǎng)方形
2、,那么這個(gè)圓柱體的體積是_立方厘米(結(jié)果用表示)【解析】 當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為(立方厘米)當(dāng)圓柱的高是12厘米時(shí)體積為(立方厘米)所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米【例 4】 如右圖,是一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮,利用圖中的陰影部分,剛好能做成一個(gè)油桶(接頭處忽略不計(jì)),求這個(gè)油桶的容積()【解析】 圓的直徑為:(米),而油桶的高為2個(gè)直徑長(zhǎng),即為:,故體積為立方米【鞏固】如圖,有一張長(zhǎng)方形鐵皮,剪下圖中兩個(gè)圓及一塊長(zhǎng)方形,正好可以做成1個(gè)圓柱體,這個(gè)圓柱體的底面半徑為10厘米,那么原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積是多少平方厘米?()【解析】 做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長(zhǎng)方形卷成的,可見(jiàn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與旁
3、邊的圓的周長(zhǎng)相等,則剪下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng),即圓柱體底面圓的周長(zhǎng)為:(厘米),原來(lái)的長(zhǎng)方形的面積為:(平方厘米)【例 5】 把一個(gè)高是8厘米的圓柱體,沿水平方向鋸去2厘米后,剩下的圓柱體的表面積比原來(lái)的圓柱體表面積減少平方厘米原來(lái)的圓柱體的體積是多少立方厘米?【解析】 沿水平方向鋸去2厘米后,剩下的圓柱體的表面積比原來(lái)的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2厘米圓柱體的側(cè)面積,所以原來(lái)圓柱體的底面周長(zhǎng)為厘米,底面半徑為厘米,所以原來(lái)的圓柱體的體積是(立方厘米)【例 6】 一個(gè)圓柱體的體積是立方厘米,底面半徑是2厘米將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后,再截開(kāi)拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體,表面積增加了多少平方厘米
4、? () 【解析】 從圖中可以看出,拼成的長(zhǎng)方體的底面積與原來(lái)圓柱體的底面積相同,長(zhǎng)方體的前后兩個(gè)側(cè)面面積與原來(lái)圓柱體的側(cè)面面積相等,所以增加的表面積就是長(zhǎng)方體左右兩個(gè)側(cè)面的面積(法1)這兩個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形,且長(zhǎng)等于原來(lái)圓柱體的高,寬等于圓柱體底面半徑可知,圓柱體的高為(厘米),所以增加的表面積為(平方厘米);(法2)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)增加的兩個(gè)面是長(zhǎng)方體的側(cè)面,側(cè)面面積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的乘積就是長(zhǎng)方體的體積由于長(zhǎng)方體的體積與圓柱體的體積相等,為立方厘米,而拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱體底面周長(zhǎng)的一半,為厘米,所以側(cè)面長(zhǎng)方形的面積為平方厘米,所以增加的表面積為平方厘米【例 7】 (2008年”希
5、望杯”五年級(jí)第2試)一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水(如圖),由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是_ 立方厘米(取)【解析】 由于瓶子倒立過(guò)來(lái)后其中水的體積不變,所以空氣部分的體積也不變,從圖中可以看出,瓶中的水構(gòu)成高為厘米的圓柱,空氣部分構(gòu)成高為厘米的圓柱,瓶子的容積為這兩部分之和,所以瓶子的容積為:(立方厘米)【鞏固】一個(gè)酒精瓶,它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸),如圖已知它的容積為立方厘米當(dāng)瓶子正放時(shí),瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為6厘米;瓶子倒放時(shí),空余部分的高為2厘米問(wèn):瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米?合多少升?【解析】 由題意,液體的體積是不變的,瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的,因此可知液體體積是空余部分
6、體積的倍所以酒精的體積為立方厘米,而立方厘米毫升升【鞏固】一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水,瓶底面積為平方厘米,(如下圖所示),請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù),計(jì)算瓶子的容積是【解析】 由已知條件知,第二個(gè)圖上部空白部分的高為,從而水與空著的部分的比為,由圖1知水的體積為,所以總的容積為立方厘米【例 8】 一個(gè)盛有水的圓柱形容器,底面內(nèi)半徑為5厘米,深20厘米,水深15厘米今將一個(gè)底面半徑為2厘米,高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中求這時(shí)容器的水深是多少厘米?【解析】 若圓柱體能完全浸入水中,則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和,因而水深為:(厘米)它比圓柱體的高度要大,
7、可見(jiàn)圓柱體可以完全浸入水中于是所求的水深便是厘米【例 9】 有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯,其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米,杯中盛有適量的水甲杯中沉沒(méi)著一鐵塊,當(dāng)取出此鐵塊后,甲杯中的水位下降了2厘米;然后將鐵塊沉沒(méi)于乙杯,且乙杯中的水未外溢問(wèn):這時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米?【解析】 兩個(gè)圓柱直徑的比是,所以底面面積的比是鐵塊在兩個(gè)杯中排開(kāi)的水的體積相同,所以乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的,即(厘米)【例 10】 如圖,甲、乙兩容器相同,甲容器中水的高度是錐高的,乙容器中水的高度是錐高的,比較甲、乙兩容器,哪一只容器中盛的水多?多的是少的的幾倍? 【解析】 設(shè)圓錐容器的底面半徑為,高
8、為,則甲、乙容器中水面半徑均為,則有,即甲容器中的水多,甲容器中的水是乙容器中水的倍【例 11】 (2008年仁華考題)如圖,有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜,薄膜的直徑為20厘米,中間有一直徑為8厘米的卷軸,已知薄膜的厚度為厘米,則薄膜展開(kāi)后的面積是 平方米【解析】 纏繞在一起時(shí)塑料薄膜的體積為:(立方厘米),薄膜展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方體,體積保持不變,而厚度為厘米,所以薄膜展開(kāi)后的面積為平方厘米平方米另解:也可以先求出展開(kāi)后薄膜的長(zhǎng)度,再求其面積由于展開(kāi)前后薄膜的側(cè)面的面積不變,展開(kāi)前為(平方厘米),展開(kāi)后為一個(gè)長(zhǎng)方形,寬為厘米,所以長(zhǎng)為厘米,所以展開(kāi)后薄膜的面積為平方厘米平方米【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙,紙卷直徑為20厘米,中
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