彈性力學與有限元分析試題及其答案

1、如下圖所示三角形薄板，按三結點三角形單元劃分后，對于與局部編碼ijm對應的整體編碼，以下敘述正確的是（ D ）。 I單元的整體編碼為162 II單元的整體編碼為426 II單元的整體編碼為246 III單元的整體編碼為243 IV單元的整體編碼為564A. B. C. D. 一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后，其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與

2、物體的形變和材料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。7、已知一點處的應力分量MPa，MPa， MPa，則主應力150MPa，0MPa，。8、已知一點處的應力分量， MPa，MPa， MPa，則主應力512 MPa，-312 MPa，-37°57。9、已知一點處的應力分量，MPa，MPa， MPa，則主應力1052 MPa，-2052 MPa，-82°32。10、在彈性力學里分析問題，要考慮

3、靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結構，然后再用結構力學位移法進行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同

4、的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應變，還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結點處具有相同的位移時，也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數Ni在i結點Ni=1；在其他結點Ni=0及Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含

5、更高次項的位移模式，使位移和應力的精度提高。1. 邊界條件表示在邊界上 位移 與 約束 ，或 應力 與 面力 之間的關系式，它可以分為 位移 邊界條件、 應力 邊界條件和 混合 邊界條件。2. 體力是作用于物體體積內的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為 L-2MT-2 ；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為 L-1MT-2 ；體力和面力符號的規(guī)定為以 沿坐標軸正向 為正，屬 外 力；應力是作用于截面單位面積的力，屬 內 力，應力的量綱為 L-1MT-2 ，應力符號的規(guī)定為： 正面正向、負面負向為正，反之為負 。3. 小孔口應力集中現象中有兩個特點：一是 孔附近

6、的應力高度集中 ，即孔附近的應力遠大于遠處的應力，或遠大于無孔時的應力。二是 應力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的應力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內。4. 彈性力學中，正面是指 外法向方向沿坐標軸正向 的面，負面是指 外法向方向沿坐標軸負向 的面 。5. 利用有限單元法求解彈性力學問題時，簡單來說包含 結構離散化 、 單元分析 、 整體分析 三個主要步驟。1最小勢能原理等價于彈性力學基本方程中： 平衡微分方程 ， 應力邊界條件 。2一組可能的應力分量應滿足： 平衡微分方程 ，相容方程（變形協(xié)調條件） 。3等截面直桿扭轉問題中， 的物理意義是 桿端截面上剪應力對轉軸的矩等于

7、桿截面內的扭矩M 。4平面問題的應力函數解法中，Airy應力函數在邊界上值的物理意義為 邊界上某一點（基準點）到任一點外力的矩 。5彈性力學平衡微分方程、幾何方程的張量表示為： ，。二、判斷題（請在正確命題后的括號內打“”，在錯誤命題后的括號內打“×”）1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（）2、均勻性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（×）3、連續(xù)性假定是指整個物體是由同一材料組成的。（×）4、平面應力問題與平面應變問題的物理方程是完全相同的。（×）5、如果某一問題中，只存在平

8、面應力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數，此問題是平面應力問題。（）6、如果某一問題中，只存在平面應變分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數，此問題是平面應變問題。（）7、表示應力分量與面力分量之間關系的方程為平衡微分方程。（×）8、表示位移分量與應力分量之間關系的方程為物理方程。（×）9、當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（）10、當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（）11、按應力求解平面問題時常采用位移法和應力法。（×）12、按應力求解平面問題，最后可以歸納為求解一個應力函數。（×）13、在有限單元法中

9、，結點力是指單元對結點的作用力。（×）14、在有限單元法中，結點力是指結點對單元的作用力。（）15、在平面三結點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變。（ ）三、簡答題1、簡述材料力學和彈性力學在研究對象、研究方法方面的異同點。在研究對象方面，材料力學基本上只研究桿狀構件，也就是長度遠大于高度和寬度的構件；而彈性力學除了對桿狀構件作進一步的、較精確的分析外，還對非桿狀結構，例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基等實體結構加以研究。在研究方法方面，材料力學研究桿狀構件，除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析以外，大都引用了一些關于構件的形變狀態(tài)或應力分布的假定，這就大簡化了數學推演，

10、但是，得出的解答往往是近似的。彈性力學研究桿狀構件，一般都不必引用那些假定，因而得出的結果就比較精確，并且可以用來校核材料力學里得出的近似解答。2、簡述彈性力學的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。即根據微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據微分線段上形變與位移之間的幾何關系，建立幾何方程；根據應力與形變之間的物理關系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據邊界上微分體的平衡條件，建立應力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學問題，即在邊界條件下根據平衡微分方

11、程、幾何方程、物理方程求解應力分量、形變分量和位移分量。3、彈性力學中應力如何表示？正負如何規(guī)定？答：彈性力學中正應力用表示，并加上一個下標字母，表明這個正應力的作用面與作用方向；切應力用表示，并加上兩個下標字母，前一個字母表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個字母表明作用方向沿著哪一個坐標軸。并規(guī)定作用在正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，作用在負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。4、簡述平面應力問題與平面應變問題的區(qū)別。答：平面應力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對應的

12、應力分量只有，。而平面應變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對應的位移分量只有u和v5、簡述圣維南原理。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。6、簡述按應力求解平面問題時的逆解法。答：所謂逆解法，就是先設定各種形式的、滿足相容方程的應力函數；并由應力分量與應力函數之間的關系求得應力分量；然后再根據應力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應

13、力函數可以解決的問題。7、以三節(jié)點三角形單元為例，簡述有限單元法求解離散化結構的具體步驟。（1）取三角形單元的結點位移為基本未知量。（2）應用插值公式，由單元的結點位移求出單元的位移函數。（3）應用幾何方程，由單元的位移函數求出單元的應變。（4）應用物理方程，由單元的應變求出單元的應力。（5）應用虛功方程，由單元的應力出單元的結點力。（6）應用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結點移置，求出單元的結點荷載。（7）列出各結點的平衡方程，組成整個結構的平衡方程組。8、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應滿足哪些條件？答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應滿足下列條件：（1）位移模式必

14、須能反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能反映單元的常量應變；（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。9、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是本單元的形變無關的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。10、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應變？答：每個單元的應變一般總是

15、包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。而且，當單元的尺寸較小時，單元中各點的應變趨于相等，也就是單元的應變趨于均勻，因而常量應變就成為應變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應變。11、在平面三結點三角形單元中，能否選取如下的位移模式并說明理由：（1），（2），答：（1）不能采用。因為位移模式沒有反映全部的剛體位移和常量應變項；對坐標x，y不對等；在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足。（2） 不能采用。因為，位移模式沒有反映剛體位移和常量應變項；在

16、單元邊界上的連續(xù)性條件也不滿足。1試簡述力學中的圣維南原理，并說明它在彈性力學分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處的應力所受影響可以忽略不計。作用：（1）將次要邊界上復雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉化為應力邊界條件處理。2圖示兩楔形體，試分別用直角坐標和極坐標寫出其應力函數的分離變量形式。題二（2）圖（a） （b）3圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比 m 已知。試求薄板面積的改變量。 題二

17、（3）圖設當各邊界受均布壓力q時，兩力作用點的相對位移為。由得，設板在力P作用下的面積改變?yōu)椋晒Φ幕サ榷ɡ碛校簩⒋氲茫猴@然，與板的形狀無關，僅與E、l有關。4圖示曲桿，在邊界上作用有均布拉應力q，在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。題二（4）圖（1）；（2）（3） 5試簡述拉甫（Love）位移函數法、伽遼金（Galerkin）位移函數法求解空間彈性力學問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數法求解空間彈性力學問題的基本思想：（1）變求多個位移函數或為求一些特殊函數，如調和函數、重調和函數。（2）變求多個函數為求單個函數（特殊函數）。適用性

18、：Love位移函數法適用于求解軸對稱的空間問題； Galerkin位移函數法適用于求解非軸對稱的空間問題。1. （8分）彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：（答出標注的內容即可給滿分） 1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內部

19、各點的物理性質顯然都是相同的。因此，反應這些物理性質的彈性常數（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程。2. （8分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈

20、性體和特征分別為： 平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量,存在，且僅為x,y的函數。 平面應變問題：所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應變分量,存在，且僅為x,y的函數。3. （8分）常體力情況下，按應力求解平面問題可進一步簡化為按應力函數求解，應力函數必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程： （2）應力邊界條件（假定全部為應力邊界條件，）： （3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。1、材料各向同性的含義是什么？“各向同性”在彈性力學物理方程

21、中的表現是什么？（5分）答：材料的各向同性假定物體的物理性質在各個方向上均相同。因此，物體的彈性常數不隨方向而變化。在彈性力學物理方程中，由于材料的各向同性，三個彈性常數，包括彈性模量E，切變模量G和泊松系數（泊松比）都不隨方向而改變（在各個方向上相同）。2、位移法求解的條件是什么？怎樣判斷一組位移分量是否為某一問題的真實位移？（5分）答：按位移法求解時，u，v必須滿足求解域內的平衡微分方程，位移邊界條件和應力邊界條件。平衡微分方程、位移邊界條件和（用位移表示的）應力邊界條件既是求解的條件，也是校核u，v是否正確的條件。3、試述彈性力學研究方法的特點，并比較材料力學、結構力學與彈性力學在研究內

22、容、方法等方面的異同。（12分）答：彈力研究方法：在區(qū)域V內嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立平衡微分方程、幾何方程和物理方程；在邊界s上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。在研究內容方面：材料力學研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組合變形等問題；結構力學在材料力學基礎上研究桿系結構（如 桁架、剛架等）；彈性力學研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結構等問題。 在研究方法方面：理力考慮整體的平衡（只決定整體的V運動狀態(tài)）；材力考慮有限體V的平衡，結果是近似的；彈力考慮微分體dV 的平，結果比較精確。4、常體力情況下，

23、用應力函數表示的相容方程形式為，請問：相容方程的作用是什么？兩種解法中，哪一種解法不需要將相容方程作為基本方程？為什么？（13分）答：（1）連續(xù)體的形變分量（和應力分量）不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證對應的位移分量存在，相容方程也因此成為判斷彈性力學問題解答正確與否的依據之一。（2）對于按位移求解（位移法）和按應力求解（應力法）兩種方法，對彈性力學問題進行求解時位移法求解不需要將相容方程作為基本方程。（3）（定義）按位移求解（位移法）是以位移分量為基本未知函數，從方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含位移分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出應變分量，進而再求出形

24、變分量和應力分量。四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F為常數。解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內的相容方程；（3）在邊界上的應力邊界條件；（4）對于多連體的位移單值條件。（1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應滿足應力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應力分

25、量不可能存在。2、已知應力分量，體力不計，Q為常數。試利用平衡微分方程求系數C1，C2，C3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應力分量，判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應力分量，代入平衡微分方程可知，已知應力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。（1），；（2），；（3）

26、，；其中，A，B，C，D為常數。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件，即將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3）0=C；這組應力分量若存在，則須滿足：C=0，則，（1分）。5、證明應力函數能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數代入相容方程可知，所給應力函數能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；

27、右邊，。可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應力函數能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（b<0）的問題。6、證明應力函數能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數代入相容方程可知，所給應力函數能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力

28、a。因此，應力函數能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。Oxybqrg 解：根據結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設。由此可知 將上式對y積分兩次，可得如下應力函數表達式 將上式代入應力函數所應滿足的相容方程則可得這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數多的解（全柱內的y值都應該滿足它），可見它的系數和自由項都應該等于零，即， 這兩個方程要求， 代入應力函數表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數項后，便得對應應力分量為 以上常數可以根據邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，

29、所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達式代入，則有由此可得，應力分量為, , 雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數，則應力分量亦可用應力函數表示為，試導出相應的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量，應當滿足平衡微分方程（

30、1分）還應滿足相容方程（對于平面應力問題）（對于平面應變問題）并在邊界上滿足應力邊界條件（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為根據微分方程理論，一定存在某一函數A（x，y），使得，同樣，將第二個方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數B（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數，使得，代入以上各式，得應力分量，為了使上述應力分量能同量滿足相容方程，應力函數必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得簡寫為將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程，得簡寫為9、如圖所示三

31、角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次的應力函數求解。Oxyarg解：純三次的應力函數為相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現在來考察，如果適當選擇各個系數，是否能滿足應力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應力分量為, , 設三角形懸臂梁的長為l，高為h，則。根據力的平衡，

32、固定端對梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合成的主矢應為零，應當合成為反力?？梢姡髴Ψ至繚M足梁固定端的邊界條件。10、設有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應力分量。r2gr1gayxO解：采用半逆解法。首先應用量綱分析方法來假設應力分量的函數形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應當與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應當與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關。由于應力的量綱是L-1MT-2，和

33、的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L，因此，如果應力分量具有多項式的解答，那么它們的表達式只可能是，四項的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關。這就是說，各應力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應力函數與應力分量的關系式可知，應力函數比應力分量的長度量綱高二次，應該是x和y純三次式，因此，假設相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F在來考察，如果適當選擇各個系數，是否能滿足應力邊界條件。左面，作用有水平面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見因此，

34、應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意y值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由此解得，從而應力分量為 , , 三、計算題1圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設間距d很小。試求其應力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應力函數為 ） （13分）題三（1）圖解：很小，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應力函數代入，可求得應力分量： ； ； 邊界條件：（1）； 代入應力分量式，有 或 （1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：，和M = Pd由該脫離體的

35、平衡，得將代入并積分，有 得 （2）聯(lián)立式（1）、（2）求得：，代入應力分量式，得； ； 。結果的適用性：由于在原點附近應用了圣維南原理，故此結果在原點附近誤差較大，離原點較遠處可適用。2圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應力由材料力學公式給出，試由平衡微分方程求出，并檢驗該應力分量能否滿足應力表示的相容方程。（12分） 題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應力任意截面的彎矩為，截面慣性矩為，由材料力學計算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。將式（1）代入式（2），有積分上式，得利用邊界條件：，有 即 （4）將式（4）代入式（3），有 或 積分得利用邊界條件：，

36、得：由第二式，得將其代入第一式，得 自然成立。將代入的表達式，有 （5）所求應力分量的結果： （6）校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x = 0）：， 代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x = l）：可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應力分量是否滿足應力相容方程：常體力下的應力相容方程為將應力分量式（6）代入應力相容方程，有，顯然，應力分量不滿足應力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數，梁端支承彈簧的剛度系數為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1）構造兩種形式（多項式、三角函數）的梁撓度試函數；（2

37、）用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取1項待定系數）。 （13分）題二（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數可取為 多項式函數形式 三角函數形式此時有：即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢能為取：，有，代入總勢能計算式，有由，有代入梁的撓度試函數表達式，得一次近似解為4已知受力物體內某一點的應力分量為：，試求經過該點的平面上的正應力。 （12分）解：由平面方程，得其法線方向單位矢量的方向余弦為， 名詞解釋（共10分，每小題5分）1. 彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力

38、等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。 填空（共20分，每空1分）一 問答題(36)1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。（板厚） 圖5-1解：在主要邊界上，應精確滿足下列邊界條件：，； ，在次要邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件，當板厚時，在次要邊界上，有位移邊界條件：，。這兩個位移邊界條件可以改用三個積分的應力邊界條件代替：，2. （10分）試考察應力函數，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布

39、，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖5-2解：（1）相容條件：將代入相容方程，顯然滿足。（2）應力分量表達式：，（3）邊界條件：在主要邊界上，即上下邊，面力為，在次要邊界上，面力的主失和主矩為 彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主失量和主矩如解圖所示。3. （14分）設有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力q, 如圖5-3所示，試求應力分量。（提示：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量 ）圖 5-3解：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故

40、可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量，(1) 假設應力分量的函數形式。(2) 推求應力函數的形式。此時，體力分量為。將代入應力公式有對積分，得， （a） 。 （b）其中，都是的待定函數。(3)由相容方程求解應力函數。將式（b）代入相容方程，得這是y的一次方程，相容方程要求它有無數多的根（全部豎柱內的y值都應該滿足），可見它的系數和自由項都必須等于零。，兩個方程要求， (c)中的常數項，中的一次和常數項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次和常數項，不影響應力分量。得應力函數 (d)（4）由應力函數求應力分量。， (e)， (f). (g)(5) 考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數先來考慮左右兩邊的主要邊界條件：，。將應力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：，自然滿足； (h) (i